7 专题2 融合创新2 平面向量、解三角形的创新问题（Word教参）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

融合创新2　平面向量、解三角形的创新问题　▶ 对应学生用书P40 【考情分析】　平面向量与三角函数的新定义问题，背景新颖，考查角度具有多样性，一般要转化为向量的运算、正弦定理、余弦定理的应用问题，难度较大. 融合1　平面向量的新定义问题 (多选)定义平面向量的一种运算“Θ”如下：对任意的两个向量a＝，b＝，令aΘb＝(x1y2－x2y1，x1x2＋y1y2)，下面说法一定正确的是(　　 ) A.对任意的λ∈R，有Θb＝λ B.存在唯一确定的向量e使得对于任意向量a，都有aΘe＝eΘa＝a成立 C.若a与b垂直，则Θc与aΘ共线 D.若a与b共线，则Θc与aΘ的模相等 解析：选AD.设向量a＝，b＝，对于A，对任意的λ∈R，有Θb＝Θ(x2，y2)＝(λx1y2－λx2y1，λx1x2＋λy1y2)＝λ(x1y2－x2y1，x1x2＋y1y2)＝λ，故A正确； 对于B，假设存在唯一确定的向量e＝使得对于任意向量a，都有aΘe＝eΘa＝a成立，即(x1y0－x0y1，x1x0＋y1y0)＝(x0y1－x1y0，x0x1＋y0y1)＝(x1，y1)恒成立，即方程组 对任意x1，y1恒成立，而此方程组无解，故B不正确； 对于C，若a与b垂直，则x1x2＋y1y2＝0，设c＝，则Θc＝(x1y2－x2y1，0)Θ(x3，y3)＝(x1y2y3－x2y1y3，x1y2x3－x2y1x3)， aΘ＝Θ(x2y3－x3y2，x2x3＋y2y3)＝(x1x2x3＋x1y2y3－y1x2y3＋y1x3y2，x1x2y3－x1y2x3＋y1x2x3＋y1y2y3)＝(x1y2y3－y1x2y3，－x1y2x3＋y1x2x3)≠μ(x1y2y3－y1x2y3，x1y2x3－y1x2x3)，其中μ∈R，故C不正确； 对于D，若a与b共线，则x1y2－x2y1＝0，设c＝， Θc＝Θ(x3，y3)＝(－x1x2x3－y1y2x3，x1x2y3＋y1y2y3)， aΘ(bΘc)＝(x1x2x3＋x1y2y3－y1x2y3＋y1y2x3，x1x2y3－x1y2x3＋y1x2x3＋y1y2y3)＝(x1x2x3＋y1y2x3，x1x2y3＋y1y2y3)，所以Θc与aΘ的模相等，故D正确. 对点练1.(多选)在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似实数排序的定义，我们定义“点序”，记为“”：已知M，N，MN，当且仅当“x1＞x2”或“x1＝x2且y1＞y2”.定义两点的“⊕”与“ⓧ”运算：M⊕N＝，MⓧN＝x1x2＋y1y2.则下列说法正确的是(　　 ) A.若P，Q，则PQ B.若P，Q，PQ，则x≤2 025且y≤2 024 C.若PQ，则对任意的点T，都有P⊕TQ⊕T D.若PQ，则对任意的点T，都有PⓧT＞QⓧT 解析：选AC.选项A：因为P，Q，所以xP＞xQ， 故由定义可知PQ，故A正确； 选项B：根据定义可知，当x＝2 025时，有y＜2 024， 当x＜2 025时，y与2024之间没有大小关系，故B错误； 选项C：设P，Q，T，则由PQ可得，“x1＞x2”或“x1＝x2且y1＞y2”， 由定义得P⊕T＝，Q⊕T＝(x2＋x3，y2＋y3)， 当x1＞x2时，x1＋x3＞x2＋x3，所以P⊕TQ⊕T； 当x1＝x2时，有y1＞y2，此时x1＋x3＝x2＋x3，且y1＋y3＞y2＋y3，所以P⊕TQ⊕T，故C正确； 选项D，设P，Q，取T， 则有PⓧT＝x1×0＋y1×0＝0，QⓧT＝x2×0＋y2×0＝0， 显然PⓧT＞QⓧT不成立，故D错误. 融合2　解三角形的新情境问题 法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”.如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且10＝7－cos 2A.以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O1，O2，O3. (1)求角A； (2)若a＝3，△O1O2O3的面积为，求△ABC的面积. 解：(1)因为10＝7－cos 2A， 所以5＝7－cos 2A， 故5＝8－2cos2A，所以2cos2A＋5cos A－3＝0， 可得cos A＝或cos A＝－3(舍)， 由A∈，所以A＝. (2)如图，连接AO1，AO3， 由正弦定理得＝2，＝2，则＝c，＝b， △O1O2O3的面积S1＝··sin＝＝，所以＝7， 而∠BAC＝，则∠O1AO3＝， 在△O1AO3中，由余弦定理得＝＋－2··cos∠O1AO3， 即7＝＋－2··，则b2＋c2＋bc＝21， 在△ABC中，A＝，a＝3，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC， 则b2＋c2－bc＝9，所以bc＝6，所以△ABC的面积为S＝bcsin A＝. [规律方法]　解三角形新情境问题的注意点 (1)理解新定义：首先，需要仔细阅读题目中的新定义，理解其含义和所涉及的数学概念.将新定义与已知的三角函数或解三角形的方法联系起来，找出其中的关联点. (2)应用解三角形的方法：使用正弦定理、余弦定理等解三角形的基本方法，将三角形的边和角联系起来，通过作辅助线、构造特殊三角形等方式，将复杂问题转化为简单问题. (3)结合图形分析：在解题过程中，结合图形进行分析，可以更直观地理解问题.利用图形的对称性、相似性等性质，简化计算过程. 对点练2.克罗狄斯·托勒密(约90－168年)是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家.他一生有很多发明和贡献，其中托勒密定理和托勒密不等式是欧几里得几何中的重要定理.托勒密不等式内容如下：在凸四边形ABCD中，两组对边乘积的和大于等于两对角线的乘积，即AD·BC＋AB·CD≥AC·BD，当ABCD四点共圆时等号成立.已知凸四边形ABCD中，AB＝AD＝1. (1)当△BCD为等边三角形时，求线段AC长度的最大值及取得最大值时△BCD的边长； (2)当2sin2∠DBC＋3sin2∠BDC＝2sin∠DBCsin∠BCDsin∠CDB＋sin2∠BCD时，求线段AC长度的最大值. 解：(1)设BC＝CD＝DB＝x，因为AC·BD≤AB·DC＋AD·BC，所以AC·x≤x＋x， 所以AC≤2，所以AC的最大值为2，当A，B，C，D四点共圆时等号成立，因为∠BCD＝60°，∠DAB＝120°， 在△DAB中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠DAB＝1＋1－2cos 120°＝3， 所以BD＝，所以△BCD的边长为. (2)设BC＝d，CD＝b，BD＝c，在△BCD中， 因为2sin2∠DBC＋3sin2∠BDC＝2sin∠DBCsin∠BCDsin∠CDB＋sin2∠BCD， 所以2b2＋3d2＝2bdsin∠BCD＋c2， 所以sin∠BCD＝， 因为cos∠BCD＝， 所以sin∠BCD－cos∠BCD＝≥＝， 当且仅当b＝d时等号成立， 因为sin∠BCD－cos∠BCD＝sin(∠BCD－)≤， 所以sin(∠BCD－)＝， 所以∠BCD＝，b＝d，由c2＝b2＋d2－2bdcos∠BCD＝5d2，故c＝d， 因为AC·BD≤AB·DC＋AD·BC，AB＝AD＝1， 所以AC·d≤d＋d，所以AC≤＝， 所以线段AC长度的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $