6.2平面向量的基本定理及坐标运算讲义-2026届高三数学一轮专题复习

§6.2 平面向量的基本定理及坐标运算 目录 考法1：平面向量基本定理的应用 3 考法2：平面向量的坐标运算 7 考法3： 由向量的坐标表示求解共线、垂直问题 8  利用向量共线求参数 9  利用向量共线求向量或点的坐标 10  已知向量垂直求参数 11 考法4：由向量的坐标表示求解模、夹角问题 12 考法5：与向量有关的最值（范围）问题 15  与系数有关的最值（范围） 15  与数量积有关的最值（范围） 17  与模有关的最值（范围） 21  与夹角有关的最值（范围） 23 考法6：平面向量与三角形的四心 24 【强化训练】 31 1. 平面向量基本定理 如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2. 平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，设与轴、轴正方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底，对于平面内任一向量，有且仅有一个实数对，使得，则实数对叫作向量的坐标，记作. 3. 平面向量的直角坐标运算 (1) 向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设，则，. (2) 向量加法、减法、数乘运算及向量积 设，则 . 4. 平面向量相关量及关系的坐标表示 已知，为向量的夹角. (1) 模; (2) 的充要条件： ; (3) 夹角； (4) 的充要条件：； (5) 与的关系：（当且仅当时等号成立）. 考法1：平面向量基本定理的应用 方法提炼 1. 用基底表示其他向量.主要有以下三种方法： (1) 通过观察待求向量所在的三角形或平行四边形，利用三角形法则或平行四边形法则寻求向量之间的关系. (2) 把待求向量看成未知量，根据两个三点共线列出相应的方程，解方程即可. (3) 建立坐标系，根据向量的坐标运算求解. 2. 证明向量共线或解决几何相关问题的一般步骤：先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量形式，再通过向量的运算来证明共线或解决其他几何相关问题. 【例1.1.】 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ） A． B．1 C． D．7 【答案】A 【详解】 如图，建立平面直角坐标系.由图可知，, ， 故. 故选：A. 【例1.2.】 在平面四边形ABCD中，，若，则（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】以AC所在直线为x轴，AC的垂直平分线为y轴， 建立平面直角坐标系（点D在x轴上方）， 设，则， ， 因为，所以 所以，解得，所以. 故选：A. 【例1.3.】 如图，在四边形ABCD中，，，，，，，则（    ）    A． B．2 C．3 D．6 【答案】A 【详解】以A为坐标原点，以为x轴，过点A作的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，    则, 故, 则由可得， 即， 故， 故选：A 【例1.4.】 我国历史文化悠久，中国象棋就是国人喜闻乐见的一种娱乐方式.不同棋子行的规则各不相同：马走日字象走田，车走直路炮翻山，即“马”只能由“日”字格子的顶点沿“日”字的斜线走到相对的另一个顶点，，…，，如图1.请据此完成填空：如图2，假设一匹马从给定的初始位置出发，且规定其只能向“右前方走”，则其运动到点所需的步数为 ；该马运动到点所有可能落点（不包括点）的个数为 . 【答案】 5 10 【详解】以“马”的初始位置为原点，棋盘的横竖两边为轴建立坐标系， 以题意可得：“马”每次只能按向量或行走， 设落点为（），按上述两个向量前进的此时分别为， 则 所以，即     第一空：由于，所以， 第二空：由于所以 又为3的倍数，且只能往右前方前进，所以 当时，此时对应的点有，, 当时，此时对应的点有， 当时，此时对应的点有， 当时，此时对应的点有 综上可得，共有10种情况， 故答案为：5，10 考法2：平面向量的坐标运算 方法提炼 平面向量坐标运算的技巧 (1) 向量的坐标运算问题，关键是掌握运算法则及坐标运算的特点.一般地，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2) 解题过程中，常利用向量相等其横、纵坐标分别相等，列出方程(组)来进行求解. 【例2.1.】 已知向量满足，则 . 【答案】 【详解】因为，解得， 则，所以. 故答案为： 【例2.2.】 已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 所以，， 所以向量在上的投影向量为. 故选：D. 【例2.3.】 已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以所在直线为轴，为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系， 由题意可得，，，， 则， 设，由得，， 所以 所以，所以， 所以. 故选：A. 考法3： 由向量的坐标表示求解共线、垂直问题 方法提炼 1. 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1) 若非零向量，则的充要条件是. (2) 在求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为． 2. 向量垂直的充要条件 . · 利用向量共线求参数 【例3.1.】 已知向量，若，则（    ） A．8 B．4 C．2 D． 【答案】A 【详解】，由得，解得． 故选：A． 【例3.2.】 已知向量，且，则实数（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】因为，所以，又， 所以，所以． 故选：B． 【例3.3.】 已知向量，，.若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量，，， 所以，， 因为、、三点共线，则，所以，，解得. 故选：C. · 利用向量共线求向量或点的坐标 【例3.4.】 已知，若点D满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点 ， 则， 又，所以， 所以点的坐标为， 故选：A 【例3.5.】 已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】由得，即，， ， ， ， 与同向的单位向量为，反向的单位向量为． 故选：C． 【例3.6.】 已知，点P在直线上，且，则点P的坐标是 ． 【答案】或 【详解】由得， 因为点P在直线上，且， 所以或． 因为可设， 所以，可得， 或，可得， 则点P的坐标是或． 故答案为：或． · 已知向量垂直求参数 【例3.7.】 已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 【例3.8.】 已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 【例3.9.】 在平面直角坐标系中，已知、，，若，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】因为、，， 由于，则，解得. 故答案为：. 考法4：由向量的坐标表示求解模、夹角问题 方法提炼 1. 求平面向量的模的方法 (1) 公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； (2) 几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解． 2. 求平面向量的夹角的方法 (1) 定义法：. (2) 利用向量的线性运算和图形的几何位置关系求解. 【例4.1.】 已知向量，，若，则实数（    ） A． B．或 C．或1 D． 【答案】B 【详解】由两边平方化简得， 所以，即， 化简得，解得或. 故选：B 【例4.2.】 已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A. 【例4.3.】 已知向量，，设，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以， ， 所以，， ， 设与的夹角为， 则，又， 所以，即与的夹角为. 故选：C. 【例4.4.】 已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， . . . . . . 故选：C. 【例4.5.】 已知向量，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为向量， 所以. 所以向量夹角的余弦值为： 因为向量的夹角为钝角，所以 解得且（当时），所以实数的取值范围为. 故选：A. 考法5：与向量有关的最值（范围）问题 · 与系数有关的最值（范围） 方法提炼 此类问题的一般解题步骤是 第一步：利用向量的运算将问题转化为相应的等式关系； 第二步：运用基本不等式或函数的性质求其最值. 【例5.1.】 已知向量，，若且，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由题意得，，， 因，则 ，则， 因，则，等号成立时， 故的最小值为. 故答案为： 【例5.2.】 在正方形中，动点从点出发，经过，，到达，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系， 设，则， 当点在上时，设， 则，即，故， 当点在上时，设， 则，即，解得， 故， 当点在上时，设， 则，即，故 综上，的取值范围是. 故选：B 【例5.3.】 在中，，，，为内一点，且.若，则的最大值为 . 【答案】 【详解】    如图，因为，所以以为坐标原点， 方向为轴建立平面直角坐标系，则, 设,则， 过点作轴的垂线，垂足为，则， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 则， ，所以， 所以当，即时，有最大值为， 故答案为：. · 与数量积有关的最值（范围） 方法提炼 1. 数量积最值(范围)的解法： (1) 坐标法，通过建立直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数问题处理. (2) 定义法，运用向量数量积的定义，把两个向量的数量积转化为关于参数的函数，再利用基本不等式或函数的单调性等求解. 2. 极化恒等式：设为两个平面向量，则有恒等式. 如图所示， 在平行四边形中，，，则. , , 两式相减得. 【例5.4.】 在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题以点为坐标原点，为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 因为，E是线段中点， 所以， 而是线段上的动点， 从而可设， 所以点的坐标是， 所以， ， 所以当时，的最小值是. 故选：C. 【例5.5.】 在中，已知，且，则 ；若为线段的中点，点满足，且为线段上的动点，则的最小值为 . 【答案】 3 【详解】由，可得，所以， 又由，且， 因为，所以， 即，所以； 因为，所以为直角三角形， 以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则, 因为为线段的中点，可得， 又因为点满足，即为（靠近的三等分点），可得， 由为线段上的动点，可得设，其中， 则， 所以， 根据二次函数的性质得，当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：；. 【例5.6.】 已知菱形边长为1，且为线段的中点，若在线段上，且，则 ，点为线段上的动点，过点作的平行线交边于点，过点做的垂线交边于点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】如图所示，以为原点建立平面直角坐标系，则有、，    由，则， 则，则，， 则，，由， 即，则， 则，， 又在线段上，故有， 解得，即，； 设，， 则，由，则， 由，，则，则， 则，故， 则，，， 则 ， 则当时，有最小值. 故答案为：；. · 与模有关的最值（范围） 方法提炼 求向量模的最值(范围)的方法，通常有： (1) 代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，或通过建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示；需要构造不等式，利用基本不等式，三角函数，再用求最值的方法求解； (2) 几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，注意题目中所给的垂直、平行 ，以及其他数量关系，合理的转化，使得过程更加简单；结合动点表示的图形求解. 【例5.7.】 如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】由在直角梯形中．， 则，则以A为原点，为轴建立平面直角坐标系， 设，设，则， 故， 所以，故， 当且仅当即时取得等号， 即的最小值为4， 故答案为：4 【例5.8.】 已知不共线的向量，满足，，，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 即，又， 整理得. 设，则， 设，则， 所以，即点C在直线上； 设，由，得，即点B直线上， 而的几何意义为直线上的点B到直线上的点C的距离， 所以， 即的最小值为. 故选：D 【例5.9.】 已知平面向量满足，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可知,，故， 如图建立坐标系，，， 设，由可得： ， 所以的终点在以为圆心,1为半径的圆上， 所以，几何意义为到距离的2倍， 由儿何意义可知， 故选：D. · 与夹角有关的最值（范围） 方法提炼 求夹角的最值(范围)问题要根据夹角余弦值的表达式，采用基本不等式或函数的性质进行. 【例5.10.】 已知平面向量满足，，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，即， 因为，所以， 所以， 因为，所以． 故选：B. 拓展提升 考法6：平面向量与三角形的四心 方法提炼 设为所在平面上一点，内角所对的边分别为，则 (1) 为的外心 . (2) 为的重心 . (3) 为的垂心 . (4) 为的内心 . 【例6.1.】 已知点是的重心，，，，则 ． 【答案】 【详解】由于点是的重心，故， 故， 即， 故 ， 故答案为： 【例6.2.】 已知点O为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 即，所以在上，故的外接圆以为圆心，为直径， 所以为直角三角形，且，为中点， 因为向量在向量上的投影向量为， 故, 由于为锐角，所以 故选：B． 【例6.3.】 已知菱形ABCD的边长为1，，G是菱形ABCD内一点，若，则（　  ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】在菱形ABCD，菱形ABCD的边长为1，， 所以， 所以，则为等边三角形，因为， 所以，设点M为BC的中点，则，所以， 所以G，A，M三点共线，所以AM为BC的中线， 所以， 同理可得点AB，AC的中线过点G， 所以点G为的重心，故， 在等边中，M为BC的中点，则， 所以. 故选：A    【例6.4.】 在平面直角坐标系中，，，，点分别是的外心和垂心，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于关于原点对称，故在轴上， ，则中点为，易知, 因此直线的垂直平分线方程为， 令，则，故, 边上的高所在的直线方程为，故， 故， ， 故，且， 由可得， 由于，因此，解得， 故，解得， 故选：A 【例6.5.】 瑞士数学家欧拉在1765年提出定理：任意三角形的外心、重心和垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线也被称为欧拉线．已知在中，，，且，设的外心为O，重心为G，垂心为H，若，则实数 ； ． 【答案】 3 或 【详解】如图1，设中点为，，垂足为， 则，. 根据重心的性质可知， 所以有， 整理可得， 所以，，； 由已知在中，，，且， 根据正弦定理可得， . 又，所以有或. 当时，，则. 且由余弦定理可知， ， 代入可得，， 整理可得， 解得（舍去）， 所以. 如图1，，，，. 建立直角坐标系， 则，，，. 不妨设， 则，. 因为， 所以，， 即有， 解得，所以. 又，，， 所以. 所以，， 所以，. 又由欧拉定理可知，， 所以，； 当时，，则. 且由余弦定理可知， ， 代入可得，， 整理可得， 解得（舍去）， 所以. 如图1，，，，. 建立直角坐标系， 则，，，. 不妨设， 则，. 因为， 所以，， 即有， 解得，所以. 又，，， 所以. 所以，， 所以，. 又由欧拉定理可知，， 所以，. 故答案为：3；或. 【强化训练】 1. 已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 则，， 所以. 故选：B. 2. 在矩形中，，若，且，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【详解】由题设知，且，则， 所以，即. 故选：C 3. 已知向量 ，若 ，则 （     ） A．2 B． C．2 或 D．3 【答案】C 【详解】因为 ，所以 . 因为 ， 所以 . 因为 ，所以 ， 解得 或 ， 故选 ：C. 4. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：（m/s）），则真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 5. 已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】因为三点共线，所以存在实数，使，即， 又向量不共线，所以，整理，得， 由，所以， 当且仅当时，取等号，即的最小值为4. 故选：B． 6. 在中，向量，，若为锐角，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为锐角，则且与不共线． 由得，， 则，解得． 若与共线，则，即， 解得或，所以且，即x的取值范围是． 故选：A 7. （多选）已知为坐标原点，，，，则（   ） A．方向的单位向量为 B．若，则点的坐标为 C． D．在上的投影的数量为 【答案】BC 【详解】对于A.,，所以方向的单位向量为，故A错误； 对于B.设，由，则， 所以，所以，所以，故B正确； 对于C.，，， 所以，故C正确； 对于D.向量在方向上的投影数量，故D错误. 故选：BC. 8. （多选）如图1是一款家居装饰物——博古架，它始见于北宋宫廷、官邸.博古架是类似于书架式的木器，其每层形状不规则，前后均敞开，无板壁封挡，便于从各个位置观赏架上放置的器物.某博古架的部分示意图如图2中实线所示，网格中每个小正方形的边长为1，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．设Z为线段AK上任意一点，则的取值范围是 【答案】AD 【详解】以A为坐标原点，AD，AJ所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系. A选项：易知，，，，所以，， 则，所以，所以A正确. B选项：易知，，，， ，，所以，，， 所以，得，解得，，所以，所以B错误. C选项：由选项A，B知，则， ，，所以C错误. D选项：易知，，设，则，， 所以.因为，所以当时，取得最小值；当时，取得最大值40.所以的取值范围是，所以D正确. 故选：AD. 9. （多选）下列关于平面向量的说法中正确的是（    ） A．已知，点在直线上，且，则的坐标为； B．若是的外接圆圆心，则 C．若，且，则 D．若点是所在平面内一点，且，则是的垂心. 【答案】BD 【详解】对于A，设，则， 因为点在直线上，且， 所以或， 则或， 所以或，解得或， 所以或，故A错误； 对于B，如图，设为的中点，则， 则，故B正确； 对于C，当时，， 满足，则与不一定相等，故C错误； 对于D，因为， 所以，所以， 同理可得， 所以是的垂心，故D正确. 故选：BD. 10. （多选）在中，若，点在边上，点在边上，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于，，故正确； 对于，因为，所以，故错误； 对于，因为，所以为边上的高，的面积为，所以，故错误； 对于，因为，所以平分，即， 又，所以，所以，故正确． 故选：. 11. 已知平面向量若，则 【答案】 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 12. 已知点，点在线段的延长线上，且，则点P的坐标是 . 【答案】 【详解】因为点，点在线段的延长线上，且， 可得， 设，则，即 ， 解得，即点的坐标为. 故答案为：. 13. 如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系： 则，所以， 当时，有，即，此时的取值范围为， 当时，有，即，此时的取值范围为， 当时，有，即，此时的取值范围为， 当时，有，即，此时的取值范围为， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 14. 如图，在边长为的正方形中，，分别是边，上的两个动点，且，为的中点，，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】以为坐标原点，以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，设，，则． 由可得，所以可设，，． 因为，由可得，， 所以．设，， 则， 即当时，取最大值，最大值为． 故答案为：. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §6.2 平面向量的基本定理及坐标运算 目录 考法1：平面向量基本定理的应用 3 考法2：平面向量的坐标运算 4 考法3： 由向量的坐标表示求解共线、垂直问题 5  利用向量共线求参数 5  利用向量共线求向量或点的坐标 5  已知向量垂直求参数 6 考法4：由向量的坐标表示求解模、夹角问题 6 考法5：与向量有关的最值（范围）问题 7  与系数有关的最值（范围） 7  与数量积有关的最值（范围） 8  与模有关的最值（范围） 9  与夹角有关的最值（范围） 9 考法6：平面向量与三角形的四心 10 【强化训练】 11 1. 平面向量基本定理 如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2. 平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，设与轴、轴正方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底，对于平面内任一向量，有且仅有一个实数对，使得，则实数对叫作向量的坐标，记作. 3. 平面向量的直角坐标运算 (1) 向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设，则，. (2) 向量加法、减法、数乘运算及向量积 设，则 . 4. 平面向量相关量及关系的坐标表示 已知，为向量的夹角. (1) 模; (2) 的充要条件： ; (3) 夹角； (4) 的充要条件：； (5) 与的关系：（当且仅当时等号成立）. 考法1：平面向量基本定理的应用 方法提炼 1. 用基底表示其他向量.主要有以下三种方法： (1) 通过观察待求向量所在的三角形或平行四边形，利用三角形法则或平行四边形法则寻求向量之间的关系. (2) 把待求向量看成未知量，根据两个三点共线列出相应的方程，解方程即可. (3) 建立坐标系，根据向量的坐标运算求解. 2. 证明向量共线或解决几何相关问题的一般步骤：先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量形式，再通过向量的运算来证明共线或解决其他几何相关问题. 【例1.1.】 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ） A． B．1 C． D．7 【例1.2.】 在平面四边形ABCD中，，若，则（　　） A． B．2 C． D． 【例1.3.】 如图，在四边形ABCD中，，，，，，，则（    ）    A． B．2 C．3 D．6 【例1.4.】 我国历史文化悠久，中国象棋就是国人喜闻乐见的一种娱乐方式.不同棋子行的规则各不相同：马走日字象走田，车走直路炮翻山，即“马”只能由“日”字格子的顶点沿“日”字的斜线走到相对的另一个顶点，，…，，如图1.请据此完成填空：如图2，假设一匹马从给定的初始位置出发，且规定其只能向“右前方走”，则其运动到点所需的步数为 ；该马运动到点所有可能落点（不包括点）的个数为 . 考法2：平面向量的坐标运算 方法提炼 平面向量坐标运算的技巧 (1) 向量的坐标运算问题，关键是掌握运算法则及坐标运算的特点.一般地，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2) 解题过程中，常利用向量相等其横、纵坐标分别相等，列出方程(组)来进行求解. 【例2.1.】 已知向量满足，则 . 【例2.2.】 已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【例2.3.】 已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（    ） A． B． C． D． 考法3： 由向量的坐标表示求解共线、垂直问题 方法提炼 1. 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1) 若非零向量，则的充要条件是. (2) 在求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为． 2. 向量垂直的充要条件 . · 利用向量共线求参数 【例3.1.】 已知向量，若，则（    ） A．8 B．4 C．2 D． 【例3.2.】 已知向量，且，则实数（   ） A． B． C．2 D．4 【例3.3.】 已知向量，，.若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． · 利用向量共线求向量或点的坐标 【例3.4.】 已知，若点D满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例3.5.】 已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（    ） A． B．或 C．或 D． 【例3.6.】 已知，点P在直线上，且，则点P的坐标是 ． · 已知向量垂直求参数 【例3.7.】 已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【例3.8.】 已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【例3.9.】 在平面直角坐标系中，已知、，，若，则实数的值为 ． 考法4：由向量的坐标表示求解模、夹角问题 方法提炼 1. 求平面向量的模的方法 (1) 公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； (2) 几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解． 2. 求平面向量的夹角的方法 (1) 定义法：. (2) 利用向量的线性运算和图形的几何位置关系求解. 【例4.1.】 已知向量，，若，则实数（    ） A． B．或 C．或1 D． 【例4.2.】 已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 已知向量，，设，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【例4.4.】 已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【例4.5.】 已知向量，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考法5：与向量有关的最值（范围）问题 · 与系数有关的最值（范围） 方法提炼 此类问题的一般解题步骤是 第一步：利用向量的运算将问题转化为相应的等式关系； 第二步：运用基本不等式或函数的性质求其最值. 【例5.1.】 已知向量，，若且，则的最小值为 . 【例5.2.】 在正方形中，动点从点出发，经过，，到达，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5.3.】 在中，，，，为内一点，且.若，则的最大值为 . · 与数量积有关的最值（范围） 方法提炼 1. 数量积最值(范围)的解法： (1) 坐标法，通过建立直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数问题处理. (2) 定义法，运用向量数量积的定义，把两个向量的数量积转化为关于参数的函数，再利用基本不等式或函数的单调性等求解. 2. 极化恒等式：设为两个平面向量，则有恒等式. 如图所示， 在平行四边形中，，，则. , , 两式相减得. 【例5.4.】 在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例5.5.】 在中，已知，且，则 ；若为线段的中点，点满足，且为线段上的动点，则的最小值为 . 【例5.6.】 已知菱形边长为1，且为线段的中点，若在线段上，且，则 ，点为线段上的动点，过点作的平行线交边于点，过点做的垂线交边于点，则的最小值为 . · 与模有关的最值（范围） 方法提炼 求向量模的最值(范围)的方法，通常有： (1) 代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，或通过建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示；需要构造不等式，利用基本不等式，三角函数，再用求最值的方法求解； (2) 几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，注意题目中所给的垂直、平行 ，以及其他数量关系，合理的转化，使得过程更加简单；结合动点表示的图形求解. 【例5.7.】 如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为 ． 【例5.8.】 已知不共线的向量，满足，，，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【例5.9.】 已知平面向量满足，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． · 与夹角有关的最值（范围） 方法提炼 求夹角的最值(范围)问题要根据夹角余弦值的表达式，采用基本不等式或函数的性质进行. 【例5.10.】 已知平面向量满足，，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 拓展提升 考法6：平面向量与三角形的四心 方法提炼 设为所在平面上一点，内角所对的边分别为，则 (1) 为的外心 . (2) 为的重心 . (3) 为的垂心 . (4) 为的内心 . 【例6.1.】 已知点是的重心，，，，则 ． 【例6.2.】 已知点O为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例6.3.】 已知菱形ABCD的边长为1，，G是菱形ABCD内一点，若，则（　  ） A． B．1 C． D．2 【例6.4.】 在平面直角坐标系中，，，，点分别是的外心和垂心，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例6.5.】 瑞士数学家欧拉在1765年提出定理：任意三角形的外心、重心和垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线也被称为欧拉线．已知在中，，，且，设的外心为O，重心为G，垂心为H，若，则实数 ； ． 【强化训练】 1. 已知向量，则（    ） A． B． C． D． 2. 在矩形中，，若，且，则（    ） A． B． C． D．5 3. 已知向量 ，若 ，则 （     ） A．2 B． C．2 或 D．3 4. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：（m/s）），则真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 5. 已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 6. 在中，向量，，若为锐角，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7. （多选）已知为坐标原点，，，，则（   ） A．方向的单位向量为 B．若，则点的坐标为 C． D．在上的投影的数量为 8. （多选）如图1是一款家居装饰物——博古架，它始见于北宋宫廷、官邸.博古架是类似于书架式的木器，其每层形状不规则，前后均敞开，无板壁封挡，便于从各个位置观赏架上放置的器物.某博古架的部分示意图如图2中实线所示，网格中每个小正方形的边长为1，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．设Z为线段AK上任意一点，则的取值范围是 9. （多选）下列关于平面向量的说法中正确的是（    ） A．已知，点在直线上，且，则的坐标为； B．若是的外接圆圆心，则 C．若，且，则 D．若点是所在平面内一点，且，则是的垂心. 10. （多选）在中，若，点在边上，点在边上，且，，则（    ） A． B． C． D． 11. 已知平面向量若，则 12. 已知点，点在线段的延长线上，且，则点P的坐标是 . 13. 如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，，则的取值范围为 ． 14. 如图，在边长为的正方形中，，分别是边，上的两个动点，且，为的中点，，则的最大值是 ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$