6.1平面向量的概念和平面向量的运算讲义-2026届高三数学一轮专题复习

§6.1 平面向量的概念和平面向量的运算 目录 知识点一：平面向量的概念及线性运算 2 考法1：向量有关概念的辨析 3 考法2： 向量线性运算 4 考法3： 共线向量定理及其应用 5 知识点二：平面向量的数量积 6 考法4： 平面向量的数量积运算 7 考法5：平面向量的概念与运算的综合应用 8  已知向量的垂直关系求参 8  与模相关的问题 8  求向量夹角 10 【强化训练】 10 知识点一：平面向量的概念及线性运算 1. 向量的有关概念 (1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，可以用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的长度(或称模)，记作. (2) 零向量：长度为0的向量，记作.规定：与任一向量平行. (3) 单位向量：长度等于1个单位长度的向量，常记作. (4) 平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量.向量平行，记作.向量的平行不具有传递性. (5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量.相等向量具有传递性. (6) 相反向量：长度相等且方向相反的向量. 2. 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1) 交换律： (2) 结合律： 减法 求两个向量差的运算 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 (1) ； (2) 当时，与的方向相同;当时，与的方向相反;当时，. 3. 向量共线定理 如果且，则；反之，如果且，则一定存在唯一一个实数，使. · 推论：（1）三点共线共线. （2） 向量中，三个终点共线存在实数，使得，且. · 等和(高)线定理 (1) 由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若，则，由与相似，必存在一个常数，，使得，则，又，；反之也成立. (2)平面内一组基底及任一向量，，若点 在直线上或在平行于的直线上，则(定值)；反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和(高)线. 4. 向量的三角形公式 考法1：向量有关概念的辨析 方法提炼 在平面向量的有关概念的辨析上，应该要加倍仔细，多注意举反例，要多思考零向量和单位向量这些特殊向量. 【例1.1.】 （多选）下列说法错误的是（    ） A．向量可以用有向线段表示 B．非零向量与非零向量共线，则与的方向相同或相反 C．向量与向量共线，则，，，四点在一条直线上 D．如果，那么 【例1.2.】 （多选）下列说法不正确的是（    ） A．若 ，则与的方向相同或者相反 B．若，为非零向量，且 ，则与共线 C．若 ，则存在唯一的实数 使得 D．若 是两个单位向量，且 ，则 【例1.3.】 （多选）有关平面向量的说法，下列错误的是（    ） A．若，，则 B．若与共线且模长相等，则 C．若且与方向相同，则 D．恒成立 考法2： 向量线性运算 方法提炼 解题策略： (1) 常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连向量的和用三角形法则. (2) 找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解. (3) 向量的数乘运算,主要利用运算法则和运算律求解,在进行向量的数乘运算时,可类比于实数运算,遵循括号内运算优先原则,将相同的向量看成“同类项”进行合并,结果仍是一个向量. 【例2.1.】 在平行四边形中，点E是边上的四等分点（靠近点D），则（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 在中，已知，且，则 ． 【例2.3.】 在中，点是的中点，点在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 已知在中，点D满足，设，则（   ） A．1 B． C． D．2 考法3： 共线向量定理及其应用 方法提炼 利用共线向量定理解题的策略 (1) 是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2) 当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即三点共线⇔共线. (3) 若与不共线且，则. (4) (为实数)，若三点共线(不在直线上)，则. 【例3.1.】 已知，为平面内一组基底，，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（   ） A．2 B． C．0 D．1 【例3.2.】 在中，，点E在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例3.4.】 在平行四边形 中， 与 相交于 ，若 ， ，则（    ） A． B． C． D． 知识点二：平面向量的数量积 1. 平面向量数量积 (1) 数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. (2) 平面向量数量积的几何意义 设是两个非零向量，它们的夹角是，与是方向相同的单位向量， ，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为,，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量，记为. 2. 数量积的运算律 (1) . (2) ． (3) . 考法4： 平面向量的数量积运算 方法提炼 1. 求向量的数量积有以下两种思路： (1) 若两个向量共起点,则两向量的夹角直接可得,根据定义即可求得数量积;若两向量的起点不同,则需要通过平移使它们的起点重合然后再计算. (2) 根据图形之间的关系,用模和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量,然后再根据平面向量的数量积的定义进行计算求解. 2. 根据向量的数量积求参的方法 若已知两平面向量的数量积，则根据坐标公式或定义列出含参数的方程，再解方程即可. 【例4.1.】 在等边中，，点M为AB的中点，点N满足，则（   ） A． B． C． D． 【例4.2.】 在中，，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【例4.3.】 中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 【例4.4.】 在边长为1的菱形ABCD中，，记，，点M是线段BD上一点，点N是线段DC上一点，且A，M，N三点共线． （1）若，用，表示； （2）若，求的值． 【例4.5.】 已知，向量，且的最小值为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例4.6.】 是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考法5：平面向量的概念与运算的综合应用 · 已知向量的垂直关系求参 方法提炼 已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值的步骤:第一,根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式;第二,联立关系式求解参数. 【例5.1.】 已知向量，向量在向量上的投影的数量为．若，则实数的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【例5.2.】 已知向量的夹角为，且，若，则（    ） A． B． C． D． · 与模相关的问题 方法提炼 1. 求向量的模,解决此类问题主要是模的计算公式. 2. 求模的最值或取值范围时的常用技巧： (1) 解题时要灵活运用不等式. (2) 常利用“平方技巧”找到向量的模的表达式,然后利用函数思想求最值,有时也常与三角函数知识结合求最值. (3) 要充分利用平面向量“形”的特征,充分挖掘向量的模所表示的几何意义,从图形上观察分析出模的最值. 【例5.3.】 如图，在梯形中，，，，，点M满足，点N满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．9 D．12 【例5.4.】 已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【例5.5.】 若平面向量，，满足，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例5.6.】 已知，，且对任意的，恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【例5.7.】 已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． · 求向量夹角 方法提炼 1. 求夹角的常用方法: (1) 利用夹角公式. (2) 利用向量的线性运算和图形的几何位置关系求解. 2. 根据夹角求参数值的常用方法: 借助题设条件,逆用公式,由构建关于参数的方程,进而求出参数. 【例5.8.】 已知非零向量与不共线，且满足，与的夹角为，则向量与向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【例5.9.】 在四边形ABCD中，，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【例5.10.】 已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【强化训练】 1. 关于非零向量， ，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则，不是共线向量 2. 已知向量不共线，与共线，则实数的值为（    ） A． B．2 C．6 D． 3. 在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 4. 在中，，点和分别在和边上，且满足，若，则（    ） A． B．10 C．5 D． 5. 已知非零向量，满足与夹角的余弦值为，若，则实数（  ） A． B． C． D． 6. 如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 7. 在中，，过点的直线分别交直线、于点、，且，其中，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8. （多选）已知等边的边长为4，点D，E满足，，与CD交于点，则（    ） A． B． C． D． 9. （多选）如图，边长为2的正六边形，点是内部（包括边界）的动点，，，.（    ）    A． B．存在点，使 C．若，则点的轨迹长度为2 D．的最小值为   10. 已知向量满足，，且，则 . 11. 已知在梯形中，，若为边上靠近的三等分点，且，则 . 12. 如图，在中，点D，E在边BC上，且，点F，M分别在线段AB，AD上，且，直线FM交AE于点G，且，则 ．若直线MC交AE于点N且是边长为1的等边三角形，则 ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §6.1 平面向量的概念和平面向量的运算 目录 知识点一：平面向量的概念及线性运算 2 考法1：向量有关概念的辨析 3 考法2： 向量线性运算 5 考法3： 共线向量定理及其应用 7 知识点二：平面向量的数量积 10 考法4： 平面向量的数量积运算 10 考法5：平面向量的概念与运算的综合应用 15  已知向量的垂直关系求参 15  与模相关的问题 16  求向量夹角 19 【强化训练】 22 知识点一：平面向量的概念及线性运算 1. 向量的有关概念 (1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，可以用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的长度(或称模)，记作. (2) 零向量：长度为0的向量，记作.规定：与任一向量平行. (3) 单位向量：长度等于1个单位长度的向量，常记作. (4) 平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量.向量平行，记作.向量的平行不具有传递性. (5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量.相等向量具有传递性. (6) 相反向量：长度相等且方向相反的向量. 2. 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1) 交换律： (2) 结合律： 减法 求两个向量差的运算 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 (1) ； (2) 当时，与的方向相同;当时，与的方向相反;当时，. 3. 向量共线定理 如果且，则；反之，如果且，则一定存在唯一一个实数，使. · 推论：（1）三点共线共线. （2） 向量中，三个终点共线存在实数，使得，且. · 等和(高)线定理 (1) 由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若，则，由与相似，必存在一个常数，，使得，则，又，；反之也成立. (2)平面内一组基底及任一向量，，若点 在直线上或在平行于的直线上，则(定值)；反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和(高)线. 4. 向量的三角形公式 考法1：向量有关概念的辨析 方法提炼 在平面向量的有关概念的辨析上，应该要加倍仔细，多注意举反例，要多思考零向量和单位向量这些特殊向量. 【例1.1.】 （多选）下列说法错误的是（    ） A．向量可以用有向线段表示 B．非零向量与非零向量共线，则与的方向相同或相反 C．向量与向量共线，则，，，四点在一条直线上 D．如果，那么 【答案】CD 【详解】对于A，可以用有向线段表示向量，故A不符合题意； 对于B，非零向量与非零向量共线即平行，则与的方向相同或相反，故B不符合题意； 对于C，例如在平行四边形中，向量与向量共线， 但，，，四点不在一条直线上，故C符合题意； 对于D，如果，那么，但，故D符合题意. 故选：CD. 【例1.2.】 （多选）下列说法不正确的是（    ） A．若 ，则与的方向相同或者相反 B．若，为非零向量，且 ，则与共线 C．若 ，则存在唯一的实数 使得 D．若 是两个单位向量，且 ，则 【答案】ACD 【详解】对A，若为零向量时，与的方向不确定，故A错误； 对B，分别表示，方向上的单位向量，根据题意可知B正确； 对C，若为零向量，不为零向量时，不存在实数 使得 ，故C错误； 对D，由， 所以，故D错误. 故选：ACD 【例1.3.】 （多选）有关平面向量的说法，下列错误的是（    ） A．若，，则 B．若与共线且模长相等，则 C．若且与方向相同，则 D．恒成立 【答案】ABC 【详解】对于A选项，取，满足，，但、不一定共线，A错； 对于B选项，若与共线且模长相等，则或，B错； 对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错； 对于D选项，恒成立，D对. 故选：ABC. 考法2： 向量线性运算 方法提炼 解题策略： (1) 常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连向量的和用三角形法则. (2) 找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解. (3) 向量的数乘运算,主要利用运算法则和运算律求解,在进行向量的数乘运算时,可类比于实数运算,遵循括号内运算优先原则,将相同的向量看成“同类项”进行合并,结果仍是一个向量. 【例2.1.】 在平行四边形中，点E是边上的四等分点（靠近点D），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意有，所以， 故选：A. 【例2.2.】 在中，已知，且，则 ． 【答案】4 【详解】因为， 则带入，得， 整理得．又， 所以，解得． 故答案为:4. 【例2.3.】 在中，点是的中点，点在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意点是的中点，所以， 又，所以， 解得， 又因为点在上， 所以，解得或（舍去）. 故选：B. 【例2.4.】 已知在中，点D满足，设，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】由，可得， 则 则 故， 所以 故选：C. 考法3： 共线向量定理及其应用 方法提炼 利用共线向量定理解题的策略 (1) 是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2) 当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即三点共线⇔共线. (3) 若与不共线且，则. (4) (为实数)，若三点共线(不在直线上)，则. 【例3.1.】 已知，为平面内一组基底，，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（   ） A．2 B． C．0 D．1 【答案】A 【详解】，， 因为与共线，， 故选：A． 【例3.2.】 在中，，点E在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 则 ， 因为三点共线，所以，解得. 故选：C 【例3.3.】 如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则， 即，所以，， 又因为，，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，，且、不共线， 所以，，，故，因此，. 故选：C. 【例3.4.】 在平行四边形 中， 与 相交于 ，若 ， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为三点共线，所以可设， 所以， 因为三点共线，所以可设， 因为 ，，所以， 所以， 所以， 即，解得，， 所以， 故选：A. 知识点二：平面向量的数量积 1. 平面向量数量积 (1) 数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. (2) 平面向量数量积的几何意义 设是两个非零向量，它们的夹角是，与是方向相同的单位向量， ，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为,，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量，记为. 2. 数量积的运算律 (1) . (2) ． (3) . 考法4： 平面向量的数量积运算 方法提炼 1. 求向量的数量积有以下两种思路： (1) 若两个向量共起点,则两向量的夹角直接可得,根据定义即可求得数量积;若两向量的起点不同,则需要通过平移使它们的起点重合然后再计算. (2) 根据图形之间的关系,用模和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量,然后再根据平面向量的数量积的定义进行计算求解. 2. 根据向量的数量积求参的方法 若已知两平面向量的数量积，则根据坐标公式或定义列出含参数的方程，再解方程即可. 【例4.1.】 在等边中，，点M为AB的中点，点N满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】    在等边中，， 由于点M为AB的中点，点N满足， 所以. 故选：D. 【例4.2.】 在中，，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 即， 所以，即， 因为，则， 则， 所以. 故选：C. 【例4.3.】 中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 【答案】 ； 【详解】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 【例4.4.】 在边长为1的菱形ABCD中，，记，，点M是线段BD上一点，点N是线段DC上一点，且A，M，N三点共线． （1）若，用，表示； （2）若，求的值． 【答案】 （1） ；（2） 【详解】（1）设，，则， 若，则， 因为B，M，D三点共线，则，得， 所以； （2）设，，则， 又B，M，D三点共线，则，得， 因为菱形ABCD的边长为1，，，， 所以，． 又， 所以， 整理，得， 解得，或（舍去）．故． 故答案为：、 【例4.5.】 已知，向量，且的最小值为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】延长至，使，则， 所以共线，又的最小值为，且， 所以为等腰三角形，当且仅当时取得最小值，则，    所以是等边三角形，取的中点，则，当且仅当时取等号， 所以，即的最小值为. 故选：C 【例4.6.】 是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，（且）， 则（且）， 则在线段上，如图所示，    当与重合时，在上的投影向量的长度取得最大值，最大值为； 当与重合时，在上的投影向量的长度取得最小值，最小值为； 则在上的投影向量的长度的取值范围是． 故选：B. 考法5：平面向量的概念与运算的综合应用 · 已知向量的垂直关系求参 方法提炼 已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值的步骤:第一,根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式;第二,联立关系式求解参数. 【例5.1.】 已知向量，向量在向量上的投影的数量为．若，则实数的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因为向量在向量上的投影的数量为， 所以，即， 又，所以， 又，所以， 所以，解得， 故选：A 【例5.2.】 已知向量的夹角为，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以，即， 因为，向量的夹角为， 所以， 所以，即. 故选：A. · 与模相关的问题 方法提炼 1. 求向量的模,解决此类问题主要是模的计算公式. 2. 求模的最值或取值范围时的常用技巧： (1) 解题时要灵活运用不等式. (2) 常利用“平方技巧”找到向量的模的表达式,然后利用函数思想求最值,有时也常与三角函数知识结合求最值. (3) 要充分利用平面向量“形”的特征,充分挖掘向量的模所表示的几何意义,从图形上观察分析出模的最值. 【例5.3.】 如图，在梯形中，，，，，点M满足，点N满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．9 D．12 【答案】A 【详解】由题可知， ， 所以， 所以， 解得或（舍去）． 故选：A 【例5.4.】 已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由题可得，，， 因为，，且， 所以， ，解得. 故选：B 【例5.5.】 若平面向量，，满足，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】， 当与同向时取等号， 故选：B 【例5.6.】 已知，，且对任意的，恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】如图， 设，则恒成立，等价于恒成立， 从而有， 故． 设，，则． 作点E关于直线的对称点F，连接由题可知，，, 则， 当且仅当三点共线时取等号． 故选：D. 【例5.7.】 已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，设，，，点在圆上， 点在圆上，则，，由可得：， 作矩形, 则. 下证： . 设交于点，连接,因则 ， 同理可得：，两式左右分别相加得： ， . 即，故. 又，因， 即，故有． 故选:C． · 求向量夹角 方法提炼 1. 求夹角的常用方法: (1) 利用夹角公式. (2) 利用向量的线性运算和图形的几何位置关系求解. 2. 根据夹角求参数值的常用方法: 借助题设条件,逆用公式,由构建关于参数的方程,进而求出参数. 【例5.8.】 已知非零向量与不共线，且满足，与的夹角为，则向量与向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设向量与向量的夹角为，, 设，则， 则， 与的夹角为，所以， 则，即， 可得,解得（舍）或， 则． 故选：A． 【例5.9.】 在四边形ABCD中，，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以四边形ABCD为平行四边形. 因为，所以四边形ABCD的对角线相等， 综上，四边形ABCD为矩形. 因为，所以，得， 故与的夹角为. 故选：D 【例5.10.】 已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为,所以, 即,即,所以. 如图,设, 由题知,是等腰直角三角形, AB边上的高, 所以, , . 故选:D. 【强化训练】 1. 关于非零向量， ，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则，不是共线向量 【答案】C 【详解】对于A，向量不能比较大小，故A错； 对于B，向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故B错； 对于C，若，由向量相等的条件可得，故C正确； 对于D，不相等的向量也可能是共线向量，故D错. 故选：C． 2. 已知向量不共线，与共线，则实数的值为（    ） A． B．2 C．6 D． 【答案】A 【详解】因为与共线， 所以， 解得：， 故选：A 3. 在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】 因为点是线段的中点,所以， 又， 所以， 所以， 故选：C 4. 在中，，点和分别在和边上，且满足，若，则（    ） A． B．10 C．5 D． 【答案】B 【详解】设 点为线段的中点， 所以点为线段上靠近点的五等分点， ， . 故选：B. 5. 已知非零向量，满足与夹角的余弦值为，若，则实数（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 因为与夹角的余弦值为，且， 所以，即，解得. 故选：A. 6. 如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以 所以， 因为，所以， 即， 因为三点共线，所以，解得， 所以， 而, 所以, 即. 故选：D. 7. 在中，，过点的直线分别交直线、于点、，且，其中，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示： 因为，易知， 又，所以， 易知三点共线，利用共线定理可得， 又，， 所以； 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 8. （多选）已知等边的边长为4，点D，E满足，，与CD交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】 对于A选项，，故A正确； 对于B选项，因为为等边三角形，，为中点，所以， 所以，即，所以 ，故B正确； 对于C选项，设， 由（1）得，所以， 又三点共线，所以，解得，所以为上靠近点的四等分点，故C错误； 对于D，，设，则， 所以，又三点共线，所以，解得， 所以为中点，所以，故D正确， 故选：ABD. 9. （多选）如图，边长为2的正六边形，点是内部（包括边界）的动点，，，.（    ）    A． B．存在点，使 C．若，则点的轨迹长度为2 D．的最小值为 【答案】AD 【详解】设为正六边形的中心， 根据正六边形的性质可得且四边形均为菱形， ，故A正确， 假设存在存在点，使，则,其中点为以为邻边作平行四边形的顶点， 所以在直线上，这与点是内部（包括边界）的动点矛盾，故B错误， 当时，， 取,则,所以点的轨迹为线段, 其中分别为过点作与的交点， 由于为的中点，所以,故点的轨迹长度为1，C错误， 由于, , 过作于，则,所以此时， 由于分别为上的分量，且点点是内部（包括边界）的动点，所以 当位于时，此时同时最小，故的最小值为 故选：AD    10. 已知向量满足，，且，则 . 【答案】 【详解】. 故答案为：. 11. 已知在梯形中，，若为边上靠近的三等分点，且，则 . 【答案】 【详解】如图所示： 因为在梯形中，，若为边上靠近的三等分点， 所以, ， 所以. 又因为， 则. 故答案为： 12. 如图，在中，点D，E在边BC上，且，点F，M分别在线段AB，AD上，且，直线FM交AE于点G，且，则 ．若直线MC交AE于点N且是边长为1的等边三角形，则 ． 【答案】 / 【详解】由题设 ， 又三点共线，则，可得， 如下图，延长交于， 由， 若，则，而三点共线， 所以，即， 由， 分别过作，交于， 若，则，， 所以，， 即，， 综上，，则，为边长为1的正三角形， 所以. 故答案为：， ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$