平面向量的概念及线性运算 讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量的概念、线性运算及共线定理等核心考点，按“概念-运算-应用”逻辑梳理知识体系，通过考点精析、方法归纳、题型突破及分层训练，帮助学生构建完整知识网络，突破向量几何意义理解与线性运算应用难点。 资料以几何直观与逻辑推理为核心，设计“概念辨析-法则应用-定理迁移”三阶教学活动，如结合共线定理推导三点共线条件，培养学生数学思维。分层练习覆盖基础到综合，助力教师精准把控复习节奏，提升学生解题效率与应考能力。

2026年高考数学一轮复习 讲义：平面向量的概念及线性运算 知识点1 平行的向量概念 1．向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注：①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法:①字母表示法：如等. (3)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 注：①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定.②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 知识点2 相等向量与共线向量 1．向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线. 注：①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系 (1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等. (2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点. (3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等. 3．平行向量有关概念的三个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆. 知识点3 平面向量线性运算 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量 加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加：为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 2．向量加法的运算律 (1)交换律：；(2)结合律：. 3．向量的减法运算 (1)相反向量：我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是零向量. (2)向量减法的定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以 表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 4．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①；②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③ (+)=+. 特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有( )=. 5．平面向量线性运算问题的求解思路： (1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 知识点4 向量共线定理 1．向量共线定理 (1)向量共线定理：向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化 成关于,的方程()=-()，由于,不共线，则解方程组即可. 2．利用共线向量定理解题的策略 (1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线. (3)若与不共线且，则. (4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 知识点5 平面向量线性运算问题及其解题策略 1．平面向量线性运算问题的求解思路： (1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 2．向量线性运算的含参问题的解题策略： 与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值. 【注】 1．中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则. 2．(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 3．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件. 【题型1 平面向量的基本概念】 【例1】下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【解题思路】根据向量的相关概空可判断AC的真假；根据零向量的概念可判断B的真假，根据共线向量的概念可判断D的真假. 【解答过程】对A，由，不能得到方向相同，所以未必成立，故A错误； 对B：零向量的方向是任意的，故B错误； 对C：根据相等向量的概念，C正确； 对D：共线向量是指方向相同或相反的向量，故D错误. 故选：C. 【变式1-1】下列向量的概念错误的是（   ） A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B．零向量和任何向量都是共线向量 C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D．，，则 【答案】D 【解题思路】根据零向量，相等向量，共线向量的定义即可求解. 【解答过程】对于A, 零向量的长度为0，且方向是任意的，故A正确， 对于B，规定零向量与任意向量共线，故B正确， 对于C，相等向量的模长和方向都相同，故相等向量一定是共线向量，但共线向量是方向相同或者相反的两个向量，模长不一定相等，故共线向量不一定相等，C正确， 对于D，当为零向量时，此时不一定能得到，故D错误， 故选：D. 【变式1-2】下列说法正确的是（   ） A．若为单位向量，则 B．若为平行向量，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解题思路】由向量相等的概念进行判断即可. 【解答过程】由向量相等的概念可知 且方向相同. 对A：为单位向量可得，但方向未必相同，故未必成立，故A错误； 对B：为平行向量，不能说明，也不能说明方向相同，所以不能说明，故B错误； 对C：仅，不能说明，故C错误； 对D：若，则正确，故D正确. 故选：D. 【变式1-3】以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若是共线的单位向量，则 D．若，则不是共线向量 【答案】A 【解题思路】对 A，由相等向量的定义判断；对B，举反例时，可判断；对C，由共线向量的定义判断；对D，由相等向量和共线向量的定义判断. 【解答过程】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则不一定成立，故B错误； 对于C，若是共线的单位向量，则或，故C错误； 对于D，若，则是共线向量，故D错误. 故选：A. 【题型2 向量的几何表示】 【例2】下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】C 【解题思路】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 【解答过程】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误. 故选：C. 【变式2-1】下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】（1）由向量的几何表示判断；（2）（3）（4）根据对零向量的规定判断. 【解答过程】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误； （2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误； （3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确； （4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确． 故选：B. 【变式2-2】在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】根据，可得，进一步得出答案. 【解答过程】如图，连接AC， 由，得. 因为为半圆上的点，所以， 所以． 故选：A. 【变式2-3】下列说法错误的是（    ） A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】B 【解题思路】根据向量的定义，相反向量，单位向量，模的定义，判断选项. 【解答过程】和长度相等，方向相反，故A正确； 单位向量的方向不确定，故起点相同时，终点不一定相同，故B错误； 向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C正确； 向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D正确． 故选：B. 【题型3 向量加、减法的几何意义】 【例3-1】四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【解题思路】根据向量的减法可得，进而分析求解即可. 【解答过程】因为，则，即， 可知两边平行且相等，所以四边形是平行四边形， 但没有足够条件判断是否为矩形、菱形或正方形，故ABC错误，D正确. 故选：D. 【例3-2】向量，化简后等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用平面向量的加法与减法可化简所得向量式. 【解答过程】. 故选：D. 【例3-3】下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案. 【解答过程】A：，不符合题意； B：因为，， 若，即，可得， 即点与点重合，显然这不一定成立， 所以与不一定相等，符合题意； C：，不符合题意； D：，不符合题意； 故选：B. 【变式3-1】在基底下，向量，则在下列图中，能正确表示的是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【解题思路】根据图象，结合数乘向量以及向量加减法的几何意义，即可得出答案. 【解答过程】由图象可知，A选项，； B选项，； C选项，； D选项，． 故选：D. 【变式3-2】如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据平面向量的线性运算可得结果. 【解答过程】∵ ， ∴. 故选：A. 【变式3-3】在平行四边形中，为线段的中点，且，则（    ） A．为线段的中点 B．为线段的中点 C．为线段的中点 D．为线段的中点 【答案】C 【解题思路】利用平面向量的减法法则结合给定条件得到，结合平行四边形性质和为线段的中点得到，进而求出结果即可. 【解答过程】如图，在平行四边形中，由向量的减法法则得， 因为，所以， 因为为线段的中点，所以， 由平行四边形性质得，故， 则为线段的中点，故C正确. 故选：C. 【变式3-4】等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量减法原则，以及相反向量的定义，即可得出结果. 【解答过程】, 故选：C. 【变式3-5】如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据平面向量线性运算法则及平行四边形的性质计算可得. 【解答过程】根据向量加法的平行四边形法则知，故A正确； 根据向量减法的三角形法则知，故B正确； ，故C错误； ，故D正确． 故选：C． 【题型4 向量的线性运算】 【例4】在中，是边上的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据平面向量的线性运算求解即可. 【解答过程】因为是边上的中点， 所以，即. 故选：A. 【变式4-1】在所在平面内，点满足，记，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由向量的线性运算法则即可算得结果. 【解答过程】由向量的线性运算可知. 故选：C. 【变式4-2】在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由向量的加减法，和数乘运算法则直接求解即可. 【解答过程】因为是对角线上靠近点的三等分点， 所以， 则. 故选：A. 【变式4-3】在平行四边形 中， 与 相交于 ，若 ， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由三点共线，则可设，由三点共线，则可设，然后根据题意都用表示，从而可求出的值，进而可求得答案 【解答过程】 因为三点共线，所以可设， 所以， 因为三点共线，所以可设， 因为 ，，所以， 所以， 所以， 即，解得，， 所以， 故选：A. 【题型5 根据向量线性运算求参数】 【例5-1】在中，点是的中点，点在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意，，根据点在上，即可列方程求解. 【解答过程】由题意点是的中点，所以， 又，所以， 解得， 又因为点在上， 所以，解得或（舍去）. 故选：B. 【例5-2】在正六边形中，，若，则（    ） A． B．3 C． D． 【解题思路】根据向量的线性运算法则和运算律求解即可. 【解答过程】 ， 所以，所以. 故选：D. 【例5-3】在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足，若，则 1 . 【解题思路】 利用向量线性运算求得，与题干对照即可求解. 【解答过程】 ，则，， 所以. 故答案为：1. 【变式5-1】在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可. 【解答过程】由题可知，，, 所以有，所以，得. 故选：C. 【变式5-2】如图，在中，是边的中点，是上一点，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，根据图形由向量的加法法则运算即可． 【解答过程】设，因为是边的中点，所以， 所以， ， 又，所以，解得． 故选：A． 【变式5-3】在中，，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将向量看作基底，利用向量的加减法法则以及数乘的运算法则，得到 即可. 【解答过程】依题意，， 所以， 又因为， 所以 ， 所以，， 所以，，，，只有选项C正确； 故选：C． 【变式5-4】在中， D为AC上一点且满足 若P为BD的中点，且满足 则的值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据平面向量的线性运算计算即可. 【解答过程】 因为，所以， 则， 所以，，. 故选：D. 【变式5-5】如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F为BE的中点，若，则 ． 【解题思路】利用平面向量的线性运算计算即可. 【解答过程】 ， 所以，，. 故答案为：. 【题型6 向量共线定理及其应用】 【例6-1】已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【解题思路】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线. 【解答过程】对于A，，与不共线，A不正确； 对于B，，，则与不共线，B不正确； 对于C，，，则与不共线，C不正确； 对于D，，即 ，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确． 故选：D． 【例6-2】已知，是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（   ） A． B． C． D．6 【解题思路】利用共线向量定理列式计算即得. 【解答过程】由A，B，C三点共线，得，共线， 设，而，， 则，又，是平面内两个不共线向量，因此，， 所以. 故选：C. 【例6-3】如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据，结合平面向量的减法可得出，结合，，可得出，利用、、三点共线，可求出的值. 【解答过程】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则， 即，所以，， 又因为，，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，，且、不共线， 所以，，，故，因此，. 故选：C. 【变式6-1】已知与为非零向量，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案. 【解答过程】由题意知，三点共线，故, 且共线， 故不妨设，则， 所以，解得， 故选：D. 【变式6-2】已知，，，则共线的三点为（   ） A．B，C，D B．A，B，C C．A，C，D D．A，B，D 【解题思路】A选项，设，则，无解，不满足共线定理，A错误；BC选项，方法同A，得到BC错误；D选项，计算出，D正确. 【解答过程】A选项，，， 令，则，无解，不满足共线定理，A错误； B选项，，， 令，则，无解，不满足共线定理，B错误； C选项，， ， 令，则，无解， ，不满足共线定理，C错误； D选项，，故三点共线，D正确． 故选：D. 【变式6-3】已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【解题思路】结合向量的线性运算，逐项判断向量共线得解. 【解答过程】对A，因为，则、、三点不共线，故A错误； 对B，因为，则、、三点不共线，故B错误； 对C，因为，则、、三点共线，则C正确； 对D，，因为，则、、三点不共线. 故选：C． 过关测试 1．关于非零向量,，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则，不是共线向量 【答案】C 【解题思路】由向量的模长，共线，相等的性质逐项判断即可. 【解答过程】对于A，向量不能比较大小，故A错； 对于B，向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故B错； 对于C，若，由向量相等的条件可得，故C正确； 对于D，不相等的向量也可能是共线向量，故D错. 故选：C． 2．已知，点D满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由图形结合向量的加法法则可得. 【解答过程】 . 故选：B. 3．若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西方向，且，则向量表示（    ） A．从点O出发，朝北偏西方向移动 B．从点O出发，朝北偏西方向移动 C．从点O出发，朝北偏西方向移动2km D．从点O出发，朝北偏西方向移动2km 【答案】C 【解题思路】以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系，标出题中所给信息，再利用向量加法的平行四边形法则求出即可. 【解答过程】以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系， 依题意可得， 设，因为，所以四边形OACB为菱形， 则，则为正三角形，所以， 故向量表示从点O出发，朝北偏西方向移动2km. 故选：C. 4．已知向量不共线，与共线，则实数的值为（    ） A． B．2 C．6 D． 【答案】A 【解题思路】由向量共线得到，求解即可. 【解答过程】因为与共线， 所以， 解得：， 故选：A. 5．设为所在平面内一点，．若，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据向量的线性运算，即可求解. 【解答过程】， 所以，即，即, 即. 故选：D. 6．若平面向量，，满足，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】求解即可. 【解答过程】， 当与同向时取等号， 故选：B. 7．已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】C 【解题思路】根据向量共线则判断即可. 【解答过程】对A，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故A错误； 对B，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故B错误； 对C，因为，，则，故、、三点共线，故C正确； 对D，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误. 故选：C. 8．已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解题思路】由平面向量的共线定理可得，再结合基本不等式即可求得答案. 【解答过程】因为三点共线，所以存在实数，使，即， 又向量不共线，所以，整理，得， 由，所以， 当且仅当时，取等号，即的最小值为4. 故选：B． 9．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若 ，则 D．若，则 【答案】BD 【解题思路】根据平面向量的定义即可判断A，根据平面向量相等和向量平行的定义即可判断B；考虑到即可判断C，根据平面向量相等的定义即可判断D. 【解答过程】因为平面向量既有大小，又有方向，所以平面向量不能比较大小，故A错误； 因为表示两个平面向量大小相等，方向相同，而只须两个平面向量方向相同或相反，所以如果，则一定成立，故B正确； 当，则不能推出 ，故C错误； 根据平面向量相等的定义可知D正确. 故选：BD. 10．（多选）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】根据向量的线性关系及加减法计算求解判断各个选项即可. 【解答过程】对于A，由题意知，E，F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，则，故A正确； 对于，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于，，所以，故D正确． 故选:ABD． 11．（多选）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（    ） A．三点共线 B． C． D．点在的内部 【答案】AC 【解题思路】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断． 【解答过程】 ， 因为点为的重心， 所以，所以， 所以三点共线，故A正确，B错误； ， 因为， 所以，即，故C正确； 因为， 所以点的位置随着点位置的变化而变化，故点不一定在的内部，故D错误； 故选：AC． 12．在四边形中，有，则四边形的形状为 . 【答案】平行四边形 【解题思路】根据向量相等的概念可得结果. 【解答过程】由得，，且， ∴四边形为平行四边形. 故答案为：平行四边形. 13．已知对边不平行的四边形，点分别在线段上，且，则 ． 【答案】 【解题思路】先结合向量的线性运算得到，结合，可得，再结合与共线，与共线，可得，从而得到. 【解答过程】，， 两式相加可得． 因为， 所以. 又与共线，与共线，不共线， 所以，， 因此． 故答案为：. 课后练习 1．（多选）关于平面向量，下列说法中错误的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】ACD 【解析】A.若向量，则不一定平行，故错误； B.根据向量的运算律可知，B正确； C. ，且，所以或，故错误； D.表示与向量共线的向量，表示与向量共线的向量，与不一定相等，故错误. 故选：ACD 2．（多选）已知是三个平面向量，则下列叙述错误的是（ ） A．若，则 B．若，且，则 C．若∥，∥，则∥ D．若，则 【答案】ABC 【解析】对A，不一定共线，故A错误； 对B，平面向量的数量积没有消去律，故B错误； 对C，若，则的方向是任意的，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：ABC. 3．已知向量和不共线，向量，，，若､､三点共线，则（ ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【解析】因为､､三点共线， 所以存在实数λ，使得， ， 所以， ∴，解得. 故选：A. 4．中，是边上靠近的三等分点，则向量（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点是边上靠近的三等分点，所以， 所以；故选：C. 5．在平行四边形中，设，，为的中点，与交于，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如下图所示，连接与交于，则为的中点，因为为的中点， 所以为三角形的重心，所以.故选：B. 6．如图平面四边形ABCD中，，则可表示为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵， ∴， ∵， 又， ∴，即.故选：D. 7．在平行四边形中，分别是的中点，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，设，且， 则， 又因为，所以，解得，所以.故选：B. 8．在中，点D在边AB上，．记，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以．故选：B． 9．在等边中，O为重心，D是的中点，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】O为的重心，延长AO交BC于E，如图， E为BC中点，则有，而D是的中点， 所以.故选：D 10．在△ABC中，，M为AD的中点，，则=（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取为基底. 利用向量的线性运算可得： ， 所以，所以=.故选：A 11．已知点是所在平面内一点，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，,，而 ， 所以，又，即， 所以.故选：D. 12．已知向量，不共线，，，若，则______． 【答案】6 【解析】因为，且， 所以存在，使得，即， 因为，不共线，所以解得，．故答案为：6. 13．在三角形ABC中，点D在边BC上，若，，则______． 【答案】 【解析】由已知，得， 所以， 因为，所以，，所以．故答案为： 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习 讲义：平面向量的概念及线性运算 知识点1 平行的向量概念 1．向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注：①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法:①字母表示法：如等. (3)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 注：①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定.②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 知识点2 相等向量与共线向量 1．向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线. 注：①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系 (1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等. (2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点. (3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等. 3．平行向量有关概念的三个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆. 知识点3 平面向量线性运算 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量 加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加：为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 2．向量加法的运算律 (1)交换律：；(2)结合律：. 3．向量的减法运算 (1)相反向量：我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是零向量. (2)向量减法的定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以 表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 4．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①；②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③ (+)=+. 特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有( )=. 5．平面向量线性运算问题的求解思路： (1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 知识点4 向量共线定理 1．向量共线定理 (1)向量共线定理：向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化 成关于,的方程()=-()，由于,不共线，则解方程组即可. 2．利用共线向量定理解题的策略 (1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线. (3)若与不共线且，则. (4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 知识点5 平面向量线性运算问题及其解题策略 1．平面向量线性运算问题的求解思路： (1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 2．向量线性运算的含参问题的解题策略： 与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值. 【注】 1．中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则. 2．(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 3．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件. 【题型1 平面向量的基本概念】 【例1】下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【变式1-1】下列向量的概念错误的是（   ） A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B．零向量和任何向量都是共线向量 C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D．，，则 【变式1-2】下列说法正确的是（   ） A．若为单位向量，则 B．若为平行向量，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-3】以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若是共线的单位向量，则 D．若，则不是共线向量 【题型2 向量的几何表示】 【例2】下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【变式2-1】下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【变式2-3】下列说法错误的是（    ） A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 【题型3 向量加、减法的几何意义】 【例3-1】四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【例3-2】向量，化简后等于（    ） A． B． C． D． 【例3-3】下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】在基底下，向量，则在下列图中，能正确表示的是（    ） A．  B．  C．  D．   【变式3-2】如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】在平行四边形中，为线段的中点，且，则（    ） A．为线段的中点 B．为线段的中点 C．为线段的中点 D．为线段的中点 【变式3-4】等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-5】如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型4 向量的线性运算】 【例4】在中，是边上的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】在所在平面内，点满足，记，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】在平行四边形 中， 与 相交于 ，若 ， ，则（    ） A． B． C． D． 【题型5 根据向量线性运算求参数】 【例5-1】在中，点是的中点，点在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【例5-2】在正六边形中，，若，则（    ） A． B．3 C． D． 【例5-3】在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足，若，则 1 . 【变式5-1】在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在中，是边的中点，是上一点，且，则（    ）    A． B． C． D． 【变式5-3】在中，，.若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】在中， D为AC上一点且满足 若P为BD的中点，且满足 则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-5】如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F为BE的中点，若，则 ． 【题型6 向量共线定理及其应用】 【例6-1】已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【例6-2】已知，是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（   ） A． B． C． D．6 【例6-3】如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知与为非零向量，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式6-2】已知，，，则共线的三点为（   ） A．B，C，D B．A，B，C C．A，C，D D．A，B，D 【变式6-3】已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 过关测试 1．关于非零向量,，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则，不是共线向量 2．已知，点D满足，则（   ） A． B． C． D． 3．若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西方向，且，则向量表示（    ） A．从点O出发，朝北偏西方向移动 B．从点O出发，朝北偏西方向移动 C．从点O出发，朝北偏西方向移动2km D．从点O出发，朝北偏西方向移动2km 4．已知向量不共线，与共线，则实数的值为（    ） A． B．2 C．6 D． 5．设为所在平面内一点，．若，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 6．若平面向量，，满足，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 8．已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 9．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若 ，则 D．若，则 10．（多选）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 11．（多选）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（    ） A．三点共线 B． C． D．点在的内部 12．在四边形中，有，则四边形的形状为 . 13．已知对边不平行的四边形，点分别在线段上，且，则 ． 课后练习 1．（多选）关于平面向量，下列说法中错误的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 2．（多选）已知是三个平面向量，则下列叙述错误的是（ ） A．若，则 B．若，且，则 C．若∥，∥，则∥ D．若，则 3．已知向量和不共线，向量，，，若､､三点共线，则（ ） A．3 B．2 C．1 D． 4．中，是边上靠近的三等分点，则向量（       ） A． B． C． D． 5．在平行四边形中，设，，为的中点，与交于，则（       ） A． B． C． D． 6．如图平面四边形ABCD中，，则可表示为（       ） A． B． C． D． 7．在平行四边形中，分别是的中点，，，则（       ） A． B． C． D． 8．在中，点D在边AB上，．记，则（       ） A． B． C． D． 9．在等边中，O为重心，D是的中点，则（       ） A． B． C． D． 10．在△ABC中，，M为AD的中点，，则=（       ） A． B． C． D． 11．已知点是所在平面内一点，且，则（       ） A． B． C． D． 12．已知向量，不共线，，，若，则______． 13．在三角形ABC中，点D在边BC上，若，，则______． 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $