16.2二次根式的乘除(知识梳理+高频考题)-2024-2025学年八年级下册数学暑假培优讲义人教版

16.2二次根式的乘除 1．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 2．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①；②． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），这里的a可以是任意有理数． 一、单选题 1．下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式中属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列选项中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．等式“”中，m的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 5．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 6．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．下列各式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 8．下列式子是最简二次根式的是（       ） A． B． C． D． 9．计算：的结果是（　　） A． B． C． D．± 10．下殀各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．下列根式：中，最简二次根式的个数是 ． 12．将化为最简二次根式，其结果是 ． 13．计算： ． 14．已知，则ab＝ ． 15．计算： ． 16．计算 ． 三、解答题 17．． 18．先化简，再求值：，其中，，． 19．已知 的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b2的值． 20．先化简再求值：．其中a=+1，b=﹣1． 21．计算：（1） （2） 22．计算： (1) (2) (3)； 23．一个长方形的长和宽分别是和．求这个长方形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A.＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B.＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C.＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D.是最简二次根式，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键． 2．D 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，即被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、是最简二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，熟悉相关性质是解题的关键． 3．B 【分析】根据二次根式的性质，二次根式的除法分别判断． 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项正确； C、，故选项错误； D、，故选项错误； 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的除法，解题的关键是掌握运算法则． 4．B 【分析】 本题考查二次根式的乘法，根据二次根式乘法法则计算即可． 【详解】解：， ， 故选：B． 5．C 【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含字母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，这样的二次根式称为最简二次根式，即可求解． 【详解】解：A：，故A错误； B：，故B错误； C：是最简二次根式，故C正确； D：不属于二次根式，故D错误． 故选：C 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．掌握相关定义即可． 6．D 【分析】直接利用二次根式的乘法或除法运算法则依次计算进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法或除法运算法则，解题的关键是：掌握相关的运算法则． 7．A 【分析】结合最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．进行判断即可． 【详解】A、是最简二次根式，满足题意； B、，不满足题意； C、，不满足题意； D、=，不满足题意． 故选A. 【点睛】本题考查的是最简二次根式的判断，掌握最简二次根式的概念是解决此题的关键． 8．A 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A．是最简二次根式，故符合题意； B．，不是最简二次根式，故不符合题意； C．，不是最简二次根式，故不符合题意； D．，不是最简二次根式，故不符合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查的是最简二次根式的有关知识，最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 9．C 【分析】根据二次根式的除法法则对进行计算即可得出答案． 【详解】，故选C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法法则，掌握二次根式的除法法则是解决问题的关键． 10．B 【分析】 本题考查了最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的特征：被开方数不含可开方的因数，被开方数不含分数，分母不含根号．据此逐个判定即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，故不是最简二次根式，不符合题意； C、，故不是最简二次根式，不符合题意； D、，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 11．2 【分析】根据二次根式的性质进行化简，把不能化简的选出即可． 【详解】符合最简二次根式的条件； ，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ，被开方数含分母；不是最简二次根式； 符合最简二次根式的条件； ，被开方数含分母；不是最简二次根式； 因此只有，两个符合条件． 故答案为2个. 【点睛】此题考查最简二次根式，解题关键在于化简. 12．/ 【分析】根据二次根式的性质，分母有理化，化简即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，分母有理化，正确二次根式的性质是解题的关键． 13．12 【分析】根据二次根式的乘除运算计算即可； 【详解】． 故答案是12． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除运算，准确计算是解题的关键． 14． 【分析】根据非负数的性质列式求出a，b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵ ∴， 解得：a=-1，b= ∴ 故答案为：- 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0，这几个非负数都为0． 15．-2 【分析】根据二次根式乘法计算即可． 【详解】解：． 故答案为：-2 【点睛】本题考查了二次根式的乘除，熟知二次根式的乘除法则及性质是解题关键． 16．5 【分析】先分母有理化，再将除法转化为乘法计算． 【详解】解： = = =5 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握运算法则． 17． 【分析】根据二次根式的混合运算法则化简求解即可． 【详解】解： 【点睛】此题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则． 18．， 【分析】本题考查二次根式的化简求值． 根据二次根式的化简方法先化成最简二次根式，再代入求值即可． 【详解】解： 当，，时， 原式 19．13﹣2 【详解】首先化简二次根式，即=2+，根据1＜＜2，得a=3，b=-1，再进一步求a2+b2的值． ∵ =2+，1＜＜2， ∴a=3，b=﹣1， ∴a2+b2=9+（﹣1）2=9+4﹣2=13﹣2． “点睛”此题考查了二次根式的化简以及计算，同时考查了学生的估算能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 20．，18． 【分析】先计算完全平方公式、整式的乘法，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， 将代入得：原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则和完全平方公式是解题关键． 21．（1）4；（2） 【分析】（1）根据零指数幂法则和负指数幂法则计算即可； （2）根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 【点睛】本题考查了零指数幂法则、负指数幂法则以及二次根式的乘法法则，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键． 22．(1) (2) (3)3 【分析】（1）运用二次根式的运算法则计算即可； （2）结合完全平方式运用二次根式的运算法则运算即可； （3）结合平方差公式结合二次根式的运算法则运算即可． 【详解】（1）原式= = =； （2）原式= =； （3）原式= = =3． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，结合乘法公式，按照二次根式的运算法则计算是解题的关键 23． 【分析】直接利用二次根式乘法运算法则以及二次根式的性质求出答案即可． 【详解】解：一个长方形的长和宽分别是和， 这个长方形的面积为． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确运用二次根式的乘法法则以及二次根式的性质是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$