第10章 二元一次方程组(知识精讲+典题精练)-2024-2025学年七年级下册数学暑假培优讲义（人教版2024）

第十章 二元一次方程组 板块一:知识精讲 1.二元一次方程的定义 (1)二元一次方程的定义 含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程. (2)二元一次方程需满足三个条件:①首先是整式方程.②方程中共含有两个未知数.③所有未知项的次数都是一次.不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程. 2.二元一次方程的解 (1)定义:一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解. (2)在二元一次方程中,任意给出一个未知数的值,总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值,所以二元一次方程有无数解. (3)在求一个二元一次方程的整数解时,往往采用“给一个,求一个”的方法,即先给出其中一个未知数(一般是系数绝对值较大的)的值,再依次求出另一个的对应值. 3.解二元一次方程 二元一次方程有无数解.求一个二元一次方程的整数解时,往往采用“给一个,求一个”的方法,即先给出其中一个未知数(一般是系数绝对值较大的)的值,再依次求出另一个的对应值. 4.二元一次方程的应用 二元一次方程的应用 (1)找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系. (2)找出题中的两个关键的未知量,并用字母表示出来. (3)挖掘题目中的关系,找出等量关系,列出二元一次方程. (4)根据未知数的实际意义求其整数解. 5.二元一次方程组的解 (1)定义:一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解. (2)一般情况下二元一次方程组的解是唯一的.数学概念是数学的基础与出发点,当遇到有关二元一次方程组的解的问题时,要回到定义中去,通常采用代入法,即将解代入原方程组,这种方法主要用在求方程中的字母系数. 6.解二元一次方程组 (1)用代入法解二元一次方程组的一般步骤:①从方程组中选一个系数比较简单的方程,将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.②将变形后的关系式代入另一个方程,消去一个未知数,得到一个一元一次方程.③解这个一元一次方程,求出x(或y)的值.④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中,求出另一个未知数的值.⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来,就是方程组的解. (2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤:①方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数,就用适当的数去乘方程的两边,使某一个未知数的系数相等或互为相反数.②把两个方程的两边分别相减或相加,消去一个未知数,得到一个一元一次方程.③解这个一元一次方程,求得未知数的值.④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中,求出另一个未知数的值.⑤把所求得的两个未知数的值写在一起,就得到原方程组的解,用的形式表示. 7.由实际问题抽象出二元一次方程组 (1)由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法,它的关键是把已知量和未知量联系起来,找出题目中的相等关系. (2)一般来说,有几个未知量就必须列出几个方程,所列方程必须满足:①方程两边表示的是同类量;②同类量的单位要统一;③方程两边的数值要相符. (3)找等量关系是列方程组的关键和难点,有如下规律和方法: ①确定应用题的类型,按其一般规律方法找等量关系.②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面,有“;”时一般“;”前后各一层,分别找出两个等量关系.③借助表格提供信息的,按横向或纵向去分别找等量关系.④图形问题,分析图形的长、宽,从中找等量关系. 8.二元一次方程组的应用 (一)列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤: (1)审题:找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系. (2)设元:找出题中的两个关键的未知量,并用字母表示出来. (3)列方程组:挖掘题目中的关系,找出两个等量关系,列出方程组. (4)求解. (5)检验作答:检验所求解是否符合实际意义,并作答. (二)设元的方法:直接设元与间接设元. 当问题较复杂时,有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数,即为间接设元.无论怎样设元,设几个未知数,就要列几个方程. 板块二:典题精练 一、单选题 1.若,则x,y的值是( ) A. B. C. D. 2.用代入法解方程组时,最简单的方法是( ) A.先将①变形为x=y,再代入② B.先将①变形为y=x,再代入② C.先将①变形为5y=2x,再代入② D.先将②变形为x=,再代入① 3.为筑牢拒毒防线,提升青少年识毒能力,2022年秋季学期花溪区某校举行“珍爱生命,远离毒品”知识竞赛活动,评分标准是:答对一题加10分,答错一题扣5分,不回答扣2分;一共10个题,每个队的基本分均为0分,A、B两个参赛队前8题的答题情况如下表,则a与b的值分别为( ) 参赛队 题目数量(题) 答对(题) 答错(题) 不回答(题) 得分(分) A 8 6 0 2 56 B 8 a b 0 35 A., B., C., D., 4.已知关于x,y的二元一次方程组的解为,则代数式的值为( ) A.3 B. C.5 D. 5.《孙子算经》中有一道题:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳五尺四寸:屈绳量之,不足一尺,木长几何?”译文大致是:“用一根绳子去量一根木条,绳子剩余尺;将绳子对折再量木条,木条剩余1尺,问木条长多少尺?”如果设木条长x尺,绳子长y尺,可列方程组为( ) A. B. C. D. 6.方程组的解是( ) A. B. C. D. 7.《九章算术》中有这样一个问题:“今有甲乙二人持钱不知其数,甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何?”题意为:今有甲乙二人,不知其钱包里有多少钱,若乙把其一半的钱给甲,则甲的钱数为50;而甲把其 的钱给乙,则乙的钱数也能为50,问甲、乙各有多少钱?设甲的钱数为x,乙的钱数为y,则列方程组为( ) A. B. C. D. 二、填空题 8.若方程组的解适合x+y=2,则k的值为 . 9.已知关于x、y的方程组的解为,则 . 10.甲乙两人在400米的环形跑道上跑步,若同向跑步每隔3分钟相遇一次,若反向跑步,每隔40秒相遇一次,则甲乙的速度各是 (甲比乙快) 11.某工厂去年的利润(总收入总支出)为200万元.今年总收入比去年增加了,总支出比去年减少了,今年的利润为780万元.设去年的总收入为万元、总支出为万元,根据题意可列方程组 . 12.若是方程kx﹣3y=1的一个解,则k= . 三、解答题 13.和都是方程的解,求与的值. 14.解下列方程组 (1) (2) 15.解三元一次方程组: (1) (2). 16.已知和互为相反数,且的平方根是它本身,求的算术平方根. 17.人工智能的飞速发展,改变了人们的工作与生活.某快递公司为了提高工作效率,购买机器人分拣快递.已知购买1台甲型机器人的费用比购买2台乙型机器人的费用少6万元;购买甲型机器人2台,乙型机器人1台,共需要花费28万元,求甲、乙两种型号机器人的单价. 18.体育文化用品商店购进篮球和排球共20个,进价和售价如表,全部销售完后共获利润260元,求商店购进篮球,排球各多少个? 19.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成书大约在一千五百年前,其中有一道题,原文是:“今三人共车,两车空;二人共车,九人步.间人与车各几何?”意思是:现有若干人和车,若每辆车乘坐3人,则空余两辆车;若每辆车乘坐2人,则有9人步行.问人与车各多少? 20.某家具厂生产一种方桌,1立方米的木材可做20个桌面或400条桌腿,现有12立方米的木材,怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材,才能使桌面、桌腿刚好配套,一共可生产多少张方桌?(一张方桌有1个桌面,4条桌腿) 21.良好的生态环境是最公平的公共产品,最普惠的民生福祉.为美化社区,某社区在一月份购买了甲,乙两种绿色植物共1100盆,花费27000元.已知甲种绿色植物每盆20元,乙种绿色植物每盆30元. (1)该社区一月份购买甲,乙两种绿色植物各多少盆? (2)二月份,该社区决定再次购买甲,乙两种绿色植物.因创卫需要,该社区二月份购买甲种绿色植物的数量比一月份购买甲种绿色植物的数量增加了,甲种绿色植物每盆的价格不变.购买乙种绿色植物的数量与一月份购买乙种绿色植物的数量相同,乙种绿色植物每盆的价格比一月份购买乙种绿色植物的价格贵了.若该社区二月份的总花费比一月份的总花费多6000元,求的值. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案: 1.C 【分析】根据非负数和的性质可得到,然后利用加减消元法可求出x,y的值. 【详解】∵, ∴ ①+②得,2x-2=0, 解得,x=1 ②-①得,4y-4=0, 解得,y=1, 所以方程组的解为. 故选:C. 【点睛】本题考查了解二元一次方程组:利用代入消元法或加减消元法把解二元一次方程组的问题转化为解一元一次方程,也考查了非负数的性质. 2.C 【详解】分析:观察题目中的两个方程,两个方程中都有可以运用整体代入法,把变形为没有出现分母,比较简单. 详解:观察题目中的两个方程,两个方程中都有可以运用整体代入法,把变形为再代入最简单. 故选C. 点睛:利用代入消元法进行判断即可. 3.B 【分析】根据题意可得,然后根据二元一次方程的组解可进行求解. 【详解】解:由题意得:, 解得:; 故选B. 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用,解题的关键是理解题中的等量关系. 4.D 【分析】根据题意得,则①-②得,,进行计算即可得. 【详解】解:∵二元一次方程组的解为, ∴, 则①-②得,, , , 代数式的值为, 故选:D. 【点睛】本题考查了二元一次方程的解,代数式求值,解题的关键是掌握这些知识点. 5.C 【分析】设木条长x尺,绳子长y尺,根据用一根绳子去量一根木条,绳子剩余尺;将绳子对折再量木条,木条剩余1尺,列出二元一次方程组,即可求解. 【详解】设木条长x尺,绳子长y尺,可列方程组为 , 故选:C. 【点睛】本题考查了列二元一次方程组,根据题意列出方程组是解题的关键. 6.A 【分析】①+②消去y,求出x,在代入①即可求解. 【详解】解: +②得,2x=6 解得x=3, 将x=3代入①式中得,y=1, ∴此方程组的解是: . 故选A. 【点睛】本题考查了加减法解二元一次方程组:把两个方程的两边分别相减或相加,消去一个未知数,得到一个一元一次方程,解这个一元一次方程,求得未知数的值,将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中,求出另一个未知数.根据方程组系数特点选择解法是解题关键. 7.A 【分析】设甲的钱数为x,乙的钱数为y,根据“若乙把其一半的钱给甲,则甲的钱数为50;而甲把其的钱给乙,则乙的钱数也能为50”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,此题得解. 【详解】 解:设甲的钱数为x,乙的钱数为y, 依题意,得:. 故选A. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键. 8.3 【详解】分析:根据等式的性质,可得关于k的方程,根据解方程,可得答案. 详解:两式相加,得 3(x+y)=3k-3, 由x+y=2, 得 3k-3=6, 计算得出k=3, 故答案为3. 点睛:本题考查了二元一次方程组的解,利用等式的性质得出3(x+y)=3k-3是解答本题的关键. 9.11 【分析】将x=1,y=2代入方程组,可得关于m与n的方程组,相加即可得到答案. 【详解】解:∵关于x,y的方程组的解为, ∴, ①+②得:3m-4n=11, 故答案为:11. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解,代数式求值,解决问题的关键是熟练掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值,用特殊方法解方程组求代数式求值. 10.m/s,m/s 【分析】同向跑步时,甲跑的路程-乙跑的路程=400m,反向跑步时,甲跑的路程+乙跑的路程=400m;据此设未知数列出方程组,再解方程组即可. 【详解】解:设甲的速度是xm/s,乙的速度是ym/s,3min=180s,根据题意得 , 解得:. 故答案为m/s,m/s. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,解答的关键是仔细审题,弄清题意,找出相等关系并能根据相等关系列出方程组. 11. 【分析】设去年的总收入为万元、总支出为万元,根据去年的利润(总收入总支出)为200万元,今年的利润为780万元,列方程组即可. 【详解】解:设去年的总收入为万元、总支出为万元, 由题意得,. 故答案为:. 【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组,解题的关键在于能够正确理解题意. 12.﹣5 【分析】根据方程的解的定义,将代入方程kx−3y=1,可得−2k−9=1,故k=−5. 【详解】解:由题意得:﹣2k﹣3 3=1. ∴k=﹣5. 故答案为:﹣5. 【点睛】本题属于简单题,主要考查方程的解的定义,即使得方程成立的未知数的值. 13. 【分析】把x与y的两对值代入方程计算即可求出a与b的值. 【详解】∵和都是方程ax+y=b的解, ∴, 解得: . 【点睛】此题考查二元一次方程的解,解题关键在于利用待定系数法. 14.(1);(2). 【分析】首先通过① 2+②消去y,得到关于x的一元一次方程,解出x,再将x的值代入①中,解得y的值,即可得到方程组的解 =1可得分子分母相等列关于m,n的方程①;先求出公分母通分,得出一个关于m,n的方程②;然后通过①-②消去m,得到关于n的一元一次方程,解出n,再将n的值代入①中,解得m的值,即可得到方程组的解 【详解】 【点睛】本题考查了二元一次方程组及其解法,解题的关键是先消去一个未知数,再代入求另一个 15.(1);(2) 【详解】试题分析:(1)、通过①+②和②+③得到关于x和y的二元一次方程组,从而求出方程组的解,最后代入③求出z的值,得出方程组的解;(2)、通过②﹣③和①得出关于x和z的二元一次方程组,从而求出方程组的解,最后代入③求出y的值,得出方程组的解. 试题解析:(1)、, ①+②得:5x+2y=16④, ②+③得:3x+4y=18⑤, ④ 2﹣⑤得:7x=14,即x=2,把x=2代入④得:y=3, 把x=2,y=3代入③得:z=1, 则方程组的解为; (2)、, ②﹣③得:x+3z=5④, ④﹣①得:2z=2,即z=1, 把z=1代入④得:x=2, 把z=1,x=2代入③得:y=4, 则方程组的解为. 16. 【分析】根据已知得出方程,,求出两方程组成的方程组的解即可. 【详解】解:∵和互为相反数, ∴, ∵的平方根是它本身, ∴, 即, 解得:,, ∴, ∴的算术平方根是4. 【点睛】本题考查相反数,平方根,算术平方根,解二元一次方程组的应用,关键是根据题意列出方程组. 17.甲、乙两种型号机器人的单价分别为10万元、8万元 【分析】 本题主要考查了二元一次方程组应用,设甲型机器人的单价为万元,乙型机器人的单价为万元,根据题意列出关于x,y的一元二次方程组,解方程组求解即可. 【详解】 解:设甲型机器人的单价为万元,乙型机器人的单价为万元, 根据题意得: ,解得. 答:甲、乙两种型号机器人的单价分别为10万元、8万元. 18.购进篮球12个,购进排球8个. 【分析】设购进篮球x个,购进排球y个,根据等量关系:①篮球和排球共20个,②全部销售完后共获利润260元可列方程组,解方程组即可. 【详解】解:设购进篮球x个,购进排球y个,由题意得: 解得:. 答:购进篮球12个,购进排球8个. 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用,关键是弄清题意,找出题目中的等量关系,列出方程组. 19.有39人,15辆车 【分析】设有人,辆车,根据“每辆车乘坐3人,则空余两辆车;若每辆车乘坐2人,则有9人步行”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,此题得解. 【详解】解:设有人,辆车. 根据题意,得 解得. 答:有39人,15辆车. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键. 20.桌面10立方米 桌腿2立方米 桌子200张 【分析】利用1立方米的木材可做20个桌面或400条桌腿,以及现有12立方米的木材分别得出等式求出即可. 【详解】解:设用x立方米的木材做桌面,用y立方米的木材做桌腿,根据题意得出: , 解得:, ∴用10立方米的木材做桌面,2立方米的木材做桌腿,刚好配套; ∵(张), ∴一共可生产200张方桌. 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用,根据已知得出正确的等量关系是解题关键. 21.(1)该社区一月份购买甲种绿色植物600盆,购买乙种绿色植物500盆;(2)80. 【分析】(1)设该社区一月份购买甲种绿色植物x盆,购买乙种绿色植物y盆,根据“该社区在一月份购买了甲、乙两种绿色植物共1100盆,共花费了27000元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论; (2)根据总价=单价 数量结合该社区二月份的总花费比一月份的总花费多6000元,即可得出关于a的一元一次方程,解之即可得出结论. 【详解】解:(1)设该社区一月份购买甲种绿色植物盆,购买乙种绿色植物盆. ,解得, 答:该社区一月份购买甲种绿色植物600盆,购买乙种绿色植物500盆. (2)依题意得: 解得:, 答:的值为80. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)找准等量关系,正确列出一元一次方程. 答案第1页,共2页 答案第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $$