第7章 相交线与平行线(知识精讲+典题精练)-2024-2025学年七年级下册数学暑假培优讲义（人教版2024）

第七章 相交线与平行线 板块一：知识精讲 1．角平分线的定义 （1）角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． （2）性质：若OC是∠AOB的平分线 则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC． （3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践． 2．余角和补角 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 3．对顶角、邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 4．垂线 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 8．垂线段最短 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 9．平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 10．平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 11．平行线的判定与性质 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 板块二：典题精练 一、单选题 1．如图，AB∥CD，∠CED=90°，∠AEC=35°，则∠D的大小【   】 A．65° B．55° C．45° D．35° 2．如图，△ABC平移到△DEF的位置，则下列说法：①AB∥DE，AD=CF=BE；②∠ACB=∠DEF；③平移的方向是点C到点E的方向；④平移距离为线段BE的长．其中说法正确的有（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 3．为直线外一点，，，为直线上三点，，，，则点到直线的距离为（　　） A．，或 B． C．小于 D．不大于 4．已知：如图，l1∥l2，∠1=50°, 则∠2的度数是 （ ） A．120° B．50° C．40° D．130° 5．下面给出五个命题：①若x=﹣1，则x3=﹣1；②角平分线上的点到角的两边距离相等；③相等的角是对顶角；④若x2=4，则x=2；⑤面积相等的两个三角形全等，是真命题的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．将一副三角板按如图放置，其中，则下列结论正确的序号有（    ）    如果与互余，则； 如果，则有； ； 如果，必有． A． B． C． D． 7．如图，三角形经过平移得到三角形，下面与和一定相等的分别是（    ）    A．， B．， C．， D．， 8．如图，，垂足为，P是线段上一点，连接的长不可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．下列命题是真命题的是（    ） A．不相交的两条直线互相平行 B．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 C．同旁内角互补 D．平行于同一直线的两条直线互相平行 二、填空题 10．命题：“三角形中至多有两个角大于60度”，用反证法证明时第一步需要假设 ． 11．如图，在A，B两地挖一条笔直的水渠，从A地测得水渠的走向是北偏西42°，A，B两地同时开工，B地所挖水渠走向应为南偏东 ． 12．如图，，BF，DF分别平分和，，与互补，则的度数为 ． 13．如图，与是对顶角，，，则 ． 14．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条路宽为的小路，这块草地的绿地面积为 ． 15．如图，在中，，，，把沿着直线的方向平移后得到，连接，，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 (填写番号)．    三、解答题 16．在如图所示的网格中，画图并填空：    (1)画出三角形向右平移个小格得到的三角形； (2)画出三角形向下平移个小格得到的三角形； (3)如果点是三角形内一点，点随三角形经过（1）、（2）两次平移后得到的对应点是，那么线段与线段的位置关系是：______． 17．如图，，，求证：．    18．如图，若∠1与∠B互为补角，∠B＝∠E，那么直线AB与直线DE平行吗？直线BC与直线EF平行吗？为什么？ 19．图1，直，被直线所截，． 　　　 （1）求证：． （2）如图2，点在，之间的直线上，，分别在直线，上，连接，，平分，平分，若，求的度数． 20．如图，已知，，求证：． 21．如图，D、E分别是AB、AC上的点．若∠1＝∠2，则∠EDB+∠ABC＝180°完成下面的说理过程． 已知∠1＝∠2， 得 ．（ ） 又根据（ ） 得∠EDB+∠ABC＝ ． 22．如图，粗线和细线是公交车从少年宫A到体育馆B的两条行驶路线． (1)比较两条线路的长短：粗线① 细线②；（填“”、“”或“”） (2)如果这段路程长4.7千米，小丽坐出租车从体育馆B到少年宫A，假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米以后每千米1.7元，小丽身上有10元钱，够不够坐出租车从体育馆到少年宫呢？说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【详解】∵AB∥CD，∴∠D=∠BED． ∵∠CED=90°，∠AEC=35°∴∠BED=180°-90°-35°=55°．故选B． 2．B 【分析】根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，对各选项分析判断后利用排除法． 【详解】∵A与D、B与E、C与F对应点，∴AB∥DE，AD=CF=BE；①正确； ∵∠ACB与∠DFE是对应角，∴∠ACB=∠DFE，②错误； 平移的方向是点C到点F的方向；③错误； 平移距离为线段BE的长，④正确． 正确的说法为①④， 故选B． 【点睛】本题考查了平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，熟练掌握平移性质是解题的关键． 3．D 【分析】 本题考查点到直线的距离，根据点到直线，垂线段最短，即可得出结果． 【详解】解：∵点到直线，垂线段最短，，，， ∴点到直线的距离为不大于； 故选D． 4．D 【详解】试题分析：∵l1∥l2， ∴∠1=∠3， ∵∠1=50°， ∴∠3=50°， ∵∠2+∠3=180°， ∴∠2=130°， 故选D． 考点：平行线的性质． 5．C 【详解】试题解析：①若x=-1，则x3=-1，正确； ②角平分线上的点到角的两边距离相等，正确； ③相等的角是对顶角,错误； ④若x2=4，则x=±2，故此选项错误； ⑤面积相等的两个三角形全等，错误． 真命题有2个， 故选C． 6．C 【分析】根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可． 【详解】解：与互余， ， ， ， ， 与不平行， 故错误，不符合题意； ， ， ， 故正确，符合题意； 如图，点在的延长线上，    ， ， 又， ， 又， ， 故正确，符合题意； ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 7．D 【分析】根据平移的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵三角形经过平移得到三角形， ∴，， ∴，， ∴，； 故选D． 【点睛】本题考查平移的性质，熟练掌握平移的性质，是解题的关键． 8．A 【分析】 本题考查垂线段的性质和三角形中的等面积法，解题的关键是学会由面积法求高．根据垂线段最短可知，当时取最小值，利用等面积法求出的最小值，即可从选项中找出答案． 【详解】解：在中，，垂足为， ∵当时，的值最小， 中，由等面积法可得：， 即：， ， ∴线段的值不可能是4． 故选：A． 9．D 【分析】根据真命题就是正确的命题以及平行线中的公理及推论，对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，原命题错误，故不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，原命题错误，故不符合题意； C、两直线平行，同旁内角互补，原命题错误，故不符合题意； D、平行于同一直线的两条直线互相平行，原命题正确，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了真命题的判断，平行公理及其推论，解题的关键在于对公理的熟练掌握． 10．三个内角都大于60度 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【详解】反证法证明命题“三角形中至多有两个角不大于60°”时，首先应假设这个三角形中每一个内角都大于60° 【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 11．42° 【详解】 因为两个北方向是平行的，即AC∥BD， 所以A点北偏西的角与B点南偏东的角是内错角， 因此它们都等于42°． 故答案为42°． 12．/36度 【分析】延长FB交CD于G,然后运用平行的性质和角平分线的定义，进行解答即可. 【详解】解：如图延长FB交CD于G ∵BF∥ED ∴∠F=∠EDF 又∵DF平分∠CDE， ∴∠CDE=2∠F， ∵BF∥ED ∴∠CGF=∠CDE=2∠F， ∵AB∥CD ∴∠ABF=∠CGF=2∠F， ∵BF平分∠ABE ∴∠ABE=2∠ABF=4∠F， 又∵∠F与∠ABE互补 ∴∠F+∠ABE=180°即5∠F=180°， 解得∠F=36° 故答案为36°. 【点睛】本题考查了平行的性质和角平分线的定义，做出辅助线是解答本题的关键. 13．145° 【分析】根据对顶角相等列出关系式求解即可． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴=， ∵，， ∴ ， ∴， 故答案为：145°． 【点睛】本题考查对顶角，掌握对顶角相等是解答的关键． 14．63 【分析】根据平移的性质，可把路移到左边，再根据长方形的面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：根据题意得： 所以这块草地的绿地面积为， 故答案为：63． 【点睛】本题主要考查了生活中的平移现象，利用矩形的面积公式进行计算是解题的关键． 15．①②③④ 【分析】把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，根据平移的性质，结合图形，对每个结论进行一一分析，选出正确答案． 【详解】解：沿着直线的方向平移后得到， ，故①正确； ，故②正确； 故③正确； ， 又， ， ，故④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了平移的性质：新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 16．(1)见解析 (2)见解析 (3)平行 【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点即可； （2）利用网格特点和平移的性质画出的对应点即可； （3）根据平移的性质进行判断． 【详解】（1）解：为所作；   ； （2）解：如图，为所作； （3）解：线段与线段的位置关系是平行． 故答案为：平行． 【点睛】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 17．见解析 【分析】根据平行线的性质和判定证明即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 18．见解析 【详解】试题解析：BC∥EF，由∠1+∠B=180，根据同旁内角互补，两直线平行可得AB∥DE，再由∠B=∠E，∠1=∠2，∠1+∠E=180°，根据等量代换可得∠2+∠E=180°，再由同旁内角互补，两直线平行即可得BC∥EF. 试题分析： BC∥EF，理由如下： ∵∠1+∠B=180， ∴AB∥DE， ∵∠1+∠B=180°，∠B=∠E. ∴∠1+∠E=180°， 又∠1=∠2， ∴∠2+∠E=180°， ∴BC∥EF. 19．（1）见解析；（2）140° 【分析】（1）根据对顶角相等和同位角相等两直线平行，即可求解； （2）作，根据平行线和角平分线的性质，求得与的关系，即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴． （2）如图2，作． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 同理可证：． ∵平分，平分， ∴，． ∵，， ∴． ∵， ∴． 【点睛】此题考查了平行线的判定以及性质，涉及了对顶角相等和角平分线的定义，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 20．见解析 【分析】根据∠1=∠2可得AC∥DF，然后根据平行线的性质可得∠3=∠5，进而得出结论． 【详解】解：证明：∵∠1=∠2（已知）， ∴AC∥DF（同位角相等，两直线平行）， ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）， 又∵∠3=∠4（已知）， ∴∠5=∠4（等量代换），               ∴BC∥EF （内错角相等，两直线平行）． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理以及性质定理是解本题的关键． 21．DE，BC，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补，180° 【分析】运用平行线的性质和判定，即可得出答案． 【详解】已知∠1＝∠2， 得DEBC．（内错角相等，两直线平行） 又根据（两直线平行，同旁内角互补） 得∠EDB+∠ABC＝180°． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是本题的关键． 22．(1) (2)够坐出租车从体育馆到少年宫，理由见解析 【分析】（1）根据图形的平移可得，，由此即可得； （2）根据出租车的收费标准可得刚开始的3千米收费7元，剩下的米按每千米元收费，据此求出打车的总费用，由此即可得． 【详解】（1）解：由图形的平移得：，， 粗线①的长度为， 细线②的长度为， 粗线①细线②， 故答案为：． （2）解：够坐出租车从体育馆到少年宫，理由如下： 由题意得：小丽打车的总费用为（元）， 因为， 所以小丽身上的钱够坐出租车从体育馆到少年宫． 【点睛】本题考查了图形的平移、有理数的四则运算的应用，熟练掌握图形的平移是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$