5.3 三角恒等变换和三角函数的应用 讲义-2026届高三数学一轮专题复习

§5.3 三角恒等变换和三角函数的应用 目录 知识点一：两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2 知识点二：二倍角的正弦、余弦、正切公式和半角公式 2 题型1：三角函数式的化简与求值 3 题型2： 三角函数的给值求角（值） 8 题型3： 三角函数的综合应用问题 13 题型4：三角函数模型 19 【强化训练】 23 知识点一：两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1. 两角和与差的三角函数公式 (1) 公式：； (2) 公式：； (3) 公式 ：. 2. 两角和与差的常用变形 (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) . 3. 辅助角公式 函数（为非零常数），可以化为 ，其中. 知识点二：二倍角的正弦、余弦、正切公式和半角公式 1. 二倍角公式 (1) ; (2) ; (3) . 2. 二倍角公式的变形 (1) 升幂： (2) 降幂：. (3) 完全平方式：. (4) 半角公式 ① ;②;③; ④； ⑤. (5) 万能公式 ①；②； ③. 题型1：三角函数式的化简与求值 方法提炼 (1) 特别注意两个技巧： 1　 拆角、拼角技巧：；；；；； ；等. 2　 化简技巧：切化弦、等常数值的代换等.例如：. (2) 强调三个变化 1　 变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其方法通常是“配凑”. 2　 变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其方法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等. 3　 变式：根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式,其方法通常有“常值代换”“逆用、变形用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等. 【例1.1.】 已知，且满足，则，则 ． 【答案】/ 【详解】因为，，所以， 由得， 即，所以， 所以，得， 所以． 故答案为： 【例1.2.】 已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得， 所以． 故选：A． 【例1.3.】 已知，则（    ） A． B．－1 C． D． 【答案】C 【详解】由， 所以，则， 所以，则，故， 由. 故选：C 【例1.4.】 已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，即， 设，即，， 则，得， 因为，得到． 故选：C． 【例1.5.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，结合题设， 所以，而， 所以， 即，所以， 所以. 故选：D 【例1.6.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意有， 所以， 故选：D. 【例1.7.】 已知，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】因为 ， 又因为，且，, 所以，故， 又由于，所以， 由于， 故选：A． 【例1.8.】 已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 【答案】 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 题型2： 三角函数的给值求角（值） 方法提炼 三角函数求值的类型及方法 （1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． （2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． （3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 【例2.1.】 （1） ； （2） = ； （3） 计算： . 【答案】（1）；（2）；（3）/. 【详解】（1）由题意， . （2）. （3）由题意可得： ． 【例2.2.】 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 【例2.3.】 若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以 . 故选：C 【例2.4.】 已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 【例2.5.】 已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为 ，所以， 因为 ，所以， 所以 ==. 故选：D. 【例2.6.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为， 所以，即， 所以， 即， 所以， 所以或， 所以或，， 当时，，不合题意，舍去， 当时，， 所以. 故选：C. 【例2.7.】 若，则 ， ． 【答案】 【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理 ∵，∴，即， 即，令，， 则，∴，即， ∴ ， 则. 故答案为：；. [方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程 ∵，∴，即， 又，将代入得，解得， 则. 故答案为：；. 【例2.8.】 设，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设， 所以， 因为，，则，又， 所以或，即或（舍）， 故． 故选：D 【例2.9.】 已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 因为，所以，，所以． 由，得， 即， 所以，所以． 又，所以． 故选：D 【例2.10.】 已知，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，，得，， ∴，即， ∴，解得. 又，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 故选：A. 题型3： 三角函数的综合应用问题 方法提炼 1. 三角函数最值求解方法 (1) 先通过三角恒等变换将目标函数转化为关于一个角的三角函数：如果出现的角为，可以考虑根据两角和差公式化为关于的三角函数；如果出现 或，可逆向运用二倍角公式，将函数式化为关于角的三角函数式等. (2) 常见类型及求解策略： 1　 形如的三角函数，可先应用辅助角公式化为（为非零常数）的形式，再根据求值域（最值）. 2　 形如的三角函数，可先设，化为关于的二次函数，再根据二次函数的单调性求值域（最值）. 3　 形如的三角函数，可先设，得到，根据此关系把原函数式化为关于的二次函数，再求值域（最值）. 4　 形如型，可将式子转化为型，利用直线的斜率求解. 2. 三角函数图像与性质综合问题的求解方法 先将化为的形式，然后用辅助角公式化为的形式，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性． 【例3.1.】 已知函数，，且，则当时，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 由和差化积公式可得：. 因，则，因，则， 则，又，则. 则. 注意到时，， 在上单调递增，在上单调递减， 又， 则，即的值域为. 故选：C 【例3.2.】 函数在区间的零点个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】由，， 令，则，或， 故或，即或， 由，则或， 即或， 故或， 综上所述，存在个零点,即为. 故选：C. 【例3.3.】 （多选）已知函数，则（    ） A．函数为偶函数 B．曲线的对称轴为 C．在区间单调递增 D．的最小值为 【答案】AC 【详解】 ， 即， 对于A，，易知为偶函数，所以A正确； 对于B，对称轴为，故B错误； 对于C，，单调递减，则 单调递增，故C正确； 对于D，，则，所以，故D错误； 故选：AC 【例3.4.】 （多选）函数，则下列关于的说法中正确的是（    ） A．最小正周期是 B．最大值是2 C．是区间上的减函数 D．图象关于点中心对称 【答案】AC 【详解】 ， 则的最小正周期是，故选项A正确； 由三角函数的性质可知，即的最大值是，故选项B错误； 时，，因为在上单调递减， 故是区间上的减函数，故选项C正确； 令，解得， 故的图象的对称中心为，，令得， 所以的图象不关于点中心对称，故选项D错误. 故选：AC 【例3.5.】 已知函数（），，，且的最小值为，则 ， ． 【答案】 /1.5 【详解】 ， 所以， 因为，，且的最小值为， 所以，即，解得. 故答案为：； 【例3.6.】 设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由辅助角公式得， 则， 所以该函数的最小正周期; （2）由题意， ， 由可得， 所以当即时，函数取最大值. 【例3.7.】 已知函数． (1)求函数的对称中心及对称轴方程； (2)当时，求函数的最大值和最小值． 【答案】(1)对称中心为，对称轴方程为：； (2)最大值为，最小值为0． 【详解】（1） ， 令，解得， 对称轴方程为：． 令，解得， 函数的对称中心为． （2）当时，， 由正弦函数的性质可知，的最大值为1，最小值为， 函数的最大值为，最小值为0． 【例3.8.】 已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，当函数在上有一个零点时，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）, 令， 解得：， 所以的单调递减区间为 （2）将函数的图象向右平移个单位后得到， 则， 因为，所以， 所以要使函数在上有一个零点，则与只有一个交点， 结合正弦函数的图象： 可得当或，即或， 即或，或时，与只有一个交点， 所以实数的取值范围为 题型4：三角函数模型 方法提炼 三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． 【例4.1.】 音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某条葫芦曲线的方程为，其中表示不超过的最大整数，如且，且经过点，则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将点代入葫芦曲线的方程可得，即， 由，，可得，因此曲线方程为， 当时，可得， 所以交点的纵坐标为. 故选：C. 【例4.2.】 如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为且直径平行坝面.坝面上点满足，且长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点到小岛修建三段栈道、与，在半圆小岛上再修建栈道、以及，水面上的点在线段上，且、均与圆相切，切点分别为、，其中栈道、、和小岛在同一个平面上.设，则需要修建的栈道总长度的最小值为 百米. 【答案】 【详解】连接CD，CE，由半圆半径为1得：. 由对称性，可设，又，， 所以，， 易知，所以的长为. 又，故，故， 令且，则，， 所以. 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以栈道总长度最小值. 故答案为：. 【例4.3.】 如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处．的半径为10米，的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟．当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟距离地面的竖直高度为米．给出下列四个结论： ①； ②最大值是35； ③在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟； ④存在，使得时到的距离等于15米． 其中所有正确结论的序号为 ． 【答案】①③ 【详解】转轮与转轮分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟，可得最小正周期，，所以，， 又的半径为10米，的圆心距离地面竖直高度为20米， 所以第分钟，点距离地面的高度为：， 第分钟，距离地面的竖直高度为：， 化简得， 所以，故①正确； 当，即时，得最大值，为，故②错误； 若到的距离等于15米，则点Q在线段PM上，则需, 所以不存在，使得时到的距离等于15米．故④错误； 因为旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟，所以可得点在圆周上的速度为，同理可得点在圆周上的速度为，所以点在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟，故③正确. 故答案为：①③. 【强化训练】 1. 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以， 所以. 故选：D 2. 已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 , 故选：A. 3. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 4. 已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 即，可得， 即，． 因为，则， 可得， 又因为， 可得． 所以． 故选：D. 5. 已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且， 所以，， 则. 故选：A. 6. 埃菲尔铁塔作为巴黎奥运会标志之一，你可以在铁塔旁看到一段非常特殊的数学方程，它叫做埃菲尔铁塔方程.这个方程不仅仅是一段数学公式，它还代表着法国工程师和建筑师埃菲尔（AlphonseEiffel）对科学和技术的贡献.方程定义：，这个方程中，代表一个给定的角度，则代表在这个角度下埃菲尔铁塔的“高度”（这里的“高度”是方程用于模拟铁塔形状时的一个相对值，并非实际物理高度）.则埃菲尔铁塔最大“高度”值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】 当时，时，. 故选：B 7. 已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 因为，所以， 故，所以， 即，故. 故选：A. 8. 已知，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，， 则， 可知，，则， 又因为， 可得， 所以. 故选：D. 9. （多选）函数（）的图象如图所示，则（   ） A．的最小正周期为 B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D．若（）在上有且仅有两个零点，则 【答案】ACD 【详解】依题意，， 由，得，解得，而， 解得，，的最小正周期为，A正确； 是偶函数，B错误； ，令， 则， 的图象关于直线对称，C正确； ，，当时，， 依题意，，解得，D正确. 故选：ACD 10. 已知，则 ． 【答案】 【详解】，即， . 故答案为：. 11. 已知满足，，则 ． 【答案】 【详解】， 故， 又， 即①， ， 故， 又， 即②， 式子①+②得，即， 式子②-①得，即， 所以. 故答案为： 12. 设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1). (2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，. 【详解】（1）因为 所以， 因为，所以. （2）因为， 所以，所以的最大值为，最小值为. 若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在； 若选条件②：因为在上单调递增，且， 所以,所以,, 所以， 又因为，所以， 所以， 所以，因为，所以. 所以，； 若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，即. 以下与条件②相同． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §5.3 三角恒等变换和三角函数的应用 目录 知识点一：两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2 知识点二：二倍角的正弦、余弦、正切公式和半角公式 2 题型1：三角函数式的化简与求值 3 题型2： 三角函数的给值求角（值） 5 题型3： 三角函数的综合应用问题 6 题型4：三角函数模型 8 【强化训练】 10 知识点一：两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1. 两角和与差的三角函数公式 (1) 公式：； (2) 公式：； (3) 公式 ：. 2. 两角和与差的常用变形 (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) . 3. 辅助角公式 函数（为非零常数），可以化为 ，其中. 知识点二：二倍角的正弦、余弦、正切公式和半角公式 1. 二倍角公式 (1) ; (2) ; (3) . 2. 二倍角公式的变形 (1) 升幂： (2) 降幂：. (3) 完全平方式：. (4) 半角公式 ① ;②;③; ④； ⑤. (5) 万能公式 ①；②； ③. 题型1：三角函数式的化简与求值 方法提炼 (1) 特别注意两个技巧： 1　 拆角、拼角技巧：；；；；； ；等. 2　 化简技巧：切化弦、等常数值的代换等.例如：. (2) 强调三个变化 1　 变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其方法通常是“配凑”. 2　 变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其方法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等. 3　 变式：根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式,其方法通常有“常值代换”“逆用、变形用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等. 【例1.1.】 已知，且满足，则，则 ． 【例1.2.】 已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 已知，则（    ） A． B．－1 C． D． 【例1.4.】 已知，，则（   ） A． B． C． D． 【例1.5.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【例1.6.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【例1.7.】 已知，则（   ） A． B． C．3 D． 【例1.8.】 已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 题型2： 三角函数的给值求角（值） 方法提炼 三角函数求值的类型及方法 （1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． （2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． （3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 【例2.1.】 （1） ； （2） = ； （3） 计算： . 【例2.2.】 若，则（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 已知，，则（   ） A． B． C． D． 【例2.5.】 已知，则（   ） A． B． C． D． 【例2.6.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【例2.7.】 若，则 ， ． 【例2.8.】 设，，且，则（   ） A． B． C． D． 【例2.9.】 已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2.10.】 已知，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 题型3： 三角函数的综合应用问题 方法提炼 1. 三角函数最值求解方法 (1) 先通过三角恒等变换将目标函数转化为关于一个角的三角函数：如果出现的角为，可以考虑根据两角和差公式化为关于的三角函数；如果出现 或，可逆向运用二倍角公式，将函数式化为关于角的三角函数式等. (2) 常见类型及求解策略： 1　 形如的三角函数，可先应用辅助角公式化为（为非零常数）的形式，再根据求值域（最值）. 2　 形如的三角函数，可先设，化为关于的二次函数，再根据二次函数的单调性求值域（最值）. 3　 形如的三角函数，可先设，得到，根据此关系把原函数式化为关于的二次函数，再求值域（最值）. 4　 形如型，可将式子转化为型，利用直线的斜率求解. 2. 三角函数图像与性质综合问题的求解方法 先将化为的形式，然后用辅助角公式化为的形式，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性． 【例3.1.】 已知函数，，且，则当时，的值域为（   ） A． B． C． D． 【例3.2.】 函数在区间的零点个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【例3.3.】 （多选）已知函数，则（    ） A．函数为偶函数 B．曲线的对称轴为 C．在区间单调递增 D．的最小值为 【例3.4.】 （多选）函数，则下列关于的说法中正确的是（    ） A．最小正周期是 B．最大值是2 C．是区间上的减函数 D．图象关于点中心对称 【例3.5.】 已知函数（），，，且的最小值为，则 ， ． 【例3.6.】 设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最大值. 【例3.7.】 已知函数． (1)求函数的对称中心及对称轴方程； (2)当时，求函数的最大值和最小值． 【例3.8.】 已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，当函数在上有一个零点时，求k的取值范围. 题型4：三角函数模型 方法提炼 三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． 【例4.1.】 音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某条葫芦曲线的方程为，其中表示不超过的最大整数，如且，且经过点，则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【例4.2.】 如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为且直径平行坝面.坝面上点满足，且长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点到小岛修建三段栈道、与，在半圆小岛上再修建栈道、以及，水面上的点在线段上，且、均与圆相切，切点分别为、，其中栈道、、和小岛在同一个平面上.设，则需要修建的栈道总长度的最小值为 百米. 【例4.3.】 如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处．的半径为10米，的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟．当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟距离地面的竖直高度为米．给出下列四个结论： ①； ②最大值是35； ③在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟； ④存在，使得时到的距离等于15米． 其中所有正确结论的序号为 ． 【强化训练】 1. 若，则（    ） A． B． C． D． 2. 已知，，则（   ） A． B． C． D． 3. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 4. 已知，且，则（   ） A． B． C． D． 5. 已知，则（   ） A． B． C． D． 6. 埃菲尔铁塔作为巴黎奥运会标志之一，你可以在铁塔旁看到一段非常特殊的数学方程，它叫做埃菲尔铁塔方程.这个方程不仅仅是一段数学公式，它还代表着法国工程师和建筑师埃菲尔（AlphonseEiffel）对科学和技术的贡献.方程定义：，这个方程中，代表一个给定的角度，则代表在这个角度下埃菲尔铁塔的“高度”（这里的“高度”是方程用于模拟铁塔形状时的一个相对值，并非实际物理高度）.则埃菲尔铁塔最大“高度”值为（    ） A． B． C． D．2 7. 已知，，则（    ） A． B． C． D． 8. 已知，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 9. （多选）函数（）的图象如图所示，则（   ） A．的最小正周期为 B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D．若（）在上有且仅有两个零点，则 10. 已知，则 ． 11. 已知满足，，则 ． 12. 设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$