第02讲 三角恒等变换（和差公式、倍角公式、升降幂公式、辅助角公式）（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第02讲 三角恒等变换 （和差公式、倍角公式、升降幂公式、辅助角公式） 目录 01 3 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 两角和与差正弦、余弦、正切公式 3 知识点2 二倍角公式 4 知识点3 降幂公式 4 知识点4 辅助角公式 4 知识点5 半角公式 4 题型破译 5 题型1 和、差、倍角公式的应用 5 题型2 和、差、倍角公式的逆应用 5 题型3 辅助角公式的应用 6 题型4 二倍角公式 6 题型5 三角函数求值问题（给角求值型） 6 题型6 三角函数求值问题（给值求值型） 7 题型7 三角函数求值问题（给值求角型） 8 04真题溯源·考向感知 9 05课本典例·高考素材 9 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）两角和差公式及二倍角公式 （2）三角恒等变换求值或求角 （3）辅助角公式的应用 单选题 填空题 解答题 北京卷T7（4分） 北京卷T16（13分） / 考情分析：北京卷三角恒等变换主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式变形应用和半角公式变形应用。它不仅是独立的考点，更是解决复杂三角函数问题（如求值、化简、证明、图像与性质分析等）不可或缺的基本工具。掌握它，能有效简化问题，为后续求解铺平道路. 复习目标： 1.能够熟练记忆两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2.能够掌握公式的逆用、变形与组合； 3.针对复杂表达式，通过角度统一、函数名统一、辅助角公式进行化简，结合角的变换简化计算； 4.熟练处理角的和差、倍半、互补关系，通过拼凑特殊角或引入中间角简化问题. 知识点1 两角和与差正弦、余弦、正切公式 ①两角和与差的正弦公式 ②两角和与差的余弦公式 ③两角和与差的正切公式 自主检测1．（    ） A． B． C． D． 知识点2 二倍角公式 ① ②；； ③ 知识点3 降幂公式 自主检测2．已知，则（   ） A．4 B． C． D． 知识点4 辅助角公式 (其中) 自主检测函数的最大值是（   ） A． B．3 C． D．5 知识点5 半角公式 （1）. （2）. （3）. 题型1 和、差、倍角公式的应用 例1-1已知，是第四象限角，求的值（   ） A． B． C． D． 例1-2已知，且，若，则 ． 【变式训练1-1】已知角的正切，则 ． 【变式训练1-2】已知，， ． 【变式训练1-3】已知为锐角，，则 ． 题型2 和、差、倍角公式的逆应用 例2-1（   ） A． B． C． D． 例2-2已知，则 . 【变式训练2-1】的值为 ． 【变式训练2-2】计算：（    ） A． B．1 C． D． 【变式训练2-3】利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)； (2)； (3). 题型3 辅助角公式的应用 例3-1已知，，，则实数、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 例3-2已知函数的图象关于直线对称，则 ． 【变式训练3-1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】函数 的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【变式训练3-3】函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 题型4 二倍角公式 例4-1（   ） A． B． C． D． 例4-2若，则 . 【变式训练4-1】若，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知，则（   ） A． B． C． D． 题型5 三角函数求值问题（给角求值型） 例5-1化简计算的值为（   ） A． B． C． D． 例5-2求下列式子的值． (1)； (2)； (3)． 【变式训练5-1】的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式训练5-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】（1）求值： （2）化简：. 题型6 三角函数求值问题（给值求值型） 例6-1已知且，则（    ）． A． B． C． D． 例6-2已知，则 ． 【变式训练6-1】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-4】若，则（   ） A． B． C． D． 题型7 三角函数求值问题（给值求角型） 例7-1已知，且，则（    ） A． B． C． D． 例7-2已知，，，，则 ． 【变式训练7-1】已知为三角形的两个内角，，则＝（ ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】已知，为锐角，，且． (1)求的值； (2)求角的值． 【变式训练7-3】（1）已知，，求的值； （2）已知，都是锐角，且，，求的值. 1．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 4．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是 ． 1．已知，为第二象限角，求的值． 2．求下列各式的值： (1)； (2)． 3．已知，，，分别是第二、第三象限角，求，的值． 4．求下列各式的值． (1)； (2)． 5．已知，，α、β均为第二象限角，求的值. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 三角恒等变换 （和差公式、倍角公式、升降幂公式、辅助角公式） 目录 01 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 两角和与差正弦、余弦、正切公式 3 知识点2 二倍角公式 4 知识点3 降幂公式 4 知识点4 辅助角公式 4 知识点5 半角公式 5 题型破译 5 题型1 和、差、倍角公式的应用 5 题型2 和、差、倍角公式的逆应用 7 题型3 辅助角公式的应用 8 题型4 二倍角公式 10 题型5 三角函数求值问题（给角求值型） 11 题型6 三角函数求值问题（给值求值型） 13 题型7 三角函数求值问题（给值求角型） 15 04真题溯源·考向感知 18 05课本典例·高考素材 19 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）两角和差公式及二倍角公式 （2）三角恒等变换求值或求角 （3）辅助角公式的应用 单选题 填空题 解答题 北京卷T7（4分） 北京卷T16（13分） / 考情分析：北京卷三角恒等变换主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式变形应用和半角公式变形应用。它不仅是独立的考点，更是解决复杂三角函数问题（如求值、化简、证明、图像与性质分析等）不可或缺的基本工具。掌握它，能有效简化问题，为后续求解铺平道路. 复习目标： 1.能够熟练记忆两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2.能够掌握公式的逆用、变形与组合； 3.针对复杂表达式，通过角度统一、函数名统一、辅助角公式进行化简，结合角的变换简化计算； 4.熟练处理角的和差、倍半、互补关系，通过拼凑特殊角或引入中间角简化问题. 知识点1 两角和与差正弦、余弦、正切公式 ①两角和与差的正弦公式 ②两角和与差的余弦公式 ③两角和与差的正切公式 自主检测1．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B 知识点2 二倍角公式 ① ②；； ③ 知识点3 降幂公式 自主检测2．已知，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】． 故选：C． 知识点4 辅助角公式 (其中) 自主检测函数的最大值是（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】，由正弦函数的值域可得其最大值为. 故选：C 知识点5 半角公式 （1）. （2）. （3）. 题型1 和、差、倍角公式的应用 例1-1已知，是第四象限角，求的值（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，是第四象限角，得， 所以. 故选：B 例1-2已知，且，若，则 ． 【答案】/0.5 【分析】根据三角函数的基本关系式可求出的值，然后利用两角差的正切公式求解. 【详解】已知，且，则， 从而，又， 所以. 故答案为：. 【变式训练1-1】已知角的正切，则 ． 【答案】/ 【详解】 故答案为：. 【变式训练1-2】已知，， ． 【答案】 【详解】由，可得， 由可得：，即， 联立可得：，，所以． 故答案为：. 【变式训练1-3】已知为锐角，，则 ． 【答案】/ 【详解】因为为锐角，且， 则， 则． 故答案为：. 题型2 和、差、倍角公式的逆应用 例2-1（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 . 故选：D. 例2-2已知，则 . 【答案】/0.5 【详解】由，得，又，所以， 解得. 故答案为：. 【变式训练2-1】的值为 ． 【答案】 【详解】． 故答案为：. 【变式训练2-2】计算：（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 所以 ， 故选：D． 【变式训练2-3】利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)0 (3) 【详解】（1）由公式，得. （2）由公式，得. （3）由公式及， 得. 题型3 辅助角公式的应用 例3-1已知，，，则实数、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， . 因为：， 所以. 故选：B 例3-2已知函数的图象关于直线对称，则 ． 【答案】 【详解】由函数， 因为函数的图象关于对称，可得， 所以，可得. 故答案为：. 【变式训练3-1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 则，解得， 由诱导公式得，故B正确. 故选：B 【变式训练3-2】函数 的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】 ， 因为，所以， 当时，取得最大值，即. 故选：A. 【变式训练3-3】函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 则函数的最小正周期. 故选：B. 题型4 二倍角公式 例4-1（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 故选：D. 例4-2若，则 . 【答案】 【详解】. 故答案为：. 【变式训练4-1】若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】可知， 代入，得. 故选：D. 【变式训练4-2】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则. 故选：B. 【变式训练4-3】已知，则 ． 【答案】 【详解】， ， 故答案为：． 题型5 三角函数求值问题（给角求值型） 例5-1化简计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 . 故选：B. 例5-2求下列式子的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)-1 (3) 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）因为， 所以， ， 所以原式． 【变式训练5-1】的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】 . 故选：C 【变式训练5-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 . 故选：C 【变式训练5-3】（1）求值： （2）化简：. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）因为， 所以. 则 （2）将，代入式子可得： 根据辅助角公式可得. 所以原式 根据二倍角公式，则. 所以. 题型6 三角函数求值问题（给值求值型） 例6-1已知且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为且，， 则，所以， ，所以， 则． 故选：D. 例6-2已知，则 ． 【答案】 【详解】由，可得，所以， 所以. 故答案为：. 【变式训练6-1】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 即，∴. 故选：A． 【变式训练6-3】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，即． 所以． 故选：D. 【变式训练6-4】若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 则. 故选：A. 题型7 三角函数求值问题（给值求角型） 例7-1已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，解得或， 因为，所以，故. 因为，所以或， 因为，所以，故， 所以， 因为，所以，所以. 故选：C 例7-2已知，，，，则 ． 【答案】 【详解】由以及可得，故， 由以及可得，故， 故，， 故， 故答案为： 【变式训练7-1】已知为三角形的两个内角，，则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为三角形的两个内角，且， 则，， 因，， 得， 则， 故， 因，，则． 故选：B． 【变式训练7-2】已知，为锐角，，且． (1)求的值； (2)求角的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，为锐角，则， 又，则， 所以， 即， 所以……①   又……② 由为锐角，由①②解得：． （2）由（1）知，又， 即． 由，且，则，所以， 又，则，所以． 法二：因为，为锐角，，，解得：，， 由，又， 所以， 则 ， 由，且，则，所以， 又，则，所以． 【变式训练7-3】（1）已知，，求的值； （2）已知，都是锐角，且，，求的值. 【答案】（1）（2） 【详解】（1）由 联立解得： 所以； （2）由，可得， 由于是锐角，，所以是锐角， 则， 由于，所以还是锐角， 即. 1．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 4．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是 ． 【答案】2 【详解】，当时，， 当时，即时，. 故答案为：2 1．已知，为第二象限角，求的值． 【答案】 【详解】因为，为第二象限角， 所以， 故根据余弦的和角公式有. 2．求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2）. 3．已知，，，分别是第二、第三象限角，求，的值． 【答案】，. 【详解】∵，，，分别是第二、第三象限角， ∴，， ∴. ∴ . . 4．求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2）. 5．已知，，α、β均为第二象限角，求的值. 【答案】 【详解】由，α为第二象限角，， 又由，β为第二象限角，， 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$