5.2 三角函数的图像与性质 讲义-2026届高三数学一轮复习

§5.2 三角函数的图像与性质 目录 知识点一：三角函数图像及其变换 2 知识点二：正弦、余弦、正切函数的图像与性质 2 考法1： 三角函数图像的变换 3 考法2： 根据三角函数图像（或性质）求解析式 4 考法3： 三角函数的奇偶性、对称性、周期性 7 考法4：三角函数的单调性与最值 9  求三角函数的单调区间 9  根据单调性求参数 10  求三角函数的值域或最值 11  根据三角函数的最值求参数 11 考法5：三角函数的零点与ω的关系 12 【强化训练】 13 知识点一：三角函数图像及其变换 1. “五点法”作图 用五点法画在一个周期内的简图时，要找出五个关键点.如下表： 0 0 0 0 2. 函数的有关概念 振幅 周期 频率 相位 初相 3. 函数的图像经变换得到的图像的步骤 (1) 函数图象平移的规律：“左加右减，上加下减”． (2) 由到的变换：向左平移个单位长度而非个单位长度． 知识点二：正弦、余弦、正切函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 最小正周期 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 考法1： 三角函数图像的变换 方法提炼 (1) 由的图像变换得到的图像时,无论何种变换,一般都是对变量进行的,即先周期变换再相位变换,平移的量是个单位长度.此处容易出错,应特别注意. (2) 一般可选定变换前后两函数的图像与轴的第一个交点(即图像上升时与轴的交点)分别为，,则由的值可判断出左右平移的情况,由的值可判断出上下平移的情况,由三角函数最小正周期的变化可判断出伸缩变换的情况. (3) 若平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，则通常利用公式和将异名三角函数转化为同名三角函数，然后分析变换过程. 【例1.1.】 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，然后再向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为（ ） A． B． C． D． 【例1.3.】 已知函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若直线与函数的图象分别交于两点，直线与函数的图象分别交于两点（如图所示），若曲边四边形的面积为，则= . 考法2： 根据三角函数图像（或性质）求解析式 方法提炼 已知图像求的方法: 首先确定,再确定,最后确定,具体方法如下: (1) 若最大值为,最小值为,则,.特别地,当时,. (2) 由周期确定,即由求出.常用的确定值的方法： 1　 曲线与轴的相邻两个交点（相邻两对称中心）之间的距离为. 2　 最高点的横坐标与其相邻的最低点横坐标(相邻两对称轴)之间的距离为. 3　 相邻的两个最低点(最高点)之间的距离为. 4　 有时还可以从图中读出或者的长度来确定. (3) 值的确定有三种途径. 1　 代入法:将图像中一个已知点代入函数中或代入图像与直线的交点求解(要注意交点在增区间还是减区间上). 2　 五点法:由特殊点确定,可以利用最高点或最低点,也可以利用零点.利用零点时,通常把“五点法”中的第一个点(初始点)作为突破口,由“第一个点”(图像上升时与轴的交点)可得等式;由“第三个点”图像下降时与轴的交点)可得等式.再由已知条件中的具体范围确定相应的值. 3　 运用逆向思维,由图像变换来确定:由,知“五点法”中的第一个点就是由原点平移而来的,可从图中读出此点横坐标等于,即可得到值. 【例2.1.】 （多选）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则 . 【例2.3.】 某质点的位移与运动时间的关系式为，其图象如图所示，图象与轴交点坐标为，与直线的相邻三个交点的横坐标依次为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．质点在内的位移图象为单调递减 D．质点在内走过的路程为 【例2.4.】 （多选）如图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（   ） A． B．的图象关于中心对称 C．在上单调递增 D．的图象向左平移个单位长度后为奇函数 【例2.5.】 定义：闭区间[a，b]的长度为，已知函数同时满足以下3个条件：①在任意一个区间长度为的闭区间内，都不存在，使得；②；③是函数图象的一个对称中心，则实数的最大值为 . 考法3： 三角函数的奇偶性、对称性、周期性 方法提炼 (1) 对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则.对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则.对于，若为奇函数，则. (2) 涉及奇偶性的计算也可以取特殊值，根据特殊值求出参数的值. (3) 求形如或的函数图像的对称轴或对称中心时，都是先把看作一个整体，然后根据或图像的对称轴或对称中心进行求解.求的图像的对称中心时，也是采用类似的方法. (4) 或的最小正周期为，的最小正周期为. 【例3.1.】 记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【例3.2.】 若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例3.4.】 设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【例3.5.】 （多选）已知，，且，，则下列说法中正确的是（   ） A． B．的图像关于中心对称 C．在上单调递减 D．将的图像向左平移个单位后得到偶函数 考法4：三角函数的单调性与最值 · 求三角函数的单调区间 方法提炼 求形如的单调区间时，要把视为一个整体，当时，所列的不等式的方向与函数，的单调区间对应的不等式方向相同（反）.但如果，可利用诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错. 【例4.1.】 下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【例4.2.】 已知函数的最小正周期为，直线是图象的一条对称轴，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 （多选）已知函数，若函数的部分图象如图所示，则关于函数的结论正确的是（    ） A． B．直线是函数图象的对称轴 C．在上单调递增 D．函数的图象可由函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到 【例4.4.】 （多选）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 · 根据单调性求参数 方法提炼 已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 【例4.5.】 已知函数在上单调递减，则正数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【例4.6.】 已知函数在上单调，且，，则的最大值与最小值之和为（    ） A． B． C．2 D． 【例4.7.】 已知函数在区间单调递减，且和是两个对称中心，则（    ） A． B． C． D． 【例4.8.】 （多选）已知函数满足，且在上是单调函数，则的所有可能取值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 · 求三角函数的值域或最值 方法提炼 求解的值域或最值，可利用三角函数的有界性及单调性求解. 【例4.9.】 已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【例4.10.】 ，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【例4.11.】 （多选）已知函数的图象关于点中心对称，则（   ） A．在区间上单调递增 B．在区间上的最大值为1 C．直线是曲线的对称轴 D．当时，函数的图象恒在函数的图象上方 · 根据三角函数的最值求参数 方法提炼 利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于的不等式(组)，进而求出的值或取值范围. 【例4.12.】 已知函数，既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4.13.】 已知函数在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间（    ） A． B． C． D． 【例4.14.】 当时，函数的值域是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考法5：三角函数的零点与ω的关系 方法提炼 三角函数两个零点之间的“水平间隔”为，根据三角函数的零点个数，可以研究的取值. 【例5.1.】 记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ． 【例5.2.】 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5.3.】 设函数在上至少有两个不同零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5.4.】 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【例5.5.】 已知函数与的图象在上恰有5个公共点，且其中一个公共点的坐标为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 【例5.6.】 如图，是函数的3个相邻的零点，且，则（    ） A． B． C． D． 【强化训练】 1. 设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2. 将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3. 已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 4. 函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5. 已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，函数的对称轴方程为， D．在上的最小值为 6. （多选）已知函数，则（    ） A．的一个对称中心为 B．的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象 C．在区间上单调递增 D．若在区间上与有且只有6个交点，则 7. （多选）将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，若的图象关于轴对称，且在区间上单调递减，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．函数的单调递增区间为 8. 已知函数在上的最小值为，则的最小值为 ． 9. 已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为 ． 10. 已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    11. 已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 12. 已知函数的部分图象如图所示. (1)求的值； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求函数在上的最大值和最小值. 条件①：函数是奇函数； 条件②：将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §5.2 三角函数的图像与性质 目录 知识点一：三角函数图像及其变换 2 知识点二：正弦、余弦、正切函数的图像与性质 2 考法1： 三角函数图像的变换 3 考法2： 根据三角函数图像（或性质）求解析式 5 考法3： 三角函数的奇偶性、对称性、周期性 10 考法4：三角函数的单调性与最值 14  求三角函数的单调区间 14  根据单调性求参数 18  求三角函数的值域或最值 22  根据三角函数的最值求参数 24 考法5：三角函数的零点与ω的关系 26 【强化训练】 30 知识点一：三角函数图像及其变换 1. “五点法”作图 用五点法画在一个周期内的简图时，要找出五个关键点.如下表： 0 0 0 0 2. 函数的有关概念 振幅 周期 频率 相位 初相 3. 函数的图像经变换得到的图像的步骤 (1) 函数图象平移的规律：“左加右减，上加下减”． (2) 由到的变换：向左平移个单位长度而非个单位长度． 知识点二：正弦、余弦、正切函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 最小正周期 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 考法1： 三角函数图像的变换 方法提炼 (1) 由的图像变换得到的图像时,无论何种变换,一般都是对变量进行的,即先周期变换再相位变换,平移的量是个单位长度.此处容易出错,应特别注意. (2) 一般可选定变换前后两函数的图像与轴的第一个交点(即图像上升时与轴的交点)分别为，,则由的值可判断出左右平移的情况,由的值可判断出上下平移的情况,由三角函数最小正周期的变化可判断出伸缩变换的情况. (3) 若平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，则通常利用公式和将异名三角函数转化为同名三角函数，然后分析变换过程. 【例1.1.】 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象， 根据已知得到了函数的图象，所以， 令,则, 所以,所以； 解法二：由已知的函数逆向变换， 第一步：向左平移个单位长度，得到的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 即为的图象，所以. 故选：B. 【例1.2.】 将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，然后再向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来倍，得 然后再向左平移个单位长度后，得， 又因为的图象关于轴对称，所以， 所以，当时，. 故选：B. 【例1.3.】 已知函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若直线与函数的图象分别交于两点，直线与函数的图象分别交于两点（如图所示），若曲边四边形的面积为，则= . 【答案】 【详解】连接，由余弦函数的中心对称的性质可知，曲边四边形的面积等于平行四边形的面积， 由平移知识可知，，两平行直线之间的距离为2，所以，则， 所以 考法2： 根据三角函数图像（或性质）求解析式 方法提炼 已知图像求的方法: 首先确定,再确定,最后确定,具体方法如下: (1) 若最大值为,最小值为,则,.特别地,当时,. (2) 由周期确定,即由求出.常用的确定值的方法： 1　 曲线与轴的相邻两个交点（相邻两对称中心）之间的距离为. 2　 最高点的横坐标与其相邻的最低点横坐标(相邻两对称轴)之间的距离为. 3　 相邻的两个最低点(最高点)之间的距离为. 4　 有时还可以从图中读出或者的长度来确定. (3) 值的确定有三种途径. 1　 代入法:将图像中一个已知点代入函数中或代入图像与直线的交点求解(要注意交点在增区间还是减区间上). 2　 五点法:由特殊点确定,可以利用最高点或最低点,也可以利用零点.利用零点时,通常把“五点法”中的第一个点(初始点)作为突破口,由“第一个点”(图像上升时与轴的交点)可得等式;由“第三个点”图像下降时与轴的交点)可得等式.再由已知条件中的具体范围确定相应的值. 3　 运用逆向思维,由图像变换来确定:由,知“五点法”中的第一个点就是由原点平移而来的,可从图中读出此点横坐标等于,即可得到值. 【例2.1.】 （多选）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A, 不妨令, 当时，， 解得：， 即函数的解析式为： . 而 故选：BC. 【例2.2.】 如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则 . 【答案】0 【详解】令得，或，， 由图可知：，，， 所以，， 所以，所以， 所以，由且处在减区间，得， 所以，， 所以，， 所以. 所以. 【例2.3.】 某质点的位移与运动时间的关系式为，其图象如图所示，图象与轴交点坐标为，与直线的相邻三个交点的横坐标依次为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．质点在内的位移图象为单调递减 D．质点在内走过的路程为 【答案】C 【详解】由已知函数图象得，函数的周期，所以，故A错误； 令，所以，又，所以， 因为，所以或. 又，所以，所以.故B错误； 由已知得图象相邻的两条对称轴分别为直线，， 且在内单调递减，因为， 所以在上单调递减，故C正确； 由图象得该质点在内的路程为，故D错误. 故选：C. 【例2.4.】 （多选）如图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（   ） A． B．的图象关于中心对称 C．在上单调递增 D．的图象向左平移个单位长度后为奇函数 【答案】AC 【详解】对于A，由得，由得， 由得，故， 化简得，     由图可知该函数的周期，故，解得， 所以，故A正确；     对于B，由，得不是函数的对称中心，故B错误； 对于C，由，可得， 由，得函数在上单调递增，故C正确； 对于D，的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，此时为偶函数，故D错误. 故选：AC. 【例2.5.】 定义：闭区间[a，b]的长度为，已知函数同时满足以下3个条件：①在任意一个区间长度为的闭区间内，都不存在，使得；②；③是函数图象的一个对称中心，则实数的最大值为 . 【答案】 【详解】当时，说明与一个取最小值，一个取最大值， 而要想在一个闭区间内能同时取得最小值和最大值，闭区间最少要为半个周期， 因此，若闭区间的长度小于半个周期，则一定不能同时取得最小值和最大值，所以，解得， 所以.不妨设，如图所示：    依次讨论对应为点C，A，D，E四种情况，且， 若对应为点（或点之后），则，即，不合题意； 若求的最大值，即的最小值，即与之间相位跨度最大， 若对应为点，则直线为图象的对称轴， 又是函数图象的一个对称中心，且， 则，解得，则. 所以取值的最大值为. 故答案为：. 考法3： 三角函数的奇偶性、对称性、周期性 方法提炼 (1) 对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则.对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则.对于，若为奇函数，则. (2) 涉及奇偶性的计算也可以取特殊值，根据特殊值求出参数的值. (3) 求形如或的函数图像的对称轴或对称中心时，都是先把看作一个整体，然后根据或图像的对称轴或对称中心进行求解.求的图像的对称中心时，也是采用类似的方法. (4) 或的最小正周期为，的最小正周期为. 【例3.1.】 记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得， 又因为函数图象关于点对称，所以，且， 所以，所以，， 所以. 故选：A 【例3.2.】 若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为， 所以的最小正周期，又，所以， 所以，则，又为奇函数且， 所以，所以， 所以的最小值为． 故选：B． 【例3.3.】 若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B 【例3.4.】 设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为图像经过， 所以. 即. 解得. 由图像可知，即， 解得，所以，. 所以的最小正周期为. 故选：C 【例3.5.】 （多选）已知，，且，，则下列说法中正确的是（   ） A． B．的图像关于中心对称 C．在上单调递减 D．将的图像向左平移个单位后得到偶函数 【答案】BCD 【详解】因为，且，，所以， 所以，所以，解得，所以， 又，所以，所以， 所以，又，，所以，故A错误； 因为，所以的图像关于中心对称，故B正确； 因为，所以，所以在上单调递减，故C正确； 将的图像向左平移个单位得到的函数为， 所以为偶函数，故D正确. 故选：BCD. 考法4：三角函数的单调性与最值 · 求三角函数的单调区间 方法提炼 求形如的单调区间时，要把视为一个整体，当时，所列的不等式的方向与函数，的单调区间对应的不等式方向相同（反）.但如果，可利用诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错. 【例4.1.】 下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的单调递增区间为， 对于函数，由， 解得， 取，可得函数的一个单调递增区间为， 则，，A选项满足条件，B不满足条件； 取，可得函数的一个单调递增区间为， 且，，CD选项均不满足条件. 故选：A. 【例4.2.】 已知函数的最小正周期为，直线是图象的一条对称轴，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于的图象是将的图象在x轴下方部分翻折到x轴上方， 且仅有单调递增区间， 故和的最小正周期相同，均为， 则，即， 又直线是图象的一条对称轴，则， 即，结合，得， 故，令，则， 即的单调递减区间为， 故选：B 【例4.3.】 （多选）已知函数，若函数的部分图象如图所示，则关于函数的结论正确的是（    ） A． B．直线是函数图象的对称轴 C．在上单调递增 D．函数的图象可由函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到 【答案】BCD 【详解】由函数的图像即可得到函数的最大值为2，最小值为， ,故,且，由， 故，当时，，故， 又因为，故，所以， 对于A：，故A错误； 对于B：因为函数图象的对称轴为， 当时，得到，故B正确； 对于C：因为，因为余弦函数在区间单调递增，故在上单调递增，故C正确； 对于D：因为函数先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数， 则， 故，故D正确； 故选：BCD 【例4.4.】 （多选）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 【答案】AD 【详解】由题意得：，所以，， 即， 又，所以时，，故． 对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减； 对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴； 对D，由得：， 解得或, 从而得：或, 所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为：即． 故选：AD． · 根据单调性求参数 方法提炼 已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 【例4.5.】 已知函数在上单调递减，则正数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原函数为， 相当于把位于轴下方的图象翻折到上方， 则有，， 当时，. 故选：D． 【例4.6.】 已知函数在上单调，且，，则的最大值与最小值之和为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由得， 即的图象关于直线对称，且， 故，则， 即， 由函数在上单调， 得，即， 所以，，解得，而，故，1，2. 当时，，则，，结合，得， 此时，当时， 由于在上单调递增，故在上单调递增，满足题意； 当时，，则，，结合，得， 此时，当时，， 由于在上单调递减，故在上单调递减，满足题意； 当时，，，，结合，得， 此时，当时， 由于在上不单调，故在上不单调，不满足题意. 综上，或1，则的最大值与最小值之和为. 故选：B 【例4.7.】 已知函数在区间单调递减，且和是两个对称中心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，即，则，所以， 且和是两个对称中心，且， 所以和在同一周期内， 又的一个周期内有个对称中心， 所以，即，，则， 又，解得，， 又当，时单调递减， 解得，， 所以区间为的一个子集， 所以，结合得，，可得， 所以，所以，故D正确. 故选：D. 【例4.8.】 （多选）已知函数满足，且在上是单调函数，则的所有可能取值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AC 【详解】，故关于中心对称， ，故关于轴对称， ，则， 在上是单调函数，所以，故， 设对称中心和对称轴的距离为，则， 设的最小正周期为， 若，则，故，此时， ，，，， 故，，，， 因为，故当，时，满足要求，此时， 此时，当时，， 此时在上单调递增，满足要求； 若，即，，此时， ，，，， 故，，，， 因为，故当，时，满足要求，此时， 此时，当时，， 故在上不单调，不合要求， 若，即，，此时， ，，，， 故，，，， 因为，故当，时，满足要求，此时， 此时，当时，， 此时在上单调递增，满足要求； 若，即，，此时， ，，，， 故，，，， 因为，故当，时，满足要求，此时， 此时，当时，， 故在上不单调，不合要求， 当时，，不合要求， 综上，所有可能取值为1或5. 故选：AC · 求三角函数的值域或最值 方法提炼 求解的值域或最值，可利用三角函数的有界性及单调性求解. 【例4.9.】 已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时， 故选：D 【例4.10.】 ，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【详解】设的最小正周期为，根据题意有，， 由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：A 【例4.11.】 （多选）已知函数的图象关于点中心对称，则（   ） A．在区间上单调递增 B．在区间上的最大值为1 C．直线是曲线的对称轴 D．当时，函数的图象恒在函数的图象上方 【答案】BD 【详解】因为的图象关于点对称，所以，即，； 因为，所以，即. 令，由可得， 因为，所以函数在区间上不是单调函数，故A不正确； 令，由可得，所以， 所以当，故B正确， ，所以函数的图象关于点对称，直线不是曲线的对称轴，故C不正确； 当时，函数，，； 当时，函数， 所以，函数的图象恒在函数的图象上方，故D正确. 故选：BD. · 根据三角函数的最值求参数 方法提炼 利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于的不等式(组)，进而求出的值或取值范围. 【例4.12.】 已知函数，既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，函数，既有最小值也有最大值， ①当函数最值取得1，最小值为时， 结合函数图象可得，即； ②当取得最大值为，最小值为－1时， 结合函数图象可得， 解得， 综上所述，实数的取值范围为或． 故选：D. 【例4.13.】 已知函数在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，因为此时的最小值为， 所以，即. 若，此时能取到最小值，即， 代入可得，满足要求； 若取不到最小值，则需满足，即， 在上单调递减，所以存在唯一符合题意； 所以或者，所以所有满足条件的的积属于区间， 故选：C 【例4.14.】 当时，函数的值域是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解法一：由题意，画出函数的图象，由，可知， 因为且， 要使的值域是，只要， 即； 解法二：由题，可知， 由的图象性质知，要使的值域是， 则，解之得． 故选：D. 考法5：三角函数的零点与ω的关系 方法提炼 三角函数两个零点之间的“水平间隔”为，根据三角函数的零点个数，可以研究的取值. 【例5.1.】 记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解： 因为，（，） 所以最小正周期，因为， 又，所以，即， 又为的零点，所以，解得， 因为，所以当时； 故答案为： 【例5.2.】 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：依题意可得，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：      则，解得，即． 故选：C． 【例5.3.】 设函数在上至少有两个不同零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令得， 因为，所以， 令，解得或， 从小到大将的正根写出如下： ，，，，，……， 因为，所以， 当，即时，，解得， 此时无解， 当，即时，，解得，此时无解， 当，即时，，解得， 故， 当，即时，，解得， 故， 当时，，此时在上至少有两个不同零点， 综上，的取值范围是. 故选：A 【例5.4.】 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 【例5.5.】 已知函数与的图象在上恰有5个公共点，且其中一个公共点的坐标为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】由题意知经过点， 因此，得：， 即只能为整数，排除选项A，C； 当时，作出与在上的图象： 由图像可得：与的图象在上有5个公共点，满足题意. 当时，作出与在上的图象： 由图象可得：与的图象在上有7个公共点，不满足题意. 故选：B. 【例5.6.】 如图，是函数的3个相邻的零点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的零点即为的解， 令，则为的解， 也就是与的某相邻三个交点的横坐标， 由得，故， 由正弦函数的性质可得，，故. 又，故. 由，得，故 故选：C. 【强化训练】 1. 设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即， 且，所以. 故选：B. 2. 将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则， 解得，又，故当时，的最小值为. 故选：C. 3. 已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在区间单调递增， 所以，且，则，， 当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则， 则， 故选：D. 4. 函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以， 而显然过与两点， 作出与的部分大致图像如下，    考虑，即处与的大小关系， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以由图可知，与的交点个数为. 故选：C. 5. 已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，函数的对称轴方程为， D．在上的最小值为 【答案】D 【详解】因为对任意，恒有，所以为的一条对称轴， 所以， 又在上单调递增，所以， 所以当时，，故A正确；所以， 由为奇函数，故B正确； 由函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数， 令，解得，，故C正确； 由，所以，当，即时，故D错误； 故选：D. 6. （多选）已知函数，则（    ） A．的一个对称中心为 B．的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象 C．在区间上单调递增 D．若在区间上与有且只有6个交点，则 【答案】BD 【详解】对于A，由，故A错误； 对于B，的图象向右平移个单位长度后得： ，为奇函数，故B正确； 对于C，当时，则，由余弦函数单调性知，在区间上单调递减，故C错误； 对于D，由，得，解得或， 在区间上与有且只有6个交点， 其横坐标从小到大依次为：， 而第7个交点的横坐标为， ，故D正确. 故选：BD 7. （多选）将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，若的图象关于轴对称，且在区间上单调递减，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．函数的单调递增区间为 【答案】AC 【详解】由题意，由可得， 因为的图象关于轴对称，所以，则． 则． 又在区间上单调递减，则，即得，故或， 当时，，其图象在区间上单调递增，不符合题意； 当时，，其图象在区间上单调递减，符合题意，故A正确； 由，可得， 解得．故不等式的解集为，故B错误； 令，得，令，得， 所以点为图象的一个对称中心，所以，故C正确； 令，因为在定义域上单调递增， 所以函数的单调递增区间即为在的条件下的单调递增区间， 所以，解得， 所以函数的单调递增区间为，，故D错误． 故选：AC． 8. 已知函数在上的最小值为，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由，可得：， 令 由题意可知：在可取到， 结合余弦函数的性质可知需满足：， 解得， 所以的最小值为， 故答案为： 9. 已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为 ． 【答案】2 【详解】由图可知，即，所以； 由五点法可得，即； 所以. 因为，； 所以由可得或； 因为，所以， 方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即， 解得，令，可得， 可得的最小正整数为2. 方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2. 故答案为：2. 10. 已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    【答案】 【详解】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：． 11. 已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 12. 已知函数的部分图象如图所示. (1)求的值； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求函数在上的最大值和最小值. 条件①：函数是奇函数； 条件②：将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)2 (2)最大值为1，最小值为 【详解】（1）设的最小正周期为， 由题意可得：，即， 且，所以. （2）由（1）可知：， 若选条件①：函数是奇函数， 且，则， 可得，解得，则， 又因为，则， 可知：当，即时，取到最小值； 当，即时，取到最大值； 若选条件②：将函数的图象向右平移个单位长度后， 得到， 且，则， 可得，解得，则， 又因为，则， 可知：当，即时，取到最小值； 当，即时，取到最大值； 若选条件③：因为，即， 且，则， 可知，即，不合题意，舍去. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$