精品解析：滕州市北辛街道北辛中学2024—2025学年上学期12月八年级数学月考试卷　

八年级数学试卷 一.选择题（每题3分，共10分） 1. 已知是关于x，y的二元一次方程，则的值是（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 1 2. 若方程组的解满足，则等于（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 3. 已知点，都在函数的图象上，下列对于，的关系判断正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 的平均数为m，的平均数为，则的平均数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一组正整数，5，，，8有唯一众数1，中位数是3，则这一组数据的平均数为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 6. 两个一次函数、，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿射线以的速度运动，设运动的时间为t秒，若是等腰三角形时，则t的值为（ ） A. 10 B. 16 C. 10或16 D. 10或16或 8. 如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 9. ，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（ ） A. B. C. D. 二.填空题（每题3分，共18分） 11. 若是二元一次方程的一个解，则的值为_____. 12. 设，当时，；当时，．则当时，_________． 13. 已知一组数据的平均数是10，方差是2，数据的方差是_____. 14. 若方程组无解，则图像不经过第_____象限． 15. 已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心，他把看错了，从而解得，则_____，_____． 16. 一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图像都是一条直线，在同一平面直角坐标系中画出二元一次方程的两个二元一次方程的图像如图所示，则二元一次方程组的解为_____． 三.解答题（72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程组： （1） （2） 19. 某校从九年级男生中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为10分）． 甲组成绩统计表 成绩/分 7 8 9 10 人数/人 1 9 5 5 （1）甲组成绩的众数____________乙组成绩的众数（填“”“”或“”）； （2）求乙组的平均成绩； （3）这40个学生成绩的中位数是____________； （4）经计算甲组成绩的方差为0.81，乙组成绩的方差为0.75，请你判断哪个小组的成绩比较整齐． 20. 如图，已知一次函数的图象经过点，，为直线上的动点，正比例函数的图象经过点． （1）求一次函数的表达式； （2）若点，求方程组的解． 21. 对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“和谐值”；若，则称或为方程的“和谐值”，此时的“和谐值”又称为“和谐平衡值”；若，则称为方程的“和谐值”. （1）当时，此方程的“和谐值”是_____，二元一次方程的“和谐平衡值”是_____； （2）若二元一次方程的“和谐值”为5，写出所有满足条件的方程的解； 22. “沉睡数千年，一醒惊天下”，三星堆遗址出土的文物再现了古蜀文明的辉煌景象．某校组织师生共480人开展三星堆博物馆研学活动．该校计划向运输公司租用A，B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则还有15人没有座位． （1）求A，B两种车型各有多少个座位？ （2）若要求租用的每辆客车都坐满，那么共有多少种租车方案？并列出所有的租车方案． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点A，直线过点A，与x轴交于点C，点P是x轴上方一个动点． （1）求直线的函数表达式； （2）若点P在射线上，且，求点P的坐标． 24. 【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试卷 一.选择题（每题3分，共10分） 1. 已知是关于x，y的二元一次方程，则的值是（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据二元一次方程的定义，方程需满足两个未知数的次数均为1，且系数不为零； 【详解】1. 系数条件：方程中的系数为，需满足，即， 2. 次数条件：的指数为，需满足，解得，即或， 3. 排除矛盾：当时，的系数为0，方程退化为关于的一元一次方程，不符合“二元”条件，故舍去， 4. 验证唯一解：当时，的系数为，y的指数为，方程化为，符合二元一次方程的定义， 综上，， 故选：B； 2. 若方程组的解满足，则等于（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法与代数式求值，解题的关键是将方程组中的两个方程相加，结合建立关于的方程． 将方程组的两个方程左右两边分别相加，得到含与的等式，再代入求解． 【详解】解：已知方程组， 将两方程相加，得：， 整理得：， 两边同时除以5，得：． 又因为，所以， 解得． 故选：B． 3. 已知点，都在函数的图象上，下列对于，的关系判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键,将点、代入函数解析式，联立方程消去，得到与的关系式，然后即可求解. 【详解】解：∵点在函数上， 代入得：, ∴， ∵点在函数上， 代入得：， ∴， ∴ ， 化简得 ，即 ， 故选：A. 4. 的平均数为m，的平均数为，则的平均数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数的变形计算，掌握以上知识是解答本题的关键. 根据平均数的定义，先分别求出前5个数和后个数的总和，再计算全部个数的平均数， 【详解】解：前5个数的平均数为，总和为；第6到第个数共个数的平均数为，总和为， ∴全部个数的总和为，平均数为：，对应选项D，其他选项中，A和B未考虑数据量的差异，C的分母错误（总数为而非），故排除， 故选：D. 5. 已知一组正整数，5，，，8有唯一众数1，中位数是3，则这一组数据的平均数为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的定义，掌握以上知识是解答本题的关键． 根据众数和中位数的定义，确定数据中的各个数值，再计算平均数，即可求解． 【详解】解：∵一组正整数，5，，，8有唯一众数1， ∴1出现次数至少两次， ∵中位数是3， ∴排序后第三个数为3， ∴将数据从小到大排列为1，1，3，5，8， ∴总和为，平均数为， 故选：B． 6. 两个一次函数、，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一次函数图象与，的关系，逐项判断即可． 【详解】、如果过第一、二、四象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故错误； 、如果过第一、二、四象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，故正确； 、如果过第一、二、四象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故错误； 、如果过第一、二、四象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故错误， 故选：． 【点睛】此题考查了一次函数的图象性质，灵活运用一次函数图象的性质是解题的关键． 7. 如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿射线以的速度运动，设运动的时间为t秒，若是等腰三角形时，则t的值为（ ） A. 10 B. 16 C. 10或16 D. 10或16或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的勾股定理以及等腰三角形的定义，解题的关键是注意分类讨论．根据为等腰三角形进行分类讨论，分别求出的长，即可求出t． 【详解】解：中，，，， 由勾股定理得：， ∵动点P从点B出发，沿射线以的速度运动，运动的时间为t秒， ∴， ①时，如图所示： ∵， ∴， ∴， 解得：； ②当时，如图所示： ∵， ∴， 解得：； ③当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，当t分别为、10、16时，为等腰三角形． 故选：D． 8. 如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，解答本题要明确：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．两直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解，掌握以上知识是解答本题的关键． 本题根据两直线的交点与二元一次方程组的解知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：关于x，y的方程组的解， 即为一次函数的图象与的图象的交点坐标， 将代入得：， ∴， 故关于x，y的方程组的解是． 故选：A． 9. ，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据乘法分配律，平方差公式，完全平方公式，二次根式的性质计算出结果，再实数的大小比较． 【详解】解：， ， ， ， ． 10. 已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解题关键是利用筛选法解二元一次方程组． 根据题意得，然后根据题意列出方程组即可求得公共解． 【详解】解：①+②得，， ， ， 根据题意，这些方程有一个公共解，与的取值无关， ∴，解得：， 所以这个公共解为， 故选：C． 二.填空题（每题3分，共18分） 11. 若是二元一次方程的一个解，则的值为_____. 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程，得，将所求式子变形为，再代入求出答案即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴． 故答案为：2024． 12. 设，当时，；当时，．则当时，_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．将x与y的两对值代入中，得到二元一次方程组，解方程组求出k与b的值，将代入计算即可求出y的值． 【详解】解：当时，；当时，： ∴ 解得：， ∴， 将代入得：． 故答案为：． 13. 已知一组数据的平均数是10，方差是2，数据的方差是_____. 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了方差与算术平均数，用到的知识点：如果一组数据的平均数为，方差为，那么另一组数据，，，的平均数为，方差为．根据方差和平均数的变化规律可得：数据，，……，的平均数是，方差是方差为，再进行计算即可． 【详解】解：∵数据的方差是2， ∴数据的方差是． 故答案为：8． 14. 若方程组无解，则图像不经过第_____象限． 【答案】三 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系、一次函数图像与系数的关系，解题的关键是求出k的值．根据两直线平行没有公共点得到，解得，则一次函数为，然后根据一次函数的性质解决问题即可． 【详解】解：∵方程组无解， ∴，解得， ∴一次函数为， ∵一次函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故答案为：三． 15. 已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心，他把看错了，从而解得，则_____，_____． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，由题意得出，解方程组即可得出答案． 【详解】解：由题意得， 解得． 故答案为：3，． 16. 一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图像都是一条直线，在同一平面直角坐标系中画出二元一次方程的两个二元一次方程的图像如图所示，则二元一次方程组的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），熟练掌握方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标是解题的关键．由图像得，二元一次方程组的解为，易知二元一次方程组中有，求解即可获得答案． 【详解】解：由图像得，二元一次方程组的解为， ∴二元一次方程组中有， 解得． 故答案为：． 三.解答题（72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算． （1）先算除法及二次根式化简，再合并即可； （2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，并化简绝对值，最后合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解题关键． （1）整理方程组，再利用加减消元法解方程组即可； （2）整理方程组，再利用加减消元法解方程组即可； 【小问1详解】 解：方程组整理得， 由得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 方程组的解集为； 【小问2详解】 解：方程组整理得， 由得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 方程组的解集为； 19. 某校从九年级男生中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为10分）． 甲组成绩统计表 成绩/分 7 8 9 10 人数/人 1 9 5 5 （1）甲组成绩的众数____________乙组成绩的众数（填“”“”或“”）； （2）求乙组的平均成绩； （3）这40个学生成绩的中位数是____________； （4）经计算甲组成绩的方差为0.81，乙组成绩的方差为0.75，请你判断哪个小组的成绩比较整齐． 【答案】（1） （2）8.5分 （3）8分 （4）乙组 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和统计表、众数、中位数、平均数以及方差，从统计图中获取有用数据是解答的关键． （1）根据众数是所给数据中出现次数最多的数据分别求解甲乙两组的众数即可解答； （2）根据平均数的求解方法求解即可； （3）将40个数据从小到大排列，第20个和21个数据的平均数即为中位数； （4）根据方差越小，数据越稳定，成绩越整齐求解即可． 【小问1详解】 解：根据统计图和统计表数据，甲组成绩的众数为8分，乙组成绩的众数为8分， ∴甲组成绩的众数乙组成绩的众数， 故答案为：； 【小问2详解】 解：乙组的平均成绩为（分）； 【小问3详解】 解：将甲乙两组成绩的40个数据从小到大排列，其中，7分的有3人，8分的有18人，9分的有11人，10分的有8人， ∴第20个和21个数据都是8分， ∴这40个学生成绩的中位数是（分）； 【小问4详解】 解：∵甲组成绩的方差为0.81，乙组成绩的方差为0.75，， ∴乙组的成绩比较整齐． 20. 如图，已知一次函数的图象经过点，，为直线上的动点，正比例函数的图象经过点． （1）求一次函数的表达式； （2）若点，求方程组的解． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要查了求一次函数的解析式，一次函数图象的交点问题： （1）直接利用待定系数法解答，即可求解； （2）求出点C的坐标，将方程组整理为，可得方程组的解为一次函数与正比例函数的交点坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：将点，代入得： ，解得， 一次函数的表达式为：． 【小问2详解】 解：将代入得∶ ， ， 将方程组整理为， ∴方程组的解为一次函数与正比例函数的交点坐标， 方程组的解为． 21. 对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“和谐值”；若，则称或为方程的“和谐值”，此时的“和谐值”又称为“和谐平衡值”；若，则称为方程的“和谐值”. （1）当时，此方程的“和谐值”是_____，二元一次方程的“和谐平衡值”是_____； （2）若二元一次方程的“和谐值”为5，写出所有满足条件的方程的解； 【答案】（1）；或； （2）、； 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解“和谐值”和“和谐平衡值”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）先求出当时，此方程的解，再根据“和谐值”的定义求解即可；根据“和谐平衡值”可得，再分两种情况分别求解即可； （2）根据“和谐值”的定义分四种情况讨论即可． 【小问1详解】 解 ：当时，则， ， ，即， ， 当时，此方程的“和谐值”是； 二元一次方程有“和谐平衡值” ， ， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上可知，二元一次方程的“和谐平衡值”是或， 故答案为：1；或； 【小问2详解】 解：若二元一次方程的“和谐值”为5， ①当时，，解得：， ， 5是二元一次方程的“和谐值”，符合题意，此时方程的解为； ②当时，，解得：， ， 5是二元一次方程的“和谐值”，符合题意，此时方程的解为； ③当时，，解得：， ， 4是二元一次方程的“和谐值”，不符合题意； ④当时，，解得：， ， 1是二元一次方程的“和谐值”，不符合题意； 综上可知，所有满足条件的方程的解为、； 22. “沉睡数千年，一醒惊天下”，三星堆遗址出土的文物再现了古蜀文明的辉煌景象．某校组织师生共480人开展三星堆博物馆研学活动．该校计划向运输公司租用A，B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则还有15人没有座位． （1）求A，B两种车型各有多少个座位？ （2）若要求租用的每辆客车都坐满，那么共有多少种租车方案？并列出所有的租车方案． 【答案】（1）A型车有45个座位，B型车有60个座位． （2）共有2种租车方案；分别是租用A型车4辆，B型车5辆；租用A型车8辆，B型车2辆． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键． （1）设A型车有x个座位，B型车有y个座位，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设租用A，B两种车型分的辆数分别为m和n，根据题意可得：，则有：，然后列举m确定n即可解答． 【小问1详解】 解：设A型车有x个座位，B型车有y个座位， 根据题意得：，解得：． 答：A型车有45个座位，B型车有60个座位． 【小问2详解】 解：设租用A，B两种车型分的辆数分别为m和n， 根据题意可得：，则有： 当时，； 当时，． 所以，共有2种租车方案；分别是租用A型车4辆，B型车5辆；租用A型车8辆，B型车2辆． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点A，直线过点A，与x轴交于点C，点P是x轴上方一个动点． （1）求直线的函数表达式； （2）若点P在射线上，且，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，灵活运用所学知识是解题关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）设点P坐标为，根据分两种情况即可求解； 【小问1详解】 解：点A在y轴上，直线过点A， 令，则， 点A坐标为， 将点和点代入直线， 得， 解得， 直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设点P坐标为， 令，即，解得：， 点C坐标为， 点，点， ，，， ， 当点P在上时，，如图 ， ， ， ，解得， 点P坐标为； 当点P在的延长线上时，如图， ， ， ，解得， 点P坐标为； 综上所述点P的坐标为：或． 24. 【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）6；（2）450元． 【解析】 【分析】此题考查三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价1本笔记本、1支签字笔、1支记号笔花费总数，即可求出购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要的钱． 【详解】解：（1）依题意，， ∴得：， ∴； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元， 根据题意得：， ∴得， ∴（元）， ∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $