1.3全等三角形的判定（4知识点+8题型+课后练习）同步讲义-2025-2026学年八年级数学上册苏科版（2024）

第1章 三角形 1.3全等三角形的判定 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 理解直角三角形全等的特殊判定定理（HL）及适用条件​ . 掌握全等三角形判定定理的综合应用，能根据条件选择最优判定方法​ . 规范运用判定定理进行几何推理，解决含复杂图形的证明问题 . . 一：全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 二：直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 三：全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 四：全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 考点一： 用SSS证明三角形全等(SSS) 1．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 2．如图是油纸伞的张开示意图，，则的判定依据是（　　）      A． B． C． D． 3．数学课上，小王同学用尺规在黑板上作的角平分线，先以点为圆心，适当长度为半径画弧，交于点，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线，则就是的平分线．根据全等知识我们知道，则所用到的判定定理是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A． B． C． D． 考点二.全等的性质和ssS综合(SSS) 5．工人师傅常用角尺平分一个任意角 ．作法如下：如图所示， 是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点 C的射线即是的平分线 ．这种作法的道理是（    ） A． B． C． D． 6．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图能得出的依据是（    ） A． B． C． D． 7．在探究用尺规作一个与相等的时，小明和小华分别提出了自己的想法，下面是他们二人的作图痕迹，则下列判断正确的是（　　） A．小明和小华的作法都正确 B．小明的作法正确，小华的作法不正确 C．小明的作法不正确，小华的作法正确 D．小明和小华的作法都不正确 8．如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，点E，F分别为，中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 考点三. 用SAS证明三角形全等(SAS) 9．如图，和相交于点O，，若用“”证明，则还需添加（ ） A． B． C． D． 10．课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如下图．这一作法中，“”的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 11．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，根据所学的三角形全等的有关知识，得出的依据是（    ） A． B． C． D． 12．测量锥形瓶底面内径的方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点固定，只要测得之间的距离，就可知道锥形瓶底面内径的长度．此方案中，判定的依据是（　　） A． B． C． D． 考点四.全等的性质和SAS综合(SAS) 13．如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（    ） A． B． C． D． 14．如图，，，，下列结论不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 15．如图是某物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图所示，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出，两点之间的距离，即可得到的长度，其依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等 16．如图，在中，，，若，则的长是（    ） A．2 B．4 C．3 D．8 考点五.用ASA (AAS) 证明三角形全等 17．如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点A和B，在岸边标记目标点C、D，使，并利用测角仪测得．此时，利用三角形全等的性质，测量长度即可得到河宽．要说明两个三角形全等最恰当的理由是（    ） A． B． C． D． 18．题目：“在和中，，已知，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 19．如图，小明不慎把三角形玻璃打碎成四块，他只要带哪一块去即可定制出和原来一样的三角形玻璃？（    ） A．① B．② C．③ D．④ 20．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　） A． B． C． D． 考点六.全等的性质和ASA (AAS)综合 21．如图，在中，，E是上一点，，于点D，若．则的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 22．如图，从C地看A，B两地的视角是锐角，从C地到A，B两地的距离相等．A地到路段的距离与B地到路段的距离相等．原因是，全等的依据是（       ） A． B． C． D． 23．如图，且，点在上．若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 24．如图，，，，，垂足分别是点、，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 考点七.用HL证全等(HL) 25．用小尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，则射线为的角平分线，这么做的原理是（   ） A． B． C． D． 26．在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（    ） A． B． C． D． 27．如图，于点C，于点D，连接，且，则可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 28．如图所示，在和中，，点E在上，点D在上，与交于点O，，，则可判定的依据是（   ） A． B． C． D． 考点八.全等的性质和HL综合(HL) 29．如图，能用“”判定和全等的条件是（    ） A． B． C． D． 30．如图，，，垂足分别为E、F，，且，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 31．为了测量无法直接测量的池塘两端A，B的距离，小王同学设计了一个测量A，B距离的方案．如图，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，可以说明，最后测量的长即得．那么判断的原理是（   ） A． B． C． D． 32．如图，是的高，，，，则∠DBE=（    ） A．20° B．25° C．30° D．35° 一、单选题 1．根据下列条件，能唯一画出的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，AC、BD交于点，，添加：①；②；③；④，四个条件中的一个，能使的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在和中，，点分别在上，与交于点，连接．若，则图中的全等三角形一共有（   ） A．对 B．对 C．对 D．对 4．根据下列已知条件，不能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，，，垂足分别为B、D ，添加一个条件，使，下列条件不符合的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，C是的中点，．下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（   ） A． B． C． D． 8．四边形具有不稳定性，从数学角度看不稳定性主要体现在（    ） A．内角可发生变化 B．边长发生变化 C．周长发生变化 D．内角和发生变化 9．如图，点、、、四点共线，，，添加一个条件，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 10．已知：如图，，，，则的度数为（    ） A．40° B．50° C．60° D．75° 2、 填空题 11．如图，，与交于点O，．点M从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点N从点D出发，沿方向以的速度运动，当点M回到点A时，M，N两点同时停止运动． （1） ； （2）连接，当线段经过点O时，点M的运动时间为 s． 12．如图是张老师自制的教具模型图，利用教具她验证了连接平行四边形相邻两边上的两点后，此时图形的形状是无法改变的，她用到了三角形“ ”的性质． 13．如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的面积的最大值为 ． 14．如图，已知，补充一个条件 ，则可使得 15．如图，A，D，B，E四点共线，，，添加一个条件不能判定 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形 1.3全等三角形的判定 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 理解直角三角形全等的特殊判定定理（HL）及适用条件​ . 掌握全等三角形判定定理的综合应用，能根据条件选择最优判定方法​ . 规范运用判定定理进行几何推理，解决含复杂图形的证明问题 . . 一：全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 二：直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 三：全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 四：全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 考点一： 用SSS证明三角形全等(SSS) 1．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【分析】根据基本作图，同圆的半径相等，可以判定是根据，解答即可． 本题考查了基本作图，三角形全等的判定和性质，熟练掌握基本作图是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，得到判定二角相等的依据是， 故选：A． 2．如图是油纸伞的张开示意图，，则的判定依据是（　　）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据，，判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：D． 3．数学课上，小王同学用尺规在黑板上作的角平分线，先以点为圆心，适当长度为半径画弧，交于点，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线，则就是的平分线．根据全等知识我们知道，则所用到的判定定理是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线作图和全等三角形的判定，准确分析证明是解题的关键． 【详解】解：尺规作图中，，， 即，利用即可判定， 故选：D． 4．如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，注意判定两三角形的全等方法有，，，，，选用适当的方法证明两三角形全等是解题的关键． 利用证明，即可求解． 【详解】解：在与中， ∵， ∴． 故选：C 考点二.全等的性质和ssS综合(SSS) 5．工人师傅常用角尺平分一个任意角 ．作法如下：如图所示， 是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点 C的射线即是的平分线 ．这种作法的道理是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据作图，可知：，结合，利用证明，即可． 【详解】解：由题意，可知：， 又∵， ∴， ∴，即：射线即是的平分线； 故依据为； 故选B． 6．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图能得出的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作角等于已知角，全等三角形的性质和判定．根据尺规作图的过程可得，即可根据“边边边”证明，即可解答． 【详解】解：由作法得：， ∴， ∴． 故选：C 7．在探究用尺规作一个与相等的时，小明和小华分别提出了自己的想法，下面是他们二人的作图痕迹，则下列判断正确的是（　　） A．小明和小华的作法都正确 B．小明的作法正确，小华的作法不正确 C．小明的作法不正确，小华的作法正确 D．小明和小华的作法都不正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，尺规作一个角等于已知角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法，根据作图可得，即可得出结论； 【详解】解：小明的做法：， ∴， ∴，即， 小华的做法：， ∴， ∴，即， 综上所述，小明和小华的做法都正确， 故答案为：A． 8．如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，点E，F分别为，中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点的定义，全等三角形的判定与性质，根据题意先整理得，再证明，即可作答． 【详解】解：点E，F分别为，中点， ，， ， ， 在和中 ， ∴ 故答案：B． 考点三. 用SAS证明三角形全等(SAS) 9．如图，和相交于点O，，若用“”证明，则还需添加（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：．根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】证明：在和中， ， ， 用“”证明，则还需添加 故选： 10．课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如下图．这一作法中，“”的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．由作图过程可得，，结合全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：由作图可知，， ∴（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等） 故选：B． 11．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，根据所学的三角形全等的有关知识，得出的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：由题意可知，，， 故， 故选C． 12．测量锥形瓶底面内径的方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点固定，只要测得之间的距离，就可知道锥形瓶底面内径的长度．此方案中，判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据题意，利用“”证明即可． 【详解】解：由题意，，，又， ∴， 故选：B． 考点四.全等的性质和SAS综合(SAS) 13．如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握旋转的性质，得到三角形全等是解题的关键． 证明，得到，推出为直角三角形，利用的面积等于，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积等于； 故选：A． 14．如图，，，，下列结论不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．根据得，进而依据“”判定和全等得，，，进而得选项B，，一定成立，对于选项A当时成立，由此即可得出答案． 【详解】解：， ， 即， 在和中，， ， ，，， 故选项B，，一定成立，不符合题意， 当时，， 因此选项A不一定成立． 故选：A． 15．如图是某物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图所示，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出，两点之间的距离，即可得到的长度，其依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，先根据中点的定义，得出，，再根据对顶角相等得到，从而证得即可，正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵为，中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴量出，两点之间的距离，即可得到的长度，其依据是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等， 故选：． 16．如图，在中，，，若，则的长是（    ） A．2 B．4 C．3 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明，则． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 考点五.用ASA (AAS) 证明三角形全等 17．如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点A和B，在岸边标记目标点C、D，使，并利用测角仪测得．此时，利用三角形全等的性质，测量长度即可得到河宽．要说明两个三角形全等最恰当的理由是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 直接利用全等三角形的判定方法（），进而判断得出即可． 【详解】解：在和中， ，，（对顶角相等 ）， ∴． 故选：B ． 18．题目：“在和中，，已知，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确分三种情况讨论是解题关键．分三种情况：①当和都是锐角时，②当和都是钝角时，③当和中，有一个是锐角、一个是钝角时；不妨设是锐角，是钝角；过点作于点，过点作于点，证出，，根据全等三角形的性质即可得． 【详解】解：①如图，当和都是锐角时， 过点作于点，过点作于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②如图，当和都是钝角时， 过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点， 同理可证：， ∴， 即； ③如图，当和中，有一个是锐角、一个是钝角时； 不妨设是锐角，是钝角， 过点作于点，过点作，交延长线于点， 同理可证：， ∴， ∵， ∴； 综上，或， 所以正确的是甲、丙答案合在一起才完整， 故选：C． 19．如图，小明不慎把三角形玻璃打碎成四块，他只要带哪一块去即可定制出和原来一样的三角形玻璃？（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理进行判定即可． 【详解】解：①只能确定一个角，不能确定全等三角形； ②边和角都不能确定，故不能确定全等三角形； ③能确定两个角及其夹边，能确定全等三角形； ④边和角都不能确定，故不能确定全等三角形； 根据全等三角形的判定定理，进行判定即可定制出和原来一样的三角形玻璃． 故选C． 20．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，三角形三边关系应用；判定两个三角形全等的方法有、、、、，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可． 【详解】解：A、∵， 不能画出，故本选项不符合题意； B、已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意； C、已知两边及其中一边的对角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意； D、已知两角及其夹边，能画出唯一三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 考点六.全等的性质和ASA (AAS)综合 21．如图，在中，，E是上一点，，于点D，若．则的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积及全等三角形的判定与性质，能根据全等三角形的判定与性质得出的长是解题的关键． 过点E作的垂线，垂足为M，根据全等三角形的判定与性质得出的长即可解决问题． 【详解】解：过点E作的垂线，垂足为M， ∵，， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴． 又∵， ∴． 故选：D． 22．如图，从C地看A，B两地的视角是锐角，从C地到A，B两地的距离相等．A地到路段的距离与B地到路段的距离相等．原因是，全等的依据是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的全等判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和性质是解题的关键． 利用证明，即可得证． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 23．如图，且，点在上．若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 由平行线的性质可得，最后再利用证明，由全等三角形的性质即可得解． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ， 故选：A． 24．如图，，，，，垂足分别是点、，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，余角性质，由已知可得，进而由余角性质得到，即可得到，得到，，再根据线段的和差关系可求出的值，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， ． ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 故选：． 考点七.用HL证全等(HL) 25．用小尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，则射线为的角平分线，这么做的原理是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟知定理满足的条件是解答的关键．根据“”定理证明，再利用全等三角形的对应角相等可得结论，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，则射线为的角平分线， 故这么做的原理是定理， 故选：B． 26．在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，可判定选项D正确． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 故选：D． 27．如图，于点C，于点D，连接，且，则可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，能熟练地运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键． 根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ， ∵在和中 ， ， 故选：D． 28．如图所示，在和中，，点E在上，点D在上，与交于点O，，，则可判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握定理是关键．在和中，，，，即可根据定理证明． 【详解】解：在和中，，，， ∴， 故选：C 考点八.全等的性质和HL综合(HL) 29．如图，能用“”判定和全等的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，根据三角形全等的判定方法即可直接得出答案． 【详解】解：A. ∵， ∴，故此选项符合题意； B. ，结合，能运用“”判定和，故此选项不符合题意； C. ∵，， ∴，故此选项不符合题意； D. ∵，， ∴，故此选项不符合题意； 故选：A． 30．如图，，，垂足分别为E、F，，且，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据题意得到，进行判定即可． 【详解】解：，， ， ， 在和中， ， ，故选项D正确； ， ，故选项A正确； ， ，故选项B正确； ，故选项C错误； 故选C． 31．为了测量无法直接测量的池塘两端A，B的距离，小王同学设计了一个测量A，B距离的方案．如图，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，可以说明，最后测量的长即得．那么判断的原理是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的实际应用，运用全等三角形的知识解决实际问题成为解题的关键． 根据全等三角形的判定方法进行判断即可解答． 【详解】解：由题意，可知：，， 又∵， ∴， ∴． 故选A． 32．如图，是的高，，，，则∠DBE=（    ） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】B 【分析】证明Rt△BDE≌Rt△ADC，根据全等三角形的性质得到∠DBE＝∠DAC，根据等腰直角三角形的性质求出∠DAB＝∠DBA＝45°，计算即可． 【详解】解：∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△BDE和Rt△ADC中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL）， ∴∠DBE＝∠DAC， 在Rt△ADB中，AD＝BD， ∴∠DAB＝∠DBA＝45°， ∵∠BAC＝70°， ∴∠DAC＝70°−45°＝25°， ∴∠DBE＝∠DAC°＝25°， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 一、单选题 1．根据下列条件，能唯一画出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定条件，解题的关键是依据不同条件，结合三角形三边关系、全等判定定理（如“ASA”等）判断能否唯一确定三角形． 依次分析每个选项，根据三角形三边关系、全等判定条件判断能否唯一画出． 【详解】A、根据三角形三边关系＂任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边＂． 在中，，而，不满足三边关系，所以不能构成三角形，更无法唯一画出，不符合题意； B、已知．此时不是与的夹角（与的夹角是），根据这些条件画出的三角形不唯一，因为以为顶点，点的位置不唯一，所以不能唯一画出，不符合题意； C、已知，因为两角及其夹边确定（ASA，即角边角判定定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等），、的夹边是，所以根据这些条件能唯一确定，可以唯一画出，符合题意； D、已知．（斜边），但未给出其他边或角，无法唯一确定直角三角形的两直角边，排除，不符合题意． 故选：C． 2．如图，AC、BD交于点，，添加：①；②；③；④，四个条件中的一个，能使的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是添加条件判定三角形确定，根据添加的条件结合全等三角形的判定方法逐一分析即可. 【详解】解：∵，，， ∴，故①符合题意； ∵，，， ∴不能判定，故②不符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴，故③符合题意； ∵，，， ∴，故④符合题意； 故选：C 3．如图，在和中，，点分别在上，与交于点，连接．若，则图中的全等三角形一共有（   ） A．对 B．对 C．对 D．对 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由三角形内角和定理可得，进而可得，得到，，即得，进而可推出、和，即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， 综上，图中的全等三角形一共有对， 故选：． 4．根据下列已知条件，不能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形唯一性的判定，需根据全等三角形的判定条件（）逐一分析各选项． 【详解】解：A．已知三边（），满足条件，可唯一确定三角形，不符合题意； B．已知两边（）及其中一边的对角（），属于情况．由于不是和的夹角，无法保证三角形唯一性，可能存在两种不同形状的三角形，符合题意； C．已知两边（）及其夹角（），满足条件，可唯一确定三角形，不符合题意； D．已知直角边，斜边，满足定理，可唯一确定直角三角形，不符合题意； 故选：B． 5．如图，，，垂足分别为B、D ，添加一个条件，使，下列条件不符合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．由题意可知，，，再根据各选项添加的条件逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，，， A、添加，可利用“”证明，不符合题意； B、添加，可利用“”证明，不符合题意； C、添加，可利用“”证明，不符合题意； D、添加，一组角和一组边相等，无法证明，符合题意； 故选：D． 6．如图，C是的中点，．下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定条件一一判断即可． 【详解】解：∵C是的中点， ∴， ．当，，，无法得出，故该选项不符合题意； ．当，，，可利用证明，故该选项符合题意； ．当，，无法得出，故该选项不符合题意； ．当，，，无法得出，故该选项不符合题意； 故选：B． 7．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用． 图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，可以通过画出与书上完全一样的三角形， 故选：A． 8．四边形具有不稳定性，从数学角度看不稳定性主要体现在（    ） A．内角可发生变化 B．边长发生变化 C．周长发生变化 D．内角和发生变化 【答案】A 【分析】四边形的不稳定性是指在边长固定的情况下，其形状可以发生改变，导致内角发生变化，而周长和内角和保持不变． 根据稳定性的变化逐一判断即可． 【详解】A：四边形边长固定时，通过调整形状，内角会改变，体现不稳定性，故A正确； B：不稳定性指边长固定时形状改变，边长本身不变，故B错误； C：周长是边长的总和，边长固定则周长不变，故C错误； D：四边形的内角和恒为，与形状无关，故D错误； 故选：A． 9．如图，点、、、四点共线，，，添加一个条件，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．求出，根据推出，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：， ， 即， A．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C．， ， ，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意． 故选：D． 10．已知：如图，，，，则的度数为（    ） A．40° B．50° C．60° D．75° 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，先根据三角形的内角和定理求解，再证明得到即可； 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴ 故选：B． 2、 填空题 11．如图，，与交于点O，．点M从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点N从点D出发，沿方向以的速度运动，当点M回到点A时，M，N两点同时停止运动． （1） ； （2）连接，当线段经过点O时，点M的运动时间为 s． 【答案】 16 或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，分情况讨论． （1）证，可得答案； （2）设运动时间为，当线段经过点O时，证明，推出，分点M沿方向运动和沿方向运动两种情况，分别列式求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为： 16 ． （2）设运动时间为， 当线段经过点O时，如下图所示： 在和中， ， ∴， ∴， 当点M沿方向运动时， ∵，， ∴， ∴， 解得； 当点M沿方向运动时， ∵，， ∴， ∴， 解得； 综上可知，t的值为或． 故答案为： 或． 12．如图是张老师自制的教具模型图，利用教具她验证了连接平行四边形相邻两边上的两点后，此时图形的形状是无法改变的，她用到了三角形“ ”的性质． 【答案】具有稳定性 【分析】本题考查三角形具有稳定性的性质，根据三角形具有稳定性的性质，即可解答． 【详解】解：根据三角形具有稳定性，可知，她用到了三角形具有稳定性的性质． 故答案为：稳定性． 13．如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】延长交于点，首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可求得，结合三角形中线的性质知，确定面积的最大值，即可获得答案． 本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 【详解】解： 如下图，延长交于点， ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，的面积取最大值， 即， ∴． 故答案为：． 14．如图，已知，补充一个条件 ，则可使得 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．根据全等三角形的判定方法，一一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴根据，可以添加，使得； 根据，可以添加，使得； 根据，可以添加，使得； 故答案为：（答案不唯一）． 15．如图，A，D，B，E四点共线，，，添加一个条件不能判定 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴当时，不能判定， ∵“边边角”不能证明全等， 故答案为：（答案不唯一）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$