精品解析：江西省上饶市余干县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

2024-2025学年第二学期八年级数学期末质量监测 试题卷 说明： 1．本试题卷满分120分，考试时长为120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 若在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数必须大于或等于零进行求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故选B． 2. 一组数据：2，3，3，5，若添加一个数据5，则不发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数、众数、中位数、方差等知识，熟练掌握相关定义是解题关键．分别计算原数据的平均数、众数、中位数、方差和添加一个数据5后的平均数、众数、中位数、方差，即可获得答案． 【详解】解：一组数据：2，3，3，5， 其平均数为，众数为3， 方差为， 中位数为， 这组数据添加一个数据5后， 平均数为，众数为3和5， 方差为， 中位数为， 所以，不发生变化的统计量是中位数， 所以选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意． 故选：D． 3. 已知四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（ ） A. 当 时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当 时，它是矩形 D. 当 时，它是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可． 【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形，故本选项符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中． 4. 如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为 ，高度为，吸管长为（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为，则最小为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据题意，利用勾股定理求出吸管在杯内的最大长度，即可得出结果． 【详解】解：如图，由题意，得：， 由勾股定理，得：， ∴最小； 故选B． 5. 如图，在矩形中，点 的坐标是，则 的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，矩形的性质．先根据两点距离计算公式得到，再由矩形对角线相等即可得到． 【详解】解；如图所示，连接， ∵点 的坐标是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 故选：B． 6. 如图，已知菱形在平面直角坐标系的中位置如图所示，顶点，，点P是对角线 上的一个动点，，则最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，连接 ，连接 交 于，由菱形的性质可得点 与点 关于 对称，，从而可得，进而可得，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接 ，连接 交 于， ∵四边形为菱形，点，， ∴点 与点 关于 对称，， ∴， ∴， ∴的值最小时，点 位于点处，最小值为 的长， ∵， ∴， ∴最小值为， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 化简：______． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了化简二次根式，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 8. 一次函数的图像不经过第__________象限. 【答案】二 【解析】 【分析】根据k、b的正负即可确定一次函数 经过或不经过的象限． 【详解】解： 一次函数的图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限. 故答案为：二 【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数的系数是判断其图像经过象限的关键，，图像经过第一、二、三象限；，图像经过第一、三、四象限；，图像经过第一、二、四象限；，图像经过第二、三、四象限． 9. 如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件，使得该菱形为正方形，添加条件是___________．（只添一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定方法，根据对角线相等的菱形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形解答即可． 【详解】添加条件（答案不唯一），那么该菱形是正方形． 理由：∵四边形是菱形， 又∵， ∴根据正方形判定定理：有一个角是直角的菱形是正方形，可知菱形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 10. 如图，直线：与直线： 相交于点，则关于 的不等式的解集为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，利用函数图象确定不等式的解集是解题的关键．先将交点代入直线：求出的值，再结合函数图象，找出直线在直线上方（含交点）时对应的 的取值范围，进而得到不等式的解集． 【详解】解：将点坐标代入直线，得， 从图中直接看出，当 时，， 故答案为： ． 11. 已知关于x的一次函数（k为常数，且），当 时，函数有最大值，则k的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的增减性及解一元一次方程；解题的关键是理解函数的增减性，确定当时． 根据当时，y随x的增大而减小，当 时，函数有最大值，即当时，代入求解即可， 【详解】解： (k为常数，且) ∴y随x的增大而减小， 又∵当 时，函数有最大值， 当时， 即， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，B、C两点分别在x轴、直线上运动、若以为直角边的为等腰直角三角形，则点C的坐标为__________. 【答案】，或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征及等腰三角形的性质.熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键. 对点 的位置及直角顶点进行分类讨论即可. 【详解】解：由题知，设点， 当，且点 在点A左侧时， ，解得： ， 此时点 的坐标为. 当，且点 在点A右侧时， ，解得： ， 此时点 的坐标为. 当 ，且点 在点A左侧时， ，解得：， 此时点 的坐标为. 当 ，且点 在点 左侧时， ，解得：， 此时点 的坐标为. 综上所述，点 的坐标为，或. 故答案为：，或. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算：（1）； （2） 【答案】(1) ;(2) 【解析】 【分析】(1)先计算乘除法，再相减即可； (2)先根据完全平方公式去括号，再相加减即可; 【详解】解：（1）原式 （2）原式 【点睛】考查了二次根式的混合运算，解题关键是记熟其运算顺序和计算法则. 14. 小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发沿相同路线先后到达观景点，如图，，分别表示小军与观光车所行的路程与时间之间的关系． 根据图象解决下列问题： （1）观光车出发 分钟追上小军； （2）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由． 【答案】（1） （2）观光车比小军早 分钟到达观景点，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由图象可得，观光车和小军在 分钟时相遇，观光车在 分钟时出发，由此计算即可得解； （2）先求出观光车的速度，再求出观光车到达观景点的时间，由此即可得解． 【小问1详解】 解：由图象可得：（分钟）， 故观光车出发 分钟追上小军； 【小问2详解】 解：观光车比小军早 分钟到达观景点，理由如下： 由图象可得，观光车的速度为：， 观光车到达观景点的时间为（分钟）， （分钟）， 故观光车比小军早 分钟到达观景点． 15. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．某校八年级（1）班的数学兴趣小组学习了“勾股定理”之后，想测风筝的垂直高度 ，他们进行了如下操作：①测得水平距离 的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的同学的身高为1.7米． （1）求风筝的垂直高度 ； （2）如果想让风筝沿方向下降11米，则应该往回收线多少米？ 【答案】（1）风筝的垂直高度 为17.7米 （2）应该往回收线7米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，矩形的性质，运用勾股定理计算第三边是解题的关键． （1）利用勾股定理求出，再加上放风筝的同学的身高即可； （2）设风筝沿方向下降11米后达到M点，先求出 ，再用勾股定理求出 ，从而得解． 【小问1详解】 解：在中，米， 米， 由勾股定理，得， (负值舍去)， 依题意可知：四边形 是矩形， 又∵牵线放风筝的同学的身高为1.7米，即米， (米)． 答：风筝的垂直高度 为17.7米； 【小问2详解】 设风筝沿方向下降11米后达到M点， 由题意，得米， ， (米)， (米)， 应该往回收线7米． 16. 如图，在□ABCD中，点E在BC上，AB=BE，BF平分∠ABC交AD于点F，请用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）. （1）在图1中，过点A画出△ABF中BF边上的高AG； （2）在图2中，过点C画出C到BF的垂线段CH. 【答案】(1)如图1，AG即为所求； (2)如图2，CH即为所求. 【解析】 【分析】(1)连接AE，交BF于点G，则AG即为所求，理由为：AB＝AE，BF平分∠ABC，根据等腰三角形三线合一的性质可得BG⊥AG； (2)连接AC、BD交于点O，连接EO并延长交AD于点G，连接CG交BF于点H，CH即为所求，理由：由平行四边形的性质以及作法可得△BOE≌△DOG，由此可得DG=BE=AB=CD，继而可得CG平分∠BCD，由AB//CD可得∠ABC+∠BCD=180°，继而可得∠FBC+∠GCB=90°，即∠BHC=90°，由此即可得答案. 【详解】略 【点睛】本题考查了作图——无刻度直尺作图，涉及了等腰三角形的性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键. 17. 如图，在平行四边形中，于点E，延长至点F，使，连接， 与 交于点O． （1）求证：四边形为矩形； （2）若 ，， ，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的逆定理， （1）由平行四边形的性质推出，得到 ，判定四边形是平行四边形，而 ，即可证明四边形是矩形． （2）由勾股定理的逆定理判定 是直角三角形即可证明． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：由（1）知：四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 是直角三角形，， ∴． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 点在第一象限，且，点A坐标，设面积为S． （1）用含 的式子表示S，写出 的取值范围； （2）并在图中网格中建立直角坐标系中画出函数S的图像； （3）当面积是5时，求点 的坐标． 【答案】（1）（ ） （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，且 ，再根据点A坐标可知，则即可得到面积S的表达式； （2）结合（1）确定函数S图像与x轴、y轴的交点，进而可画出函数S的图像； （3）根据面积是5构建方程并解方程即可确定点 的坐标． 【小问1详解】 解：根据题意，点在第一象限，且， ∴，且 ， ∵点A坐标， ∴， 则， 即面积（ ）； 【小问2详解】 由（1）可知，， 当 时，， 当时，， 又∵ ，故函数S的图像为自点（0,6）至点（4,0）且不含两点的线段， 据此通过建立坐标系、描点、连线，画出函数S的图像如下： 【小问3详解】 当面积是5时，即， 解得， ∴， ∴点 的坐标为． 【点睛】本题主要考查了列代数式、坐标与图形、一次函数图像等知识，解题关键是利用数形结合的思想分析问题． 19. 2025年3月12日是我国第47个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解，每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵10元，用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同． （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格； （2）学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 【答案】（1）甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元 （2）购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，总费用最少 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用，正确建立方程和熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）设甲种树苗每棵的价格是 元，则乙种树苗每棵的价格是元，根据用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同建立方程，解方程，并进行检验即可得； （2）设购买乙种树苗棵，总费用为 元，则购买甲种树苗棵，先求出，再根据费用与价格、棵数的关系建立 与的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：设甲种树苗每棵的价格是 元，则乙种树苗每棵的价格是元． 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元． 【小问2详解】 解：设购买乙种树苗棵，总费用为 元，则购买甲种树苗棵， ∵要求购买时，甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍， ∴， ∴， 由题意得：， ∵一次函数中的， ∴在内， 随的增大而增大， ∴当时， 的值最小， 此时， 答：购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，总费用最少． 20. 图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示， 为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在 上，支点B固定在连杆 上，支点D固定在连杆上．支点P可以在 上滑动，点P的滑动带动点B，C，D，E的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B，C，D，E都在滑轨 上．当窗户开到最大时，． （1）若 ，则支点P与支点A的距离为______cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，求支点P移动的距离． 【答案】（1） （2）支点P移动的距离为 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的实际应用、勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形的性质，根据实际情况构建数学模型． （1）先证四边形是平行四边形，推出，再根据勾股定理解即可； （2）当窗户开到最大时，，根据勾股定理解求出 ；当关闭状态下，，由此可解． 【小问1详解】 解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵当窗户开到最大时，， ∴， ∴， ∵， ∴； 当关闭状态下，， ∴窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为． 五、解答题（本大题共2题，每小题9分，共18分） 21. 某校为激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织了七、八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七、八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用 表示，共分为四组：，下面给出了部分信息： 七年级10人的得分：； 八年级10人的得分在 组中的分数为：； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示 年级 平均数 中位数 众数 七 76.8 83 八 76.8 84 八年级得分等级扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： _____， _____， _____； （2）根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可）； （3）若七年级有2000人参与测试，八年级有1800人参与测试，请估计七、八两个年级得分在 组的共有多少人？ 【答案】（1）83，83.5，20； （2） 八年级掌握人工智能知识比较好， 理由：八年级的中位数高于七年级的中位数，说明八年级学生掌握的较好； 注意：答案不唯一，回答合理即可 （3）人． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、众数、中位数、用样本估计及总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据七年级10人的得分可求出a；根据扇形扇形统计图和 组得分可得求出m和b； （2）根据平均数，众数和中位数的意义； （3）分别求出七、八两个年级得分在 组的人数，然后相加即可． 【小问1详解】 解： 83出现的次数最多，故众数． 八年级C组人数∶ ， 八年级D组人数∶ ， 八年级B组人数：4，故八年级A组人数∶， 即． 八年级成绩排在第5和第6位的是84和87，故中位数 故答案为∶； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 分别求出七、八两个年级得分在 组的人数，然后相加可得： 人，人， 七、八两个年级得分在 组的人数之和为：人． 22. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，点A（8，0），B（10，6）． （1）求直线AC的解析式； （2）点M从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿x轴向左运动，两点同时出发，过点M，N作x轴的垂线分别交直线OC，AC于点P，Q，猜想四边形PMNQ的形状（点M，N重合时除外），并证明你的猜想； （3）在（2）的条件下，当点M运动　 　秒时，四边形PMNQ是正方形（直接写出结论）． 【答案】（1）；（2）矩形，证明见解析；（3）或8 【解析】 【分析】（1）由点A、B的坐标知，OA=8=BC，故点C(2，6)，然后利用待定系数法进行求解即可； （2）设点M，N运动时间为t秒，则M（t，0），B（8-3t，0），则有M（t，3t），B（8-3t，3t），然后可得四边形PMNQ是平行四边形，进而问题可求解； （3）由（2）及题意可得MN=QN，然后可建立方程进行求解． 【详解】解：（1）∵四边形OABC是平行四边形，A（8，0），B（10，6） ∴C（2，6） 设直线AC的解析式为 ∴，解得 ∴直线AC的解析式为； （2）猜想：四边形PMNQ是矩形 证明：如图，∵C（2，6） ∴直线OC的解析式为 设点M，N运动时间为t秒，则M（t，0），B（8-3t，0） ∵PM，PN垂直于x轴，点P，Q分别在OC，AC上 ∴P（t，3t），Q（8-3t，3t） ∴PM=QN=3t ∵PM∥QN ∴四边形PMNQ是平行四边形 又PM⊥x轴 ∴平行四边形PMNQ是矩形； （3）∵四边形PMNQ是正方形， ∴MN=QN， ∴， 解得：或8； 故答案为或8． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合及正方形的性质、矩形的性质与判定，熟练掌握一次函数与几何的综合及正方形的性质、矩形的性质与判定是解题的关键． 六、解答题（本大题共1题，共12分） 23. 综合应用 【问题感知】 （1）如图①，在等边中， ，点 、 分别在边 、上，若 是中点，则线段 长度的最小值为________． 【问题呈现】 若图①中“ 是中点”改为“”，再求线段 长度的最小值． 【问题解决】 （2）如图②，若把等边中“ 是中点”改为“”，如何求线段 的最小值． 解决方法：小明将通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述问题：过点 、 分别作 、的平行线，并交于点 ，作射线 ．则为________度，线段 长度的最小值为________． 【应用迁移】 （3）如图③．某房屋在维修时需使用钢丝绳进行加固处理，小明根据问题画出了示意图④， 是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳．四边形 是矩形，米，．若点 在 上，点 在 上，．求钢丝绳 的最小值． 【答案】（1）；（2）30，2；（3）钢丝绳 长度的最小值为米． 【解析】 【分析】（1）当时，线段 的值最小，线段 的最小值； （2）先证四边形是平行四边形，推出，得出，再根据可得；当最小时， 取最小值， 也有最小值，此时； （3）过M、D作的平行线，构造平行四边形，当时， 最小， 最小． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， ∵N是中点， ∴， 当时，线段 的值最小， ∴线段 的最小值； 故答案为：； （2）∵是等边三角形， ∴ ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∵， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， 当最小时， 取最小值， 也有最小值，此时， ∴ 最小值是2． 故答案为：30，2； （3）如图，过M、D作的平行线， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当时， 最小， 最小， ∵， ， ∴， ∴， 在 中，（米）， ∴（米）， 故钢丝绳 长度的最小值为米． 【点睛】本题考查垂线段最短，三角函数解直角三角形，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质等，通过添加辅助线构造平行四边形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期八年级数学期末质量监测 试题卷 说明： 1．本试题卷满分120分，考试时长为120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 一组数据：2，3，3，5，若添加一个数据5，则不发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 3. 已知四边形 是平行四边形，下列结论中正确的是（ ） A. 当 时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当 时，它是矩形 D. 当 时，它是正方形 4. 如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为 ，高度为，吸管长为（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为，则最小为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 5. 如图，在矩形中，点 的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知菱形在平面直角坐标系的中位置如图所示，顶点，，点P是对角线 上的一个动点，，则最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 化简：______． 8. 一次函数的图像不经过第__________象限. 9. 如图，菱形 的对角线相交于点O，请你添加一个条件，使得该菱形为正方形，添加条件是___________．（只添一个条件即可） 10. 如图，直线：与直线： 相交于点，则关于的不等式的解集为____________． 11. 已知关于x的一次函数（k为常数，且），当 时，函数有最大值，则k的值是______． 12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，B、C两点分别在x轴、直线上运动、若以为直角边的为等腰直角三角形，则点C的坐标为__________. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算：（1）； （2） 14. 小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发沿相同路线先后到达观景点，如图，，分别表示小军与观光车所行的路程与时间之间的关系． 根据图象解决下列问题： （1）观光车出发 分钟追上小军； （2）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由． 15. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．某校八年级（1）班的数学兴趣小组学习了“勾股定理”之后，想测风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离 的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的同学的身高为1.7米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果想让风筝沿方向下降11米，则应该往回收线多少米？ 16. 如图，在□ABCD中，点E在BC上，AB=BE，BF平分∠ABC交AD于点F，请用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）. （1）在图1中，过点A画出△ABF中BF边上的高AG； （2）在图2中，过点C画出C到BF的垂线段CH. 17. 如图，在平行四边形 中，于点E，延长至点F，使，连接， 与交于点O． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，， ，求证：． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 点在第一象限，且，点A坐标，设面积为S． （1）用含的式子表示S，写出的取值范围； （2）并在图中网格中建立直角坐标系中画出函数S的图像； （3）当面积是5时，求点 的坐标． 19. 2025年3月12日是我国第47个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解，每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵10元，用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同． （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格； （2）学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 20. 图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示， 为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在 上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在 上滑动，点P的滑动带动点B，C，D，E的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B，C，D，E都在滑轨 上．当窗户开到最大时，． （1）若 ，则支点P与支点A的距离为______cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，求支点P移动的距离． 五、解答题（本大题共2题，每小题9分，共18分） 21. 某校为激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织了七、八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七、八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用表示，共分为四组：，下面给出了部分信息： 七年级10人的得分：； 八年级10人的得分在 组中的分数为：； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示 年级 平均数 中位数 众数 七 76.8 83 八 76.8 84 八年级得分等级扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： _____， _____， _____； （2）根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可）； （3）若七年级有2000人参与测试，八年级有1800人参与测试，请估计七、八两个年级得分在 组的共有多少人？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，点A（8，0），B（10，6）． （1）求直线AC的解析式； （2）点M从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿x轴向左运动，两点同时出发，过点M，N作x轴的垂线分别交直线OC，AC于点P，Q，猜想四边形PMNQ的形状（点M，N重合时除外），并证明你的猜想； （3）在（2）的条件下，当点M运动　 　秒时，四边形PMNQ是正方形（直接写出结论）． 六、解答题（本大题共1题，共12分） 23. 综合应用 【问题感知】 （1）如图①，在等边中， ，点 、 分别在边 、上，若 是中点，则线段 长度的最小值为________． 【问题呈现】 若图①中“ 是中点”改为“”，再求线段 长度的最小值． 【问题解决】 （2）如图②，若把等边中“ 是中点”改为“”，如何求线段 的最小值． 解决方法：小明将通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述问题：过点 、 分别作 、的平行线，并交于点 ，作射线 ．则为________度，线段 长度的最小值为________． 【应用迁移】 （3）如图③．某房屋在维修时需使用钢丝绳进行加固处理，小明根据问题画出了示意图④， 是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳．四边形 是矩形，米，．若点 在 上，点 在上，．求钢丝绳 的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $