精品解析：广西壮族自治区钦州市浦北县第三中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024年秋季学期阶段性自主评估训练（三） 九年级数学（R） （时间：120分钟 满分：120分） 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 已知的半径为，点到圆心的距离，则点（ ） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系的判断；由得，即可判断；掌握“点与圆心的距离为，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内；”是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， ， 在外， 故选：A． 2. 已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义得出且，求出的取值范围即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 解得：且， 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于的不等式是解此题的关键． 3. 如图，为的直径，点是上与点，不重合的点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角．根据圆周角定理得出，即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4. 在函数①，②，③中，图象开口大小顺序用序号表示应为（ ） A. ①＞②＞③ B. ①＞③＞② C. ②＞③＞① D. ②＞①＞③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的二次项系数的绝对值越大，开口越小即可解答． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数的绝对值越大，开口越小且∣∣﹤∣∣﹤∣4∣， ∴开口由大到小的顺序为②>③>①， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象开口大小与二次项系数关系，熟练掌握二次函数的二次项系数的绝对值越大，开口越小这一性质是解答的关键． 5. 如图，是的直径．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆心角与弧的关系，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到，根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是直径， ∴． 故选：D． 6. 如图，在平面直角坐标系中，若与关于E点成中心对称，则对称中心E点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，根据中心对称图形对应点连线的交点即为对称中心所在的位置，得到点E即可得到答案． 【详解】解：连接， ∴， 故选A 7. 如图，在中，是的直径，点C，D在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆中的角度计算，熟练运用圆周角定理和内接四边形的性质是关键． 根据圆周角定理得出，算出，再根据内接四边形的性质即可求解； 【详解】解：， ， ． 是的直径， ， ． 四边形是的内接四边形， ， ， 故选：C． 8. 若实数满足，则代数式的值是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用换元法解方程即可得出结果． 【详解】解：设，原方程变为，即． 因式分解得， 解得或， 当时，方程的判别式，存在实数解， 当时，方程的判别式，无实数解， 因此，代数式的值为2， 故选：B． 9. 如图，菱形的对角线、交于点，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、图形旋转的性质及勾股定理，解题的关键是利用菱形对角线互相垂直且平分的性质求出相关线段长度，结合旋转的性质确定直角三角形的直角边，再用勾股定理计算的长． 先根据菱形性质得，且、，求出、；再由旋转180°的性质得、、，计算；最后在中，用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵绕着点C旋转得到， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为8米，半径长为5米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（ ） A. 1米 B. 2米 C. 3米 D. 4米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，由垂径定理得（米，再由勾股定理得（米，然后求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点， 由题意得：米，， （米，， （米， 米， 故选：B 11. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的增减性成为解题的关键 先根据函数解析式确定抛物线的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的增减性即可解答． 【详解】解：∵二次函数 ∴抛物线的开口向上，对称轴是直线， 当时，随的增大而增大， ． 故选：． 12. 如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握旋转的性质，得到三角形全等是解题的关键． 证明，得到，推出为直角三角形，利用的面积等于，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积等于； 故选：A． 第II卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．请将答案填在答题卡上．） 13. 一元二次方程________实数根（填“有”或“没有”）． 【答案】有 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，掌握根据根的判别式的情况确定根的情况的方法是解题的关键． 根据根的判别式的值得到，然后根据根的判别式与根的情况的关系进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴该二次方程有实数根． 故答案为：有． 14. 如图，点A、B、C在上，，则的度数为___． 【答案】##100度 【解析】 【分析】根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答即可． 【详解】解：点A、B、C在上，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是圆周角定理，熟记定理内容是解题的关键． 15. 如图，正六边形 的边、分别与相切于点C、F，连接、，则 的度数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，掌握正六边形的性质，切线的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．根据正六边形的性质可求出各个内角的度数，由切线的性质以及五边形内角和的计算方法即可求出答案． 【详解】解：∵正六边形的边，与相切于点C，F， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴， 在五边形中， ， 故答案为：． 16. 如图，在正方形内有一点，连接，，，将顺时针旋转得到，连接，点恰好在线段上，若，，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，根据旋转得到，，，结合勾股定理求出，求出结合勾股定理即可得到答案． 【详解】解：∵顺时针旋转得到， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点P，则点P的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得P的纵坐标是解题的关键．先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得， 且轴，从而求得的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得的坐标． 【详解】解：的顶点在抛物线上， ， 解得， 抛物线为， 点， 将绕点顺时针旋转， 得到， 点 在轴上，且， 轴， 点的纵坐标为2， 代入， 得， 解得， 故答案为． 18. 如图，在中，，点为的外心，，，是的内切圆．则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图：过点P作于D、于E、于F，根据三角形的内心性质得到，根据切线长定理可得、、，得到四边形是正方形，根据勾股定理求出，得到，设，，，求得， ，进而得到，最后根据勾股定理求解即可． 本题主要考查了直角三角形的内心与外心、三角形内心性质、三角形外心性质、勾股定理，切线长定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图：过点P作于D、于E、于F。 ∵点P是内切圆的圆心， ∴，、、， ∴四边形是正方形， ∵中，， ，， ∴， 设，，， 则，解得：， ∴，。 ∵点O为的外心， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 若函数是二次函数． （1）求的值； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义及求函数值，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据二次函数的定义列式求解即可； （2）把代入函数解析式即可． 【小问1详解】 解：依题意有， 解得：， ∴k的值为； 【小问2详解】 解：把代入函数解析式中得：， 当时，． ∴y的值为． 20. 如图，是的直径，是的切线，为切点，. 求的度数. 【答案】50° 【解析】 【分析】根据切线长定理得到PA=PB，利用等腰三角形的性质得∠PAB=∠PBA，再根据切线的性质得∠PAC=90°，利用互余计算出∠PAB=65°，然后根据三角形内角和定理计算∠P的度数． 【详解】解：∵，是的切线， ∴. ∴. ∵为的直径， ∴. ∴. ∵， ∴. ∴. 【点睛】本题考查切线的性质．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了切线长定理． 21. 已知的三个顶点的坐标分别为、、． （1）在图中画出将绕原点逆时针旋转后得到的； （2）点的坐标为________，点的坐标为________； （3）在旋转过程中，求点所经过的路径长． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是画旋转图形，坐标与图形，求解点旋转后的路径长； （1）分别确定绕原点逆时针旋转后得到的对应点，再顺次连接即可； （2）根据图形可得答案； （3）根据弧长公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得，，； 【小问3详解】 解：， 在旋转过程中，点B所经过的路径长为. 22. 丁字尺是一种作图工具，如图1所示为丁字尺，可以看作由两把互相垂直的直尺（直尺的宽度均忽略不计）组成，并且部分平分部分．现将丁字尺放在一个圆形工件上（圆心为），其示意图如图所示，使得、、分别落在上，这样圆心就会落在上，已知，，请求出该圆形工件的半径． 【答案】该圆形工件的半径． 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理的应用．根据线段垂直平分线段，得出，连接，则，再设的半径为，可得，然后解方程即可． 【详解】解：圆心落在上，平分， 线段垂直平分线段， 、、三点所在圆的圆心在上， ， 连接，则， 设的半径为， ， ， ， 解得：， 该圆形工件的半径． 23. 已知某桥的桥拱为抛物线形，在正常水位时测得水面的宽为，最高点距离水面，如图所示，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的表达式； （2）某次大雨后水面上涨至，测得最高点距离的高度为，求桥拱下水面的宽度． 【答案】（1） （2）桥拱下水面的宽度为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用． （1）利用待定系数法，根据建立的坐标系以及已知条件，求出点A，C的坐标，然后代入求解即可； （2）根据水面高度先求出点E，F的纵坐标，然后代入抛物线解析式求出横坐标，再最后求出的长． 【小问1详解】 解：由题意得， ， ∴点的坐标为，点A的坐标为， 设抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， ∴该抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ， 由题意得， 解得，． ∴点E的坐标为，点的坐标为， ∴， 答：桥拱下水面的宽度为． 24. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵为直径， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到是的切线； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，是的直径， ∴是的切线， ∵是的切线； ∴， ∵， ∴， 解得． 25. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）是直线下方抛物线上的一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标； （3）是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点P的坐标是或或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （１）由直线求出B，C坐标，再运用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）首先过点E作y轴的平行线交直线于点G，交x轴于点F，然后设点E的坐标是，则点G的坐标是，求出的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出，进而判断出当面积最大时，点E的坐标； （3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点，与y轴交于点B， ∴点B，C的坐标分别为，． 把点，代入抛物线， 得：， 解之，得 ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，过点E作轴，交直线于点G，交x轴于点F， 设点E的坐标为，则点的坐标为， ∴． ∴． ∴当时，的面积就最大． 此时点E的坐标为． 【小问3详解】 解：存在．由抛物线 ∴对称轴是直线． ∵Q是抛物线对称轴上的动点， ∴点Q的横坐标为1． ①当为边时，点B到点C的水平距离是4， ∴点Q到点P的水平距离也是4． ∴点P的横坐标是5或， ∴点P的坐标为或； ②当为对角线时，点到点C的水平距离是3， ∴点B到点P的水平距离也是3， ∴点P的坐标为． 综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是或或． 26. 在学习等腰直角三角形中，发现了很多有趣的问题． （1）问题解决：如图①，为等腰直角三角形上一点，绕点逆时针旋转得，连接，求证：； （2）问题探究：如图②，在（1）的条件下，连接，探究，，之间的数量关系； （3）拓展延伸：如图③，在四边形中，，，连接，则，，之间有怎样的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：是等腰直角三角形， ，， 由旋转可知：是等腰直角三角形， ，， ， ； （2）， 理由如下： 由，，， ， ， ； （3）， 理由如下： 将绕点逆时针旋转得到， ，，，， ，， ， ， ， 点、、在同一条直线上， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由旋转可知：是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可解决问题； （2）结合（1）证明，得，利用线段的和差即可解决问题； （3）将绕点逆时针旋转得到，可证点、、在同一条直线上，再证明是等腰直角三角形即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，添加常用辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季学期阶段性自主评估训练（三） 九年级数学（R） （时间：120分钟 满分：120分） 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 已知的半径为，点到圆心的距离，则点（ ） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 无法确定 2. 已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 如图，为的直径，点是上与点，不重合的点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 在函数①，②，③中，图象开口大小顺序用序号表示应为（ ） A. ①＞②＞③ B. ①＞③＞② C. ②＞③＞① D. ②＞①＞③ 5. 如图，是的直径．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，若与关于E点成中心对称，则对称中心E点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是的直径，点C，D在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若实数满足，则代数式的值是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 或2 9. 如图，菱形的对角线、交于点，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 10. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为8米，半径长为5米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（ ） A. 1米 B. 2米 C. 3米 D. 4米 11. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（ ） A. B. C. D. 第II卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．请将答案填在答题卡上．） 13. 一元二次方程________实数根（填“有”或“没有”）． 14. 如图，点A、B、C在上，，则的度数为___． 15. 如图，正六边形 的边、分别与相切于点C、F，连接、，则 的度数是___________． 16. 如图，在正方形内有一点，连接，，，将顺时针旋转得到，连接，点恰好在线段上，若，，则的长度为________． 17. 如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点P，则点P的坐标为__________． 18. 如图，在中，，点为的外心，，，是的内切圆．则的长为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 若函数是二次函数． （1）求的值； （2）当时，求的值． 20. 如图，是的直径，是的切线，为切点，. 求的度数. 21. 已知的三个顶点的坐标分别为、、． （1）在图中画出将绕原点逆时针旋转后得到的； （2）点的坐标为________，点的坐标为________； （3）在旋转过程中，求点所经过的路径长． 22. 丁字尺是一种作图工具，如图1所示为丁字尺，可以看作由两把互相垂直的直尺（直尺的宽度均忽略不计）组成，并且部分平分部分．现将丁字尺放在一个圆形工件上（圆心为），其示意图如图所示，使得、、分别落在上，这样圆心就会落在上，已知，，请求出该圆形工件的半径． 23. 已知某桥的桥拱为抛物线形，在正常水位时测得水面的宽为，最高点距离水面，如图所示，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的表达式； （2）某次大雨后水面上涨至，测得最高点距离的高度为，求桥拱下水面的宽度． 24. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）是直线下方抛物线上的一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标； （3）是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 在学习等腰直角三角形中，发现了很多有趣的问题． （1）问题解决：如图①，为等腰直角三角形上一点，绕点逆时针旋转得，连接，求证：； （2）问题探究：如图②，在（1）的条件下，连接，探究，，之间的数量关系； （3）拓展延伸：如图③，在四边形中，，，连接，则，，之间有怎样的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $