精品解析： 湖北省黄石市阳新县2024-2025学年八年级下学期期末素质检测数学试卷

阳新县2024-2025学年度下学期期末素质检测 八年级数学试题卷 本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请交答题卡． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念，如果一个二次根式符合下列两个条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式，那么这个根式叫做最简二次根式，是本题的解题关键． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式分母不为零和零指数幂的底数不为零的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据分式分母不为零和零指数幂的底数不为零的条件，确定自变量的取值范围，然后即可求解； 【详解】解：函数中： 分子部分要求底数，即， 分母部分要求被开方数（分母不能为零），解得， 结合两个条件： 时，的值必然大于，此时自动成立， ∴自变量的取值范围是，对应选项C， 故选：C． 3. 如图，在四边形ABCD中，已知，则添加下列条件后不能说明四边形ABCD是平行四边形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意； B、∵∠A＋∠D＝180°， ∴AB∥CD， ∵AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意； C、∵AB＝CD，， ∴四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意； D、∵，， ∴不能判断四边形ABCD是平行四边形，此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理以及平行线的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 4. 若三角形的三条中位线长分别为，，，则原三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解答的关键．根据三角形的中位线定理求出三角形的三条边长，即可求解． 【详解】解：三角形的三条中位线长分别为，，， 三角形的三条边长分别为，，， 原三角形的周长为， 故选：C． 5. 为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，学校分给各班级一块地，让学生学习种菜．八年级三班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为，，，则三角形菜地的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．先根据勾股定理的逆定理证明三角形菜地为直角三角形，然后根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴三角形菜地为直角三角形， ∴三角形菜地的面积为． 故选：A． 6. 某班级在学校图书节义卖活动中，售书情况如下表： 售价 3元 4元 5元 6元 数目 10本 15本 14本 11本 则在该班级的这一组售书价格数据中，下列说法错误的是（ ） A. 众数是4元 B. 总收入是226元 C. 平均数是4.52元 D. 中位数是4元 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查众数，平均数，中位数，根据众数定义，平均数，中位数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、这组数据中，4元出现的次数最多，故众数是4元，本选项说法正确； B、总收入为：（元），本选项说法正确； C、平均数（元），本选项说法正确； D、这组数据共有（个），则处于第25，26个数据是4元，5元， 故中位数为，本选项说法错误． 故选：D 7. 将直线向右平移个单位后得到某正比例函数图象，则的值为（ ） A. 3 B. －3 C. 6 D. －6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换及正比例函数的定义，熟知函数图象“左加右减，上加下减”的平移法则是解答此题的关键．根据“左加右减”的原则，并结合正比例函数的特点求解即可． 【详解】解：将直线向右平移个单位后，得到直线， 即， ∵直线向右平移个单位后得到某正比例函数的图象， ∴， 解得：． 故选：A 8. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 2026 B. 2025 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026． 故选：A． 9. 小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（ ） A. 点在的图象上 B. 若，则 C. 最多有三个实数根 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象与性质，依据题意，根据函数的图象逐个分析判断可以得解．解题时要熟练掌握并能通过图象分析是关键． 【详解】解：由题意，对于A，当时，， ∴点在的图象上，故A正确，不合题意； 对于B，结合图象可得 若，则， ∴B错误，符合题意； 对于C，∵函数与直线的交点如图所示， ∴函数与直线的交点最多3个． ∴方程最多有三个实数根，故C正确，不符合题意； 对于D，结合图象可得，当时，随的增大而减小， ∴D正确，不合题意． 故选：B． 10. 如图，，，和都是等边三角形，F为中点，交于G点，下列结论中，正确的结论有（ ） ①；②；③四边形是菱形；④． A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】由和都是等边三角形，可得，，则，，如图，连接，则，由，，可得垂直平分，即，可判断①的正误；，，由，可得，则四边形不是菱形，可判断②的正误；由是等边三角形，F为中点，可得，即，证明，，可证四边形是平行四边形，则，，即，可判断③的正误；由，，，可证，可判断④的正误． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，， 如图，连接， ∵，F为中点， ∴， ∵，， ∴垂直平分，即，①正确，故符合要求； ∴， ∴， ∵， ∴，四边形不是菱形，③错误，故不符合要求； 是等边三角形，F为中点， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，即，②正确，故符合要求； ∵，，， ∴，④正确，故符合要求； 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，垂直平分线的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定等知识．熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，垂直平分线的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定是解题的关键． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 计算：______，______，______． 【答案】 ①. ②. 2 ③. 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的减法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算法则逐个计算即可． 【详解】解：； ； ． 故答案为：；2；． 12. 如果一组数据的方差，那么的值为_______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查对方差计算公式的理解．根据方差的公式可以得到这组数据及平均数，从而算出的值． 【详解】解：∵一组数据的方差， ∴这组数据共5个，为7，9，9，m，n，平均数为8， ∴， ∴． 故答案为：15 13. 有两棵树，一棵高为5米，另一棵高为2米，两棵树相隔4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢至少飞行______米． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 【详解】解：如图，根据题意知，米，米，米，，， 过点作于，则四边形是矩形， ∴米，米， ∴米， 在中，（米）． 故答案为：5． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是线段AB的中点，点E是线段BC上的一个动点，若AC=6，BC=8，则DE长度的取值范围是_____． 【答案】3≤DE≤5 【解析】 【分析】根据勾股定理得出CD的长和DE⊥BC时DE的长，进而得出DE的取值范围． 【详解】 解：当E与C或重合时，DE最长， 在Rt△ABC中，AB= ＝10， ∵点D是线段AB的中点， ∴CD=5， 当DE⊥BC时，DE最短，DE=＝ ＝3， 所以DE长度的取值范围是3≤DE≤5， 故答案为3≤DE≤5 【点睛】此题考查勾股定理，解题关键是根据勾股定理、等腰三角形三线合一的性质得出CD的长和DE⊥BC时DE的长． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形点和点分别落在轴和轴上，，，直线以每秒个单位长度向下移动，经过 ______ 秒该直线可将矩形的面积平分． 【答案】 【解析】 【分析】首先连接、，交于点，当经过点时，该直线可将矩形的面积平分，然后计算出过且平行直线的直线解析式，从而可得直线要向下平移个单位，进而可得答案． 【详解】解：连接、，交于点， 当经过点时，该直线可将矩形的面积平分； ，是的对角线， ， ，， ， ， 根据题意设平移后直线的解析式为， ， ，解得， 平移后的直线的解析式为， 直线要向下平移个单位， 时间为秒， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，以及一次函数图象与几何变换，关键是正确掌握经过矩形对角线交点的直线平分矩形的面积． 16. 如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，，则当是以为腰的等腰三角形时，的长是________． 【答案】或 【解析】 【分析】存在两种情况：当=DC时，连接ED，根据勾股定理可得ED的长，可判断E，A´，D三点共线，根据勾股定理即可得出结论；当=时，证明AEA´F是正方形，于是得出结论． 【详解】解：①当=DC时，如图1，连接ED， ∵点是的中点，，，四边形是矩形， ∴AD=BC=，∠A=90°， ∴DE=， ∵将沿所在直线翻折，得到， ∴A´E=AE=2， A´D=DC=AB=4， ∴DE=A´E+A´D=6， ∴点E，A´，D三点共线， ∵∠A=90°， ∴∠FA´E=∠FA´D=90°， 设AF=x，则A´F=x，FD=-x， 在Rt△FA´D中，， 解得x=， ∴FD=3； ②当=时，如图2， ∵=， ∴点A´在线段CD的垂直平分线上， ∴点A´在线段AB的垂直平分线上， ∵点是的中点， ∴EA´是AB的垂直平分线， ∴∠AEA´=90°， ∵将沿所在直线翻折，得到， ∴∠A=∠EA´F=90°，AF=FA´， ∴四边形AEA´F是正方形， ∴AF=AE=2， ∴DF=． 故答案或． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理．分类讨论思想的运用是解题的关键． 三、解答题（共9小题，满分72分，每小题8分） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简，再计算乘法，然后合并同类二次根式即可； （2）先计算乘除，然后合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【答案】这辆小汽车超速了． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理可得，求出小汽车的速度为，然后比较即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理可得：， ∴小汽车的速度为； ∵， ∴这辆小汽车超速行驶， 答：这辆小汽车超速了． 19. 如图，在中，，交于点，交的延长线于点，且，连接，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析； （2）30 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定以及性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握菱形的判定定理以及性质是解题的关键． （1）先利用平行四边形的性质得出，，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，根据菱形的判定即可证明． （2）根据勾股定理得出，然后利用菱形的性质及平行四边形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴ ∵， ∴． ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 在中，. ∵四边形是菱形，， ∴菱形的面积． 20. 将如图所示的正方形放入平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为、、． （1）填空：_______，______； （2）画图：在图中画出平面直角坐标系，分别标出、轴和原点，并在顶点处标出点坐标； （3）求：对角线所在直线的函数表达式． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数的表达式，理解平面直角坐标系，正方形的性质，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式是解决问题的关键． （1）依题意得点B在第三象限，点A，D关于y轴对称，点B，C也关于y轴对称，因此根据正方形的性质得，继而可得点，点，由此可得a的值及的长； （2）根据正方形的性质以及和的对称性可建立直角坐标系，即可标出点C及点C的坐标； （3）设对角线所在直线的函数表达式为，将点，代入，由此可得出对角线所在直线的函数表达式． 【小问1详解】 解：∵点， ∴点B在第三象限， ∵点，点， ∴点A，D关于y轴对称， ∴点B，C也关于y轴对称， 根据正方形的性质得：， ∵点A，D关于y轴对称， ∴， ∴ ∵点B，C也关于y轴对称， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：建立平面直角坐标系如图： 【小问3详解】 解：∵，A在B上方， ∴， 而， ∴设直线表达式为：， ∴ 解得： ∴直线表达式为． 21. 为大力弘扬中华优秀传统文化，引导学生从千年中华传统文化中汲取养分，推动文化自信自强．某校开展了“诵国家经典，承传统文化”朗诵比赛活动，七年级和八年级各有400名学生参加竞赛，学校为了解这两个年级的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下： 收集数据 从七、八两个年级各随机抽取20名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下： 七年级：70 70 80 90 80 80 90 60 100 80 80 80 90 90 70 90 70 70 100 60 八年级：60 70 80 70 70 90 60 90 90 90 70 90 100 70 70 60 90 90 90 100 整理数据 成绩 人数 年级 七年级 八年级 （说明：优秀成绩为，良好成绩为，合格成绩为） 分析数据 两组样本数据的平均分、中位数、众数、方差如下表所示： 平均分 中位数 众数 方差 七年级 80 80 130 八年级 80 90 170 请解答下列问题： （1）______；______； （2）估计八年级参加此次竞赛的学生中达到良好成绩以上的学生有多少名？ （3）小明认为七，八年级竞赛成绩的平均数相等，因此两个年级的成绩一样好，你认为小明的说法正确吗？请你用所学的统计知识说明理由.（写出一条即可） 【答案】（1）85；80 （2）220名 （3）小明的说法是错误的，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了频数（率）分布表，众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数、方差的定义是解题的关键． （1）由原始数据根据中位数和众数的概念可得； （2）利用八年级学生被抽取20名学生中在这次竞赛中成绩达到良好成绩以上的学生的比例乘总人数可得； （3）根据平均数、众数、中位数和方差多方面的意义解答可得． 【小问1详解】 解：八年级的名同学的成绩按照从小到大的顺序排列，第个和第个数据是和， 中位数； 七年级的名同学的成绩中分出现次数最多， 众数为分，即； 【小问2详解】 解：（名） 答：估计八年级参加此次竞赛的学生中达到良好成绩以上的学生有220名； 【小问3详解】 解：小明的说法是错误的，理由如下： 虽然八年级和七年级的平均分相同，都是80分，但是从中位数看，八年级的中位数为85，大于七年级的中位数80，说明八年级80分以上的人数更多， 八年级学生的竞赛成绩较好； 或从众数看，八年级竞赛成绩的众数是90，大于七年级竞赛成绩的众数80， 八年级学生的竞赛成绩较好； 或从方差看，八年级竞赛成绩的方差大于七年级竞赛成绩的方差， 七年级竞赛成绩比较稳定． 22. 如图是边长为1的正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺，按要求作答并画出下列图形： （1）的长为______； （2）如图，点D、P分别是与竖格线和横格线的交点，画出点P关于过点D竖格线的对称点Q； （3）请在图中画出的角平分线． 【答案】（1）5 （2）画图见解析 （3）画图见解析 【解析】 【分析】（1）结合图形，利用勾股定理求解即可； （2）连接，交过点P的横格线于点Q，由图形可知，点在的垂直平分线上，则，再结合，可得出，则点在的垂直平分线上，即点Q即为所求； （3）取格点F，使，连接，取的中点E，根据等腰三角形三线合一的性质，即为所求． 【小问1详解】 解：由图形可知，； 【小问2详解】 解：如图，连接，交过点P的横格线于点Q，则点Q即为所求． 【小问3详解】 解：如图，取格点F，使，连接，取的中点E， 连接，可得为等腰三角形， ∴为的平分线．则即为所求． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，勾股定理，垂直平分线的判定，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，根据相关知识点正确作图是解题关键． 23. 某大型超市从水果批发市场购进哈密瓜和苹果进行销售，两种水果的进价和售价如下表所示： 水果名称 进价（元/千克） 售价（元/千克） 哈密瓜 a 10 苹果 b 销量不超过100千克的部分 销量超过100千克的部分 16 14 已知超市购进20千克哈密瓜和10千克苹果需要260元，购进10千克哈密瓜和20千克苹果需要310元． （1）求a，b的值； （2）若超市每天购进两种水果共150千克，并在当天都销售完，其中销售哈密瓜不少于40千克且不超过60千克，设每天销售哈密瓜x千克（损耗忽略不计）， ①分别求出每天销售哈密瓜的利润y1（单位：元），销售苹果的利润y2（单位：元）与x（单位：千克）的函数关系式，并写出x的取值范围； ②“端午节”当天超市让利销售，将哈密瓜的售价每千克降低m元，苹果售价全部定为14元，为了保证当天销售这两种水果总利润w（元）的最小值不少于320元，求m的最大值． 【答案】（1），； （2）①； ② 【解析】 【分析】（1）设哈密瓜进价元/千克，苹果进价元/千克，根据题意列出二元一次方程组求解即可得出答案； （2）①根据利润=（售价-进价）数量，结合表格内容可分别求出，的解析式；②先表示出再利用一次函数性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：设哈密瓜进价元/千克，苹果进价元/千克， 根据题意得：， 解得， ，； 【小问2详解】 ①设每天销售哈密瓜x千克， 根据题意得： 当，即时， 当，即时， ②根据题意，得，其中 当时，，不合题意 随得增大而增大 当时，得取得最小值 由题意，得 解得 得最大值为 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． 24. （1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形； （2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E ，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合， 点D的对称点为，若，，求的长； （3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边 ，于点E ，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用矩形和垂直平分线的性质，证明，得到，可证四边形为平行四边形，再由，即可证平行四边形为菱形； （2）过点F作于H，利用折叠的性质和勾股定理，求出，，再由平行线的性质和等角对等边的性质，得到，证明四边形是矩形，得到，再利用勾股定理，即可求出； （3）过点A作，交的延长线于N，过点F作于M，先求得，得出，由折叠的性质可知：，，再由等腰三角形的性质以及勾股定理，得出，证明四边形是矩形，通过勾股定理，，再在中，求出的长即可． 【详解】解：（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形； （2）如图，过点F作于H， 由折叠可知：，， ，， ， 在中，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； （3）过点A作，交的延长线于N，过点F作于M， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则，由勾股定理可得， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，熟练掌握特殊的四边形的判定和性质是解题关键． 25. 如图，一次函数的图像交轴于点，交轴于点，以，，三点为顶点作矩形，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，直线交直线于点． （1）求直线的解析式； （2）求证：是的角平分线； （3）在角平分线上，是否存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）存在，或． 【解析】 【分析】（1）由一次函数求出点、的坐标，再根据旋转的性质可求出点、的坐标，最后根据待定系数法求解即可； （2）过点作于点，作于点，证明，得到，即可证明； （3）联立两个函数解析式，求出点的坐标，再求出直线的解析式为，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形分两种情况：①过点作交于点，则是以为直角边的等腰直角三角形；②过点作交于点，则是以为直角边的等腰直角三角形；根据一次函数的性质，结合勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：在中，令，则； 解得：， ， 令，则， ， ， ，， 由旋转可得：，， ，， 设直线的解析式为，代入，， 可得：， 解得：， 直线的解析式为； 【小问2详解】 如图，过点作于点，作于点， ， 由旋转可得：，， 在和中， ， ， ， 是的角平分线； 【小问3详解】 由旋转可知，，即， 是的角平分线， ， 联立， 解得， 即点， 设直线的解析式为，代入点， 得：， 解得：， 直线的解析式为：， ， ， 以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形分两种情况： ①过点作交于点，则是以为直角边的等腰直角三角形，， 由勾股定理可求得， ， ， ， 点在直线的图象上， 设， ， 解得或（舍）， ， ； ②过点作交于点，则是以为直角边的等腰直角三角形， ， 由勾股定理可得：， ， ， ， 点在直线的图像上， 设， ， 解得或（舍）， ， ； 综上，点坐标为或． 【点睛】本题主要考查图形的旋转性质，一次函数的图像与性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识．解题的关键是灵活运用这些知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阳新县2024-2025学年度下学期期末素质检测 八年级数学试题卷 本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请交答题卡． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 3. 如图，在四边形ABCD中，已知，则添加下列条件后不能说明四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若三角形的三条中位线长分别为，，，则原三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，学校分给各班级一块地，让学生学习种菜．八年级三班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为，，，则三角形菜地的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 某班级学校图书节义卖活动中，售书情况如下表： 售价 3元 4元 5元 6元 数目 10本 15本 14本 11本 则在该班级的这一组售书价格数据中，下列说法错误的是（ ） A. 众数4元 B. 总收入是226元 C. 平均数是4.52元 D. 中位数是4元 7. 将直线向右平移个单位后得到某正比例函数的图象，则的值为（ ） A 3 B. －3 C. 6 D. －6 8. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 2026 B. 2025 C. D. 9. 小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（ ） A. 点在的图象上 B. 若，则 C. 最多有三个实数根 D. 当时，y随x的增大而减小 10. 如图，，，和都是等边三角形，F为中点，交于G点，下列结论中，正确的结论有（ ） ①；②；③四边形是菱形；④． A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 计算：______，______，______． 12. 如果一组数据的方差，那么的值为_______． 13. 有两棵树，一棵高为5米，另一棵高为2米，两棵树相隔4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢至少飞行______米． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是线段AB的中点，点E是线段BC上的一个动点，若AC=6，BC=8，则DE长度的取值范围是_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的点和点分别落在轴和轴上，，，直线以每秒个单位长度向下移动，经过 ______ 秒该直线可将矩形的面积平分． 16. 如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，，则当是以为腰的等腰三角形时，的长是________． 三、解答题（共9小题，满分72分，每小题8分） 17. 计算 （1） （2） 18. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 19. 如图，在中，，交于点，交的延长线于点，且，连接，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求菱形的面积． 20. 将如图所示的正方形放入平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为、、． （1）填空：_______，______； （2）画图：图中画出平面直角坐标系，分别标出、轴和原点，并在顶点处标出点坐标； （3）求：对角线所在直线的函数表达式． 21. 为大力弘扬中华优秀传统文化，引导学生从千年中华传统文化中汲取养分，推动文化自信自强．某校开展了“诵国家经典，承传统文化”朗诵比赛活动，七年级和八年级各有400名学生参加竞赛，学校为了解这两个年级的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下： 收集数据 从七、八两个年级各随机抽取20名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下： 七年级：70 70 80 90 80 80 90 60 100 80 80 80 90 90 70 90 70 70 100 60 八年级：60 70 80 70 70 90 60 90 90 90 70 90 100 70 70 60 90 90 90 100 整理数据 成绩 人数 年级 七年级 八年级 （说明：优秀成绩为，良好成绩为，合格成绩为） 分析数据 两组样本数据的平均分、中位数、众数、方差如下表所示： 平均分 中位数 众数 方差 七年级 80 80 130 八年级 80 90 170 请解答下列问题： （1）______；______； （2）估计八年级参加此次竞赛的学生中达到良好成绩以上的学生有多少名？ （3）小明认为七，八年级竞赛成绩的平均数相等，因此两个年级的成绩一样好，你认为小明的说法正确吗？请你用所学的统计知识说明理由.（写出一条即可） 22. 如图是边长为1正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺，按要求作答并画出下列图形： （1）的长为______； （2）如图，点D、P分别是与竖格线和横格线的交点，画出点P关于过点D竖格线的对称点Q； （3）请在图中画出的角平分线． 23. 某大型超市从水果批发市场购进哈密瓜和苹果进行销售，两种水果的进价和售价如下表所示： 水果名称 进价（元/千克） 售价（元/千克） 哈密瓜 a 10 苹果 b 销量不超过100千克的部分 销量超过100千克的部分 16 14 已知超市购进20千克哈密瓜和10千克苹果需要260元，购进10千克哈密瓜和20千克苹果需要310元． （1）求a，b的值； （2）若超市每天购进两种水果共150千克，并在当天都销售完，其中销售哈密瓜不少于40千克且不超过60千克，设每天销售哈密瓜x千克（损耗忽略不计）， ①分别求出每天销售哈密瓜的利润y1（单位：元），销售苹果的利润y2（单位：元）与x（单位：千克）的函数关系式，并写出x的取值范围； ②“端午节”当天超市让利销售，将哈密瓜的售价每千克降低m元，苹果售价全部定为14元，为了保证当天销售这两种水果总利润w（元）的最小值不少于320元，求m的最大值． 24. （1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形； （2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E ，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合， 点D的对称点为，若，，求的长； （3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边 ，于点E ，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长． 25. 如图，一次函数的图像交轴于点，交轴于点，以，，三点为顶点作矩形，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，直线交直线于点． （1）求直线的解析式； （2）求证：是的角平分线； （3）在角平分线上，是否存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$