精品解析：湖南省长沙市宁乡市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试卷

2024年上学期高一期末调研考试 数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 设，则虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 直线，互相平行的一个充分条件是 A. ，都平行于同一个平面 B. ，与同一个平面所成的角相等 C. 平行于所在的平面 D. ，都垂直于同一个平面 3. 掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为掷出的两个骰子点数之和是5，则事件A发生的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 某校举行演讲比赛，10位评委对某选手评分数据如下：若去掉一个最高分和一个最低分，则新数据与原数据相比，一定不变的数字特征是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 极差 5. 已知一个样本有27个数据，该组数据的第75百分位数是164，则下列叙述正确的是（ ） A. 把这27个数据从小到大排列后，164是第20个数据和第21个数据的平均数 B 把这27个数据从小到大排列后，小于或等于164数据共有20个 C. 把这27个数据从小到大排列后，小于或等于164数据共有21个 D. 把这27个数据从小到大排列后，164是第21个数据 6. 在半径为r的中，弦的长为2，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 与r有关 7. 如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比是（ ） A. B. C. D. 8. 长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若复数纯虚数，则 B. 复数在复平面内对应的点在第二象限 C. 若i为虚数单位，n为正整数，则 D. 若，则的最大值是2 10. 已知，则正确的选项是（ ） A. 和都单位向量 B. 若，则 C. 若，则 D. 11. 已知分别为三个内角的对边，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的体积是______． 13. 一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，则______． 14. 已知某射击运动员在10次射击中，命中环数的平均数为7，方差为4，现增加两次射击，命中环数分别是6和8，则该射击运动员的这12次射击的命中环数的方差为_______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求： （1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率； （2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率． 16. 已知分别为三个内角的对边，且满足. （1）求A； （2）若，求a. 17. （身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：．中国成人的数值参考标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某公司为了解公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了60名男员工，40名女员工的身高体重数据，通过计算男女员工的值，整理得到如下的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比； （2）估计该公司员工的值的众数，中位数； （3）已知样本中60名男员工值的平均数为，根据频率分布直方图，估计样本中40名女员工值的平均数． 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点． （1）求证：平面； （2）求与底面所成角的正切值； （3）设平面平面，求二面角的大小． 19. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点. （1）求：； （2）求坐标； （3）若点M在线段上运动，设，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年上学期高一期末调研考试 数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 设，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简复数，从而求得其虚部，由此得解. 【详解】因为， 所以的虚部为. 故选：C. 2. 直线，互相平行的一个充分条件是 A. ，都平行于同一个平面 B. ，与同一个平面所成的角相等 C. 平行于所在的平面 D. ，都垂直于同一个平面 【答案】D 【解析】 【详解】由题意下列哪个选项可以推出直线，互相平行即可，选项A中与不仅可以平行还可能相交或异面直线；选项B中与不仅可以平行还可能相交或异面直线；选项C中与不仅可以平行还可能异面直线；故选D 3. 掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为掷出的两个骰子点数之和是5，则事件A发生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用列举法，结合古典概型概率公式求解即可. 【详解】掷两枚质地均匀的骰子根据题意总共有36种可能，掷出的两个骰子点数之和是5有：,共有4种可能. 根据古典概型概率公式得，. 故选：D 4. 某校举行演讲比赛，10位评委对某选手评分数据如下：若去掉一个最高分和一个最低分，则新数据与原数据相比，一定不变的数字特征是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 极差 【答案】B 【解析】 【分析】根据均数、中位数、方差和极差的定义判断． 【详解】解：根据平均数、中位数、方差和极差的定义可知，新数据与原数据相比平均数、方差和极差都有可能发生变化， 而中位数一定不变． 故选：B． 5. 已知一个样本有27个数据，该组数据的第75百分位数是164，则下列叙述正确的是（ ） A. 把这27个数据从小到大排列后，164是第20个数据和第21个数据的平均数 B. 把这27个数据从小到大排列后，小于或等于164数据共有20个 C. 把这27个数据从小到大排列后，小于或等于164数据共有21个 D. 把这27个数据从小到大排列后，164是第21个数据 【答案】D 【解析】 【分析】由百分位数的概念可以判断出第个数据是，小于或等于的数据可能有个，也可能多于个，判断即可. 【详解】因为，所以把这个数据从小到大排列后， 第个数据是，选项A错误，选项D正确； 小于或等于数据可能有个，也可能多于个，选项B，C错误. 故选：D 6. 在半径为r的中，弦的长为2，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 与r有关 【答案】B 【解析】 【分析】先取线段AB的中点D，得，再利用向量数量积的运算法则即可得解. 【详解】取线段AB的中点D，如图，则，故， 所以 . 故选：B 7. 如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用棱锥体积公式及长方体体积公式，求出三棱锥的体积与剩下的几何体体积，从而得解. 【详解】依题意，设该长方体的长、宽、高分别为，，， 即，，． 由长方体的性质可知，，两两垂直， 所以， 故剩下几何体的体积， 因此. 故选：C 8. 长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合长方体性质和线面成角的定义计算，再计算和的值即可. 【详解】依题意，体对角线l满足则， 设l与上下底面成角，则，； 设l与左右侧面成角，则，； 设l与前后面成角，则，. 所以，. 故选：A. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若复数为纯虚数，则 B. 复数在复平面内对应的点在第二象限 C. 若i为虚数单位，n为正整数，则 D. 若，则的最大值是2 【答案】AD 【解析】 【分析】利用复数的基本概念判断A；利用复数的代数表示法及其几何意义判定B与D；利用虚数单位的运算性质判定C． 【详解】解：A．若复数为纯虚数，则，，故正确，符合题意； B．复数在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限，故错误，不符合题意； C．若为虚数单位，为正整数，则，故错误，不符合题意； D．若，则，对应复平面内单位圆上的两动点，可得的最大值是2，故正确，符合题意． 故选：AD． 10. 已知，则正确的选项是（ ） A. 和都是单位向量 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平方关系求出，即可判断A，根据共线向量判断B，根据向量数量积的坐标表示及两角差的余弦公式判断C，根据数量积的运算律和向量垂直的性质判断D． 【详解】解：A．，，故和都是单位向量，故正确，符合题意； B．若，则，故，所以，故正确，符合题意； C．若，即，所以，，即，，故错误，不符合题意； D．因为，所以，故正确，符合题意． 故选：ABD． 11. 已知分别为三个内角的对边，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】用余弦定理可判断A；用正弦定理可判断B，C；用三角形的面积公式可判断D. 【详解】因为，所以， 由余弦定理可得：， 即，解得或（舍去），故A正确； ，由，可得， 所以，故B正确； 由于，所以由正弦定理可得：，所以C正确； ，故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的体积是______． 【答案】 【解析】 【分析】所得的几何体是底面半径为，高为的圆柱体，根据圆柱的体积公式，即可求解. 【详解】解：将边长为1的正方形绕其一边所在直线旋转一周， 所得几何体是底面半径为，高为的圆柱体， 其体积为. 故答案为: 13. 一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由求解即可 【详解】∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 已知某射击运动员在10次射击中，命中环数的平均数为7，方差为4，现增加两次射击，命中环数分别是6和8，则该射击运动员的这12次射击的命中环数的方差为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】设前10次射击的命中环数分别为，由题意先算出12次射击的命中环数的平均数，然后由方差的计算公式求解即可. 【详解】设前10次射击的命中环数分别为，则 即，由方差为，得， 即， 所以增加两次射击后，这12次射击的命中环数的 平均数为：， 所以这12次射击的命中环数的方差为： . 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求： （1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率； （2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率． 【答案】（1）．（2） 【解析】 【分析】（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，求出，，任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：，由此能求出结果． （2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为，由此能求出结果. 【详解】（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”， 则P（A），P（B）， ∴任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为： P（A）＝P（A）P（）+P（）P（B）（1）． （2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为： P（）＝P（）P（）＝（1）（1） 【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 16. 已知分别为三个内角的对边，且满足. （1）求A； （2）若，求a. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理的边角变换得到，从而得解； （2）利用三角形面积公式求得，再利用余弦定理即可得解. 【小问1详解】 （1）因为， 由正弦定理得， 在中，，则，得， 而，可. 【小问2详解】 因， 所以，即，解得， 所以. 则. 17. （身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：．中国成人的数值参考标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某公司为了解公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了60名男员工，40名女员工的身高体重数据，通过计算男女员工的值，整理得到如下的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比； （2）估计该公司员工的值的众数，中位数； （3）已知样本中60名男员工值的平均数为，根据频率分布直方图，估计样本中40名女员工值的平均数． 【答案】（1）， （2）众数为，中位数为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为1可计算的值，再结合频率分布直方图即可得肥胖的百分比； （2）利用频率分布直方图即可估计众数，中位数； （3）先计算整体的平均数，然后由分层抽样平均数的公式即可得解． 【小问1详解】 由题，，解得：， 由频率分布直方图可得，该公司员工为肥胖的百分比为； 【小问2详解】 由频率分布直方图可得，众数为， 因为，， 故中位数在，设为，则； 【小问3详解】 设样本平均数为， 则由频率分布直方图可得； ， 又， 即，解得：． 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点． （1）求证：平面； （2）求与底面所成角的正切值； （3）设平面平面，求二面角的大小． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，由面面垂直的性质定理可得平面，从而知，再利用线面垂直的判定定理，即可得证； （2）取的中点，连接，，先利用面面垂直的性质定理可证平面，从而知即为所求，再利用锐角三角函数的知识，求解即可； （3）先证平面，由线面平行的性质定理知，再证平面，从而知，同理可证，于是即为所求． 【小问1详解】 证明：因为侧面是正三角形，是的中点， 所以， 因为底面为正方形，所以， 又侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，、平面， 所以平面． 【小问2详解】 解：取的中点，连接，， 因为侧面是正三角形，所以， 又侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 所以即为与底面所成角， 设正方形的边长为，则，， 在中，， 所以与底面所成角的正切值为． 【小问3详解】 解：因为，平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以， 由（1）知平面， 所以平面， 因为平面，所以， 同理可得， 所以即为二面角的平面角， 又侧面是正三角形，所以， 故二面角的大小为． 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线、面垂直与平行的判定或性质定理，线面角、二面角的定义与求法是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 19. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点. （1）求：； （2）求的坐标； （3）若点M在线段上运动，设，求的最大值. 【答案】（1） （2）， （3）3 【解析】 【分析】（1）根据向量新定义，结合向量数量积运算法则即可得解； （2）先利用向量加法的平行四边形法则得到四边形是平行四边形，进而得到，，从而利用向量的线性运算即可得解； （3）设，利用向量的线性运算得到关于的表达式，从而利用二次函数的性质即可得解. 【小问1详解】 依题意，得是单位向量，且夹角为， 所以， 而， ， 则. 【小问2详解】 因为， 所以，， 所以，则四边形是平行四边形， 所以， 因为分别是的中点，所以， 所以，， 因为 ， 则， 所以，； 【小问3详解】 由（2）知，， 因为点在线段上运动，所以设，其中， 因为，所以， 所以， 因为不共线，则，解得， 所以， 因为，所以当时，取得最大值3. 【点睛】思路点睛：关于新定义题思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $