精品解析：福建省龙岩市上杭县第三中学2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试题

上杭三中2024-2025学年第一学期第二阶段质量检测 九年级数学试题 一、选择题（每小题4分，共40分．） 1. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线与轴的交点是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 6. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形网格中，三角形①绕某点旋转一定角度得到三角形②，其旋转中心是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 8. 某食品厂七月份生产了52万个面包，第三季度共生产了196万个面包．若x满足方程，则x表示的意义是（ ） A. 该厂七月份生产面包数量的增长率 B. 该厂八月份生产面包数量的增长串 C. 该厂七、八月份平均每月生产面包数量的增长率 D. 该厂八、九月份平均每月生产面包数量的增长率 9. 如图，、、是的切线，点A、B、E是切点，分别交、B于C、D两点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于B、D两点．若直线y＝kx﹣k与C1、C2共有3个不同的交点，则k的最大值是（　　） A. B. 2﹣6 C. 6+4 D. 6﹣4 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 在直角坐标系中，若点，点关于原点中心对称，则_______． 12. 已知关于x的一元二次方程有一个根为，则____________ 13. 把函数的图象向下平移1个单位长度后所得的图象的函数解析式为___________ 14. 如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点A放在半径为2的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点，则图中的长为_______．（结果保留） 15. 若时，函数的最大值为17，则______． 16. 如图，正方形的边长为8，M、N为边上的动点，以为斜边作等腰（其中），点E在边上，且，连接，则的周长最小值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．） 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 18. 已知是关于x的一元二次方程，求证：方程总有两个不相等的实数根． 19. 已知函数（m为常数）． （1）当m为何值时，y是x的二次函数？ （2）在（1）的条件下，求函数图象与x轴的交点坐标． 20. 如图，正方形中，点E为边上的一点，将顺时针旋转后得到． （1）指出旋转中心为点_____及旋转角的度数为_______； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 21. 有张相同的卡片，正面分别写有数字，将卡片的背面朝上放在桌面上． （1）洗匀后，从中随机抽取张卡片，抽到写有正数的卡片的概率为_____； （2）洗匀后，从中随机抽取张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的张卡片上的数字之积是负数的概率． 22. 如图，在中，, （1）尺规作图：作出，使圆心P在边上，且与两边都相切（保留作图痕迹，不写作法） （2）若在（1）的条件下，设与的切点为D，求的半径． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 柚子季将至，某超市购进一批柚子进行销售 素材1 超市以20元千克的批发价格购进柚子，准备在销售旺季里销售．根据食品保鲜度，商家决定在整个40天的销售旺季里，前15天以32元千克的销售单价进行销售，从第16天开始每天销售单价降低0.4元千克进行降价销售． 素材2 根据往年的销售数据，柚子在销售旺季40天内的日销数量（千克）与时间第（天）的关系如表． 时间第（天） 1 2 3 10 日销售量（千克） 30 35 40 75 问题解决 任务1 小明看到柚子降价销售“26元千克”，计算这是超市卖柚子到第几天了． 任务2 利用一次函数、二次函数、反比例函数的知识，直接写出日销售量（千克）与时间（天的关系式． 任务3 请你帮助超市算一算，在销售旺季里利润最大是第几天，最大的利润是多少． 24. 如图，是四边形的外接圆，直径为10，过点D作，交的延长线于点P，平分． （1）如图1，若是的直径，求证：与相切； （2）若是的直径， ，求的度数． （3）如图2，若，求的最大值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点A在点B的左边），交y轴负半轴于点C． （1）如图1，， ①直接写出A，B，C三点的坐标； ②抛物线上存在点D，使得，直接写出D点的坐标； （2）如图2，设经过A，B，C三点的交y轴于另外一点E，，经过点M的直线交抛物线于G，H两点，若的长等于的直径长，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上杭三中2024-2025学年第一学期第二阶段质量检测 九年级数学试题 一、选择题（每小题4分，共40分．） 1. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意， 故选：A． 2. 如图，在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，据此进行解答即可. 【详解】解：∵， ∴ 故选：C 3. 抛物线与轴的交点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】抛物线y=2x2+3与y轴的交点的横坐标为0，故把x=0代入上式得y=3，交点是（0，3）． 【详解】当x=0时，y=2×0+3=3，所以交点是（0，3）． 故选B． 【点睛】考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，及与y轴交点的坐标特点． 4. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， 故选：D． 5. 正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，根据中心角的度数等于除以边数，进行求解即可． 【详解】∵正多边形的中心角为， ∴这个多边形的边数是， ∴正多边形的边数是8． 故选：C． 6. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质可得出，，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】解：根据旋转的性质，可得：，， ∴． 故选：B． 7. 如图，在正方形网格中，三角形①绕某点旋转一定角度得到三角形②，其旋转中心是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，旋转中心的确定． 根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线，交于点B， ∴点B为旋转中心． 故选：B． 8. 某食品厂七月份生产了52万个面包，第三季度共生产了196万个面包．若x满足方程，则x表示的意义是（ ） A. 该厂七月份生产面包数量的增长率 B. 该厂八月份生产面包数量的增长串 C. 该厂七、八月份平均每月生产面包数量的增长率 D. 该厂八、九月份平均每月生产面包数量的增长率 【答案】D 【解析】 【分析】增长后的量增长前的量增长率，根据方程结合题意确定x的意义即可． 【详解】解：根据题意：x表示的意义是该厂八、九月份平均每月生产面包数量的增长率． 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 9. 如图，、、是的切线，点A、B、E是切点，分别交、B于C、D两点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，全等三角形的判定和性质． 连接，根据切线性质和切线长定理可得，，， 进而可得，，即得，，得到，再利用四边形的内角和求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线，点是切点， ∴，，，，， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于B、D两点．若直线y＝kx﹣k与C1、C2共有3个不同的交点，则k的最大值是（　　） A. B. 2﹣6 C. 6+4 D. 6﹣4 【答案】D 【解析】 【分析】本题首先要确定直线可能所处的位置（如下图所示），一种情况是直线m与抛物线相切，另一种情况是直线n过B点，进而求出k的值． 【详解】解：如图 抛物线y=-x2+4x-3与x轴交于点A、B，则点A、B的坐标为：（1，0）、（3，0）， 由抛物线从C1：y=-x2+4x-3平移得到抛物线C2，则容易得到其的方程为：y=-（x-4）2+1，（3≤x≤5）． 直线y=kx-k过点A（1，0）， 当直线m与C2只有一个交点和在x轴的位置时，直线y=kx-k与C1、C2共有3个不同的交点， 而直线为m时，k值最大， 联立C2与直线的表达式可得：kx-k=y=-（x-4）2+1 Δ=0，即k2-12k+4=0，解得：k=6±4（舍去6+4）． 故选：D． 【点睛】本题是二次函数、一次函数，以及直线与函数相切知识的综合运用，只要能确定直线m、n位置即可求解． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 在直角坐标系中，若点，点关于原点中心对称，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题的关键． 直接利用关于原点对称点的性质，得出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解：∵坐标系中点，点关于原点中心对称， ∴，， 则． 故答案为：1． 12. 已知关于x的一元二次方程有一个根为，则____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入方程即可求解，掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题的关键． 【详解】解：把代入方程得， ， 解得：， 故答案为：． 13. 把函数的图象向下平移1个单位长度后所得的图象的函数解析式为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移．掌握其平移的规律“上加下减，左加右减”是解题关键． 根据二次函数图象平移的规律解答即可． 【详解】解：把函数的图象向下平移1个单位长度后所得的图象的函数解析式为． 故答案为：． 14. 如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点A放在半径为2的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点，则图中的长为_______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式．连接，根据圆周角定理得出，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据题意得：， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 若时，函数的最大值为17，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质,函数的图像开口向上，对称轴为直线，当时，当时，又因为时函数的最大值为，求解即可． 【详解】解：函数的图像开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ∵时，函数的最大值为， ∴． 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长为8，M、N为边上的动点，以为斜边作等腰（其中），点E在边上，且，连接，则的周长最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，由正方形的性质及等腰直角三角形的性质，易证四点共圆，由圆周角定理得到恒等于，从而得到点P在正方形对角线上运动，证明，得到，由，得到为定值，当点三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长有最小值为，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 四边形是正方形，是等腰直角三角形， ， ， 四点共圆， 恒等于， 点P在正方形对角线上运动， ， ， ， ， 为定值， 当点三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长有最小值为， ， 的周长的最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，四点共圆，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识点，正确作出辅助线，确定点P的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．） 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用直接开方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解得，； 【小问2详解】 解得，． 18. 已知是关于x的一元二次方程，求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】 解：∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题考查根的判别式、非负数的性质、配方法，先根据根的判别式求得，再根据非负数的性质可得，即可得出结论． 【详解】略 19. 已知函数（m为常数）． （1）当m为何值时，y是x的二次函数？ （2）在（1）的条件下，求函数图象与x轴的交点坐标． 【答案】（1）当时，是的二次函数； （2）函数图象与x轴的交点坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的图象与x轴的交点坐标． （1）根据二次函数的定义即可求解； （2）根据（）得出二次函数的解析式，令，求得，据此即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，且， 解得， ∴当时，是的二次函数； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 令， 则， 解得， ∵函数图象与x轴的交点坐标为． 20. 如图，正方形中，点E为边上的一点，将顺时针旋转后得到． （1）指出旋转中心为点_____及旋转角的度数为_______； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）旋转中心是，旋转角是 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）将旋转后得到，要确定旋转中心及旋转的角度，首先确定哪个点是对应点，即可确定； （2）根据旋转的性质可知，旋转前后两个图形一定全等，根据全等三角形的对应角相等，即可作出判断． 【小问1详解】 解：∵将顺时针旋转后得到 ∴旋转中心是点，旋转角的度数是； 【小问2详解】 解：延长交于点． 由旋转可知：， ，． 又，， ， ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质，旋转只是改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，旋转前后的两个图形一定全等． 21. 有张相同的卡片，正面分别写有数字，将卡片的背面朝上放在桌面上． （1）洗匀后，从中随机抽取张卡片，抽到写有正数的卡片的概率为_____； （2）洗匀后，从中随机抽取张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的张卡片上的数字之积是负数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据张卡片中共有个正数，故利用概率公式计算事件的概率即可． （2）画树状图得出共有种等可能的结果数，其中抽取的张卡片上的数字之积是负数的结果有种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵张卡片中共有个正数， ∴随机抽取张卡片，抽到写有正数的卡片的概率为． 【小问2详解】 解：画树状图如图： ∴由树状图知共有种等可能的结果，其中抽取的张卡片上的数字之积是负数的结果有种， 抽取的张卡片上的数字之积是负数的概率为． 22. 如图，在中，, （1）尺规作图：作出，使圆心P在边上，且与两边都相切（保留作图痕迹，不写作法） （2）若在（1）的条件下，设与的切点为D，求的半径． 【答案】（1）见详解 （2）3 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线、作内切圆、切线的性质、切线长定理、勾股定理等知识，掌握相关知识是解题关键． （1）作的角平分线交于点，以点为圆心，为半径作圆，即为所作的圆. （2）连接，设，由切线长定理得到，在中，根据勾股定理解题即可解出半径． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：连接， 与的切点为， ，，， ，， 在中，，，由勾股定理得， ， 由切线长定理可得，， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， 解得， 所以，的半径为3． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 柚子季将至，某超市购进一批柚子进行销售 素材1 超市以20元千克的批发价格购进柚子，准备在销售旺季里销售．根据食品保鲜度，商家决定在整个40天的销售旺季里，前15天以32元千克的销售单价进行销售，从第16天开始每天销售单价降低0.4元千克进行降价销售． 素材2 根据往年的销售数据，柚子在销售旺季40天内的日销数量（千克）与时间第（天）的关系如表． 时间第（天） 1 2 3 10 日销售量（千克） 30 35 40 75 问题解决 任务1 小明看到柚子降价销售“26元千克”，计算这是超市卖柚子到第几天了． 任务2 利用一次函数、二次函数、反比例函数的知识，直接写出日销售量（千克）与时间（天的关系式． 任务3 请你帮助超市算一算，在销售旺季里利润最大是第几天，最大的利润是多少． 【答案】任务1：超市卖柚子到第30天了；任务2：；任务3：在销售旺季里利润最大是第15天，最大的利润是1200元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，同时本题还考查了待定系数法求一次函数的解析式、解一元二次方程等知识点，明确二次函数的相关性质并会数形结合是解题的关键． 任务1：由题意得，第柚子的价格为：，即可求解； 任务2：由待定系数法即可求解； 任务3：当时，则，当时，则，分别求出最大值，即可求解． 【详解】解：任务1：由题意得，第柚子的价格为：， 则， 解得：， 即超市卖柚子到第30天了； 任务2：由表格知，日销售量（千克）是时间（天的一次函数， 设函数的表达式为：， 将代入上式得：， 解得：， 故一次函数的表达式为：； 任务3：设销售旺季里利润为元， 当时，则， 当时，取得最大值为（元； 当时，则， 则函数的对称轴为， 故当时，函数取得最大值为：798元， 综上所述：当时，函数取得最大值为1200元， 即在销售旺季里利润最大是第15天，最大的利润是1200元． 24. 如图，是四边形的外接圆，直径为10，过点D作，交的延长线于点P，平分． （1）如图1，若是的直径，求证：与相切； （2）若是的直径， ，求的度数． （3）如图2，若，求的最大值． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ，即， 为的半径， ∴与相切； （2） （3）10 【解析】 【分析】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线判定、勾股定理、全等三角形的判定及性质、等边三角形判定及性质、解直角三角形等知识，作出辅助线构造出等边三角形是解本题的关键． （1）连接，由得，根据平分，即得，而，即可得； （2）先判断出得出，进而求出，即可求出答案； （3）连接，在上截取，先判断出是等边三角形，进而判断出是等边三角形，进而判断出 ，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是的直径， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：连接，在上截取， ， 平分， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， 当为直径，即时，取最大值是10． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点A在点B的左边），交y轴负半轴于点C． （1）如图1，， ①直接写出A，B，C三点的坐标； ②抛物线上存在点D，使得，直接写出D点的坐标； （2）如图2，设经过A，B，C三点的交y轴于另外一点E，，经过点M的直线交抛物线于G，H两点，若的长等于的直径长，求的值． 【答案】（1）①，，；②， （2） 【解析】 【分析】（1）①当时，该抛物线表达式为，把和代入，求出对应的x和y的值，即可得出点A、B、C的坐标； ②得，则，连接，令交x轴于点F，设，直线的函数表达式为，用待定系数法求出直线的函数表达式为，则，根据，列出方程求解即可； （2）连接，得，根据圆周角定理推出，则，得出，进而得出该抛物线表达式为，求出．过点作轴于点，连接，根据两点之间距离公式求出，则，推出直线表达式为，联立得出，则，，，，进而得到，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：①当时，该抛物线表达式为， 把代入得：， 解得：，， ∴， 把代入得：， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴， 连接，令交y轴于点F， 设，直线的函数表达式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的函数表达式为， 把代入得：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时，， 解得：或， ∴或， 当时，整理得：， ∵， ∴该方程无解， 综上：，； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由可得，，， ∴，， ∴， ∵点A、C、B、E四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该抛物线表达式为， ∴，，，， ∵点M为圆心， ∴点M横坐标与中点横坐标相等，点M纵坐标与中点纵坐标相等， ∴，即． 过点作轴于点，连接， ∴， ∴， ∵把代入得：， 整理得：， ∴直线表达式为 ∴联立， ， ∴，， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数综合和一次函数，圆周角定理，垂径定理，两点之间的距离公式，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法步骤． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $