第1章 勾股定理（章节复习检测培优卷）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册优选题练习卷（新教材）

2025-2026学年北师大版数学八年级上册章节复习检测培优卷（新教材） 第1章 勾股定理 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（23-24七年级上·山东淄博·期中）如图，点为的边上一点，已知，折线与折线的长度相等，则直角边的长为(    ) A． B．7 C． D．8 2．（22-23八年级上·山西临汾·阶段练习）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．8，15，17 B．，2， C．1，， D．4，5，6 3．（17-18八年级下·全国·单元测试）下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（    ） A． B． C．   D． 4．（22-23八年级下·四川绵阳·期中）如图，矩形纸片中，，，将矩形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 5．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点，已知圆柱的底面半径为，高为（π取3），则蚂蚁所走过的最短路径是（    ）cm． A．28 B．29 C．25 D．22 6．（21-22八年级下·广东河源·期末）如图，在 中，，，于点，以为直径的半圆的面积为，那么的长是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23八年级上·山东泰安·期末）如图，点P是等边内部一点，连接，且，现将绕点A顺时针旋转到的位置，对于下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（21-22八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，正方形的边长为4，为上的点，，将沿对折至，延长交于．连接、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 9．（20-21八年级上·河南开封·期末）若的三边长a、b、c满足，那么是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 10．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，求的最小值为（     ） A．5 B．4.8 C．2.4 D．4 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（24-25八年级下·吉林·期中）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为 ． 12．（2024八年级上·江苏·专题练习）在中，的对边分别为a，b，c，且满足，则 ． 13．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为 ． 14．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为 ． 15．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的长等于 ． 16．（22-23八年级上·河南郑州·开学考试）在一个长，宽的长方形纸片上，如图放置一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且大于纸片的宽，它的底面边长为的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到点C处的最短路程是 ．    17．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在矩形中，，．P是射线上一动点，将矩形沿着对折，点A的对应点为．当P，，C三点在同一直线上时，则的长 ． 18．（23-24八年级下·四川南充·期中）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕；把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点A′处，得到折痕与相交于点N，若直线交直线于点O，，则的长为 ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图，在中，，P是线段上的一个动点，求的最小值． 20．（本题6分）（24-25八年级上·山西忻州·期中）如图，在中，，D是上的一点，．求的面积． 21． （本题8分） 问题背景 如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以、的速度从点A、C同时出发，沿规定路线移动. 问题探究 (1)若点P从点A沿向终点B移动，点Q从点C沿向点D移动，点Q随点P的停止而停止，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ (2)若点P沿着移动，点P从点A移动到点C停止，点Q从点C沿向点D移动点Q随点P的停止而停止，试探求经过多长时间的面积为？ 22．（本题8分）（23-24八年级下·河南新乡·期中）小区内有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送1.8m（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 23．（本题8分）（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，． (1)尺规作图：在的边上找到点，使得点到的距离等于；（请用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的长． 24．（本题8分）（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，于点E，点D是边的中点，． (1)求的长； (2)求的长． 25．（本题10分）（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某城市清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．如图，已知，，，，，试求阴影部分的面积． 26．（本题10分）（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）和中，，，连接． (1)如图1，求证：①．② (2)如图2，连接，若，求的度数． (3)如图3，取的中点M，N，连接，判断的形状，并说明理由． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年北师大版数学八年级上册章节复习检测培优卷（新教材） 第1章 勾股定理 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（23-24七年级上·山东淄博·期中）如图，点为的边上一点，已知，折线与折线的长度相等，则直角边的长为(    ) A． B．7 C． D．8 【答案】C 【思路引导】本题考查勾股定理，根据，已知，由折线与折线的长度相等，可以设为，则为，由勾股定理即可求得． 【规范解答】解：∵折线与折线的长度相等， ∴， 设为，则为， 在中，有， 即 解得：， 故 故选：C． 2．（22-23八年级上·山西临汾·阶段练习）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．8，15，17 B．，2， C．1，， D．4，5，6 【答案】A 【思路引导】根据勾股数的定义：勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，结合勾股定理逆定理，逐个进行判断即可． 【规范解答】解：A、8，15，17 ∵，， ∴， ∴A组数是勾股数，符合题意； B、，2， ∵，不是整数， ∴B组数不是勾股数，不符合题意； C、1，， ∵，不是整数， ∴C组数不是勾股数，不符合题意； D、4，5，6 ∵，， ∴D组数不是勾股数，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股数，解决问题的关键是熟练掌握勾股数的定义． 3．（17-18八年级下·全国·单元测试）下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（    ） A． B． C．   D． 【答案】D 【思路引导】对于选项的图形，可以用两种方法分别表示出大正方形的面积，然后由两种表示法的面积相等进行证明；对于选项的图形，可以用两种方法都表示中间正方形的面积，一种是直接表示正方形的面积，另一组是根据“中间正方形的面积大正方形的面积个全等的直角三角形的面积”进行表示，再由两种表示法的面积相等，结合整式的运算证明勾股定理；接下来按照同样的方法，表示出选项、中图形的面积，进而得出结论． 【规范解答】解：、四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， ，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意； 、四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， ，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意； 、三个直角三角形的面积和梯形的面积， ，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意； 、不能证明勾股定理，故此选项符合题意， 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理计算与证明，熟练掌握勾股定理，根据图形的面积关系进行证明是解答本题的关键． 4．（22-23八年级下·四川绵阳·期中）如图，矩形纸片中，，，将矩形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【思路引导】设，根据折叠可得，在中，根据勾股定理列方程，求出的长，进一步求的面积即可． 【规范解答】解：设， 在长方形中，，，， 根据折叠，可得， 在中，根据勾股定理， 得， 解得， ， 的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠问题，矩形的性质，三角形的面积，勾股定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 5．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点，已知圆柱的底面半径为，高为（π取3），则蚂蚁所走过的最短路径是（    ）cm． A．28 B．29 C．25 D．22 【答案】C 【思路引导】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解． 【规范解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、B的最短距离为线段的长． 在中，，，为底面半圆弧长，， 所以 故选：C． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答． 6．（21-22八年级下·广东河源·期末）如图，在 中，，，于点，以为直径的半圆的面积为，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据以为直径的半圆的面积为，可求得，再由勾股定理的逆定理确定为直角三角形，然后借助的面积求解即可． 【规范解答】解：根据题意，以为直径的半圆的面积为， 则有，解得， 又∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∵， ∴， 即，解得． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理、半圆的面积等知识，利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形是解题关键． 7．（22-23八年级上·山东泰安·期末）如图，点P是等边内部一点，连接，且，现将绕点A顺时针旋转到的位置，对于下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】由题意知旋转角，可得是等边三角形；由知，可得与不全等；由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，有；推出，，再根据三角形内角和定理可得；进而可得正确答案． 【规范解答】解：由题意知旋转角， ∴是等边三角形，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴与不全等，故②错误； ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴ ，故④正确； 综上，正确的有①③④． 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理的逆应用，三角形的内角和定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． 8．（21-22八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，正方形的边长为4，为上的点，，将沿对折至，延长交于．连接、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】①正确，根据进行证明即可； ②正确．利用全等三角形的性质解决问题即可； ③错误，在中，利用勾股定理求出，即可解决问题； ④正确，根据计算即可． 【规范解答】解：①四边形是正方形， ，， 由翻折可知：，，， ，， 在和中， ， ，故①正确， ②， ， ，， ，故②正确， ③， ， ，， ，， 在中，，，， 根据勾股定理，得， 即， 解得， ， ， ．故③错误． ④∵，， ∴， 又∵，， ， ∴，故④正确． 所以其中正确的是①②④，一共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、翻折变换以及勾股定理等相关知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 9．（20-21八年级上·河南开封·期末）若的三边长a、b、c满足，那么是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【思路引导】先用完全平方公式进行因式分解求出a、b、c的值，再确定三角形的形状即可． 【规范解答】解：， 移项得，， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了运用完全平方公式因式分解，勾股定理逆定理，非负数的性质，解题关键是通过等式的变形，恰当的拆数配成完全平方，再根据非负数的性质求边长． 10．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，求的最小值为（     ） A．5 B．4.8 C．2.4 D．4 【答案】B 【思路引导】本题考查勾股定理逆定理，垂线段最短，矩形的判定和性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．连接，利用勾股定理逆定理推出，证明四边形为矩形，进而得到，结合垂线段最短得到当于点时，最小，即最小，再结合等面积法求解，即可解题． 【规范解答】解：连接， 在中，，，， 又 ，即， ， 于E，于F， ， 四边形为矩形， ， 当于点时，最小，即最小， 有， 故选：B． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（24-25八年级下·吉林·期中）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理，根据勾股定理结合正方形的面积，即可求解． 【规范解答】解：由题意可知，， 那么， 所以正方形的边长为． 故答案为：． 12．（2024八年级上·江苏·专题练习）在中，的对边分别为a，b，c，且满足，则 ． 【答案】/90度 【思路引导】先运用非负数性质求得a，b，c的值，再运用勾股定理的逆定理求得．此题考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行求解． 【规范解答】解：∵， ∴， 解得， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查勾股定理求最短路径问题．根据题意将楼梯展开即可直观看到从点A到点C的最短距离即为展开后矩形的对角线，继而勾股定理求出本题答案． 【规范解答】解：将楼梯展开，如下图： ， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】根据题意求出面积标记为的等腰直角三角形的直角边长，得到，同理求出，根据规律解答．本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律是解题的关键． 【规范解答】解：如图所示， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， 正方形的边长为2， ∴， 面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， 则， 面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， 则， 面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， 则， 故答案为：． 15．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的长等于 ． 【答案】/0.875 【思路引导】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 设，则，由折叠可得：，根据勾股定理得出，列出方程求解即可． 【规范解答】解：设，则， 由折叠可得：， ∵， ∴，则， 解得：， ∴． 故答案为：． 16．（22-23八年级上·河南郑州·开学考试）在一个长，宽的长方形纸片上，如图放置一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且大于纸片的宽，它的底面边长为的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到点C处的最短路程是 ．    【答案】17 【思路引导】本题主要考查了立体图形的展开图和勾股定理．将正三棱柱的木块展开看作平面是解题的关键． 将木块展开看作平面后，由两点之间线段最短知蚂蚁的最短距离为线段，由勾股定理计算即可． 【规范解答】将长方形纸片与木块展开后如图所示， 由两点之间线段最短可知蚂蚁的最短距离为线段， 此时， ∵，， ∴， ∴蚂蚁从点A处到点C处的最短路程是． 故答案为：17．    17．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在矩形中，，．P是射线上一动点，将矩形沿着对折，点A的对应点为．当P，，C三点在同一直线上时，则的长 ． 【答案】 【思路引导】分类讨论：当点P在上时，由折叠的性质得，，，利用勾股定理求得，设，则，，利用勾股定理列方程求解即可；当点P在的延长线上时，由折叠的性质得，，，利用勾股定理求得，设，则，，利用勾股定理列方程求解即可． 【规范解答】解：如图，当点P在上时， 由折叠的性质得，，，， ∴， 在中，， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴； 如图，当点P在的延长线上时， 由折叠的性质得，，，， 在中，， 设，则，， 在中，，即， 解得， 综上所述，， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、解一元一次方程，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 18．（23-24八年级下·四川南充·期中）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕；把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点A′处，得到折痕与相交于点N，若直线交直线于点O，，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】连接，由折叠的性质易得，则，由及折叠性质得；在中，由勾股定理即可求解． 【规范解答】解：如图，连接， 由折叠的性质得：，，， ，， ， 在矩形中，， ， ； ， ； 在中，， 由勾股定理得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识；由折叠的性质求得是解题的关键． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图，在中，，P是线段上的一个动点，求的最小值． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理、垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解题关键．先利用勾股定理可得，再根据垂线段最短可得当时，的值最小，利用三角形的面积公式计算即可得． 【规范解答】解：∵在中，， ∴， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ∴，即， 解得， 答：的最小值为． 20．（本题6分）（24-25八年级上·山西忻州·期中）如图，在中，，D是上的一点，．求的面积． 【答案】 【思路引导】先根据勾股定理的逆定理确定是直角三角形且，再根据勾股定理解决此题．本题主要考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理是解决本题的关键． 【规范解答】解：，， ． 是直角三角形且． 设，则． 在中，． ， 解得：， 即． ． 21．（本题8分）（17-18九年级上·江苏盐城·阶段练习）问题背景 如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以、的速度从点A、C同时出发，沿规定路线移动. 问题探究 (1)若点P从点A沿向终点B移动，点Q从点C沿向点D移动，点Q随点P的停止而停止，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ (2)若点P沿着移动，点P从点A移动到点C停止，点Q从点C沿向点D移动点Q随点P的停止而停止，试探求经过多长时间的面积为？ 【答案】(1)或 (2)4秒或6秒 【思路引导】本题考查了几何动点问题，涉及了矩形的性质、勾股定理、一元二次方程以及一元一次方程等知识点，注意计算的准确性是解题关键． （1）过点P作于E，根据四边形均为矩形可得，，据此即可求解； （2）分类讨论①当点P在线段上和②当点P在线段上两种情况即可求解； 【规范解答】（1）解：如图1，过点P作于E， 则四边形均为矩形， ∴， 设x秒后，点P和点Q的距离是， ∵， ∴， 由题意得， ， ∴，， 由题意知点P的运动时间为，即，故和均符合题意. ∴经过或，P、Q两点之间的距离是. （2）解：由点P从点A移动到点C停止知，点P运动的时间为. 设经过后的面积为. ①当点P在线段上（如图1），即时， ，连接， ∴， 即， 解得； ②当点P在线段上（如图2），即时，连接， 则，， 则， 解得，（舍去） 综上所述，经过4秒或6秒，的面积为. 22．（本题8分）（23-24八年级下·河南新乡·期中）小区内有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送1.8m（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】绳索的长度是3米． 【思路引导】此题考查了勾股定理的应用．设秋千的绳索长为，表示出的长，列出，代入数据即可求解． 【规范解答】解：设秋千的绳索长为，根据题意可得， 由题意得，， ∴， 在中，， ， 解得：， 绳索的长度是3米． 23．（本题8分）（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，． (1)尺规作图：在的边上找到点，使得点到的距离等于；（请用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2)的长为3． 【思路引导】（1）作的角平分线，交于点，根据角平分线的性质得点到的距离等于； （2）根据，，证明，即可得出，由勾股定理可得的值，从而得出则，设，则，由勾股定理得，求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，作的角平分线，交于点，过点作于点， ∵，，是的角平分线， ∴点到的距离等于，即， 故点即为所求； （2）解：由（1）可得，， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得：， ∴的长为3． 【点睛】本题考查尺规作角平分线，角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，点到直线的距离的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24．（本题8分）（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，于点E，点D是边的中点，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)13 (2) 【思路引导】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用、三角形等积关系的应用等知识点，掌握勾股定理及其逆定理成为解题的关键． （1）根据D是边的中点得出，再由勾股定理逆定理证明，最后由勾股定理求出即可； （2）运用等面积法求解即可． 【规范解答】（1）解：，且D是边的中点， ， 是直角三角形，且， 在中，． （2）解： ，即， ． 25．（本题10分）（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某城市清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．如图，已知，，，，，试求阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积为 【思路引导】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式，连接，由勾股定理得出，再由勾股定理逆定理判断出是直角三角形，且，最后根据计算即可得解． 【规范解答】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴阴影部分的面积为． 26．（本题10分）（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）和中，，，连接． (1)如图1，求证：①．② (2)如图2，连接，若，求的度数． (3)如图3，取的中点M，N，连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2) (3)是等腰直角三角形，理由见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理的逆定理，根据图形灵活运用相关知识的性质是解题的关键． （1）①根据证明即可；②由全等三角形的性质得到，进而证明，据此可证明结论； （2）通过全等三角形的性质证得，再根据勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质即可求解； （3）根据全等三角形的性质可证得，，由此不难判断的形状． 【规范解答】（1）证明：①， ，即， ， ； ②设相交于点F，相交于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，’ ； （3）解：是等腰直角三角形，理由如下： 由（1）知，， ， 点M，N是的中点， ，，又， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$