专题1.4 勾股定理（章节复习）（知识梳理+32个考点讲练+难度分层练 共74题）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题1.4 勾股定理（章节复习） （知识梳理+32个考点讲练+难度分层练 共74题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：勾股定理 2 知识点梳理02：勾股定理的逆定理 2 知识点梳理03：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 3 考点2：勾股定理的证明方法 4 考点3：以弦图为背景的计算题 7 考点4：用勾股定理构造图形解决问题 10 考点5：求旗杆高度（勾股定理的应用） 11 考点6：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 13 考点7：求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 14 考点8：勾股树（数）问题 15 考点9：判断三边能否构成直角三角形 18 考点10：在网格中判断直角三角形 19 考点11：利用勾股定理的逆定理求解 21 考点21：勾股定理与网格问题 24 考点22：勾股定理与折叠问题 25 考点23：求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 27 考点24：解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 29 考点25：解决航海问题（勾股定理的应用） 30 考点26：求河宽（勾股定理的应用） 32 考点27：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 33 考点28：判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 35 考点29：判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 37 考点30：选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 39 考点31：求最短路径（勾股定理的应用） 41 考点32：勾股定理逆定理的实际应用 42 难度分层 拔尖冲刺 44 基础夯实 44 培优拔高 48 知识点梳理01：勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）求作长度为的线段. 知识点梳理02：勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 2.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数：满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 知识点梳理03：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 考点1：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【典例精讲】（20-21八年级上·江苏·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为 ． 【答案】36 【思路引导】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【规范解答】在Rt△ACB中，， 则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和 故答案为：36． 【考点评析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 【变式训练】（20-21八年级上·山东青岛·期末）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达B点，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C.此时A，C两点之间的距离为 m． 【答案】500 【思路引导】根据BE∥AD，得出∠DAB=∠ABE=53°，再根据平角的定义得出∠FBC+∠CBA+∠ABE=180°，求出∠CBA的度数，判断出△ABC是直角三角形，最后根据勾股定理求出AC的值即可． 【规范解答】由题意知BE∥AD， ∴∠DAB=∠ABE=53°， ∵∠FBC+∠CBA+∠ABE=180°且∠FBC=37°， ∴∠CBA=90°， ∴△ABC为直角三角形， ∵BC=300，AB=400， ∴AC=（m）． 答：A、C两点之间的距离为500m． 【考点评析】此题考查用勾股定理求两点之间的距离，用方位角的知识得到直角三角形是关键． 考点2：勾股定理的证明方法 【典例精讲】（24-25八年级下·广西来宾·期中）【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点． (1)求证：，． (2)请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明： 【答案】(1)详见解析 (2) ，详见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理的验证和运用，全等三角形的性质与判定，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意，通过证明即可判断得解； （2）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解． 【规范解答】（1）证明∶ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ∴． ∴； （2）证明： 由题意得，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； 【变式训练】（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）勾股定理的证明与计算 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． （1）右面图形都是用四个全等的直角三角形拼成一个正方形，从中选择一个图形证明勾股定理，写出证明过程． （2）它体现的数学思想是（    ） A． 统计思想    B． 分类思想    C． 数形结合思想    D． 函数思想 （3）如图，将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，其中，求证：． 证明：如图所示：连接，过点B作，交延长线于点F，则请补全证明过程： 【答案】（1）见解析；（2）C；（3）见解析 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的证明： （1）分别表示出两幅图中大正方形的面积，根据面积相等建立等式证明即可； （2）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想； （3）根据进行证明即可． 【规范解答】解：（1）如图1所示，大正方形的边长为，则其面积为， 又由大正方形面积为四个全等的直角三角形的面积加上一个边长为c的正方形面积，即大正方形的面积为， ∴， ∴， ∴； 如图2所示，同理根据面积相等可得， ∴， ∴； （2）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C； （3）如图所示：连接，过点B作，交延长线于点F，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点3：以弦图为背景的计算题 【典例精讲】（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理．连结，若，，则正方形的面积为 ． 【答案】 【思路引导】根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求出，求出，进而得出，根据勾股定理计算，得到答案．此题考查是勾股定理、全等三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 【规范解答】解：如图所示： 由四个全等的直角三角形可得，， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 即正方形的面积为． 故答案为：． 【变式训练】（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长（），下列四个说法：①；②；③；④，其中正确的说法是（　　）    A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【思路引导】根据勾股定理和正方形的性质即可得到，即可判定①；根据图形可知，即可判断②；根据，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得，即可判断③；进而得到，即可判断④． 【规范解答】解：如图所示， ∵正方形的面积为49， ∴，    ∵是直角三角形， ∴根据勾股定理得：，故①正确； ∵正方形的面积为4， ∴， ∴，故②正确； 由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 列出等式为， 即，故③错误； 由可得， 又∵， 两式相加得：， 整理得：， ，故④错误； 故正确的是①②． 故选：A． 【考点评析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理、直角三角形的面积公式和完全平方公式是解题的关键． 考点4：用勾股定理构造图形解决问题 【典例精讲】（24-25八年级上·河南平顶山·期中）李老师家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入下列木条中的最大长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了勾股定理．电梯是个长方体，电梯中能放下的最大长度就是长方体对角线的长度，连接、构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：如下图所示， 电梯中能放下的最大长度就是线段的长度， ， ， ， 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）请构图求出代数式的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查最短路线问题，勾股定理的应用，利用了数形结合的思想，构造出符合题意的直角三角形是解题的关键，过点作，过点作，使，，，为上一点，连接，则，当三点共线时，取到最小值，最小值为的长，过点作交的延长线于点，在中根据勾股定理，可得答案. 【规范解答】解：如图所示，过点作，过点作，使，，，为上一点，连接． 设，则， ∴，， ∴， 当三点共线时，取到最小值，最小值为的长． 过点作交的延长线于点，得长方形， 则，． ∴， 在中， 由勾股定理得：． ∴的最小值为． 故答案是：． 考点5：求旗杆高度（勾股定理的应用） 【典例精讲】（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，小明想要测量旗杆的高度（已知旗杆直立于地面，即），他将绳子拉到旗杆底端5m处A点，并在绳子上打了个结，然后向后退11米到达B处，发现此时绳子底端距打结处约7米，设法求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为12米． 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用．设，则，，由勾股定理得，求得，再由勾股定理求解即可． 【规范解答】解：设，则，， 由勾股定理得，即， 解得，即， 由勾股定理得（米）， 答：旗杆的高度为12米． 【变式训练】如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是多少米？ 【答案】12m 【思路引导】设旗杆的高度为xm，则AC=x m，AB=（x+1）m，BC=5m，利用勾股定理得到52+x2=（x+1）2，然后解方程求出x即可． 【规范解答】解：设旗杆的高度为xm，则，，， 在中，， 解得 答：旗杆的高度是12m． 【考点评析】本题考查了勾股定理的应用：在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 考点6：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 【典例精讲】（21-22八年级上·陕西·阶段练习）小红从家里出发向正北方向走80米，接着向正东方向走150米，现在她离家的距离是 米． 【答案】170 【思路引导】根据题意画出图形，利用勾股定理进行计算即可． 【规范解答】解：如图：OA＝80米，AB＝150米， 根据勾股定理得：OB＝（米）． 故答案为：170． 【考点评析】此题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行计算． 【变式训练】（21-22八年级上·全国·单元测试）校园内有两棵树，相距12m，一棵树高10m，另一棵树高5m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 m. 【答案】13 【思路引导】画出图形如下所示，表示高的树，表示高的树，两棵树间距离，根据两点间线段最短可知，小鸟至少要飞的距离等于的长，利用勾股定理即可得. 【规范解答】根据题意画图如下：其中 两点间线段最短，所以题目所求即为 过D作，交AB于E 则 由勾股定理得 故答案为13. 【考点评析】本题考查了直角三角形的勾股定理，以及两点之间线段最短的知识点. 考点7：求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 【典例精讲】如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，已知木杆原长16米，求木杆断裂处离地面多少米？ 【答案】木杆断裂处离地面6米． 【思路引导】本题考查的是勾股定理的应用，设木杆断裂处离地面x米，根据勾股定理列出方程求解即可． 【规范解答】解：设木杆断裂处离地面x米，则断裂处离木杆顶部长度为米， 由题意得：， 解得． 答：木杆断裂处离地面6米． 【变式训练】由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（    ） A．8m B．10m C．16m D．18m 【答案】C 【思路引导】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可． 【规范解答】解：由题意得BC＝8m，AC＝6m， 在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB＝＝10米． 所以大树的高度是10＋6＝16米． 故选：C． ． 【考点评析】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 考点8：勾股树（数）问题 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏南京·期中）阅读材料：勾股定理本身就是一个关于、、的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组，我国古籍《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数．为了进一步了解勾股数的奥秘，数学刘老师给出下面的两个表格．（以下，，为的三边，且） 表1               表2 (1)请你根据上述表格的规律写出勾股数：11、________、________； (2)当（为奇数，且）时，若________，________时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；并证明你的猜想； (3)构造勾股数的方法很多，请你寻找当或时，________．（写出所有满足条件的）． 【答案】(1)， (2)，，证明见解析 (3)，， 【思路引导】本题考查了勾股数，整式的乘法； （1）根据表格找到规律，即可求解； （2）根据勾股定理可以写乘，根据平方差公式因式分解，即可求解． （3）根据（2）的方法，得出，结合，解方程组，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵ ∴勾股数：，， （2）解：根据表，，，，…… ∴，且， ∴当时，又， ∴，， 故答案为：，． 证明：∵，， ∴ ∴ ∴； （3）解：当时，∵， ∵， ∴，，，，…… ∴，，，（舍去）， 当时， 同理可得，，， 故答案为：，，． 【变式训练】（22-23八年级上·江苏连云港·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．1 【答案】A 【思路引导】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【规范解答】解：如图， 由题意得，正方形的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， “生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2023， 故选：A 考点9：判断三边能否构成直角三角形 【典例精讲】（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）下列各组线段中，可以组成直角三角形的是（　　） A． B． C． D．8，15，19 【答案】B 【思路引导】此题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段是否能构成直角三角形，从而可以解答本题． 【规范解答】解：A.∵，故选项中的三条线段不能构成直角三角形； B.∵，故选项中的三条线段能构成直角三角形； C.∵，故选项中的三条线段不能构成直角三角形； D.∵，故选项中的三条线段不能构成直角三角形； 故选：B． 【变式训练】（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在中，，，，．    求： (1)的周长； (2)判断是否是直角三角形？为什么？ 【答案】(1)42 (2)不是，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，灵活运用勾股定理成为解答本题的关键． （1）运用勾股定理求得、的长，然后根据三角形周长的定义解答即可； （2）运用勾股定理逆定理判定即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴ 同理： ∴的周长为； （2）∵ ， ， ∴ ∴不是直角三角形． 考点10：在网格中判断直角三角形 【典例精讲】（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．    (1)求的周长； (2)若点为直线上任意一点，则线段的最小值为________． 【答案】(1) (2)2 【思路引导】此题考查了勾股定理与网格、勾股定理逆定理等知识，准确掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出各边的长，求和即可得到的周长； （2）过作，证明是直角三角形，为斜边，利用等积法即可求出答案． 【规范解答】（1）解：，，， 的周长； （2）过作，    ∵， ∴是直角三角形，为斜边， 的面积， 即， 解得， 即线段的最小值为． 【变式训练】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)画线段且使，连接； (2)线段的长为 ，的形状为 ； (3)若为B的中点，则的长为 ． 【答案】(1)见解析图； (2)，直角三角形； (3)． 【思路引导】（）根据画图要求，结合网格进行画图即可； （）根据勾股定理来求、的长度，利用勾股定理的逆定理证得是直角三角形； （）由（）推知四边形是平行四边形，则是直角三角形，所以根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”来求的长度． 此题主要考查了作图，平行四边形的判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理，关键是正确画出图形，熟练掌握平行四边形的判定方法． 【规范解答】（1）如图， ∴即为所求； （2）由网格可得，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：，直角三角形； （3）连接， ∵且使， ∴四边形是平行四边形，又由（）知，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：． 考点11：利用勾股定理的逆定理求解 【典例精讲】（23-24八年级下·天津南开·期末）如图，正方形中，点为的中点，点为上一点，且，设的长为． (1)用含有的式子表示和； (2)求的大小． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查了正方形的性质，勾股定理及其逆定理； （1）由正方形的性质得，，由勾股定理得，，即可求解； （2），连接，由勾股定理得 ，可得，即可求解； 掌握正方形的性质，勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【规范解答】（1）解： ， ， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， ， ，； （2）解：如图，连接 四边形是正方形， ， 由（1）得， ， ， 由（1）得：，， ， 是直角三角形， ． 【变式训练】（21-22八年级上·河南洛阳·期末）如图，在中，，，是边上的中线，且，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】首先证明△ABD≌△ECD，推出EC=AB=6，DE=AD=4，由AE2+EC2=AC2，推出△AEC是直角三角形，在Rt△CDE中，求出CD，根据BC=2CD即可解决问题． 【规范解答】解：延长AD到点E，使DE=AD，连接CE， 在△ADB和△EDC中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴EC=AB=6，DE=AD=4， ∵AE=8，AC=10 ∴AE2+EC2=AC2 ∴△AEC是直角三角形， ∴CD==， ∴CB=2CD=． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 考点21：勾股定理与网格问题 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，方格纸中每个小方格的边长为1，在下面的方格纸上画一条长为的线段． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理与网格．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理得，，然后作答线段即可． 【规范解答】解：由勾股定理得，，作长为的线段如下图； 【变式训练】（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图1、图2中的每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是2的直角三角形；在图2中画出一条长度等于的线段． 【答案】见详解 【思路引导】此题综合考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理； 画两个直角边长都为2的直角三角形即可； 根据勾股定理，只需构造一个以2和3为直角边长的直角三角形，斜边长度等于的线段． 【规范解答】解：如图1所示： 如图2所示． 考点22：勾股定理与折叠问题 【典例精讲】（22-23八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠后点恰好落在边上的点处，则的面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、全等三角形．设的长为x，由将折叠使点D恰好落在边上的点N可得，所以，；在中由勾股定理求得的长，在中由勾股定理列出方程求出x的值，再利用三角形的面积公式即可求解． 【规范解答】解：∵四边形是长方形， ，， 根据题意得：， ，，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， ， ， 在中，由勾股定理可得：， 即， ， 即． ∴的面积为， 故答案为：． 【变式训练】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）（1）如图①，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，已知．求的度数． （2）如图②，将矩形沿折叠，点B落在点边上的F处．已知，，求线段的长． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理等知识，会利用勾股定理列方程求解是解题的关键． （1）利用矩形内角是直角求出，再利用平行线和折叠的性质求出，最后利用三角形的外角的性质求解即可； （2）先利用矩形的性质，折叠的性质和勾股定理求出，继而求出，设，则，从而利用勾股定理列出方程求解即可． 【规范解答】解：（1）∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵矩形沿对角线折叠， ∴， ∴； （2）∵四边形为矩形， ∴，， ∵将矩形沿折叠，点B落在点边上的F处， ∴，， 在中， ， ∴ ， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 考点23：求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 【典例精讲】（24-25八年级上·四川·期中）一架长的梯子，如图那样斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么他的底部滑行了（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得，设它的底部滑行了，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【规范解答】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴， 设它的底部滑行了，则有， ∴， 解得：； 故选D． 【变式训练】（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，一架云梯长为米，顶端靠在墙上，此时云梯底端与墙角距离为米，云梯滑动后停在的位置上，测得长为米，求云梯底端在水平方向滑动了多少米？ 【答案】米 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，在中，由勾股定理得 米进而米，在中，利用勾股定理求得，从而即可得解． 【规范解答】在中，，米， 米， （米）， （米）， 在中，，米， 米， （米） （米）， 答：云梯底端在水平方向滑动米． 考点24：解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 【典例精讲】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，一支铅笔放在圆柱形笔筒中，笔筒内部的底面直径为，内壁高为，则这支铅笔的长度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】此题主要考查了勾股定理的应用．在中运用勾股定理即可求解． 【规范解答】解：由题意得，， 由勾股定理得：， ∴， 则这支铅笔长度可能为； 故选：D． 【变式训练】（23-24八年级上·广东深圳·开学考试）如图，一个无盖长方体小杯子放置在桌面上，，；    (1)一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？ (2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？ 【答案】(1)最短路程是20cm (2)筷子的最大长度是cm 【思路引导】（1）利用勾股定理求解即可； （2）求得长方体盒子的体对角线即可求解。 【规范解答】（1）解：如图1所示：    图1 由题意得：，， ∴， 在中，由勾股定理得； ∴最短路程是20cm； （2）将筷子斜着放，    ∵，， ∴ ∴， 即筷子的最大长度是cm． 【考点评析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活利用勾股定理进行求解。 考点25：解决航海问题（勾股定理的应用） 【典例精讲】（（23-24八年级下·河南商丘·期中）如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 ． 【答案】26 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用和方位角，根据题意，可得，利用路程速度时间，分别算出的长度，在直角中，利用勾股定理计算出． 【规范解答】解：由题意可得，， ， 故答案为：26． 【变式训练】（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“惠州”号、“中山”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“惠州”号每小时航行10海里，“中山”号每小时航行7.5海里．它们离开港口后相距25海里．如果知道“惠州”号沿东北方向航行，能知道“中山”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】“中山”号沿北偏西（或西北）方向航行 【思路引导】本题考查了勾股定理逆定理的应用，方向角，解题的重点主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大． 求出，的长，利用勾股定理逆定理以及方向角即可得到“中山”号航行方向． 【规范解答】解：由题意可得：(海里)，(海里)，海里， ， ， “惠州”号沿东北方向航行，即沿北偏东方向航行， ， ∴． “中山”号沿北偏西（或西北）方向航行． 考点26：求河宽（勾股定理的应用） 【典例精讲】（20-21八年级下·广西南宁·期中）去年某省将地处，两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便，两地师生的交往，学校准备在相距的，两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段），经测量，在地的北偏东60度方向、地的西偏北45度方向处有一个半径为的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（参考数据） 【答案】计划修筑的这条公路不会穿过公园．理由见解析 【思路引导】先过点C作CD⊥AB于D，设CD为xkm，则BD为xkm，AD为xkm，则有x+x=2，求出x的值，再与0.7比较大小，即可得出答案． 【规范解答】解：如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为点D， 由题意可得∠CAB=30°，∠CBA=45°， 在Rt△CDB中，∠BCD=45°， ∴∠CBA=∠BCD， ∴BD=CD． 在Rt△ACD中，∠CAB=30°， ∴AC=2CD．设CD=DB=x， ∴AC=2x． 由勾股定理得AD=． ∵AD+DB=2.732， ∴x+x=2.732， ∴x≈1． 即CD≈1＞0.7， ∴计划修筑的这条公路不会穿过公园． 【考点评析】本题考查了解直角三角形及勾股定理的应用，用到的知识点是方向角和含30度角的直角三角形的性质，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形． 【变式训练】22-23八年级下·陕西延安·期末）如图，湖的两岸有两棵景观树，在与垂直的方向上取一点，测得米，米．求两棵景观树之间的距离．    【答案】两棵景观树之间的距离是12米 【思路引导】根据勾股定理：在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方计算即可． 【规范解答】解：在Rt中，由勾股定理，得： ， （米）． 答：两棵景观树之间的距离是12米． 【考点评析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是熟练应用勾股定理． 考点27：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 【典例精讲】（20-21八年级上·四川达州·期末）如图所示的长方体的长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米．若一只蚂蚁从点出发沿着长方体的表面爬行到棱的中点处．则蚂蚁需爬行的最短路程是 厘米． 【答案】 【思路引导】先把长方体展开，分类讨论，分别根据勾股定理求出AM的长比较即可． 【规范解答】解：长方体部分展开如图所示，连接AM，则线段AM的长就是蚂蚁需爬行的最短路程， 根据已知数据可得，AN=4cm，MN=4cm， AM=， 如图， 如图， 最短距离为 故答案为：． 【考点评析】此题考查了几何体的展开图的应用，以及线段的性质：两点之间，线段最短，解决立体几何两点间的最短距离时，通常把立体图形展开成平面图形，转化成平面图形两点间的距离问题来求解． 【变式训练】（20-21八年级下·广西桂林·期末）某小区楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为20元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要 元． 【答案】280 【思路引导】地毯的面积即楼梯的表面积，且地毯展开后是一个长方形；再结合图形可知，展开后长方形的长是楼梯水平长与竖直高的和，最后再结合楼梯的宽与地毯价格即可求解． 【规范解答】解：楼梯的竖直高是3m，斜边是5m， 水平直角边是m， 购买这种地毯的长是3m+4m=7m， 楼梯宽2m，地毯价格为每平方米20元 价格是7×2×20=280元． 故答案为280． 【考点评析】本题主要考查勾股定理的简单运用，属于基础的实际应用题，难度不大．解题的关键是结合图例分析出地毯的长是楼梯竖直高与水平长的和． 考点28：判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 【典例精讲】（21-22八年级上·四川眉山·期中）某市规定：小汽车在该市城市街道上行驶时，速度不得超过60千米/时．如图，一辆小汽车在该市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方30米处的C处，过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50米，请问这辆小汽车超速了吗？为什么？若超速，则超速多少？    【答案】超速了，理由见解析，每小时超速了12千米 【思路引导】首先根据题意得到米，米，，然后利用勾股定理得到，进而求解即可． 【规范解答】解：小汽车超速了，理由如下： 根据题意，得米，米，． 在中，根据勾股定理，得， ∴米 ∴小汽车行驶速度为(米/秒)(千米/时) (千米/时) 答，这辆小汽车超速了，每小时超速了12千米． 【考点评析】此题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 【变式训练】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 【答案】(1) (2)未超速 【思路引导】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中进行解决． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据小汽车用行驶的路程和时间，可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，得，, 由勾股定理，得， ∴， 故的长为． （2）解：， ∵， ∴这辆小汽车未超速． 考点29：判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 【典例精讲】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向78的B处，以每小时20的速度沿方向移动，A到的距离，在距台风中心的圆形区域都将受到台风的影响． (1)台风中心经过多长时间将到达D点？ (2)A城受这次台风的影响有多长时间？ 【答案】(1)小时 (2)4小时 【思路引导】此题主要考查了勾股定理的应用以及点到直线的距离，构造出直角三角形是解题关键． （1）根据勾股定理求得的长，再计算时间即可得结论； （2）根据题意求出的长即可得到答案. 【规范解答】（1）解：由题意可得：在中，， 则， 台风中心以每小时20的速度沿方向移动， （小时）， 答：台风中心经过小时将到达D点； （2）解：如图所示：当，则， 故， 则（小时）． 答：A城受这次台风的影响的时间为4小时． 【变式训练】（23-24八年级上·陕西西安·期中）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响，理由见解析； (2) 【思路引导】（1）作，中，根据勾股定理，求出的长，进而求得的长，即可求解， （2）假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，根据勾股定理求出的长，即可， 此题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾股定理进行计算是解题的关键． 【规范解答】（1）解：会受到台风的影响. 理由：如图，过点A作，垂足为D， 在中，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， 答：农场A会受到台风的影响， （2）解：如图， 假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，，由勾股定理，可得 ∵台风的速度是， ∴受台风影响的时间为， 答：台风影响该农场持续时间为． 考点30：选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 【典例精讲】（24-25八年级上·全国·课后作业）某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在和中，，，得出，设为，则，将代入关系式即可求得． 【规范解答】解：∵C、D两村到蔬菜批发厂E距离相等， ∴， 在和中，，， ∴． 设为，则， 将，代入关系式为， 解得， ∴蔬菜批发厂E应建在距A点处， 故选：D． 【变式训练】如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，，，于A，于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求E应建在距A多远处？ 【答案】E应建在距A点15km处 【思路引导】设，则，根据勾股定理求得和，再根据列式计算即可； 【规范解答】设，则， 由勾股定理得：在中， ， 在中， ， 由题意可知：， 所以：， 解得：． 所以，E应建在距A点15km处． 【考点评析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，准确计算是解题的关键． 考点31：求最短路径（勾股定理的应用） 【典例精讲】2025七年级上·江苏·专题练习）如图，一只蚂蚁想从圆柱形水桶外侧的A点爬到内侧的B点寻找食物．已知A点到桶口的距离厘米，B点到桶口的距离厘米，圆弧长15厘米．蚂蚁爬行的最短路程是 厘米． 【答案】39 【思路引导】本题考查的是最短线路问题的应用，需要用到勾股定理内容，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． 依据题意结合图示可得：图形侧面展开找最短路线，从外侧到内侧，需要上翻，然后两点之间，线段最短，根据勾股定理计算出最短路程．（勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．） 【规范解答】解：过B作于E点，如图： 则厘米，厘米，（厘米） 在直角三角形中， 因为 所以厘米 所以蚂蚁爬行是最短路程是39厘米． 【变式训练】（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，一圆柱高，底面周长为，小虫在圆柱表面爬行，从下底面上的点处出发，爬到上底面上与点相对的点处，然后再沿另一面爬回点，则小虫爬行的最短路程为 ．    【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题，把圆柱的侧面展开，根据两点之间线段最短和勾股定理解答即可，把圆柱的侧面展开找到最短路径是解题的关键． 【规范解答】解：如图，把圆柱侧面展开，点的最短距离为线段的长，    在中，，， ∴， ∴从点处出发爬到点，然后爬回点的最短路程为， 故答案为：． 考点32：勾股定理逆定理的实际应用 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）在学校组织的研学活动中，需要学生自己搭建帐篷．下图是搭建帐篷的示意图．在中，支架从帐篷顶点支撑在水平的支架上，且于点，经测量得：，，．按照要求，帐篷支架与所夹的角需为直角．请通过计算说明学生搭建的帐篷是否符合条件． 【答案】学生搭建的帐篷符合条件，见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用；先根据勾股定理求得，，进而根据勾股定理的逆定理，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴． 在中，， ∴， ∴． ∴． 在中，， ∴， ∴． ∵，， ∴； ∴． ∴学生搭建的帐篷符合条件． 【变式训练】（23-24八年级上·江西吉安·期末）张明家有一块菜地如图所示，已知米，米，米，米，且，求这块菜地面积是多少平方米？ 【答案】平方米 【思路引导】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．构造直角三角形是解题关键． 连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形，然后根据这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和代数求解即可． 【规范解答】解：连接，如图， ∵，米，米， ∴米． ∵米，米， ∴， ∴， ∴这块菜地面积等于平方米． 基础夯实 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为；；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③松松身高为，若松松同学想使风筝沿方向下降，则他应该往回收线（    ）米． A．2 B．5 C．5.4 D．3.6 【答案】A 【思路引导】本题先在直角三角形中利用勾股定理求出的长度，再求出风筝下降后新的直角三角形的斜边长度，最后通过两者的差值得到应回收线的长度．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【规范解答】解：在中， ， 风筝下降后，新的长度为 此时在新的直角三角形中，斜边长度为 应回收线的长度为 故选：． 2．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）图中数字表示对应正方形的面积，则图中正方形中边长为的是（   ） A．    B．    C．    D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查勾股定理的应用．勾股定理指的是在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．对于以直角三角形三边为边长的正方形，两个较小正方形的面积之和等于较大正方形的面积．我们可以通过正方形面积求出边长的平方，再根据勾股定理来判断每个选项中字母所代表正方形的边长是否为即可． 【规范解答】解：A、由图可知两个正方形面积分别为和，根据正方形面积等于边长的平方，设字母 所代表正方形的面积为．由勾股定理可得．那么所代表正方形的边长为．故本选项不符合题意； B、由图可知两个正方形面积分别为和，设字母所代表正方形的面积为．根据勾股定理，所代表正方形的边长为．故本选项不符合题意； C、由图可知两个正方形面积分别为和设字母所代表正方形的面积为．由勾股定理可得．因为，所以所代表正方形的边长为．故本选项符合题意； D、由图可知两个正方形面积分别为和，设字母所代表正方形的面积为．根据勾股定理，所代表正方形的边长为．故本选项不符合题意； 故选：C． 3．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形是边长为6的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长为 ． 【答案】/ 【思路引导】本题主要考查折叠问题及勾股定理，掌握折叠的性质和勾股定理是关键．由翻折的性质可知：，设，则，连接，在和中利用勾股定理构建方程求出y，即可求解． 【规范解答】解：由折叠的性质得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 连接， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， 即， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为 ．    【答案】/13厘米 【思路引导】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题，将圆柱体展开，利用勾股定理求出最短路径的长即可． 【规范解答】解：把圆柱沿母线展开，点B展开后的对应点为，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，如图所示：    由题意，得：， 在中，由勾股定理，得：； 故答案为：． 5．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在修一条东西走向的公路时遇到一座小山，于是要修一条隧道．已知、、三点在同一条直线上．为了在小山的两侧、同时施工，过点作一条南北走向的直线l（即直线l，在直线l上取一点，使得米，经测量米．若施工队每天共挖米，求施工队几天能挖完？ 【答案】施工队天能挖完 【思路引导】本题考查勾股定理的应用，根据题意可得，再利用勾股定理得出，继而即可求解． 【规范解答】解：由题意知，，   米，米， 米， 故（天）， 答：施工队天能挖完． 培优拔高 6．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在长方形中，，，将长方形沿直线折叠，使点落在长方形内部的点处，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，连接，利用勾股定理求出，可得结论．确定的最小值为是解题的关键． 【规范解答】解：如图，连接， ∴，即， 当点、、共线时，取“”，此时取得最小值， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∵将长方形沿直线折叠，使点落在长方形内部的点处， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 7．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高都分别为，，．和是这个台阶上两个相对的点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，先画出台阶的平面展开图，可知是长方形，长为，宽为，根据两点之间，线段最短，可得蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程是线段的长，利用勾股定理求出的长即可求解，找出蚂蚁沿台阶面爬行的最短路径是解题的关键． 【规范解答】解：如图，连接，三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， ∵两点之间，线段最短 ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程是线段的长， ∴， ∴， 故选：． 8．（24-25八年级下·江西抚州·期中）如图，在中，，点为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点，则的最大值为 ． 【答案】6 【思路引导】本题考查了折叠问题：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应 角相等，也考查了等腰三角形的性质，勾股定理．过A点作于H点，如图，先根据等腰三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，接着根据折叠的性质得到，所以，从而可判断最短时，最大，根据垂线段最短，此时，然后利用 面积法求出此时的长，从而得到的最大值． 【规范解答】解：过A点作于H点，如图， ∵， ∴， 在中， ∴， ∵沿折叠得到， ∴， ∴， ∴当最短时，最大， 此时， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：6． 9．（24-25八年级下·云南昆明·期中）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．如图，点是自来水管的位置，点和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，两处相距12米，、两处相距16米，、两处相距20米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段、铺设2段水管； 八（2）班方案：过点作于点，沿线段，，铺设3段水管； (1)求证：； (2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)选择八（1）班的方案，理由见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理逆定理的实际应用； （1）根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）先利用等积法求出的长，再分别计算与，然后进行比较大小即得结论． 【规范解答】（1）证明：由题意可得：， ∴， ∴， 即； （2）解：选择八（1）班的方案，理由如下： ∵， ∴， 则按照八（1）班方案：沿线段、铺设2段水管，需要铺设水管的总长度为； 按照八（2）班方案：沿线段，，铺设3段水管，需要铺设水管的总长度为， ∵， ∴从节约水管的角度考虑，应该选择八（1）班的铺设方案． 10．（23-24八年级上·四川成都·期中）为了美化城市，洒水车需要在一条长为的重要路段段以50米分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点C位置，洒水车由A向B移动，学校与路段上的两个路口A、B的距离分别为，经测量，发现在及以内的会受到音乐的影响． (1)求点C到路段的距离； (2)判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响． 【答案】(1) (2)会受到影响，时长4分钟 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，读懂题意，根据勾股定理知识解题是做题的关键； （1）过点C作于D，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再根据等面积法求解即可； （2）当时，正好影响C学校，根据勾股定理求出，再根据等腰三角形的性质求出，再根据速度，求出时间即可． 【规范解答】（1）解：如图，过点C作于D， ， 是直角三角形，且， ， ， ， 答：点C到路段的距离是； （2）解：学校C会受噪声影响，理由如下： ∵在及以内的会受到音乐的影响，学校到的最小距离为， ∴学校会受到影响， 当时，正好影响C学校， ， ，， ， ， ∵洒水车的行驶速度为50米分钟， （分钟）， 影响该学校持续的时间有4分钟． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 勾股定理（章节复习） （知识梳理+32个考点讲练+难度分层练 共74题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：勾股定理 2 知识点梳理02：勾股定理的逆定理 2 知识点梳理03：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 3 考点2：勾股定理的证明方法 4 考点3：以弦图为背景的计算题 5 考点4：用勾股定理构造图形解决问题 6 考点5：求旗杆高度（勾股定理的应用） 6 考点6：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 7 考点7：求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 7 考点8：勾股树（数）问题 8 考点9：判断三边能否构成直角三角形 9 考点10：在网格中判断直角三角形 10 考点11：利用勾股定理的逆定理求解 11 考点21：勾股定理与网格问题 11 考点22：勾股定理与折叠问题 12 考点23：求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 13 考点24：解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 13 考点25：解决航海问题（勾股定理的应用） 14 考点26：求河宽（勾股定理的应用） 15 考点27：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 16 考点28：判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 17 考点29：判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 18 考点30：选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 19 考点31：求最短路径（勾股定理的应用） 19 考点32：勾股定理逆定理的实际应用 20 难度分层 拔尖冲刺 21 基础夯实 21 培优拔高 23 知识点梳理01：勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）求作长度为的线段. 知识点梳理02：勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 2.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数：满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 知识点梳理03：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 考点1：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【典例精讲】（20-21八年级上·江苏·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为 ． 【变式训练】（20-21八年级上·山东青岛·期末）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达B点，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C.此时A，C两点之间的距离为 m． 考点2：勾股定理的证明方法 【典例精讲】（24-25八年级下·广西来宾·期中）【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点． (1)求证：，． (2)请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明： 【变式训练】（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）勾股定理的证明与计算 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． （1）右面图形都是用四个全等的直角三角形拼成一个正方形，从中选择一个图形证明勾股定理，写出证明过程． （2）它体现的数学思想是（    ） A． 统计思想    B． 分类思想    C． 数形结合思想    D． 函数思想 （3）如图，将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，其中，求证：． 证明：如图所示：连接，过点B作，交延长线于点F，则请补全证明过程： 考点3：以弦图为背景的计算题 【典例精讲】（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理．连结，若，，则正方形的面积为 ． 【变式训练】（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长（），下列四个说法：①；②；③；④，其中正确的说法是（　　）    A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 考点4：用勾股定理构造图形解决问题 【典例精讲】（24-25八年级上·河南平顶山·期中）李老师家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入下列木条中的最大长度是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）请构图求出代数式的最小值为 ． 考点5：求旗杆高度（勾股定理的应用） 【典例精讲】（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，小明想要测量旗杆的高度（已知旗杆直立于地面，即），他将绳子拉到旗杆底端5m处A点，并在绳子上打了个结，然后向后退11米到达B处，发现此时绳子底端距打结处约7米，设法求出旗杆的高度． 【变式训练】如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是多少米？ 考点6：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 【典例精讲】（21-22八年级上·陕西·阶段练习）小红从家里出发向正北方向走80米，接着向正东方向走150米，现在她离家的距离是 米． 【变式训练】（21-22八年级上·全国·单元测试）校园内有两棵树，相距12m，一棵树高10m，另一棵树高5m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 m. 考点7：求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 【典例精讲】如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，已知木杆原长16米，求木杆断裂处离地面多少米？ 【变式训练】由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（    ） A．8m B．10m C．16m D．18m 考点8：勾股树（数）问题 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏南京·期中）阅读材料：勾股定理本身就是一个关于、、的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组，我国古籍《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数．为了进一步了解勾股数的奥秘，数学刘老师给出下面的两个表格．（以下，，为的三边，且） 表1               表2 (1)请你根据上述表格的规律写出勾股数：11、________、________； (2)当（为奇数，且）时，若________，________时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；并证明你的猜想； (3)构造勾股数的方法很多，请你寻找当或时，________．（写出所有满足条件的）． 【变式训练】（22-23八年级上·江苏连云港·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．1 考点9：判断三边能否构成直角三角形 【典例精讲】（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）下列各组线段中，可以组成直角三角形的是（　　） A． B． C． D．8，15，19 【变式训练】（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在中，，，，．    求： (1)的周长； (2)判断是否是直角三角形？为什么？ 考点10：在网格中判断直角三角形 【典例精讲】（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．    (1)求的周长； (2)若点为直线上任意一点，则线段的最小值为________． 【变式训练】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)画线段且使，连接； (2)线段的长为 ，的形状为 ； (3)若为B的中点，则的长为 ． 考点11：利用勾股定理的逆定理求解 【典例精讲】（23-24八年级下·天津南开·期末）如图，正方形中，点为的中点，点为上一点，且，设的长为． (1)用含有的式子表示和； (2)求的大小． 【变式训练】（21-22八年级上·河南洛阳·期末）如图，在中，，，是边上的中线，且，则的长为 ． 考点21：勾股定理与网格问题 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，方格纸中每个小方格的边长为1，在下面的方格纸上画一条长为的线段． 【变式训练】（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图1、图2中的每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是2的直角三角形；在图2中画出一条长度等于的线段． 考点22：勾股定理与折叠问题 【典例精讲】（22-23八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠后点恰好落在边上的点处，则的面积为 ． 【变式训练】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）（1）如图①，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，已知．求的度数． （2）如图②，将矩形沿折叠，点B落在点边上的F处．已知，，求线段的长． 考点23：求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 【典例精讲】（24-25八年级上·四川·期中）一架长的梯子，如图那样斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么他的底部滑行了（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，一架云梯长为米，顶端靠在墙上，此时云梯底端与墙角距离为米，云梯滑动后停在的位置上，测得长为米，求云梯底端在水平方向滑动了多少米？ 考点24：解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 【典例精讲】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，一支铅笔放在圆柱形笔筒中，笔筒内部的底面直径为，内壁高为，则这支铅笔的长度可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24八年级上·广东深圳·开学考试）如图，一个无盖长方体小杯子放置在桌面上，，；    (1)一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？ (2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？ 考点25：解决航海问题（勾股定理的应用） 【典例精讲】（（23-24八年级下·河南商丘·期中）如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 ． 【变式训练】（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“惠州”号、“中山”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“惠州”号每小时航行10海里，“中山”号每小时航行7.5海里．它们离开港口后相距25海里．如果知道“惠州”号沿东北方向航行，能知道“中山”号沿哪个方向航行吗？ 考点26：求河宽（勾股定理的应用） 【典例精讲】（20-21八年级下·广西南宁·期中）去年某省将地处，两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便，两地师生的交往，学校准备在相距的，两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段），经测量，在地的北偏东60度方向、地的西偏北45度方向处有一个半径为的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（参考数据） 【变式训练】22-23八年级下·陕西延安·期末）如图，湖的两岸有两棵景观树，在与垂直的方向上取一点，测得米，米．求两棵景观树之间的距离．    考点27：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 【典例精讲】（20-21八年级上·四川达州·期末）如图所示的长方体的长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米．若一只蚂蚁从点出发沿着长方体的表面爬行到棱的中点处．则蚂蚁需爬行的最短路程是 厘米． 【变式训练】（20-21八年级下·广西桂林·期末）某小区楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为20元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要 元． 考点28：判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 【典例精讲】（21-22八年级上·四川眉山·期中）某市规定：小汽车在该市城市街道上行驶时，速度不得超过60千米/时．如图，一辆小汽车在该市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方30米处的C处，过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50米，请问这辆小汽车超速了吗？为什么？若超速，则超速多少？    【变式训练】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 考点29：判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 【典例精讲】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向78的B处，以每小时20的速度沿方向移动，A到的距离，在距台风中心的圆形区域都将受到台风的影响． (1)台风中心经过多长时间将到达D点？ (2)A城受这次台风的影响有多长时间？ 【变式训练】（23-24八年级上·陕西西安·期中）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 考点30：选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 【典例精讲】（24-25八年级上·全国·课后作业）某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，，，于A，于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求E应建在距A多远处？ 考点31：求最短路径（勾股定理的应用） 【典例精讲】2025七年级上·江苏·专题练习）如图，一只蚂蚁想从圆柱形水桶外侧的A点爬到内侧的B点寻找食物．已知A点到桶口的距离厘米，B点到桶口的距离厘米，圆弧长15厘米．蚂蚁爬行的最短路程是 厘米． 【变式训练】（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，一圆柱高，底面周长为，小虫在圆柱表面爬行，从下底面上的点处出发，爬到上底面上与点相对的点处，然后再沿另一面爬回点，则小虫爬行的最短路程为 ．    考点32：勾股定理逆定理的实际应用 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）在学校组织的研学活动中，需要学生自己搭建帐篷．下图是搭建帐篷的示意图．在中，支架从帐篷顶点支撑在水平的支架上，且于点，经测量得：，，．按照要求，帐篷支架与所夹的角需为直角．请通过计算说明学生搭建的帐篷是否符合条件． 【变式训练】（23-24八年级上·江西吉安·期末）张明家有一块菜地如图所示，已知米，米，米，米，且，求这块菜地面积是多少平方米？ 基础夯实 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为；；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③松松身高为，若松松同学想使风筝沿方向下降，则他应该往回收线（    ）米． A．2 B．5 C．5.4 D．3.6 2．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）图中数字表示对应正方形的面积，则图中正方形中边长为的是（   ） A．    B．    C．    D． 3．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形是边长为6的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长为 ． 4．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为 ．    5．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在修一条东西走向的公路时遇到一座小山，于是要修一条隧道．已知、、三点在同一条直线上．为了在小山的两侧、同时施工，过点作一条南北走向的直线l（即直线l，在直线l上取一点，使得米，经测量米．若施工队每天共挖米，求施工队几天能挖完？ 培优拔高 6．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在长方形中，，，将长方形沿直线折叠，使点落在长方形内部的点处，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高都分别为，，．和是这个台阶上两个相对的点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为（　　） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·江西抚州·期中）如图，在中，，点为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点，则的最大值为 ． 9．（24-25八年级下·云南昆明·期中）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．如图，点是自来水管的位置，点和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，两处相距12米，、两处相距16米，、两处相距20米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段、铺设2段水管； 八（2）班方案：过点作于点，沿线段，，铺设3段水管； (1)求证：； (2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 10．（23-24八年级上·四川成都·期中）为了美化城市，洒水车需要在一条长为的重要路段段以50米分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点C位置，洒水车由A向B移动，学校与路段上的两个路口A、B的距离分别为，经测量，发现在及以内的会受到音乐的影响． (1)求点C到路段的距离； (2)判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响． 学科网（北京）股份有限公司 $$