专题1.3 勾股定理的应用（知识梳理+12个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题1.3 勾股定理的应用 （知识梳理+12个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：勾股定理与网格问题 2 知识点梳理21勾股定理与折叠问题 2 知识点梳理03：确定几何体上的最短路线 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：勾股定理与网格问题 3 考点2：勾股定理与折叠问题 5 考点3：求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 8 考点4：解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用） 11 考点5：解决航海问题（勾股定理的应用） 13 考点6：求河宽（勾股定理的应用） 16 考点7：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 17 考点8：判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 19 考点9：判断是否受台风影响(勾股定理的应用） 20 考点10：选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 23 考点11：求最短路径（勾股定理的应用） 26 考点12：勾股定理逆定理的实际应用） 27 中考真题 实战演练 29 难度分层 拔尖冲刺 34 基础夯实 34 培优拔高 42 知识点梳理01：勾股定理与网格问题 求边长：网格中每个小正方形的边长通常为1，可根据勾股定理求出格点间线段的长度。若线段两端点在格点上，且水平、垂直方向间隔分别为m、n个小正方形边长，则线段长度l=m2+n2​。 知识点梳理21勾股定理与折叠问题 应用勾股定理：折叠问题常常会产生直角三角形，找到相关直角三角形，确定其直角边和斜边，通过已知条件计算出直角边的长度，再根据勾股定理求出斜边或其他未知边的长度。 注意事项： 1关注折叠性质：折叠前后对应线段相等，对应角相等，这是解题的重要依据。 2准确确定直角三角形：有些情况下，直角三角形并不明显，需要根据折叠后的图形特征和已知条件去寻找或构造。 3灵活设未知数：对于一些未知边长，可设未知数，根据勾股定理建立方程求解，将几何问题转化为代数问题。 实际应用：折叠问题在现实生活中有很多应用，如制作纸盒、折叠衣服等。理解其解题方法对于解决实际生活中的折叠问题有很大帮助。 知识点梳理03：确定几何体上的最短路线 1.利用勾股定理解决有关高度、宽度、长度、距离等问题 2.直角的判断 步骤 具体操作 图示 ①取点 在∠ C 两边上分别取点A，B，并连接AB ②测量  测量AC，BC，AB 的长 ③计算 计算AC²+BC² 和AB² 的值 ④判断 若AC²+BC²=AB²，则△ ABC 是直角三角形，且∠ C=90°；若AC²+BC² ≠ AB²，则∠ C ≠ 90° 考点1：勾股定理与网格问题 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，方格纸中每个小方格的边长为1，在下面的方格纸上画一条长为的线段． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理与网格．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理得，，然后作答线段即可． 【规范解答】解：由勾股定理得，，作长为的线段如下图； 【变式训练】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在的正方形网格中，已知线段a，b和点P，且线段的端点和点P都在格点上，在网格中找一格点Q，使线段a，b，恰好能作为直角三角形三边，则满足条件的格点Q有（   ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查了网格作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，分两种情况讨论即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：由网格可得： ， ， ∵线段a，b，恰好能作为直角三角形三边， 当作为斜边时，， ∵ ∴， ∵， ∴取格点，，，则点，即为所求的点，如图： 当作为斜边时，， ∵ ∴， 网格中，找不到一个格点，使得， 综上，符合条件的点只有个， 故选：B． 考点2：勾股定理与折叠问题 【典例精讲】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在长方形纸片中，，，点为射线上一个动点，把沿直线所在直线折叠，当点D的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理．根据题意进行分类讨论①当点E在线段上时，②当点E在线段延长线上时，点F作的平行线，交于点H，交于点G，先求出，再求出，设，根据勾股定理列出方程求解即可． 【规范解答】解：①当点E在线段上时， 过点F作的平行线，交于点H，交于点G， ∵四边形为矩形，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵点F在线段的垂直平分线上， ∴，则， ∵沿直线折叠得到， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， 设，则，， 根据勾股定理可得：，即， 解得：， 即； ②当点E在线段延长线上时， 过点F作的平行线，交于点H，交于点G， ∵四边形为矩形，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵点F在线段的垂直平分线上， ∴，则， ∵沿直线折叠得到， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， 设，则，， 根据勾股定理可得：，即， 解得：， 即． 综上：或． 【变式训练】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！ AI (1)直接填空：如图①，若，则 ；若，则直角三角形的面积是 ； (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明； (3)如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，求的长． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3) 【思路引导】本题主要勾股定理的证明，几何图形面积的计算，矩形与折叠中勾股定理的运用， （1）运用勾股定理可得的值，根据，代入求值即可； （2）图②的面积，又图②的面积，由此即可求解； （3）根据折叠，矩形的性质，在中，运用勾股定理，可得，设，则，在中，运用勾股定理得即可求解． 【规范解答】（1）解：根据勾股定理得，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）证明：图②的面积， 又图②的面积， ∴， ∴， ∴； （3）解：由折叠的性质得：， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，即， 解得：， ∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴． 考点3：求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 【典例精讲】（24-25七年级上·山东烟台·期中）课本原题呈现： 一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米． （1）这个梯子的顶端距底而有多高? （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗? 解决问题： (1)请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方向也滑动4米（填会或不会）； (2)在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上，梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离． (3)将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为“梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？ 【答案】(1)24；不会 (2)27米 (3)25米 【思路引导】此题考查勾股定理的实际应用． （1）直接利用勾股定理求得直角边的长即可；首先求得的长，然后利用勾股定理求得线段的长，最后求得线段的长即可； （2）由勾股定理得出米，再由即可得出答案； （3）先由题意得米，设米，则米，再根据列关于a的等式方程，解方程得出a，再由勾股定理得出即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得，，米，米，米， ∴， ∴， ∴， ， ∴梯子底部不会在水平方向也滑动4米； 故答案为：24；不会； （2）解：由题意可得，，，米，米，米， ∴， ∴米， ∴米， ∴这两面墙之间的距离为27米； （3）解：由题意得，米，米，米， ∴米， 设米，则米， 又∵， ∴，即， 解得：， ∴米， ∴梯子的长度是25米． 【变式训练】（24-25八年级上·河南郑州·期中）我校在对校园进行完善建设的过程中发现，教学楼墙面上有一处破损点，维修师傅找来梯子来帮助完成维修工作．已知，梯子长为，将其斜靠在墙上，测得梯子底部离墙角处，此时在梯子顶端测得顶部与破损点相距米． (1)教学楼墙面破损处距离地面的高度？ (2)为了方便施工，需要使梯子顶端上升至距破损点距离为米处，则梯子底部需要向左移动多少米？ 【答案】(1)教学楼墙面破损处距离地面的高度为； (2)梯子底部需要向左移动． 【思路引导】（）利用勾股定理求出的长度，则即可求解； （）由题意得梯子顶端离地面，利用勾股定理求出梯子底部离墙角处的距离，再相减即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由题意得，，，， 由勾股定理得：， ∴教学楼墙面破损处距离地面的高度， 答：教学楼墙面破损处距离地面的高度为； （2）解：由题意得，梯子顶端离地面， ∴梯子底部离墙角处为， ∴梯子底部需要向左移动， 答：梯子底部需要向左移动． 考点4：解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用） 【典例精讲】（23-24八年级上·广东深圳·开学考试）如图，一个无盖长方体小杯子放置在桌面上，，；    (1)一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？ (2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？ 【答案】(1)最短路程是20cm (2)筷子的最大长度是cm 【思路引导】（1）利用勾股定理求解即可； （2）求得长方体盒子的体对角线即可求解。 【规范解答】（1）解：如图1所示：    图1 由题意得：，， ∴， 在中，由勾股定理得； ∴最短路程是20cm； （2）将筷子斜着放，    ∵，， ∴ ∴， 即筷子的最大长度是cm． 【考点评析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活利用勾股定理进行求解。 【变式训练】（20-21八年级上·福建福州·期末）如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面30cm．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为60cm，则水深是 cm． 【答案】45 【思路引导】设水深h厘米，则，，，利用勾股定理计算即可． 【规范解答】红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长． 设水深h厘米，由题意得：中，，， ， 由勾股定理得：， 即， 解得． 故答案为：45． 【考点评析】本题考查了勾股定理的应用，正确审题，明确直角三角形各边的长是解题的关键． 考点5：解决航海问题（勾股定理的应用） 【典例精讲】（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，沿海城市测得台风中心在东南方向的处，该台风中心始终以的速度沿北偏西的方向移动． (1)填空：，； (2)当台风中心移动到市正东方向的处时，求、之间的距离？(结果保留根号) (3)距台风中心的圆形区域包括边界都属台风影响区，求市受台风影响的时长？ 【答案】(1)；； (2)、之间的距离为 (3)市受台风影响的时长为 【思路引导】本题考查勾股定理解直角三角形的应用，方位角的应用； （1）根据题意，即可得到答案； （2）过作于，设，用表示，，再根据列方程，即可求出从而解决问题； （3）过作于，设台风中心移动到点处时，城市开始受影响；移动到点处时，城市正好结束影响，即在中，求出，从而得到，进一步求出市受台风影响的时长． 【规范解答】（1）解：由题意知，． 故答案为：，； （2）如图，过作于， 由题可得，，， 在中，， 设 ， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴， 答：、之间的距离为； （3）如图，过作于， 在中，， ∴km， 设台风中心移动到点处时，城市开始受影响； 移动到点处时，城市正好结束影响，即． 于点， ， 在中， ， ， 答：市受台风影响的时长为． 【变式训练】（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“惠州”号、“中山”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“惠州”号每小时航行10海里，“中山”号每小时航行7.5海里．它们离开港口后相距25海里．如果知道“惠州”号沿东北方向航行，能知道“中山”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】“中山”号沿北偏西（或西北）方向航行 【思路引导】本题考查了勾股定理逆定理的应用，方向角，解题的重点主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大． 求出，的长，利用勾股定理逆定理以及方向角即可得到“中山”号航行方向． 【规范解答】解：由题意可得：(海里)，(海里)，海里， ， ， “惠州”号沿东北方向航行，即沿北偏东方向航行， ， ∴． “中山”号沿北偏西（或西北）方向航行． 考点6：求河宽（勾股定理的应用） 【典例精讲】（23-24八年级下·陕西商洛·期末）学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线上取点C（于点A），用测距仪测得、的长．    测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 【答案】水潭的宽度为米． 【思路引导】本题考查的是勾股定理的实际应用，直接利用勾股定理列式计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵米，米， ∴， ∴水潭的宽度为米． 【变式训练】（23-24八年级下·云南怒江·阶段练习）为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使恰好为直角三角形（），如图所示，通过测量得长为，长为，求出图中、两点之间的距离． 【答案】8m 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的形式． 在中，利用勾股定理求出即可得出答案． 【规范解答】在中，，， ∴ 答：图中、两点之间的距离是8m． 考点7：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 【典例精讲】（21-22八年级下·广西百色·期中）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？ 【答案】25cm 【思路引导】展开后得到直角三角形ACB，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可． 【规范解答】解：如图，将台阶展开， 由题意得；AC＝6×3+2×3＝24，BC＝7，． 所以由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝625， 即AB＝25（cm）， 答：蚂蚁爬行的最短线路为25cm． 【考点评析】本题主要考查对勾股定理，平面展开——最短路径问题等知识点的理解和掌握，能理解题意知道是求出直角三角形ABC的斜边AB的长是解此题的关键． 【变式训练】（22-23七年级上·山东烟台·期中）如图，是台阶的模型图．已知每个台阶的宽度都是2cm，每个台阶的高度都是1cm，连接，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据勾股定理即可得出结论． 【规范解答】如图，由题意得， ， 故． 故选：A． 【考点评析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 考点8：判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 【答案】(1) (2)未超速 【思路引导】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中进行解决． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据小汽车用行驶的路程和时间，可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，得，, 由勾股定理，得， ∴， 故的长为． （2）解：， ∵， ∴这辆小汽车未超速． 【变式训练】《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？ 【答案】这辆小汽车超速了． 【思路引导】求出BC的距离，根据时间求出速度，从而可知道是否超速． 【规范解答】解：根据题意：∠ACB= 90° 由勾股定理可得： BC=米 40米= 0.04千米， 2秒=小时； 0.04÷= 72千米/时> 70千米/时； 所以超速了． 【考点评析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握构造直角三角形，确定直角边，斜边即可． 考点9：判断是否受台风影响(勾股定理的应用） 【典例精讲】（23-24八年级上·四川成都·期中）为了美化城市，洒水车需要在一条长为的重要路段段以50米分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点C位置，洒水车由A向B移动，学校与路段上的两个路口A、B的距离分别为，经测量，发现在及以内的会受到音乐的影响． (1)求点C到路段的距离； (2)判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响． 【答案】(1) (2)会受到影响，时长4分钟 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，读懂题意，根据勾股定理知识解题是做题的关键； （1）过点C作于D，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再根据等面积法求解即可； （2）当时，正好影响C学校，根据勾股定理求出，再根据等腰三角形的性质求出，再根据速度，求出时间即可． 【规范解答】（1）解：如图，过点C作于D， ， 是直角三角形，且， ， ， ， 答：点C到路段的距离是； （2）解：学校C会受噪声影响，理由如下： ∵在及以内的会受到音乐的影响，学校到的最小距离为， ∴学校会受到影响， 当时，正好影响C学校， ， ，， ， ， ∵洒水车的行驶速度为50米分钟， （分钟）， 影响该学校持续的时间有4分钟． 【变式训练】．（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）台风是一种自然灾害，如图，气象部门观测距市正北方向的处有一台风中心，其中心最大风力为12级，该台风中心正以的速度沿直线向处移动，且台风中心风力不变，已知每远离台风中心，风力就减弱一级，若所受风力不到4级，则称不受台风影响，问： (1)市是否受到这次台风影响？请说明理由； (2)市若受台风影响，则所受的最大风力是______级；并求出市受到台风影响的时间． 【答案】(1)A市受到这次台风影响，理由见解析 (2)A市所受的最大风力是7级，市受到台风影响的时间为小时 【思路引导】（1）过A作于点D，利用含30°角的直角三角形的性质求得的长度，再根据题意计算出受台风影响的半径，即可解答； （2）由的长度可求得台风中心在D处时，A处的风的级别，从而确定受到的最大风力．再在上取使，而于，可得；，再进一步计算即可． 【规范解答】（1）解：过A作于点D． ∵在直角中， ， ， 由题意知：受台风影响范围的半径为， ∴A市受到这次台风影响． （2）解：当台风中心位于点D处时，A市所受风力最大， 风力为（级） 故A市所受的最大风力是7级． 如图，由（1）可得：受台风影响范围的半径为， 在上取使，而于， ∴； ∴， ∴（小时）； ∴市受到台风影响的时间为小时． 【考点评析】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，化为最简二次根式，理解题意，构建图形解题是解本题的关键． 考点10：选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）新路比原路少5千米；（3） 【思路引导】此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【规范解答】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少5千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 【变式训练】（21-22八年级下·陕西渭南·期末）如图，，点C在OA边上，OA=36cm，OB=12cm，点P从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两点恰好在C点相遇，求BC的长度？ 【答案】20cm 【思路引导】由题意知：BC=AC，设BC=x cm，则OC=（36-x） cm．在 Rt△BOC中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【规范解答】解：∵点P、Q同时出发，且速度相同，∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【考点评析】本题主要考查了勾股定理的应用，读懂题意BC=AC是解题的关键． 考点11：求最短路径（勾股定理的应用） 【典例精讲】（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）如图是一块长，宽，高分别是，和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（       ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是掌握相关知识．展开成平面图形，根据两点之间线段最短，可知就是蚂蚁爬的最短路线，分三种情况，根据勾股定求解即可． 【规范解答】解：如图，就是蚂蚁爬的最短路线，    有三种情况： 当，时， ； 当，时， ； 当，时， ； ， 最短路径的长是． 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点爬到点，圆周率取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了圆柱体的侧面展开最短路径问题，勾股定理，正确确定展开图中个线段的长度是解题的关键．根据题意，圆柱的侧面展开图的长方形的长为，长方形的宽等于圆柱的高，根据题意，爬行到对面的意义即为求图中的长，利用勾股定理解答即可． 【规范解答】解：根据题意，设圆柱的侧面展开图为长方形，，，， 如图所示：， 故答案为：． 考点12：勾股定理逆定理的实际应用） 【典例精讲】（24-25八年级下·广西钦州·期末）如图，在一条东西走向的省级干线公路l的一侧有一村庄P，由P原有两条笔直小路与l相连接，其中，由于某种原因，由P到A的路已经不通，现今该村的乡村产业振兴小组为方便村民运输农产品与出行，争取上级支持新建了一条公路（A，C，B在同一条直线上），测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明： (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)原来的路线PA的长为8.45千米 【思路引导】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握定理内容并正确运用是关键； （1）计算与的值，两者的值相等，则是直角三角形，则 PC是从村庄P到l的最近路； （2）设，则；在中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：是； 理由是：在中， ，， ， 是直角三角形， ， 是从村庄P到l的最近路； （2）解：设，则， 在中，， ， 解得：， 答：原来的路线PA的长为8.45千米． 【变式训练】（23-24八年级下·陕西渭南·期末）实践探索：检测某雕塑（如图）底座正面的边和边是否分别垂直与底边． 素材及工具只：一个雕塑，一把卷尺 步骤1：利用卷尺分别测量边，边和的长度，并测量出点B，D之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 解决问题： (1)通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ (2)如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有更科学的方法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明． 【答案】(1),理由见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查的是勾股定理逆定理的应用，熟记勾股定理逆定理是解题的关键. （1）根据勾股定理进行检验即可； （2）在上取点厘米, 在线段上取厘米, 连接, 测量出的长即可得出结论. 【规范解答】（1）,理由： ∵厘米, 厘米，厘米, ， ∴是直角三角形, ∴； （2）能, 在上取点厘米, 在线段上取厘米, 连接, 测量出厘米, 则, 证明： 如图， ∵厘米, 厘米, 厘米, ， ∴是直角三角形, ∴． 1．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，点A，B，C，O在网格中小正方形的顶点处，直线l经过点C，O，将ABC沿l平移得到MNO，M是A的对应点，再将这两个三角形沿l翻折，P，Q分别是A，M的对应点．已知网格中每个小正方形的边长都等于1，则PQ的长为 ． 【答案】 【思路引导】连接PQ，AM，根据PQ＝AM即可解答． 【规范解答】解：连接PQ，AM， 由图形变换可知：PQ＝AM， 由勾股定理得：AM＝， ∴PQ＝． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，明确翻折前后对应线段相等是解题的关键． 2．（2021·江苏南通·中考真题）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 海里（结果保留根号）． 【答案】． 【思路引导】先作PC⊥AB于点C，然后利用勾股定理进行求解即可． 【规范解答】解：如图，作PC⊥AB于点C， 在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°， ∴海里，海里， 在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°， ∴PC=BC=海里， ∴海里， 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查了勾股定理的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为用勾股定理解决问题，解决的方法就是作高线． 3．（2021·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图： （1）在图①中，连结MA、MB，使． （2）在图②中，连结MA、MB、MC，使． （3）在图③中，连结MA、MC，使． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【思路引导】（1）由勾股定理可求得AM=BM=，即可得点M的位置； （2）由勾股定理可求得AB=BC=，AC=，即可得 ，再由勾股定理的逆定理可判定△ABC为等腰直角三角形，点M即为斜边AC的中点，由此可得点M的位置； （3）作出AB、AC的垂直平分线，交点即为M，M即为△ABC外接圆的圆心，连接AM，CM，根据圆周角定理可得，由此即可确定点M的位置． 【规范解答】（1）如图①所示，点M即为所求． （2）如图②所示，点M即为所求． （3）如图③所示，点M即为所求． 【考点评析】本题考查了基本作图，解决第（3）题时，确定△ABC外接圆的圆心是解决问题的关键． 4．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【思路引导】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【规范解答】解：设，则， 由题意，得：， 解得：，即， 故选：C． 5．（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）    【答案】10 【思路引导】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【规范解答】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 故答案为：10． 【考点评析】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 基础夯实 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的应用．设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，分别在和中，利用勾股定理求出，即可求解． 【规范解答】解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 时， 即A市经过个小时开始受到台风影响． 故选：D 2．（24-25七年级上·山东泰安·期中）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端A到左墙的距离为，梯子顶端D到地面的距离为，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端C到地面的距离为，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合思想的应用．先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论． 【规范解答】解：在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的各点都在格点（网格线的交点）上，D，E分别是边的中点，连接，则的长为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【思路引导】本题考查勾股定理与网格问题，三角形中位线定理．先利用勾股定理求出的长，再利用三角形中位线定理即可求出的长． 【规范解答】解：根据勾股定理得：， ∵D，E分别是边的中点， ， 故选：C． 4．（19-20八年级上·江苏扬州·期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长等于 ． 【答案】3 【思路引导】本题考查了勾股定理与折叠，根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长． 【规范解答】解∶∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴，， ∴，即， 解得， 故答案为：3． 5．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，有一个圆柱，底面圆的周长为，高，为的中点，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为 ．（结果保留） 【答案】 【思路引导】本题考查了平面展开的最短路径问题，把圆柱的侧面展开，连接，利用勾股定理即可得出的长，即蚂蚁从点爬到点的最短距离，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解题的关键． 【规范解答】解：把圆柱的侧面展开如图： ∴， 连接， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为， 故选：． 6．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理等知识；由勾股定理求出，由折叠的性质得出，，，得出，，设，则，在中，由勾股定理得出方程，可求长，进而求得的长． 【规范解答】解：由折叠可知：，，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， ，， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，已知一长方体的长、宽、高分别为，如果用一条细线从点开始经过4个侧面绕一圈到达点，那么所用细线最短需要 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平面展开——最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决． 要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”结合勾股定理得出结果． 【规范解答】解：将长方体展开，连接， ∵，， 根据两点之间线段最短， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图，甲乙两船从港口P同时出发，甲船以16海里/小时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行．3小时后，甲船到达A岛，乙船到达B岛．若A、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？ 【答案】12 海里/小时 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，在图形中找出直角三角形是解题的关键． 计算得出，从而说明是直角三角形，再利用勾股定理求出的长，再求乙船的航速． 【规范解答】由题知，， 海里， 海里， 由勾股定理得， 海里， 乙船的航速是 海里/小时． 9．（11-12八年级上·全国·课后作业）如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状是解题的关键． 先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【规范解答】解：连结， ∵，，， ∴， 在中，， ∴是直角三角形， ∴． 10．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图1，两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，能得到4个等腰直角三角形，这4个三角形可以拼成一个大正方形，所得大正方形的边长为． (1)如图2，现有一张的长方形纸片，尝试分割这张纸片，拼接成一个大正方形，要求不重叠，且无空隙．如果可以，请你仿照图1在纸片上用虚线画出分割方法，并在网格中画出大正方形的拼法，使它的四个顶点均位于网格的格点上，然后写出所得正方形的边长；如果不可以，请说明理由． (2)请从以下两题中任选一题作答，我选择 题． 按照上述方法，让我们尝试其他图形的分割： A．如图3，是由个小正方形组合得到的两种图形，请你选择一个组合图形尝试分割，将其拼接成一个大正方形，要求不重叠，且无空隙．如果可以，在组合图形上用虚线画出分割方法，并在网格中画出大正方形的拼法（使它的四个顶点均位于网格的格点上），然后写出所得正方形的边长；如果不可以，请说明理由． 若选择A题作答，我选择完成图3中的组合 ． B．请直接写出当组合图形中小正方形的个数满足什么条件时，可以通过分割拼接得到大正方形（不重叠，且无空隙），并使得大正方形的四个顶点都能画在网格纸的格点上． 【答案】(1)图形见解析； (2)见解析 【思路引导】本题主要考查图形的分割拼接，解题的关键是根据图形的面积计算正方形的边长． （1）按照图1的方法进行分割拼接，并由正方形面积计算出周长； （2）按照图1的方法进行分割拼接，并由正方形面积计算出周长． 【规范解答】（1）分割纸片图为， 拼成大正方形如图， 面积为个小正方形， ∴大正方形边长为． （2）A题答案为， 分割纸片如图， 拼成大正方形如图， 大正方形面积为个小正方形， ∴大正方形边长为． B题答案为， ∵若大正方形面积为， 则大正方形边长为， 要使大正方形的四个顶点都能画在网格纸的格点上， 则需使为正整数的平方，或者为两个正整数的平方和， ∴当组合图形中小正方形的个数为正整数的平方，或者为两个正整数的平方和时， 大正方形的四个顶点都能画在网格纸的格点上． 培优拔高 11．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，有一长和宽各、高且封闭的长方体纸盒，一只蚂蚁从顶点A爬到与A点相对的顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路径为（      ）． A．8 B．11 C．10 D．24 【答案】C 【思路引导】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）两个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径． 【规范解答】解：由题意得， 路径一： ； 路径二： ； 路径三： ； ∵， ∴10为最短路径． 故选：C． 12．（24-25八年级上·湖南湘西·阶段练习）如图，矩形中，，，若将矩形折叠，使点和点重合，折痕的长（   ） A． B． C．15 D．16 【答案】A 【思路引导】该题考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用翻折变换的性质、勾股定理等几何知识解答．连接．设，则，，由勾股定理得，求出，在中，由勾股定理求出得，由求出，同理，进而可求出的长 【规范解答】解：连接． 点与点重合，折痕为，即垂直平分， ，，． 又四边形为矩形， ，，． 设，则，， ． 在中，由勾股定理得 ，且为中点， ，． ， ． 同理． 即． 故选A． 13．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在长方形中，将沿折叠到的位置，点落在处，若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 根据折叠的性质可得，进而根据勾股定理即可求解； 【规范解答】解：设的长为， ∵四边形是矩形， ，，， 根据折叠的性质，得， ， ， ， ， ， 在中，， 即， 解得：， ， 故选：B 14．（20-21八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，每个小正方形的边长为1，，，是小正方形的顶点，则的度数为 ． 【答案】/度 【思路引导】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，先计算，，，再进一步解答即可． 【规范解答】解：设小正方形边长为1，连接，由勾股定理可得： ，，， ∴且， ∴是等腰直角三角形，． 故答案为： 15．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握矩形的性质和翻折的性质； 设，根据翻折性质和勾股定理可得，即可解得答案， 【规范解答】∵在矩形纸片中，，， 设，则， 将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处， ∴，，， 在中 ， 即 解得． 故答案为∶． 16．（24-25八年级上·浙江舟山·期中）如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠使点恰好落在边上的点，则的长为 ． 【答案】/ 【思路引导】此题重点考查翻折变换的性质、勾股定理等知识，由长方形的性质得，，，由折叠得，，求得，则，由，得，求得，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：四边形是长方形， ，，， 由折叠得，， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 17．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程． 【答案】 【思路引导】本题考查的是平面展开-最短路线问题，解答中涉及勾股定理，将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，长度变为半圆周长， ∴，则， 连接， 在长方形中，，， 由勾股定理，得， ∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走的路程． 故答案为：． 18．（24-25八年级下·云南昆明·期中）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．如图，点是自来水管的位置，点和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，两处相距12米，、两处相距16米，、两处相距20米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段、铺设2段水管； 八（2）班方案：过点作于点，沿线段，，铺设3段水管； (1)求证：； (2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)选择八（1）班的方案，理由见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理逆定理的实际应用； （1）根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）先利用等积法求出的长，再分别计算与，然后进行比较大小即得结论． 【规范解答】（1）证明：由题意可得：， ∴， ∴， 即； （2）解：选择八（1）班的方案，理由如下： ∵， ∴， 则按照八（1）班方案：沿线段、铺设2段水管，需要铺设水管的总长度为； 按照八（2）班方案：沿线段，，铺设3段水管，需要铺设水管的总长度为， ∵， ∴从节约水管的角度考虑，应该选择八（1）班的铺设方案． 19．（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里．它们离开港口小时后相距海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】西北方向 【思路引导】本题考查了勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据路程速度时间，分别求得、的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形是直角三角形，从而求解． 【规范解答】解：根据题意，得（海里），（海里），（海里）， ， 即， ． 由“远航号”沿东北方向航行可知，，则， 即“海天”号沿西北方向航行． 20．（22-23八年级上·四川内江·阶段练习）问题背景： 在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积． 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处，，，），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求面积的方法叫做构图法． (1)请你将的面积直接填写在横线上：______． (2)思维拓展：若三边的长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积． (3)探索创新：若三边的长分别为、、（，，且），求这个三角形的面积． (4)直接写出当x为何值时，函数有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) (2) (3) (4)当x为时，函数的最小值是 【思路引导】（1）计算即可． （2）根据、、，画图计算即可 （3）设小矩形的长为m，宽为n，根据题意，、、，画图计算即可． （4）求函数有最小值，即的最小值，实际上就是求x轴上一点到以及两点的和的最小值，而两点间的距离是线段最短，即可求得 函数的最小值是． 【规范解答】（1）根据题意得： =． 故答案为：． （2）根据题意得：、、，画图如下： 根据题意： ． （3）设小矩形的长为m，宽为n，根据题意，、、， 画图如下： 根据题意： =． （4）函数有最小值，即的最小值，实际上就是求x轴上一点到以及两点的和的最小值，而两点间的距离是线段最短，所以点到以及的距离即为所求，即． 当x为时，函数的最小值是． 【考点评析】本题考查了网格上的三角形，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 勾股定理的应用 （知识梳理+12个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：勾股定理与网格问题 2 知识点梳理21勾股定理与折叠问题 2 知识点梳理03：确定几何体上的最短路线 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：勾股定理与网格问题 3 考点2：勾股定理与折叠问题 3 考点3：求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 5 考点4：解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用） 6 考点5：解决航海问题（勾股定理的应用） 7 考点6：求河宽（勾股定理的应用） 8 考点7：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 9 考点8：判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 10 考点9：判断是否受台风影响(勾股定理的应用） 11 考点10：选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 12 考点11：求最短路径（勾股定理的应用） 13 考点12：勾股定理逆定理的实际应用） 14 中考真题 实战演练 15 难度分层 拔尖冲刺 16 基础夯实 16 培优拔高 20 知识点梳理01：勾股定理与网格问题 求边长：网格中每个小正方形的边长通常为1，可根据勾股定理求出格点间线段的长度。若线段两端点在格点上，且水平、垂直方向间隔分别为m、n个小正方形边长，则线段长度l=m2+n2​。 知识点梳理21勾股定理与折叠问题 应用勾股定理：折叠问题常常会产生直角三角形，找到相关直角三角形，确定其直角边和斜边，通过已知条件计算出直角边的长度，再根据勾股定理求出斜边或其他未知边的长度。 注意事项： 1关注折叠性质：折叠前后对应线段相等，对应角相等，这是解题的重要依据。 2准确确定直角三角形：有些情况下，直角三角形并不明显，需要根据折叠后的图形特征和已知条件去寻找或构造。 3灵活设未知数：对于一些未知边长，可设未知数，根据勾股定理建立方程求解，将几何问题转化为代数问题。 实际应用：折叠问题在现实生活中有很多应用，如制作纸盒、折叠衣服等。理解其解题方法对于解决实际生活中的折叠问题有很大帮助。 知识点梳理03：确定几何体上的最短路线 1.利用勾股定理解决有关高度、宽度、长度、距离等问题 2.直角的判断 步骤 具体操作 图示 ①取点 在∠ C 两边上分别取点A，B，并连接AB ②测量  测量AC，BC，AB 的长 ③计算 计算AC²+BC² 和AB² 的值 ④判断 若AC²+BC²=AB²，则△ ABC 是直角三角形，且∠ C=90°；若AC²+BC² ≠ AB²，则∠ C ≠ 90° 考点1：勾股定理与网格问题 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，方格纸中每个小方格的边长为1，在下面的方格纸上画一条长为的线段． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在的正方形网格中，已知线段a，b和点P，且线段的端点和点P都在格点上，在网格中找一格点Q，使线段a，b，恰好能作为直角三角形三边，则满足条件的格点Q有（   ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 考点2：勾股定理与折叠问题 【典例精讲】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在长方形纸片中，，，点为射线上一个动点，把沿直线所在直线折叠，当点D的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长． 【变式训练】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！ AI (1)直接填空：如图①，若，则 ；若，则直角三角形的面积是 ； (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明； (3)如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，求的长． 考点3：求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 【典例精讲】（24-25七年级上·山东烟台·期中）课本原题呈现： 一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米． （1）这个梯子的顶端距底而有多高? （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗? 解决问题： (1)请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方向也滑动4米（填会或不会）； (2)在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上，梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离． (3)将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为“梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？ 【变式训练】（24-25八年级上·河南郑州·期中）我校在对校园进行完善建设的过程中发现，教学楼墙面上有一处破损点，维修师傅找来梯子来帮助完成维修工作．已知，梯子长为，将其斜靠在墙上，测得梯子底部离墙角处，此时在梯子顶端测得顶部与破损点相距米． (1)教学楼墙面破损处距离地面的高度？ (2)为了方便施工，需要使梯子顶端上升至距破损点距离为米处，则梯子底部需要向左移动多少米？ 考点4：解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用） 【典例精讲】（23-24八年级上·广东深圳·开学考试）如图，一个无盖长方体小杯子放置在桌面上，，；    (1)一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？ (2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？ 【变式训练】（20-21八年级上·福建福州·期末）如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面30cm．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为60cm，则水深是 cm． 考点5：解决航海问题（勾股定理的应用） 【典例精讲】（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，沿海城市测得台风中心在东南方向的处，该台风中心始终以的速度沿北偏西的方向移动． (1)填空：，； (2)当台风中心移动到市正东方向的处时，求、之间的距离？(结果保留根号) (3)距台风中心的圆形区域包括边界都属台风影响区，求市受台风影响的时长？ 【变式训练】（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“惠州”号、“中山”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“惠州”号每小时航行10海里，“中山”号每小时航行7.5海里．它们离开港口后相距25海里．如果知道“惠州”号沿东北方向航行，能知道“中山”号沿哪个方向航行吗？ 考点6：求河宽（勾股定理的应用） 【典例精讲】（23-24八年级下·陕西商洛·期末）学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线上取点C（于点A），用测距仪测得、的长．    测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 【变式训练】（23-24八年级下·云南怒江·阶段练习）为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使恰好为直角三角形（），如图所示，通过测量得长为，长为，求出图中、两点之间的距离． 考点7：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 【典例精讲】（21-22八年级下·广西百色·期中）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？ 【变式训练】（22-23七年级上·山东烟台·期中）如图，是台阶的模型图．已知每个台阶的宽度都是2cm，每个台阶的高度都是1cm，连接，则等于（　　） A． B． C． D． 考点8：判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 【变式训练】《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？ 考点9：判断是否受台风影响(勾股定理的应用） 【典例精讲】（23-24八年级上·四川成都·期中）为了美化城市，洒水车需要在一条长为的重要路段段以50米分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点C位置，洒水车由A向B移动，学校与路段上的两个路口A、B的距离分别为，经测量，发现在及以内的会受到音乐的影响． (1)求点C到路段的距离； (2)判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响． 【变式训练】．（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）台风是一种自然灾害，如图，气象部门观测距市正北方向的处有一台风中心，其中心最大风力为12级，该台风中心正以的速度沿直线向处移动，且台风中心风力不变，已知每远离台风中心，风力就减弱一级，若所受风力不到4级，则称不受台风影响，问： (1)市是否受到这次台风影响？请说明理由； (2)市若受台风影响，则所受的最大风力是______级；并求出市受到台风影响的时间． 考点10：选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 【变式训练】（21-22八年级下·陕西渭南·期末）如图，，点C在OA边上，OA=36cm，OB=12cm，点P从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两点恰好在C点相遇，求BC的长度？ 考点11：求最短路径（勾股定理的应用） 【典例精讲】（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）如图是一块长，宽，高分别是，和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（       ）    A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点爬到点，圆周率取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为 ． 考点12：勾股定理逆定理的实际应用） 【典例精讲】（24-25八年级下·广西钦州·期末）如图，在一条东西走向的省级干线公路l的一侧有一村庄P，由P原有两条笔直小路与l相连接，其中，由于某种原因，由P到A的路已经不通，现今该村的乡村产业振兴小组为方便村民运输农产品与出行，争取上级支持新建了一条公路（A，C，B在同一条直线上），测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明： (2)求原来的路线的长． 【变式训练】（23-24八年级下·陕西渭南·期末）实践探索：检测某雕塑（如图）底座正面的边和边是否分别垂直与底边． 素材及工具只：一个雕塑，一把卷尺 步骤1：利用卷尺分别测量边，边和的长度，并测量出点B，D之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 解决问题： (1)通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ (2)如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有更科学的方法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明． 1．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，点A，B，C，O在网格中小正方形的顶点处，直线l经过点C，O，将ABC沿l平移得到MNO，M是A的对应点，再将这两个三角形沿l翻折，P，Q分别是A，M的对应点．已知网格中每个小正方形的边长都等于1，则PQ的长为 ． 2．（2021·江苏南通·中考真题）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 海里（结果保留根号）． 3．（2021·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图： （1）在图①中，连结MA、MB，使． （2）在图②中，连结MA、MB、MC，使． （3）在图③中，连结MA、MC，使． 4．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 5．（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）    基础夯实 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 2．（24-25七年级上·山东泰安·期中）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端A到左墙的距离为，梯子顶端D到地面的距离为，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端C到地面的距离为，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽为（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的各点都在格点（网格线的交点）上，D，E分别是边的中点，连接，则的长为（   ） A．2 B． C． D．1 4．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长等于 ． 5．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，有一个圆柱，底面圆的周长为，高，为的中点，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为 ．（结果保留） 6．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，则的长为 ． 7．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，已知一长方体的长、宽、高分别为，如果用一条细线从点开始经过4个侧面绕一圈到达点，那么所用细线最短需要 ． 8．（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图，甲乙两船从港口P同时出发，甲船以16海里/小时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行．3小时后，甲船到达A岛，乙船到达B岛．若A、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？ 9．如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 10．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图1，两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，能得到4个等腰直角三角形，这4个三角形可以拼成一个大正方形，所得大正方形的边长为． (1)如图2，现有一张的长方形纸片，尝试分割这张纸片，拼接成一个大正方形，要求不重叠，且无空隙．如果可以，请你仿照图1在纸片上用虚线画出分割方法，并在网格中画出大正方形的拼法，使它的四个顶点均位于网格的格点上，然后写出所得正方形的边长；如果不可以，请说明理由． (2)请从以下两题中任选一题作答，我选择 题． 按照上述方法，让我们尝试其他图形的分割： A．如图3，是由个小正方形组合得到的两种图形，请你选择一个组合图形尝试分割，将其拼接成一个大正方形，要求不重叠，且无空隙．如果可以，在组合图形上用虚线画出分割方法，并在网格中画出大正方形的拼法（使它的四个顶点均位于网格的格点上），然后写出所得正方形的边长；如果不可以，请说明理由． 若选择A题作答，我选择完成图3中的组合 ． B．请直接写出当组合图形中小正方形的个数满足什么条件时，可以通过分割拼接得到大正方形（不重叠，且无空隙），并使得大正方形的四个顶点都能画在网格纸的格点上． 培优拔高 11．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，有一长和宽各、高且封闭的长方体纸盒，一只蚂蚁从顶点A爬到与A点相对的顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路径为（      ）． A．8 B．11 C．10 D．24 12．（24-25八年级上·湖南湘西·阶段练习）如图，矩形中，，，若将矩形折叠，使点和点重合，折痕的长（   ） A． B． C．15 D．16 13．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在长方形中，将沿折叠到的位置，点落在处，若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 14．（20-21八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，每个小正方形的边长为1，，，是小正方形的顶点，则的度数为 ． 15．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则的长为 ． 16．（24-25八年级上·浙江舟山·期中）如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠使点恰好落在边上的点，则的长为 ． 17．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程． 18．（24-25八年级下·云南昆明·期中）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．如图，点是自来水管的位置，点和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，两处相距12米，、两处相距16米，、两处相距20米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段、铺设2段水管； 八（2）班方案：过点作于点，沿线段，，铺设3段水管； (1)求证：； (2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 19．（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里．它们离开港口小时后相距海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 20．（22-23八年级上·四川内江·阶段练习）问题背景： 在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积． 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处，，，），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求面积的方法叫做构图法． (1)请你将的面积直接填写在横线上：______． (2)思维拓展：若三边的长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积． (3)探索创新：若三边的长分别为、、（，，且），求这个三角形的面积． (4)直接写出当x为何值时，函数有最小值，最小值是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$