专题03 勾股定理的应用（重难点讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本初中数学讲义聚焦勾股定理的应用，系统梳理勾股定理与逆定理在生活场景、立体图形、折叠题型中的计算方法，涵盖梯子滑动、立体最短路径、折叠求边长、航海方位四大模型及数轴表示无理数，构建从基础模型到综合应用的学习支架。 资料以“读题画图—锁定直角三角形—判定应用定理—列方程求解”统一步骤为核心，通过典例与变式结合、分层训练（巩固与强化），培养学生数学眼光（实际问题转化几何图形）、数学思维（推理与方程应用），课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，提升问题解决能力。

专题03 勾股定理的应用 1. 能结合生活场景、立体图形、折叠题型，灵活使用勾股定理与逆定理计算线段长度 2. 掌握最短路径、梯子滑动、折叠求边长、航海判断直角四类经典应用题解题思路 3. 建立数形结合思维，会把实际问题转化为直角三角形模型求解 一、解题核心思路 所有实际应用题统一步骤： 1. 读题画图，把文字场景转化几何图形 2. 锁定直角三角形，标出已知边长，设未知边为x 3. 分情况判断：已知直角用勾股定理a²+b²=c²；已知三边长度用逆定理判定直角 4. 列方程求解，舍去不符合实际的负数解 二、四大必考应用模型 1. 梯子滑动模型 墙面、地面、梯子构成直角三角形，梯子长度为斜边；梯子下滑/底部外移，斜边长度不变，两次使用勾股定理做差计算移动距离。 【注意】地面、墙面永远垂直，天然直角。 2. 圆柱/长方体最短路径（展开法） 立体图形表面两点最短路线：将立体侧面平铺展开成平面长方形，两点连线为线段，用勾股定理算斜边。 【注意】长方体展开有3种平铺方式，需要分别计算再对比取最小值。 3. 折叠模型 折叠前后对应边、对应角完全相等，存在相等线段；设未知边长，利用直角三角形列方程。 4. 航海方位模型 南北、东西航线互相垂直，形成直角；给出两段航行距离，可判定直角、计算两点直线距离。 三、数轴上表示无理数 以整数直角边构造直角三角形，斜边长度为无理数；以原点为圆心、斜边长为半径画弧，与数轴交点即为无理数对应点。 【注意】 （1）应用题结果必须带长度单位； （2）区分勾股定理（已知直角求边）、逆定理（已知三边证直角），不可混用； （3）立体图形最短路径必须先展开平面，不能直接在立体上连线。 题型01 梯子滑动类基础应用题 【典例】把5米长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4米，则梯子顶端到离地面（       ） A．2米 B．3米 C．4米 D．4.5米 【变式】如图，一根长为米的梯子斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端与墙根之间的距离为米，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动米至处，则梯子的顶端将沿墙向下移动______． 题型02 立体图形最短路径问题 【典例】如图，在圆柱的截面ABCD中，AB=，BC=12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离为（ ） A．10 B．12 C．20 D．14 【变式】如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____cm． 题型03 折叠几何综合题 【典例】如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为     （        ） A．2.5 B．3 C．4 D．5 【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF，若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积为________cm²． 题型04 航海方位综合大题（综合压轴） 【典例】一艘船从港口A向正东航行9km到B点，再向正北航行12km到达C点，求港口A到C的直线距离。 【巩固训练】 1.小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米．当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好与接触地面，则旗杆的高度为（       ） A．11米 B．12米 C．13米 D．14米 2.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相聚8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（　　）米． A．7 B．8 C．9 D．10 3.如图，教室墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若PA=米，AB=2米，点P到AF的距离是4米，一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（       ）米 A．3 B．4 C．5 D．6 4.如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（       ） A．6m B．8m C．10m D．18m 5.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（     ） A．秒 B．16秒 C．秒 D．24秒 6.如图所示，△𝐴𝐵𝐶是一张纸片，∠𝐴𝐶𝐵=90∘，AC=4，BC=3，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7.如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处，若∠𝐴𝑂𝐶=90∘，点A与点B的高度差AD=1米，水平距离BD=4米，则点C与点B的高度差CE为（ ） A.4米 B.4.5米 C.5米 D.5.5米 8.如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B离墙角C的距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上了，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下滑（ ）。 A.0.9米 B.1.3米 C.1.5米 D.2米 9.一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（ ） A. 5<h≤6 B. 6<h≤7 C. 5≤h≤6 D. 5≤h<6 10.如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是20cm、长是50cm、宽是40cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发爬到点B，其爬行的最短线路的长度是_。 【强化训练】 1.小聪准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为_m。 2.如图，实心圆柱的底面周长为30cm，高16cm，CD的中点B处有一块面包。一只蚂蚁沿圆柱侧面从A处到B处觅食，要爬行的最短路程为_____.cm. 3.如图，圆柱形纸杯高为5cm，底面周长为16cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距离为___（杯壁厚度不计）. 4.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是___尺。 5.如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5米/秒． (1)求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离； (2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间． 6.如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计），右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD的高. 7.如图，图中曲线是地形图中等高线（同一条曲线上点的海拔是一样的），如果线段AB在图中被量得的长是2.5cm，那么两个地点A，B间的水平距离和实际直线距离各约多少米？（图中表示等高线数据的单位为m） 8.如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池.该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”，中间可供滑行部分的截面是半径为8m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m.一滑板爱好者要从A点滑到E点，则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度忽略不计，𝜋取3） 9.在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB=3千米，CH=2.4千米，HB=1.8千米. (1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线AC的长. 10.【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点。老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到B点的最短路程是多少？ 【探究】（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结AB，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点B的最短路程AB的长为___。 【应用】（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30cm，高是8cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，求蚂蚁爬行的最短距离。 【拓展】（3）如图④，圆柱形玻璃杯高9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是___cm.（杯壁厚度不计） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理的应用 1. 能结合生活场景、立体图形、折叠题型，灵活使用勾股定理与逆定理计算线段长度 2. 掌握最短路径、梯子滑动、折叠求边长、航海判断直角四类经典应用题解题思路 3. 建立数形结合思维，会把实际问题转化为直角三角形模型求解 一、解题核心思路 所有实际应用题统一步骤： 1. 读题画图，把文字场景转化几何图形 2. 锁定直角三角形，标出已知边长，设未知边为x 3. 分情况判断：已知直角用勾股定理a²+b²=c²；已知三边长度用逆定理判定直角 4. 列方程求解，舍去不符合实际的负数解 二、四大必考应用模型 1. 梯子滑动模型 墙面、地面、梯子构成直角三角形，梯子长度为斜边；梯子下滑/底部外移，斜边长度不变，两次使用勾股定理做差计算移动距离。 【注意】地面、墙面永远垂直，天然直角。 2. 圆柱/长方体最短路径（展开法） 立体图形表面两点最短路线：将立体侧面平铺展开成平面长方形，两点连线为线段，用勾股定理算斜边。 【注意】长方体展开有3种平铺方式，需要分别计算再对比取最小值。 3. 折叠模型 折叠前后对应边、对应角完全相等，存在相等线段；设未知边长，利用直角三角形列方程。 4. 航海方位模型 南北、东西航线互相垂直，形成直角；给出两段航行距离，可判定直角、计算两点直线距离。 三、数轴上表示无理数 以整数直角边构造直角三角形，斜边长度为无理数；以原点为圆心、斜边长为半径画弧，与数轴交点即为无理数对应点。 【注意】 （1）应用题结果必须带长度单位； （2）区分勾股定理（已知直角求边）、逆定理（已知三边证直角），不可混用； （3）立体图形最短路径必须先展开平面，不能直接在立体上连线。 题型01 梯子滑动类基础应用题 【典例】把5米长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4米，则梯子顶端到离地面（       ） A．2米 B．3米 C．4米 D．4.5米 【答案】B 【分析】根据勾股定理求解即可. 【详解】解：∵梯子的长度为5米，梯子底端离地面4米， ∴将梯子长度看作直角三角形的斜边，梯子底端离地面距离看作一条直角边， ∴梯子顶端到地面的距离平方为： 5²−4²=9， ∴梯子顶端到地面的距离为3 故选B. 【变式】如图，一根长为米的梯子斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端与墙根之间的距离为米，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动米至处，则梯子的顶端将沿墙向下移动______． 【答案】0.4米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，用移动前梯子顶端到地面的距离减去移动后梯子顶端到地面的距离即可得到答案. 【详解】解：梯子的顶端沿墙向下移动的距离为=0.4（米）故答案为：0.4米 题型02 立体图形最短路径问题 【典例】如图，在圆柱的截面ABCD中，AB=，BC=12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离为（ ） A．10 B．12 C．20 D．14 【答案】A 【分析】将圆柱的截面ABCD展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求出斜边AS即可. 【详解】将圆柱的截面ABCD展开，可得到直角三角形ABS， 因为，BS=6， 𝐴𝐵=×𝜋×=8， 所以，𝐴𝑆===10.故选A 【变式】如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____cm． 【答案】10 【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果. 【详解】解：将长方体展开，连接A、B， ∵𝐴𝐴′=1+3+1+3=8cm ，A’B’=6cm ， 根据两点之间线段最短，𝐴𝐵′=8²+6²=10cm. 故答案为：10 题型03 折叠几何综合题 【典例】如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为     （        ） A．2.5 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】折叠的性质；勾股定理. 【详解】试题分析：由折叠的性质可得 AN=DN， 设BN=x，则AN=DN=9-x， 在𝑅𝑡△𝐵𝐷𝑁中，根据勾股定理可列方程𝑥²+3²=(9−𝑥)²， 解得x=4，即BN=4， 答案选C. 【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF，若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积为________cm²． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，运用勾股定理解决问题，解题的关键是找到运用勾股定理的直角三角形. 【详解】设ED=x，则根据折叠和矩形的性质， 得A'E=AE=5-x，A'D=AB=3. 根据勾股定理，得𝐸𝐷²=𝐴’𝐸²+𝐴’𝐷²， 即𝑥²=(5−𝑥)²+3²， 解得 𝑥=. ∴𝑆△𝐷𝐸𝐹=⋅⋅3=𝑐𝑚² 故答案为： 题型04 航海方位综合大题（综合压轴） 【典例】一艘船从港口A向正东航行9km到B点，再向正北航行12km到达C点，求港口A到C的直线距离。 【答案】15km 【分析】本题考查了航海的问题，运用勾股定理解决问题，解题的关键是找到运用勾股定理的直角三角形. 【详解】解：∵正北方向和正东方向互相垂直 ∴∠𝐴𝐵𝐶=90∘， △𝐴𝐵𝐶是直角三角形根据勾股定理得： 𝐴𝐶²=𝐴𝐵²+𝐵𝐶²=9²+12²=81+144=225 ∵距离为正数 ∴AC=15km 答：港口A到C的直线距离为15km。 【巩固训练】 1.小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米．当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好与接触地面，则旗杆的高度为（       ） A．11米 B．12米 C．13米 D．14米 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理在实际问题中的应用，能够正确理解题意继而构造直角三角形是解决本题的关键．根据题意设旗杆的高AB为 xm，则绳子AC的长为(x+1)m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高． 【详解】解：画出示意图如下所示： 设旗杆的高AB为 xm，则绳子AC的长为(x+1)m， 在 Rt△𝐴𝐵𝐶 中，𝐴𝐵²+𝐵𝐶²=𝐴𝐶²， ∴𝑥²+5²=(𝑥+1)²， 解得：x=12， ∴𝐴𝐵=12𝑚， 即旗杆的高是 12m． 故选：B． 2.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相聚8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（　　）米． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出. 【详解】解：两棵树的高度差为8-2=6m，间距为8m， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离==10𝑚. 故选：D. 3.如图，教室墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若PA=米，AB=2米，点P到AF的距离是4米，一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（       ）米 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查平面展开——最短路径问题及勾股定理的应用，可将教室的墙面ADEF与地面ABCD展开，连接PB，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可.正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键. 【详解】解：如图，过P作𝑃𝐺⊥𝐵𝐹于G，连接PB， 此时PB的长为这只蚂蚁从点P爬到点B的最短行程， ∵𝑃𝐴=米，AB=2米，点P到AF的距离是4米， ∴𝑃𝐺=4米， ∴𝐴𝐺===1（米）， ∴𝐵𝐺=𝐺𝐴+𝐴𝐵=1+2=3（米）， ∴𝑃𝐵==3²+4²=5（米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是5米. 故选：C. 4.如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（       ） A．6m B．8m C．10m D．18m 【答案】C 【分析】根据题意，画出图形，连接AC，过点C作𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于点E，可得CE=BD=8m，在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐸中，由勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意，画出图形，如下图：连接AC，过点C作𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于点E， 根据题意得：AB=8m，CD=2m，BD=8m，𝐴𝐵⊥𝐵𝐷，𝐶𝐷⊥𝐵𝐷， 则四边形BDCE是矩形， ∴CE=BD=8m， 在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐸中，由勾股定理得： 𝐴𝐶==6²+8²=10𝑚， 即小鸟至少飞行10m． 故选：C． 5.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（     ） A．秒 B．16秒 C．秒 D．24秒 【答案】B 【分析】分析题意，首先通过作图，找出A处受噪声影响火车经过的路段；根据题意可以点A为圆心，取AB=AD=200米为半径，过点A作𝐴𝐶⊥𝑀𝑁，求AC的长；然后根据勾股定理求出BC的长，由垂径定理即可得到BD的长，再根据火车行驶的速度，进而求出对A处产生噪音的时间. 【详解】如图，以点A为圆心，取AB=AD=200米为半径， 过点A作𝐴𝐶⊥𝑀𝑁； ∵∠𝑄𝑂𝑁=30∘，OA=240米， ∴AC=120米， 当火车到B点时对A处产生噪音影响，到点D时结束影响，此时AB=200米， ∵AB=200米，AC=120米， ∴由勾股定理得：BC=160米； ∴BD=2BC=320米； ∴72千米/小时=20米/秒； ∴影响时间应是320÷20=16（秒）， 故答案选B. 6.如图所示，△𝐴𝐵𝐶是一张纸片，∠𝐴𝐶𝐵=90∘，AC=4，BC=3，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出AB的长，再由折叠的性质求出AE的长，则可根据CE=AE-AC得到答案。 【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3, ∴AB==5, 由折叠的性质可知AE=AB=5, ∴CE=AE-AC=1, 故选A。 7.如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处，若∠𝐴𝑂𝐶=90∘，点A与点B的高度差AD=1米，水平距离BD=4米，则点C与点B的高度差CE为（ ） A.4米 B.4.5米 C.5米 D.5.5米 【答案】B 【分析】作𝐴𝐹⊥𝐵𝑂于F，𝐶𝐺⊥𝐵𝑂于G，根据AAS可证△𝐴𝑂𝐹≅△𝑂𝐶𝐺，根据全等三角形的性质可得OG=4米，在𝑅𝑡△𝐴𝐹𝑂中，根据勾股定理可求AO，可求OB，再根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差CE. 【详解】解：作𝐴𝐹⊥𝐵𝑂于F，𝐶𝐺⊥𝐵𝑂于G， ∵∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐴𝑂𝐹+∠𝐶𝑂𝐺=90∘，∠𝐴𝑂𝐹+∠𝑂𝐴𝐹=90∘， ∴∠𝐶𝑂𝐺=∠𝑂𝐴𝐹， 在△𝐴𝑂𝐹与△𝑂𝐶𝐺中， ∴△𝐴𝑂𝐹≅△𝑂𝐶𝐺(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝑂𝐺=𝐴𝐹=𝐵𝐷=4米， 设AO=x米，在𝑅𝑡△𝐴𝐹𝑂中， 𝐴𝐹²+𝑂𝐹²=𝐴𝑂²，即4²+(𝑥−1)²=𝑥²， 解得x=8.5. 则CE=GB=OB-OG=8.5-4=4.5（米）. 故选：B. 8.如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B离墙角C的距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上了，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下滑（ ）。 A.0.9米 B.1.3米 C.1.5米 D.2米 【答案】B 【分析】要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE的长即可。【详解】解：∵在Rt△ACB中， AC²=AB²-BC²=2.5²-1.5²=4, ∴AC=2米， ∵BD=0.9米， ∴CD=BD+BC=0.9+1.5=2.4（米）， ∵在Rt△ECD中， EC²=ED²-CD²=2.5²-2.4²=0.49, ∴EC=0.7米， ∴AE=AC-EC=2-0.7=1.3（米）， 故选：B。 9.一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（ ） A. 5<h≤6 B. 6<h≤7 C. 5≤h≤6 D. 5≤h<6 【答案】C 【分析】根据杯子内牙刷长度的取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案。 【详解】解：∵将一根长为18cm的牙刷，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中， ∴在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于牙刷斜边长度， ∴当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，x=12,最长时等于牙刷斜边长度是：𝑥==13, ∴h的取值范围是：18-13≤h≤18-12, 即5≤h≤6, 故选：C。 10.如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是20cm、长是50cm、宽是40cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发爬到点B，其爬行的最短线路的长度是_。 【答案】130cm 【分析】展开成平面图形，根据勾股定理，即可求解，本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是：利用两点之间线段最短. 【详解】解：将台阶展开成平面图形： 在Rt△𝐴𝐵𝐶中，AC=50cm，BC=120cm， 𝐴𝐵==50²+120²=130(cm)， 其爬行的最短长度AB=130(cm)， 故答案为：130cm. 【强化训练】 1.小聪准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为_m。 【答案】2 【分析】根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可. 【详解】根据题意画出示意图，如图，则AC=0.5m，A’C=1.5m，A’B=AB， 所以BC即为河水深度，A’B=BC+0.5m， ∵𝐴𝐶⊥𝐴𝐵， ∴△𝐴𝐶𝐵是直角三角形， ∴𝐴𝐶²+𝐵𝐶²=𝐴𝐵²， ∴1.5²+𝐵𝐶²=(𝐵𝐶+0.5)²， 解得：BC=2(m)， 故答案为：2. 2.如图，实心圆柱的底面周长为30cm，高16cm，CD的中点B处有一块面包。一只蚂蚁沿圆柱侧面从A处到B处觅食，要爬行的最短路程为_____.cm. 【答案】17 【分析】本题考查了，平面展开最短路径，勾股定理，解题的关键是：通过展开图找到最短路径。展开成平面，连接AB，则AB长时蚂蚁在圆柱表面从点A爬到点B的最短路程，求出AD的长，根据勾股定理，即可求解， 【详解】解：展开成平面，连接AB， 则AB长为蚂蚁在圆柱表面从点A爬到点B的最短路程， ∴AC=×30=15(cm),BD=×16=8, 在Rt△ABD中，AB===17(cm), 故答案为：17。 3.如图，圆柱形纸杯高为5cm，底面周长为16cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距离为___（杯壁厚度不计）. 【答案】10cm 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键。将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A'，连接AB，则A'B即为最短距离，利用勾股定理进行计算即可。 【详解】如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A'，连接A'B，则A'B即为最短距离， ∴𝐴’𝐷=12×16=8(cm),BD=BE+DE=5+1=6(cm) ∴𝐴’𝐵===10(cm) ∴蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距离为10cm 故答案为：10cm. 4.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是___尺。 【答案】25. 【详解】解：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图, 所以是直角三角形求斜边的问题. 根据勾股定理可求出葛藤长为 =25 （尺）. 故答案为：25. 5.如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5米/秒． (1)求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离； (2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间． 【答案】(1)40米 (2)12秒 【分析】(1)过点A作𝐴𝐷⊥𝑂𝑁于D，利用含30∘角的直角三角形的性质求出AD可得答案； (2)在ON上取点B，点C，使AB=AC=50，则卡车在BC段对学校A有影响，利用勾股定理求出BD和CD的长，从而求出时间. 【详解】(1)解：过A作𝐴𝐷⊥𝑂𝑁，垂足为D，由垂线段最短可知AD为所求， ∵∠𝑀𝑂𝑁=30∘,OA=80米， ∴𝐴𝐷=𝑂𝐴=40米， 答：噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离为40米； (2)在ON上取点B，点C，使AB=AC=50， 由题意，卡车P到达B点时开始对学校产生噪声影响，到达C点时结束噪声影响， 由(1)知AD=40米， ∴𝐵𝐷==30米， 同理可得：CD=30米， ∴𝐵𝐶=60米， ∴卡车的行驶速度为5米/秒， ∴给学校A带来噪声影响的总时间为60÷5=12（秒）. 6.如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计），右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD的高. 【答案】秋千支柱AD的高为3m. 【分析】设秋千支柱AD的高为xm，根据秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m得AB=(x-0.5)m，根据右图得AE=(x-1)m，在Rt△AEB中利用勾股定理列方程求出x的值即可。 【详解】解：设AD=xm，则由题意可得AB=(x-0.5)m,AE=(x-1)m, 在Rt△ABE中，AE²+BE²=AB², 即(x-1)²+1.5²=(x-0.5)², 解得x=3. 即秋千支柱AD的高为3m. 7.如图，图中曲线是地形图中等高线（同一条曲线上点的海拔是一样的），如果线段AB在图中被量得的长是2.5cm，那么两个地点A，B间的水平距离和实际直线距离各约多少米？（图中表示等高线数据的单位为m） 【答案】两个地点A, B间的水平距离约为15041m，实际直线距离约1250m 【分析】本题考查了比例尺和勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么𝑎²+𝑏²=𝑐²。根据比例尺可以求出A, B间的实际直线距离，由“同一条曲线上点的海拔一样”可得出A和B的垂直距离，根据勾股定理即可求出水平距离。 【详解】解：如图所示：A和B间的水平距离为线段BC的长度， 由题意可知：AC=900-100=800(m)，AB=2.5×50000cm=1250m， ∴𝐵𝐶==150(𝑚)， 答：两个地点A, B间的水平距离约为150m，实际直线距离约1250m。 8.如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池.该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”，中间可供滑行部分的截面是半径为8m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m.一滑板爱好者要从A点滑到E点，则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度忽略不计，𝜋取3） 【答案】30m 【分析】如图，把“半圆柱”展开后，连接AE，根据“两点之间线段最短”可知线段AE的长即为最短距离，再由勾股定理求得AE的长即可。 【详解】如图所示 由题意可知，𝐴𝐷=8𝜋=8×3=24(m)， DE=DC-CE=20-2=18(m). 在𝑅△𝐴𝐷𝐸中，由勾股定理得， 𝐴𝐸²=𝐷𝐸²+𝐴𝐷²=18²+24²=900， ∴𝐴𝐸=30m， 即他滑行的最短距离是30m. 9.在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB=3千米，CH=2.4千米，HB=1.8千米. (1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线AC的长. 【答案】2.5 千米. 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和勾股定理逆定理的内容是解题的关键. (1) 根据勾股定理的逆定理解答即可； (2) 根据勾股定理解答即可. 【详解】(1)解：是，理由如下： 在 △𝐶𝐻𝐵 中，CH=2.4，HB=1.8，CB=3， ∴𝐶𝐻²=2.4²=5.76，𝐻𝐵²=1.8²=3.24，𝐶𝐵²=9， ∴𝐶𝐻²+𝐻𝐵²=𝐵𝐶²， ∴𝐶𝐻⊥𝐵𝐻， ∴𝐶𝐻 是从村庄 C 到河边的最近路； (2) 原来的路线 AC 的长为 2.5 千米 解：设 AC=x，则 AB=AC=x， ∴𝐴𝐻=𝐴𝐵−𝐵𝐻=𝑥−1.8， 在 𝑅𝑡△𝐴𝐻𝐶 中，𝐴𝐻²+𝐶𝐻²=𝐴𝐶²， ∴(𝑥−1.8)²+2.4²=𝑥²， 解得：x=2.5， 即 AC 的长为 2.5 千米. 10.【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点。老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到B点的最短路程是多少？ 【探究】（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结AB，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点B的最短路程AB的长为___。 【应用】（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30cm，高是8cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，求蚂蚁爬行的最短距离。 【拓展】（3）如图④，圆柱形玻璃杯高9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是___cm.（杯壁厚度不计） 【答案】(1)25；(2)蚂蚁爬行的最短距离为17cm；(3)10 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题。 (1)直接利用勾股定理进行求解即可； (2)将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； (3)从玻璃杯侧面展开，作B关于EG的对称点C，根据两点之间线段最短可知AC的长度即为所求，利用勾股定理求解即可。 【详解】解：(1)由题意得， 𝐴𝐵==25， 故答案为：25； (2)将圆柱体展开， 由题意得𝐴𝐵==17(𝑐𝑚)， 蚂蚁爬行的最短距离为17cm； (3)如图， 从玻璃杯侧面展开，作B关于EG的对称点C，作𝐶𝐷⊥𝐴𝐸交AE延长线于点D，连接AC交EG于点F， ∴𝐵𝐹=𝐶𝐹，DE=CG=BG=1cm， ∴𝐴𝐹+𝐵𝐹=𝐴𝐹+𝐶𝐹=𝐴𝐶， ∵𝐴𝐷=9−4+𝐷𝐸=5+1=6(𝑐𝑚)，CD=16÷2=8(cm) ∴𝐴𝐶=²=8²+6²=10(𝑐𝑚)， ∴蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是10cm。 答案是10cm 8 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $