专题1.2 一定是直角三角形吗（知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题1.2 一定是直角三角形吗 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：直角三角形的判定 1 知识点梳理02：勾股数 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：勾股树（数）问题 2 考点2：判断三边能否构成直角三角形 5 考点3：在网格中判断直角三角形 8 考点4：利用勾股定理的逆定理求解 12 中考真题 实战演练 14 难度分层 拔尖冲刺 17 基础夯实 17 培优拔高 23 知识点梳理01：直角三角形的判定 1. 直角三角形的判定条件 如果三角形的三边长a，b，c 满足a2 +b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形。 2.利用边的关系判断一个三角形是否为直角三角形的步骤 3.归纳： 勾股定理与直角三角形的判定条件的区别与联系 类别 勾股定理 直角三角形的判定条件 区别 勾股定理以“直角三角形”为条件， 得到数量关系“a² +b²=c²”，以“形”定“数” 直角三角形的判定条件以“三角形的三边长a，b，c 满足a² +b²=c²”为条件，得到这个三角形是直角三角形，以“数”定“形” 联系 (1)都与“三角形的三边关系a² +b²=c²”有关； (2)都与“直角三角形”有关 知识点梳理02：勾股数 1.勾股数：满足a² +b²=c² 的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数有3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17 等。 勾股数应具备两个条件： (1)这三个数均为正整数； (2)两个较小数的平方和等于最大数的平方。 2.判断勾股数的方法 (1)判断三个数是否都是正整数； (2)若是，确定出最大数，并计算最大数的平方与另外两个较小数的平方和； (3)进行比较，若相等，则是勾股数，否则不是。 考点1：勾股树（数）问题 【典例精讲】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）在下列各组数中，是勾股数的一组是（    ） A． B．4，5，6 C． D．10，24，26 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了勾股数的定义，根据勾股数的定义解答即可；掌握勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方成为解题的关键． 【规范解答】解：A、，但不是正整数，故选项错误； B、，不能构成直角三角形，故选项错误； C、，但不是正整数，故选项错误； D、，能构成直角三角形，是整数，故选项正确． 故选D． 【变式训练1】（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键．根据题意求出面积标记为的正方形的边长，得到，同理求出，得到规律，根据规律解答． 【规范解答】解： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ∵正方形的边长为2， ， ∴面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形的边长为， 则， ……， ， 则的值为：， 故答案为：． 【变式训练2】我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ； （2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为 ． 【答案】 11，60，61 和 【思路引导】（1）分析所给四组的勾股数∶3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41，可得下一组勾股数：11、60、61； （2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一． 【规范解答】解：（1）∵， ∴下一组勾股数为：11、60、61； 故答案为：11，60，61． （2）后两个数表示为和， ∵， ， ∴， 又∵，且为奇数， ∴由n，，三个数组成的数是勾股数． 故答案为：和． 【考点评析】此题考查了勾股数之间的关系，解题的关键是根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可． 考点2：判断三边能否构成直角三角形 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在等腰中，，点是上一点，． (1)试说明：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． （1）根据得出是直角三角形，且，即可得证； （2）过点作于点，设，根据等腰三角形的性质可得，在，中，得出，解方程，得出，进而即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴是直角三角形，且 ∴； （2）解：如图，过点作于点， 设，则， ∵， ∴ 在中， 在中， ∴ ∴ 解得： ∴ ∴ ∴ 【变式训练1】（24-25八年级上·广东河源·阶段练习）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点E，交的延长线于点F，连接，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【思路引导】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质可得，在中，根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （2）根据垂直平分线的性质得出，进而可得，在中，勾股定理即可求解． 【规范解答】（1）证明：垂直平分，， ． 在中，，，， ， ，即． （2）解：是线段的垂直平分线， ， ． ， ， ， ． 即的长为． 【变式训练2】（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，求的最小值为（     ） A．5 B．4.8 C．2.4 D．4 【答案】B 【思路引导】本题考查勾股定理逆定理，垂线段最短，矩形的判定和性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．连接，利用勾股定理逆定理推出，证明四边形为矩形，进而得到，结合垂线段最短得到当于点时，最小，即最小，再结合等面积法求解，即可解题． 【规范解答】解：连接， 在中，，，， 又 ，即， ， 于E，于F， ， 四边形为矩形， ， 当于点时，最小，即最小， 有， 故选：B． 考点3：在网格中判断直角三角形 【典例精讲】（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点．现要求用无刻度的直尺在网格内作图： (1)画一个直角三角形，要求各顶点都在格点上，且三边长都是无理数； (2)作出（1）中直角三角形斜边上的中线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由勾股定理可求，则由勾股定理逆定理可得，故即为所求； （2）取格点，连接与交于点，连接，则即为所求，因为可证明，则，则为斜边中线． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求 （2）解：如图，即为所求， 【变式训练1】（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，这是的正方形方格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中找格点，使得． (2)如图2，在线段上找一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理与网格问题； （1）根据勾股定理找到格点，可得； （2）取格点，延长交于点，点即为所求，勾股定理求得的长，进而勾股定理的逆定理可得是等腰直角三角形，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图所示，点即为所求， （2）解：如图所示，取格点，延长交于点，点即为所求， ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 【变式训练2】（20-21八年级下·江苏无锡·期末）如图1与图2，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点及点均在格点上．请仅用无刻度直尺完成作图（保留作图痕迹）．      (1)在图1中，作关于点成中心对称的； (2)在图2中． ①作绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的； ②请直接写出：点到的距离为_________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【思路引导】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）①利用数形结合的思想解决问题即可； ②判断出△ABC是直角三角形，利用等积法，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图1中，即为所求． （2）解：①如图2中，即为所求． ②过点B作于点D， ，，， ∵， ∴，且， ∴， 即， ∴点B到的距离为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查-旋转变换，勾股定理和逆定理，点到直线的距离等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 考点4：利用勾股定理的逆定理求解 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，，．求四边形的面积． 【答案】132 【思路引导】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理判断直角三角形是解题的关键； 连接，根据勾股定理求出，再证明，得出，根据即可得出答案． 【规范解答】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 【变式训练1】（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）在中，，，，， 求的面积． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先证明，再由勾股定理的逆定理得到，据此利用勾股定理得到，则，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练2】（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，在中，，垂足为．    (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)20 (2)是直角三角形，理由见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正确理解定理是关键． （1）在直角中利用勾股定理即可求解． （2）利用勾股定理的逆定理即可判断． 【规范解答】（1）解：， 是直角三角形，． ． （2）是直角三角形，理由如下： ， 是直角三角形，． ， ． ， 是直角三角形，是直角． 1．（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 【规范解答】解：设的长度为x尺，则， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 2．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【思路引导】根据图形分析可得小正方形的边长为两条直角边长的差，据此即可求解． 【规范解答】图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是． 故选B． 【考点评析】本题考查了以弦图为背景的计算题，理解题意是解题的关键． 3．（2021·山西·中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（    ） A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想 【答案】C 【思路引导】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可． 【规范解答】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法， 如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的， 由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想， 故选：C． 【考点评析】本题是对数学思想的考查，理解各种数学思想的本质特点是解决本题的关键． 4．（2023·江苏南通·中考真题）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于(   ) A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【思路引导】利用勾股定理求出AB的长，再根据无理数的估算即可求得答案. 【规范解答】由作法过程可知，OA=2，AB=3， ∵∠OAB=90°， ∴OB=， ∴P点所表示的数就是， ∵， ∴， 即点P所表示的数介于3和4之间， 故选C. 【考点评析】本题考查了勾股定理和无理数的估算，熟练掌握勾股定理的内容以及无理数估算的方法是解题的关键. 5．（2023·浙江宁波·中考真题）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为 （ ） A．90 B．100 C．110 D．121 【答案】C 【规范解答】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P， 所以四边形AOLP是正方形， 边长AO=AB+AC=3+4=7， 所以KL=3+7=10，LM=4+7=11， 因此矩形KLMJ的面积为10×11=110． 故选：C． 基础夯实 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10 C．，，1 D．，， 【答案】B 【思路引导】本题主要考查勾股数的定义，根据勾股数的定义，满足三个正整数且两个较小数的平方和等于最大数的平方，逐一判断即可． 【规范解答】解：A． 0.3，0.4，0.5：非正整数，不符合勾股数条件，排除． B． 6，8，10：均为正整数，验证得，满足勾股数定义． C． ，，1：含分数，非正整数，排除． D． ，，（即9，16，25）：验证得，不满足条件． 综上，正确答案为B． 故选：B． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．7，24，25 C．3，3，5 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【规范解答】、∵，∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵，∴能组成直角三角形，故此选项符合题意； 、∵，∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵，∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：． 3．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．7，8，9 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，9，10 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若、、满足的三个正整数，称为勾股数．根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解． 【规范解答】解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； C、，是“勾股数”，故本选项符合题意； D、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）在中，，，，则边上的高为 ． 【答案】8 【思路引导】本题考查的是勾股定理的逆定理，先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，即可得出边上的高． 【规范解答】解：如图， 在中，，，， ∵， ， 是直角三角形， ， ∴边上的高为8． 故答案为：8． 5．（24-25八年级上·四川成都·期中）我们学习了勾股定理后，知道：勾股定理中的“勾”、“股”和“弦”分别指的是直角三角形中较短的直角边，较长的直角边，和直角三角形的斜边． 观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是从3起就没有间断过的奇数，事实上，勾是3时，股和弦的算式分别是，；勾是5时，股和弦的算式分别是，．根据你发现的规律： （1）当勾是十一时，则股和弦分别为： ；（直接写出结果） （2）根据上述规律，继续观察：6，8，10；8，15，17；…，可以发现这些勾股数的勾都是从6起就没有间断过的偶数，通过探索，请用含m（m为偶数，且）的代数式来表示所有这些勾股数的股为 ． 【答案】 60，61 【思路引导】本题主要考查了勾股数， 对于（1），通过计算，发现规律为：股是勾的平方减1的一半，弦是勾的平方加1的一半，从而写出结果； 对于（2），根据以上探索规律，偶数开头的各组数字，其股是勾的平方的四分之一减1，其弦是勾的平方的四分之一加1． 【规范解答】解：（1）勾是11时，股和弦的算式分别是； 故答案为：60，61； （2）6，8，10，可以写成； 8，15，17，可以写成， 根据规律，可知这些勾股数的股为：． 故答案为：． 6．一个三角形花坛的三边长分别为，，，则这个花坛的面积是 . 【答案】84 【思路引导】根据得到三角形是直角三角形，根据直角三角形的面积公式解答即可. 本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的面积，熟练掌握定理是解题的关键. 【规范解答】解：由， 故该三角形是直角三角形， 故直角三角形的面积为， 故答案为：84. 7．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点． (1)求的面积； (2)猜想的形状，并说明理由． 【答案】(1)5 (2)是直角三角形，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了勾股定理以及勾股逆定理的应用以及求三角形的面积，掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）的面积由正方形面积减去三个直角三角形面积，求出即可； （2）利用勾股定理求出的三边长，再利用勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； 【规范解答】（1）， ， ． （2）是直角三角形，理由如下： 由图知，，，， ，， ， 是直角三角形． 8．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中） 如图，在中，，它的周长为．点P从点A出发沿边向点C以每秒的速度移动，点Q从点C出发沿边向点B以每秒的速度移动． (1)是直角三角形吗? 请说明理由． (2)如果点P，Q同时出发，那么经过3秒， ， ，则的面积为多少? 【答案】(1)是，理由见详解 (2) 的面积为 【思路引导】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别求出的三边的长度，因为，故证明是直角三角形，即可作答． （2）结合动点的起点和运动速度，分别得出，再结合三角形的面积公式列式计算，即可作答． 【规范解答】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵在中，，它的周长为． ∴，， ∵ ∴是直角三角形． （2）解：连接，如图所示： ∵点P从点A出发沿边向点C以每秒的速度移动，点Q从点C出发沿边向点B以每秒的速度移动． ∴经过3秒，，， 由（1）得是直角三角形． 则的面积． 9．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，内有一点，．已知，，，，求图中阴影部分的面积S． 【答案】cm2． 【思路引导】此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是判断出为直角三角形．先利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积，从而求出阴影部分的面积． 【规范解答】解：， 由勾股定理得，即， 在中，， 是直角， ． 10．（2024八年级上·全国·专题练习）定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点． (1)已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由． (2)已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 【答案】(1)是，见解析； (2)或 【思路引导】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，不能漏解． （1）根据勾股定理逆定理，即可判断点、是线段的勾股分割点； （2）设，则，分两种情形：当为最长线段时，；当为最长线段时，；分别列出方程即可解决问题． 【规范解答】（1）解：是，理由： ，， ， 、、为边的三角形是一个直角三角形， 点、是线段的勾股分割点； （2）解：设，则， 当为最长线段时，依题意， 即， 解得； 当为最长线段时，依题意得， 即， 解得， 综上所述，或． 培优拔高 11．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（   ） A．5，12，13 B．1，， C．，5， D．7，24，25 【答案】C 【思路引导】本题考查勾股定理的逆定理．掌握如果三角形两条短边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形是解题关键．根据勾股定理逆定理逐项判断即可． 【规范解答】解：A.∵，∴5，12，13能组成直角三角形，，不符合题意； B.∵，∴1，，能组成直角三角形，不符合题意； C.∵，，5，不能组成直角三角形，符合题意； D.∵，7，24，25能组成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 12．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．体会数形结合的思想的应用．连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和． 【规范解答】解：连接，如图， ， ， 米，米， 米， 米，米， ， 为直角三角形， 这块草坪的面积， 故选：A． 13．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．1 【答案】A 【思路引导】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【规范解答】解：如图， 由题意得，正方形的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， “生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2023， 故选：A 14．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，，P为边上一动点，作于D，于E，则的最小值为 ． 【答案】/ 【思路引导】本题主要考查了矩形的性质及判定与三角形等面积法的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．连接，首先证明四边形为矩形，由此得出，然后进一步利用三角形等面积法求出的最小值，从而得出答案即可. 【规范解答】解：如图，连接， ∵，，， ∴，即， ∴为直角三角形，， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点C到的最短距离就是点C到的垂线段的长，即边上的高， 设边上的高为， 则：， ∴， ∴， 即的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 15．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，P是正三角形内的一点，且，，．若将绕点A逆时针旋转后，得到，则点P与之间的距离为 ， ． 【答案】 6 /150度 【思路引导】连接，得出为等边三角形，进而可求出点P与之间的距离；根据，，，判定为直角三角形，即可求解． 【规范解答】解：连接，如图， ∵绕点A逆时针旋转后，得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，，，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴． 故答案为：6；． 【考点评析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理，作辅助线构造三角形是解题的关键． 16．（21-22八年级下·上海青浦·期末）已知：如图，在中，，，，点位于边上，过点作边的平行线交边于点，过点作边的平行线交边于点，设，四边形的面积为，则关于的函数关系式是 ．（不必写定义域） 【答案】 【思路引导】连接CD，先证四边形是平行四边形，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，进而可得四边形是矩形，设DE=a，利用面积法可用x表示出a，根据矩形面积公式即可得答案． 【规范解答】解：如图，连接CD， ∵DE//BC，DF//AC， 四边形是平行四边形， 在中，，，， ，， ， 是直角三角形， ， 四边形是矩形， ∴CE=DF，CF=DE 设DE=a，，则CE=DF=6-x， ∵S△ABC=S△ADC+S△BDC， ∴， ∴， 解得：， ∵四边形的面积为， ∴． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定与性质、求函数关系式等知识点，灵活运用勾股定理逆定理得出四边形CEDF是矩形是解答本题的关键． 17．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，中，是上的一点，，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查勾股定理及其逆定理，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理的逆定理． （1）根据，，，可得，根据勾股定理的逆定理可进行判定是直角三角形，则； （2）在中，根据勾股定理，即可求解． 【规范解答】（1）解：．理由如下∶ 因为， 所以是直角三角形，且， 所以． （2）在中，， 所以． 18．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 【答案】(1) (2)米 【思路引导】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练的掌握勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，则 米，由线段垂直平分线的性质得到米，在中，根据勾股定理建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：，， ， ∴； （2）解：设米，则 米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米， 在中，由勾股定理得， ， 解得 答：这架无人机向下飞行的距离的长）为米． 19．（24-25八年级上·江西上饶·期末）已知：的三边长、、满足． (1)求、、的值； (2)试判断三角形的形状，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)等腰直角三角形，理由见解析 【思路引导】本题考查等腰三角形的判定和性质，绝对值、平方的非负性，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键； （1）根据绝对值、平方的非负性，即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理就可以证明是等腰直角三角形， 【规范解答】（1）解：． ∴，，． ，，． （2）解：， ，即， ， ∴以、、为边能构成三角形， ，且， 三角形的形状是等腰直角三角形； 20．（22-23八年级上·福建漳州·期末）如图1，长方形，，点是线段上一动点（不与，重合），点是线段延长线上一动点，连接，，，交于点．设，，已知与之间的函数解析式如图2所示． (1)与之间的函数关系式 ，边的长为 ； (2)小黄认为：“的度数不会随着点的运动而发生变化”．你同意小黄的观点吗？请说明理由． (3)是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)同意，理由见解析 (3)存在， 【思路引导】（1）设与的函数表达式为，根据图像经过，得到关于、二元一次方程组，求解即可，再求出当时的的值即可得出的长； （2）根据勾股定理定理表示出、、，再根据勾股定理的逆定理即可得出的度数； （3）设存在的值，使得，根据等边对等角及平行线的性质可得，证明，继而得到，在中利用勾股定理得到关于的方程，求解即可； 【规范解答】（1）解：设与的函数表达式为，图像经过、， ∴， 解得：， ∴与的函数表达式为， 当时，得：， 解得：， ∵，， ∴， ∴与之间的函数关系式，边的长为， 故答案为：；； （2）同意，理由如下： ∵四边形是长方形，， ∴，，， ∵，， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数不会随着点的运动而发生变化， ∴小黄的说法正确； （3）设存在的值，使得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， 在中，， ∴， 解得：， ∴存在，使得． 【考点评析】本题属于四边形综合题，考查矩形的性质，待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理及勾股定理的逆定理，等边对等角，全等三角形的判定和性质等知识，正确分析几何图形的特点、掌握勾股定理定理及勾股定理的逆定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 一定是直角三角形吗 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：直角三角形的判定 1 知识点梳理02：勾股数 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：勾股树（数）问题 2 考点2：判断三边能否构成直角三角形 3 考点3：在网格中判断直角三角形 4 考点4：利用勾股定理的逆定理求解 6 中考真题 实战演练 7 难度分层 拔尖冲刺 9 基础夯实 9 培优拔高 11 知识点梳理01：直角三角形的判定 1. 直角三角形的判定条件 如果三角形的三边长a，b，c 满足a2 +b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形。 2.利用边的关系判断一个三角形是否为直角三角形的步骤 3.归纳： 勾股定理与直角三角形的判定条件的区别与联系 类别 勾股定理 直角三角形的判定条件 区别 勾股定理以“直角三角形”为条件， 得到数量关系“a² +b²=c²”，以“形”定“数” 直角三角形的判定条件以“三角形的三边长a，b，c 满足a² +b²=c²”为条件，得到这个三角形是直角三角形，以“数”定“形” 联系 (1)都与“三角形的三边关系a² +b²=c²”有关； (2)都与“直角三角形”有关 知识点梳理02：勾股数 1.勾股数：满足a² +b²=c² 的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数有3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17 等。 勾股数应具备两个条件： (1)这三个数均为正整数； (2)两个较小数的平方和等于最大数的平方。 2.判断勾股数的方法 (1)判断三个数是否都是正整数； (2)若是，确定出最大数，并计算最大数的平方与另外两个较小数的平方和； (3)进行比较，若相等，则是勾股数，否则不是。 考点1：勾股树（数）问题 【典例精讲】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）在下列各组数中，是勾股数的一组是（    ） A． B．4，5，6 C． D．10，24，26 【变式训练1】（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为 ． 【变式训练2】我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ； （2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为 ． 考点2：判断三边能否构成直角三角形 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在等腰中，，点是上一点，． (1)试说明：； (2)求的长． 【变式训练1】（24-25八年级上·广东河源·阶段练习）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点E，交的延长线于点F，连接，． (1)求证：； (2)求的长． 【变式训练2】（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，求的最小值为（     ） A．5 B．4.8 C．2.4 D．4 考点3：在网格中判断直角三角形 【典例精讲】（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点．现要求用无刻度的直尺在网格内作图： (1)画一个直角三角形，要求各顶点都在格点上，且三边长都是无理数； (2)作出（1）中直角三角形斜边上的中线． 【变式训练1】（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，这是的正方形方格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中找格点，使得． (2)如图2，在线段上找一点，使得． 【变式训练2】（20-21八年级下·江苏无锡·期末）如图1与图2，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点及点均在格点上．请仅用无刻度直尺完成作图（保留作图痕迹）．      (1)在图1中，作关于点成中心对称的； (2)在图2中． ①作绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的； ②请直接写出：点到的距离为_________． 考点4：利用勾股定理的逆定理求解 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，，．求四边形的面积． 【变式训练1】（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）在中，，，，， 求的面积． 【变式训练2】（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，在中，，垂足为．    (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 1．（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为 ． 2．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 3．（2021·山西·中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（    ） A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想 4．（2023·江苏南通·中考真题）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于(   ) A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 5．（2023·浙江宁波·中考真题）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为 （ ） A．90 B．100 C．110 D．121 基础夯实 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10 C．，，1 D．，， 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．7，24，25 C．3，3，5 D． 3．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．7，8，9 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，9，10 4．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）在中，，，，则边上的高为 ． 5．（24-25八年级上·四川成都·期中）我们学习了勾股定理后，知道：勾股定理中的“勾”、“股”和“弦”分别指的是直角三角形中较短的直角边，较长的直角边，和直角三角形的斜边． 观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是从3起就没有间断过的奇数，事实上，勾是3时，股和弦的算式分别是，；勾是5时，股和弦的算式分别是，．根据你发现的规律： （1）当勾是十一时，则股和弦分别为： ；（直接写出结果） （2）根据上述规律，继续观察：6，8，10；8，15，17；…，可以发现这些勾股数的勾都是从6起就没有间断过的偶数，通过探索，请用含m（m为偶数，且）的代数式来表示所有这些勾股数的股为 ． 6．一个三角形花坛的三边长分别为，，，则这个花坛的面积是 . 7．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点． (1)求的面积； (2)猜想的形状，并说明理由． 8．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中） 如图，在中，，它的周长为．点P从点A出发沿边向点C以每秒的速度移动，点Q从点C出发沿边向点B以每秒的速度移动． (1)是直角三角形吗? 请说明理由． (2)如果点P，Q同时出发，那么经过3秒， ， ，则的面积为多少? 9．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，内有一点，．已知，，，，求图中阴影部分的面积S． 10．（2024八年级上·全国·专题练习）定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点． (1)已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由． (2)已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 培优拔高 11．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（   ） A．5，12，13 B．1，， C．，5， D．7，24，25 12．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 13．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．1 14．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，，P为边上一动点，作于D，于E，则的最小值为 ． 15．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，P是正三角形内的一点，且，，．若将绕点A逆时针旋转后，得到，则点P与之间的距离为 ， ． 16．（21-22八年级下·上海青浦·期末）已知：如图，在中，，，，点位于边上，过点作边的平行线交边于点，过点作边的平行线交边于点，设，四边形的面积为，则关于的函数关系式是 ．（不必写定义域） 17．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，中，是上的一点，，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求线段的长． 18．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 20．（22-23八年级上·福建漳州·期末）如图1，长方形，，点是线段上一动点（不与，重合），点是线段延长线上一动点，连接，，，交于点．设，，已知与之间的函数解析式如图2所示． (1)与之间的函数关系式 ，边的长为 ； (2)小黄认为：“的度数不会随着点的运动而发生变化”．你同意小黄的观点吗？请说明理由． (3)是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$