专题1.1 探索勾股定理（知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题1.1 探索勾股定理 （知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：勾股定理 1 知识点梳理02：勾股定理的验证 2 知识点梳理03：勾股定理的简单应用 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：用勾股定理解三角形 3 考点2：以直角三角形三边为边长的图形面积 4 考点3：利用勾股定理求两条线段的平方和（差) 4 考点4：利用勾股定理证明线段平方关系 5 考点5：勾股定理的证明方法 5 考点6：以弦图为背景的计算题 6 考点7：用勾股定理构造图形解决问题 7 考点8：求旗杆高度（勾股定理的应用) 8 考点9：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用) 9 考点10：求大树折断前的高度(勾股定理的应用） 9 中考真题 实战演练 9 难度分层 拔尖冲刺 11 基础夯实 11 培优拔高 15 知识点梳理01：勾股定理 1. 勾股定理 文字语言 图示 符号语言 变式 直角三角形 两直角边的 平方和等于 斜边的平方 如果用a，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a²+b²=c a²=c²-b²， b²=c²-a² 2. 找准条件灵活应用勾股定理 条件 结论 注意 Rt △ ABC 中，BC=a，AC=b，AB=c ∠A =90° b²+c²=a²  (a为斜边长) ① Rt △ ABC 中，斜边的长不一定是c； ② 应用勾股定理时若没有明确哪个角是直角，则需分情况讨论 ∠B =90° a²+c²=b²  (b为斜边长) ∠C =90° a²+b²=c²  (c 为斜边长) 知识点梳理02：勾股定理的验证 1. 常用验证法 验证勾股定理的方法很多，有测量法、几何证明法(以后将学到)，但最常用的是通过拼图，构造特殊图形，并根据拼图中各部分面积之间的关系验证。 2. 著名验证法举例 方法 图形 说明 赵爽弦图 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为c². 又因为大正方形的面积＝4×ab＋  (b－a)²＝a²＋b²，所以a²＋b²＝c² 知识点梳理03：勾股定理的简单应用 运用勾股定理解决实际问题的一般思路 考点1：用勾股定理解三角形 【典例精讲】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，如果点D，E分别为上的动点，那么的最小值是 ． 【变式训练】（24-25八年级上·广东深圳·期中）小聪发现美宜佳超市装的是自动门，自动门上方装有一个感应器，当人体进入感应器的感应范围时，感应门就会自动打开．如图，点处装着一个感应器，感应器的最大感应距离恰好等于它离地的高度，已知小聪的身高为米，当他走到离门米时（米），感应门自动打开，即，求感应器的离地高度为多少米？ 考点2：以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例精讲】（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积是81，则图中所有正方形的面积和是（　　） A．81 B．162 C．243 D．324 【变式训练】（2021·福建莆田·一模）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．若的三边所围成的区域面积记为，黑色部分面积记为，其余部分面积记为，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 考点3：利用勾股定理求两条线段的平方和（差) 【典例精讲】（22-23九年级上·河南周口·期中）如图，在四边形中，E，F分别是的中点． (1)若，求的长． (2)若，求证：． 【变式训练】（20-21八年级上·山东青岛·期末）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达B点，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C.此时A，C两点之间的距离为 m． 考点4：利用勾股定理证明线段平方关系 【典例精讲】（20-21八年级下·天津·期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于 ． 【变式训练】（20-21八年级上·山西临汾·期末）已知中，，，的对边分别为、、，若，则（    ）． A． B． C． D． 考点5：勾股定理的证明方法 【典例精讲】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！ AI (1)直接填空：如图①，若，则 ；若，则直角三角形的面积是 ； (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明； (3)如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，求的长． 【变式训练】（22-23八年级上·河北邢台·期末）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，则方案正确的是（    ） A．甲对 B．乙对 C．两人都对 D．两人都不对 考点6：以弦图为背景的计算题 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）“赵爽弦图”巧妙地利用了面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的边长为 ． 【变式训练】2023八年级下·全国·专题练习）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为，斜边长为． (1)结合图①，求证：； (2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形．若该图形的周长为48，．求该图形的面积． 考点7：用勾股定理构造图形解决问题 【典例精讲】（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）如图，以的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为、，的面积，若，，则的值为 ． 【变式训练】（22-23八年级下·全国·期末）如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度． (2)如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送多少m？ 考点8：求旗杆高度（勾股定理的应用) 【典例精讲】（23-24八年级下·黑龙江鸡西·阶段练习）“五·一”小长假，李明与同学相约休闲广场放风筝，如图所示风筝线断了、风筝被挂在了树上A点处，他想知道此时风筝距地面的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上B点，发现风筝线多出2米，然后把风筝线沿直线向后拉开6米，发现风筝线末端刚好接触地而C点（如图所示），请你帮李明求出此时风筝距离地面的高度是 米． 【变式训练】．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，小明想要测量旗杆的高度（已知旗杆直立于地面，即），他将绳子拉到旗杆底端5m处A点，并在绳子上打了个结，然后向后退11米到达B处，发现此时绳子底端距打结处约7米，设法求出旗杆的高度． 考点9：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用) 【典例精讲】（20-21八年级上·河南新乡·期末）如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩在离水面的的1.3米处，在距离鱼线1.2米处点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？ 【变式训练】（21-22八年级上·全国·单元测试）校园内有两棵树，相距12m，一棵树高10m，另一棵树高5m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 m. 考点10：求大树折断前的高度(勾股定理的应用） 【典例精讲】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末（上端），（绳索从木柱上端垂下后）委地（堆在地面）三尺．引索却（退）行，去本（木柱底端）八尺而索尽．问索长几何？”设绳索长为x尺，则（    ） A． B． C． D． 1．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ． 2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为 m． 3．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，，点在射线上的动点，连接，作，，动点在延长线上，，连接，，当，时，的长是 ． 4．（2021·贵州遵义·中考真题）如图，将矩形纸片ABCD的两个直角进行折叠，使CB，AD恰好落在对角线AC上，B′，D′分别是B，D的对应点，折痕分别为CF，AE．若AB＝4，BC＝3，则线段的长是（　　） A． B．2 C． D．1 5．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 基础夯实 1．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，．则（   ） A．5 B．12 C．15 D．16 2．（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，则的面积是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）图1是一个可调节平板支架，其结构示意图如图2所示，已知平板宽度为，支架脚的长度为，，保持此时的形状不变，当平分时，点到的距离是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是 ． 5．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）央视春晚人形机器人秧歌表演广受关注．人形机器人集人工智能、高端制造与新材料等先进技术于一体，展现了未来科技的无限可能．下面是一次机器人的走位测试：如图，甲、乙两个机器人分别在点的正西方向（点处）和正北方向（点处），且与点的距离分别为米，米．甲、乙两个机器人分别从点、点同时出发，沿，行走（，，三点在同一条直线上），要求行走到点处时恰好相遇，并且两个机器人的行走速度相同，则为 米． 6．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）如图，中，， 以的三边为边向外作正方形， 其面积分别为 ， 且,则 ． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的长； 8．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）在举国欢庆中华人民共和国成立75周年之际，宁夏交通又添“新动脉”月1日上午，包银高铁惠农至银川段正式开通运营，贺兰山下高铁贯通南北．如图，为修铁路需凿通隧道，现测量出，，， 若每天凿隧道，问几天才能把隧道凿通? 9．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点． (1)求证：，． (2)请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明： 10．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）数学兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：                       (1)如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接（或将绕点D逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则； (2)解决问题：受到（1）的启发，请你解决下面的问题：如图②，在中，D是边上的中点，，交于点，交于点F，连接． ①求证：； ②若，探索线段，，之间的等量关系，并加以证明． 培优拔高 11．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 12．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·贵州贵阳·一模）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线，分别交于点D，E，连接，已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，在中，， ， ，则点C 到斜边的距离为 ． 15．（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，，，是的平分线．若点P和Q分别是线段和上的动点，则的最小值是 ． 16．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，在中，为的中点，连接并延长，交的延长线于点，，垂足为，若，，则 ． 17．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在中，，，是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接． (1)求证：； (2)若时，求的长． 18．（2017·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，在中，，点P在上运动，点D在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，，求线段的长． 19．（2024·四川南充·三模）如图，中，，，于，于． (1)求证：， (2)若，，求的长． 20．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，长方形中，，，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动，设点P运动的时间为t（秒）． (1)　　　　．（用含t的代数式表示） (2)连接、，当是以为腰的等腰三角形时，求t的值． (3)作射线．另有一动点Q从点C出发以每秒m个单位的速度沿射线运动，当点P停止时，点Q也随之停止运动，点P与点Q同时开始运动．若以点P、Q、C或P、Q、A为顶点的三角形与全等，请直接写出m与对应t的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 探索勾股定理 （知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：勾股定理 1 知识点梳理02：勾股定理的验证 2 知识点梳理03：勾股定理的简单应用 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：用勾股定理解三角形 3 考点2：以直角三角形三边为边长的图形面积 5 考点3：利用勾股定理求两条线段的平方和（差) 6 考点4：利用勾股定理证明线段平方关系 8 考点5：勾股定理的证明方法 10 考点6：以弦图为背景的计算题 12 考点7：用勾股定理构造图形解决问题 14 考点8：求旗杆高度（勾股定理的应用) 16 考点9：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用) 17 考点10：求大树折断前的高度(勾股定理的应用） 19 中考真题 实战演练 20 难度分层 拔尖冲刺 24 基础夯实 24 培优拔高 33 知识点梳理01：勾股定理 1. 勾股定理 文字语言 图示 符号语言 变式 直角三角形 两直角边的 平方和等于 斜边的平方 如果用a，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a²+b²=c a²=c²-b²， b²=c²-a² 2. 找准条件灵活应用勾股定理 条件 结论 注意 Rt △ ABC 中，BC=a，AC=b，AB=c ∠A =90° b²+c²=a²  (a为斜边长) ① Rt △ ABC 中，斜边的长不一定是c； ② 应用勾股定理时若没有明确哪个角是直角，则需分情况讨论 ∠B =90° a²+c²=b²  (b为斜边长) ∠C =90° a²+b²=c²  (c 为斜边长) 知识点梳理02：勾股定理的验证 1. 常用验证法 验证勾股定理的方法很多，有测量法、几何证明法(以后将学到)，但最常用的是通过拼图，构造特殊图形，并根据拼图中各部分面积之间的关系验证。 2. 著名验证法举例 方法 图形 说明 赵爽弦图 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为c². 又因为大正方形的面积＝4×ab＋  (b－a)²＝a²＋b²，所以a²＋b²＝c² 知识点梳理03：勾股定理的简单应用 运用勾股定理解决实际问题的一般思路 考点1：用勾股定理解三角形 【典例精讲】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，如果点D，E分别为上的动点，那么的最小值是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，作点A关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可得，由勾股定理可得，根据，可得当H、D、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此利用等面积法求出的长即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示，作点A关于直线的对称点，连接， 由轴对称的性质可得， ∵在中，， ∴； ∵， ∴当H、D、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴此时有， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级上·广东深圳·期中）小聪发现美宜佳超市装的是自动门，自动门上方装有一个感应器，当人体进入感应器的感应范围时，感应门就会自动打开．如图，点处装着一个感应器，感应器的最大感应距离恰好等于它离地的高度，已知小聪的身高为米，当他走到离门米时（米），感应门自动打开，即，求感应器的离地高度为多少米？ 【答案】感应器的离地高度为米 【思路引导】本题考查勾股定理的应用，过点作于点，设米，则米，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【规范解答】解：如图，过点作于点， 由题意得，米，米， 设米，则米， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， 所以米， 答：感应器的离地高度为2.5米． 考点2：以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例精讲】（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积是81，则图中所有正方形的面积和是（　　） A．81 B．162 C．243 D．324 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的应用，理解勾股定理是解题关键．根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：6个小正方形的面积和等于最大正方形面积的2倍，即可获得答案． 【规范解答】解：如下图， 根据勾股定理得到：与的面积的和是的面积，与的面积的和是的面积，而，的面积的和是的面积， 即的面积之和为2个的面积． ∵正方形的面积是81， ∴的面积之和为． 故选：C． 【变式训练】（2021·福建莆田·一模）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．若的三边所围成的区域面积记为，黑色部分面积记为，其余部分面积记为，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据面积的和差关系表示出与，与的关系，再利用勾股定理即可得答案． 【规范解答】∵的三边所围成的区域面积记为，黑色部分面积记为，其余部分面积记为， ∴==， =， ∵在Rt△ABC中，， ∴， 故选：A． 【考点评析】本题考查了勾股定理及圆的面积公式；熟练掌握勾股定理，正确表示出各图形的面积关系是解题的关键． 考点3：利用勾股定理求两条线段的平方和（差) 【典例精讲】（22-23九年级上·河南周口·期中）如图，在四边形中，E，F分别是的中点． (1)若，求的长． (2)若，求证：． 【答案】(1)13 (2)见解析 【思路引导】（1）取的中点P，连接，由三角形中位线定理得，且，且＝12，再证，然后由勾股定理即可得出结论； （2）由三角形中位线定理得，且，，且，再证，然后由勾股定理即可得出结论． 【规范解答】（1）如图，取的中点P，连接， ∵E，F分别是的中点，， ∴，且 ，且． 又∵， ∴， ∴． 在中，． （2）证明：如图，取的中点P，连接． ∵E，F分别是的中点， ∴，且，，且． ∴． ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查三角形中位线定理、勾股定理以及平行线的性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理和勾股定理是解题的关键． 【变式训练】（20-21八年级上·山东青岛·期末）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达B点，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C.此时A，C两点之间的距离为 m． 【答案】500 【思路引导】根据BE∥AD，得出∠DAB=∠ABE=53°，再根据平角的定义得出∠FBC+∠CBA+∠ABE=180°，求出∠CBA的度数，判断出△ABC是直角三角形，最后根据勾股定理求出AC的值即可． 【规范解答】由题意知BE∥AD， ∴∠DAB=∠ABE=53°， ∵∠FBC+∠CBA+∠ABE=180°且∠FBC=37°， ∴∠CBA=90°， ∴△ABC为直角三角形， ∵BC=300，AB=400， ∴AC=（m）． 答：A、C两点之间的距离为500m． 【考点评析】此题考查用勾股定理求两点之间的距离，用方位角的知识得到直角三角形是关键． 考点4：利用勾股定理证明线段平方关系 【典例精讲】（20-21八年级下·天津·期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于 ． 【答案】9π． 【思路引导】根据勾股定理和圆的面积公式，可以得到S1+S2的值，从而可以解答本题． 【规范解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2， ∵S1＝π（）2×，S2＝π（）2×，S3＝π（）2×， ∴S1+S2＝π（）2×+π（）2×＝π（）2×＝S3， ∵S3＝9π， ∴S1+S2＝9π， 故答案为：9π． 【考点评析】本题考查勾股定理，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答． 【变式训练】（20-21八年级上·山西临汾·期末）已知中，，，的对边分别为、、，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】先根据题意画出图形，再根据勾股定理即可得． 【规范解答】由题意，画出图形如下： 由勾股定理得：， 故选：A． 【考点评析】本题考查了勾股定理，依据题意，正确画出图形是解题关键． 考点5：勾股定理的证明方法 【典例精讲】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！ AI (1)直接填空：如图①，若，则 ；若，则直角三角形的面积是 ； (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明； (3)如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，求的长． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3) 【思路引导】本题主要勾股定理的证明，几何图形面积的计算，矩形与折叠中勾股定理的运用， （1）运用勾股定理可得的值，根据，代入求值即可； （2）图②的面积，又图②的面积，由此即可求解； （3）根据折叠，矩形的性质，在中，运用勾股定理，可得，设，则，在中，运用勾股定理得即可求解． 【规范解答】（1）解：根据勾股定理得，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）证明：图②的面积， 又图②的面积， ∴， ∴， ∴； （3）解：由折叠的性质得：， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，即， 解得：， ∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴． 【变式训练】（22-23八年级上·河北邢台·期末）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，则方案正确的是（    ） A．甲对 B．乙对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】A 【思路引导】根据图形列代数式即可得出结果． 【规范解答】解：甲得出的结果为：， 即，符合题意； 乙得出的结果为：，不符合题意； 故选：A． 【考点评析】题目主要考查根据图形列代数式及勾股定理与完全平方公式的验证，理解题意，结合图形求解是解题关键． 考点6：以弦图为背景的计算题 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）“赵爽弦图”巧妙地利用了面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的边长为 ． 【答案】1 【思路引导】本题考查了勾股定理的背景图中与面积有关的计算，解题关键是发现图中的面积关系与掌握勾股定理的计算公式． 本题利用13减去四个直角三角形的面积等于小正方形的面积即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴小正方形面积为1， ∴小正方形边长为1， 故答案为：1 ． 【变式训练】2023八年级下·全国·专题练习）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为，斜边长为． (1)结合图①，求证：； (2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形．若该图形的周长为48，．求该图形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)96 【思路引导】（1）根据图①，外面大正方形面积等于中间小正方形面积与四个完全形同的直角三角形面积的和，列出等式化简即可得到结论； （2）由图形的周长为48，得到，设，则，在中，由勾股定理列方程得，从而，根据图形即可得到面积为． 【规范解答】（1）证明：由题意知，， ，即， ； （2）解：∵， 设，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：，即在中，， ∴该图形面积为． 【考点评析】本题考查几何法证明勾股定理及不规则图形面积求解，数形结合，将图中各个线段长度及面积关系搞清楚是解决问题的关键． 考点7：用勾股定理构造图形解决问题 【典例精讲】（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）如图，以的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为、，的面积，若，，则的值为 ． 【答案】8 【思路引导】本题考查了勾股定理、圆的面积，熟记圆的面积公式，利用等面积法得出等量关系是解答的关键． 根据勾股定理和圆的面积公式即可求得的值． 【规范解答】解：设的三边分别为，则， 观察图形可得：， 即， ， ， ， 故答案为：8． 【变式训练】（22-23八年级下·全国·期末）如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度． (2)如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送多少m？ 【答案】(1)秋千的长度是 (2)需要将秋千往前推送 【思路引导】 （1）由题意得，证四边形是矩形，得，则，；设秋千的长度为，则，，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）当时，，则，得，然后在中，由勾股定理求出的长即可． 【规范解答】（1） 解：由题意得：， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 设秋千的长度为， 则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即秋千的长度是； （2） 当时，， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 即需要将秋千往前推送． 【考点评析】此题考查了勾股定理的应用,矩形的判定与性质，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键． 考点8：求旗杆高度（勾股定理的应用) 【典例精讲】（23-24八年级下·黑龙江鸡西·阶段练习）“五·一”小长假，李明与同学相约休闲广场放风筝，如图所示风筝线断了、风筝被挂在了树上A点处，他想知道此时风筝距地面的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上B点，发现风筝线多出2米，然后把风筝线沿直线向后拉开6米，发现风筝线末端刚好接触地而C点（如图所示），请你帮李明求出此时风筝距离地面的高度是 米． 【答案】8 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．根据题意可知，利用勾股定理解答即可． 【规范解答】解：由题可知，， 在中，， 即， 解得∶， 答：风筝距离地面的高度为8米． 故答案为：8 【变式训练】．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，小明想要测量旗杆的高度（已知旗杆直立于地面，即），他将绳子拉到旗杆底端5m处A点，并在绳子上打了个结，然后向后退11米到达B处，发现此时绳子底端距打结处约7米，设法求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为12米． 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用．设，则，，由勾股定理得，求得，再由勾股定理求解即可． 【规范解答】解：设，则，， 由勾股定理得，即， 解得，即， 由勾股定理得（米）， 答：旗杆的高度为12米． 考点9：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用) 【典例精讲】（20-21八年级上·河南新乡·期末）如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩在离水面的的1.3米处，在距离鱼线1.2米处点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？ 【答案】6.5 【思路引导】过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，根据题意直接得出AE，EC的长，再利用勾股定理得出AC的长，进而求出答案． 【规范解答】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，连接AC， 由题意可得：EC＝BD＝1.2m，AE＝AB−BE＝AB−DC＝1.3−0.8＝0.5m， ∴AC=m， ∴1.3÷0.2＝6.5s， 答：这条鱼至少6.5秒后才能到这鱼饵处． 【考点评析】本题主要考查勾股定理，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 【变式训练】（21-22八年级上·全国·单元测试）校园内有两棵树，相距12m，一棵树高10m，另一棵树高5m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 m. 【答案】13 【思路引导】画出图形如下所示，表示高的树，表示高的树，两棵树间距离，根据两点间线段最短可知，小鸟至少要飞的距离等于的长，利用勾股定理即可得. 【规范解答】根据题意画图如下：其中 两点间线段最短，所以题目所求即为 过D作，交AB于E 则 由勾股定理得 故答案为13. 【考点评析】本题考查了直角三角形的勾股定理，以及两点之间线段最短的知识点. 考点10：求大树折断前的高度(勾股定理的应用） 【典例精讲】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末（上端），（绳索从木柱上端垂下后）委地（堆在地面）三尺．引索却（退）行，去本（木柱底端）八尺而索尽．问索长几何？”设绳索长为x尺，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了一元一次方程及勾股定理的应用，熟记直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．设绳索长为尺，则立木长为尺，在△中，根据勾股定理即可列出方程． 【规范解答】解：设绳索长为尺，则立木长为尺， 由勾股定理得，， 故选：A 【变式训练】（22-23八年级上·山东青岛·期中）《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，原文：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：今有竹高10尺，末端被折断而抵达地面，离竹根部有3尺，则竹的余高为 尺． 【答案】4.55 【思路引导】根据题意画出图形，利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：由题意得，如图所示，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴竹的余高为4.55尺， 故答案为；4.55． 【考点评析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确画图图形利用勾股定理求解是解题的关键． 1．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，根据作图过程得到垂直平分是解答的关键．连接，，设与相交于O，先根据线段垂直平分线的判定与性质得到根据作图过程，，再利用勾股定理求得，然后利用三角形的面积求得即可解答． 【规范解答】解：连接，，设与相交于O， 根据作图过程，得，， ∴垂直平分，则，， ∵在中，，，， ∴， 由得 ， ∴， 故答案为：． 2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为 m． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理，根据长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，进行列式计算，即可作答． 【规范解答】解：∵长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为， ∴， 故答案为：． 3．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，，点在射线上的动点，连接，作，，动点在延长线上，，连接，，当，时，的长是 ． 【答案】 【思路引导】过点C作CN⊥BE于N，过点D作DM⊥CN延长线于M，连接EM，设BN=x，则CN =3x，由△ACN≌△CDM可得AN=CM=10+x，CN=DM=3x，由点C、M、D、E四点共圆可得△NME是等腰直角三角形，于是NE=10-2x，由勾股定理求得AC可得CE，在Rt△CNE中由勾股定理建立方程求得x，进而可得BE； 【规范解答】解：如图，过点C作CN⊥BE于N，过点D作DM⊥CN延长线于M，连接EM， 设BN=x，则CN=BN•tan∠CBN=3x， ∵△CAD，△ECD都是等腰直角三角形， ∴CA=CD，EC=ED，∠EDC=45°， ∠CAN+∠ACN=90°，∠DCM+∠ACN=90°，则∠CAN=∠DCM， 在△ACN和△CDM中：∠CAN=∠DCM，∠ANC=∠CMD=90°，AC=CD， ∴△ACN≌△CDM（AAS）， ∴AN=CM=10+x，CN=DM=3x， ∵∠CMD=∠CED=90°， ∴点C、M、D、E四点共圆， ∴∠CME=∠CDE=45°， ∵∠ENM=90°， ∴△NME是等腰直角三角形， ∴NE=NM=CM-CN=10-2x， Rt△ANC中，AC=， Rt△ECD中，CD=AC，CE=CD， Rt△CNE中，CE2=CN2+NE2， ∴， ， ， x=5（舍去）或x=， ∵BE=BN+NE=x+10-2x=10-x， ∴BE=； 故答案为：； 【考点评析】本题考查了三角函数，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，一元二次方程等知识；此题综合性较强，正确作出辅助线是解题关键． 4．（2021·贵州遵义·中考真题）如图，将矩形纸片ABCD的两个直角进行折叠，使CB，AD恰好落在对角线AC上，B′，D′分别是B，D的对应点，折痕分别为CF，AE．若AB＝4，BC＝3，则线段的长是（　　） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【思路引导】先利用矩形的性质与勾股定理求解 再利用轴对称的性质求解，从而可得答案. 【规范解答】解： 矩形纸片ABCD， 由折叠可得： 同理： 故选： 【考点评析】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键. 5．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【思路引导】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【规范解答】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， ①②得， ∴大正方形的面积， 故选：B． 基础夯实 1．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，．则（   ） A．5 B．12 C．15 D．16 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了勾股定理，掌握直角三角形的三边关系是解答本题的关键．根据勾股定理和正方形的面积公式计算即可． 【规范解答】解：∵如图，中，， ∴, ∵， ∴． 故选：D． 2．（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了角平分线的作法，全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于，由作图可知是的角平分线，可证，得到，，即得，利用勾股定理得，设，则，在中，利用勾股定理求得，最后根据三角形的面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：如图，过点作于，则， 由作图可知，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）图1是一个可调节平板支架，其结构示意图如图2所示，已知平板宽度为，支架脚的长度为，，保持此时的形状不变，当平分时，点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了角平分线的性质，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运用勾股定理得出，再由等面积法求出，因为平分，，则，即可作答． 【规范解答】解：过点B分别作，垂足分别为D，E，如图所示： ∵平板宽度为，支架脚的长度为，， ∴， ∴， ∵， ∵平分，， ∴， 点到的距离是， 故选：D． 4．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是 ． 【答案】52 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的应用， 先根据勾股定理求出，再根据正方形的面积公式得出答案． 【规范解答】解：在中，， 根据勾股定理，得， 所以正方形的面积. 故答案为：52． 5．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）央视春晚人形机器人秧歌表演广受关注．人形机器人集人工智能、高端制造与新材料等先进技术于一体，展现了未来科技的无限可能．下面是一次机器人的走位测试：如图，甲、乙两个机器人分别在点的正西方向（点处）和正北方向（点处），且与点的距离分别为米，米．甲、乙两个机器人分别从点、点同时出发，沿，行走（，，三点在同一条直线上），要求行走到点处时恰好相遇，并且两个机器人的行走速度相同，则为 米． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，由题意可得，设米，则米，在中，由勾股定理得，解方程求出即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【规范解答】解：由题意可得，， 设米，则米， 在中，， ∴， 解得， ∴米， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）如图，中，， 以的三边为边向外作正方形， 其面积分别为 ， 且,则 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据正方形的面积公式可得，再根据勾股定理可求得的值，从而得到答案． 【规范解答】解：∵， ∴， 在中，， 由勾股定理可得：， ∴， 故答案为：2． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的长； 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了勾股定理，解题关键是熟练掌握勾股定理． （1）在中，根据勾股定理进行计算即可； （2）在中根据勾股定理进行计算即可． 【规范解答】（1）解：在中，于点D， 故在中， ； （2）在中，于点D， 故在中， ． 8．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）在举国欢庆中华人民共和国成立75周年之际，宁夏交通又添“新动脉”月1日上午，包银高铁惠农至银川段正式开通运营，贺兰山下高铁贯通南北．如图，为修铁路需凿通隧道，现测量出，，， 若每天凿隧道，问几天才能把隧道凿通? 【答案】天才能把隧道凿通 【思路引导】本题考查了勾股定理，根据勾股定理列式算出，因为每天凿隧道，所以，即可作答． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∵每天凿隧道， ∴（天）， ∴天才能把隧道凿通． 9．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点． (1)求证：，． (2)请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明： 【答案】(1)详见解析 (2) ，详见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理的验证和运用，全等三角形的性质与判定，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意，通过证明即可判断得解； （2）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解． 【规范解答】（1）证明∶ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ∴． ∴； （2）证明： 由题意得，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； 10．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）数学兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：                       (1)如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接（或将绕点D逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则； (2)解决问题：受到（1）的启发，请你解决下面的问题：如图②，在中，D是边上的中点，，交于点，交于点F，连接． ①求证：； ②若，探索线段，，之间的等量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)①见详解；②，证明见详解 【思路引导】（1）延长到E，使得，再连接（或将绕点D逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则． （2）①延长到G，使得，再连接、，根据证明，则可得，根据线段垂直平分线的性质可得，将，，转换 到一个三角形中，利用三角形三边之间的关系即可得出结论． ②由全等易知，又因，可得，可得三边之间存在勾股定理关系，据此解答． 【规范解答】（1）解：延长到E，使得，再连接， ∵是边上的中线， ∴ 又∵， 则， ， 在中，， ∴， ∴， 则； （2）解：①延长到G，使得，连接、． ∵D是边上的中点， ∴， 又∵， 则， ， ， ． 在中，， ． ②若，.证明如下： 若，则， 由①知， ∴， ， 即， ∴在中，， 又∵， ． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的做出辅助线是解题的关键． 培优拔高 11．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【规范解答】如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接， 由题意知：大树高为，小树高为， ∴，，， 在中， 答：小鸟至少飞行米， 故选：C． 12．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案． 【规范解答】解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故选：A． 13．（2025·贵州贵阳·一模）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线，分别交于点D，E，连接，已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先由勾股定理求出，由线段的垂直平分线的性质得到，设，则，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【规范解答】解：∵在中，，， ∴， 由题意可知，是的垂直平分线， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得， 即的长为， 故选：A． 14．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，在中，， ， ，则点C 到斜边的距离为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了勾股定理，等面积法求三角形的高，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 先利用勾股定理求出，再利用等面积法求出的长即可得到答案． 【规范解答】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点到斜边的距离为， 故答案为：． 15．（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，，，是的平分线．若点P和Q分别是线段和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】/ 【思路引导】本题主要考查了轴对称-最短问题、勾股定理、三角形面积公式等知识点，学会利用轴对称解决最短问题以及等面积法求线段的长度是解题的关键． 如图：作关于直线的对称点，过C作于F，通过轴对称把问题转化为两点之间线段最短及垂线段最短，再利用等面积法求解即可． 【规范解答】解：如图：作关于直线的对称点，过C作于F， ∵是的平分线 ∴点在直线上， ∵点和点关于直线AD对称， ∴， ∴， 点随着点的运动而运动，当且仅当点和点F重合时有最小值， 在中，，，， ∴，即， ∴， ∴的最小值，即的最小值． 故答案为：． 16．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，在中，为的中点，连接并延长，交的延长线于点，，垂足为，若，，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形性质；根据平行四边形的性质得到，，进而得到，即可证明出，结合题干条件根据勾股定理解直角三角形即可得到的长，进而即可求解． 【规范解答】四边形是平行四边形， ，， ，， 为的中点， ， ， ，， ，， ， ， ． 故答案为：． 17．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在中，，，是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接． (1)求证：； (2)若时，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【思路引导】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质可得，，进而证明，即可根据证明； （2）由中，，，则，，由全等三角形性质可得，，最后通过勾股定理即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：在中，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 18．（2017·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，在中，，点P在上运动，点D在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，可得，根据求出，于是得到结论； （2）连接，设，则，，根据勾股定理得出，列出方程即可得到结论． 【规范解答】（1）解：， 理由：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， 设，则，， ， ， ， ， ， 解得：， 即． 19．（2024·四川南充·三模）如图，中，，，于，于． (1)求证：， (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【思路引导】本题考查了直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理，解答时证明三角形全等是关键； （1）根据条件可以得出，进而得出； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据勾股定理解答即可． 【规范解答】（1）证明：，， ， ． ∵， ， ． 在和中， ， ； （2）解：， ，， ，， ， ∵， ． 20．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，长方形中，，，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动，设点P运动的时间为t（秒）． (1)　　　　．（用含t的代数式表示） (2)连接、，当是以为腰的等腰三角形时，求t的值． (3)作射线．另有一动点Q从点C出发以每秒m个单位的速度沿射线运动，当点P停止时，点Q也随之停止运动，点P与点Q同时开始运动．若以点P、Q、C或P、Q、A为顶点的三角形与全等，请直接写出m与对应t的值． 【答案】(1) (2)当是以为腰的等腰三角形时，或 (3)以点P、Q、C或P、Q、A为顶点的三角形与全等，则，或，或， 【思路引导】（1）根据点P运动时间，的长表示出的长即可； （2）分两种情况讨论，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可； （3）分三种情况讨论：当以点P、Q、C为顶点的三角形与全等，，时，或，时，当以点P、Q、A为顶点的三角形与全等时，此时只能以Q为直角顶点，即，分别画出图形，求出结果即可． 【规范解答】（1）解：∵，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动， ∴； 故答案为：． （2）解：∵长方形中，，， 当，如图所示： 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：； 当时，如图所示： 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：； 综上分析可知，当是以为腰的等腰三角形时，或； （3）解：当以点P、Q、C为顶点的三角形与全等时，由，则由“”可知，，或，； 当，时，如图所示： 则，，， ∴，， 解得：，； 当，时，如图所示： 则，，， ∴，， 解得：，； 当以点P、Q、A为顶点的三角形与全等时，此时只能以Q为直角顶点，即，如图所示： 则，， 解得：，； 综上分析可知，以点P、Q、C或P、Q、A为顶点的三角形与全等，则，或，或，． 【考点评析】本题主要考查了三角形全等的综合应用，列代数式，一元一次方程的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，注意分类讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $$