精品解析：江苏省徐州市丰县欢口镇欢口初级中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-12-11初中数学月考试卷 考试时间：100分钟； 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在比例尺是1：40000的地图上，若某条道路长约为5 cm，则它的实际长度约为（ ） A. 0.2 km B. 2 km C. 20 km D. 200 km 2. 下列方程中，关于的一元二次方程是（    ） A. B. C. D. 3. 如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=【 】 A. 20° B. 40° C. 50° D. 80° 4. 下列说法中，正确的是（    ） A. 垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B. 在同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等 C. 三角形有且只有一个内切圆 D. 三角形的内心到三角形的个顶点的距离相等 5. 在中，若，，则的形状是（    ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 一般锐角三角形 6. 已知中，，则弦和的大小关系是（    ） A. B. C. D. 不能确定 7. 两个相似三角形的周长比是：，则这两个三角形的相似比是（    ） A. B. C. D. 8. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个圆心角是150°的扇形，则该圆锥的母线长为_____． 10. 如图，中，点在边上，且，若，，则的长为______． 11. 如图，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，以为圆心的与轴相切，点以每秒个单位的速度从向轴正方向运动，同时的半径以每秒个单位的速度扩大，当运动了__________秒时，与直线只有一个公共点． 12. 已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为_____． 13. 中，，则________． 14. 如图，根据所给信息，可知的值为_________. 15. 中，、为锐角且，则_________． 16. 已知扇形的面积为，圆心角为，则它的弧长为_________． 三、计算题：本大题共2小题，共12分． 17 解下列方程： （1）       （2） 18. 计算： （1）2sin30°+3cos60°+tan45°； （2）． 四、解答题：本题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2 （1）求实数m的取值范围； （2）若x1﹣x2=2，求实数m的值． 20. 如图，已知是的直径，点在上，点在外，. （1）求证：是的切线； （2）若时，求劣弧长. 21. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P、Q两点同时移动； （1）当移动几秒时，的面积为8． （2）若两点同时分别从A、B出发，经过多长时间与相似？ 22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点（A点在B点右侧），一次函数的图象经过A、C两点，已知. （1）求该二次函数和一次函数的解析式 （2）连接BC，求△ABC面积 23. 问题提出 （1）如图①，在中，，，，求外接圆半径； 问题解决 （2）如图②，某园林规划局计划在一片空地上，开发出一片区域，用于种植珍稀树苗，且用栅栏保护．其中四边形为平行四边形，连接，平分交于点M．，为了尽可能地减少栅栏使用，要使四边形的周长最小，你认为该园林规则局的想法能否实现，若能，请求出四边形周长的最小值；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-12-11初中数学月考试卷 考试时间：100分钟； 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在比例尺是1：40000地图上，若某条道路长约为5 cm，则它的实际长度约为（ ） A. 0.2 km B. 2 km C. 20 km D. 200 km 【答案】B 【解析】 【详解】解：设这条道路的实际长度为x，则：， 解得x=200000cm=2km． ∴这条道路的实际长度为2km． 故选B． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解决问题的关键是单位换算一定要正确． 2. 下列方程中，关于的一元二次方程是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般式为且为常数，根据一元二次方程的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．当时，不是一元二次方程，故此项错误； B．原方程整理为，不是一元二次方程，故此项错误； C．原方程整理为，是一元二次方程，故此项正确； D．不是整式方程，故此项错误． 故选：C． 3. 如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=【 】 A. 20° B. 40° C. 50° D. 80° 【答案】D 【解析】 【详解】∵弦AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等） 又∵∠ABC=40°，∴∠BOD=2∠ABC=2×40°=80°（同圆所对圆周角是圆心角的一半）．故选D． 4. 下列说法中，正确的是（    ） A. 垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B. 在同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等 C. 三角形有且只有一个内切圆 D. 三角形的内心到三角形的个顶点的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了圆的切线的定义，三角形的内心的概念，要求学生对这些概念熟练掌握．根据切线的定义判断选项A；根据同弦或等弦所对的圆周角判断选项B；根据三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点判断选项C；根据三角形的内心的性质判断选项D． 【详解】解：A、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； B、在同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补，则不一定相等； C、三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，而交点只有一个； D、三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三边的距离相等．由此可见只有选项C是正确的． 故选：C． 5. 在中，若，，则的形状是（    ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 一般锐角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值求出、的度数，然后判断的形状． 【详解】解：在中， ， ， ， 故为等腰直角三角形． 故选：B． 6. 已知中，，则弦和的大小关系是（    ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同圆中弧、弦之间关系，三角形三边之间关系，掌握同圆中弧、弦之间关系，三角形三边之间关系是解题关键．取中点为E，连接，根据题意结合同圆中弧、弦之间关系可得，再利用三角形三边关系即可解答． 【详解】解：取中点为E，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 故选：C． 7. 两个相似三角形的周长比是：，则这两个三角形的相似比是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，难度容易．掌握相似多边形的相似比等于周长比是关键．根据相似三角形的相似比即为相似三角形的周长比即可解答． 【详解】解：三角形的周长比为，则相似比． 故选：A． 8. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一元二次方程应注意的5个方面：一是化简后、二是一个未知数、三是未知数的最高次数为2、四是二次项系数不等于0、五是整式方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、不是整式方程，本选项不符合题意； B、当时，不是一元二次方程，本选项不符合题意； C、，即是一元二次方程，本选项符合题意； D、不是一元二次方程，本选项不符合题意； 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个圆心角是150°的扇形，则该圆锥的母线长为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查圆锥的相关计算，掌握圆锥的侧面展开图与圆锥的关系是解题的关键． 根据圆锥的侧面展开图的扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，求解即可． 【详解】圆锥的底面周长为， 设该圆锥的母线长为，则有 ， ∴， 故答案为：12. 10. 如图，中，点在边上，且，若，，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出，代入AC、AD的值可求出AB的长，再根据BD=AB-AD即可求出结论． 【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∴． ∵AC=，AD=1， ∴， ∴AB=3， ∴BD=AB-AD=3-1=2． 故答案为2 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键． 11. 如图，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，以为圆心的与轴相切，点以每秒个单位的速度从向轴正方向运动，同时的半径以每秒个单位的速度扩大，当运动了__________秒时，与直线只有一个公共点． 【答案】1或7 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与相似三角形及直线与圆的位置关系，以及切线的性质的综合应用，可能在上，也可能在的延长线上，因而分两种情况进行讨论，作于点则，根据相似三角形的对应边的比相等，即可得到一个关于的方程，求得的值． 【详解】解：在中，令，则， 即的坐标是， 则； 令，得， 解得， 则坐标是， ， 在中，， 当在线段上时，如图：作于点则， ， 即， 解得； 当在的延长线上时：如图（2）同理作于点则， ， 即， 解得． 故答案为：1或7． 12. 已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系得出a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，求出即可． 【详解】设方程的另一个根为a， 则根据根与系数的关系得：a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6， 解得：a=2， 故答案为2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键． 13. 中，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据在中，，利用勾股定理，可以得到BC的值，然后即可求得的值． 【详解】解：中，∵， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出相应的锐角三角函数的值． 14. 如图，根据所给信息，可知的值为_________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得：△ABC∽△A′B′C′，且′=， 故值为. 故答案为. 15. 中，、为锐角且，则_________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列式求出，，从而求出、，再根据三角形的内角和等于求出． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为： 16. 已知扇形的面积为，圆心角为，则它的弧长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长和扇形面积公式，掌握计算公式是解题关键．先根据扇形的面积公式，计算出半径，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解： ， ， 扇形弧长． 故答案为：． 三、计算题：本大题共2小题，共12分． 17. 解下列方程： （1）       （2） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）直接开方法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 ， ， 或， ∴． 18. 计算： （1）2sin30°+3cos60°+tan45°； （2）． 【答案】（1）；（2）8 【解析】 【分析】（1）先求三角函数值，再计算； （2）分别计算绝对值、三角函数、负指数，再计算． 【详解】解：（1）2sin30°+3cos60°+tan45° ＝， ＝； （2） ＝ ＝8． 【点睛】本题考查了实数的计算，解题关键是熟练求绝对值、三角函数、负指数，准确进行计算． 四、解答题：本题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 已知关于x方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2 （1）求实数m的取值范围； （2）若x1﹣x2=2，求实数m的值． 【答案】（1）m＜1；（2）0 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可； （2）根据根与系数的关系得出x1+x2=2，和已知组成方程组，求出方程组的解，再根据根与系数的关系求出m即可． 【详解】解：（1）由题意得：△=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m＞0， 解得：m＜1， 即实数m的取值范围是m＜1； （2）由根与系数的关系得：x1+x2=2， 即， 解得：x1=2，x2=0， 由根与系数的关系得：m=2×0=0． 【点睛】本题考查了根与系数的关系和根的判别式、一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容和根的判别式的内容是解此题的关键． 20. 如图，已知是直径，点在上，点在外，. （1）求证：是的切线； （2）若时，求劣弧的长. 【答案】(1)见解析;(2) . 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，可得∠B=∠D=∠EAC，再根据直径所对的圆周角∠ACB=90°，可证得∠BAE=90°,从而得出AB⊥AE,即可证得AE是的切线. （2）根据圆的性质求出∠AOC=120°,再根据弧长公式计算即可. 【详解】（1）∵是的直径，∴. ∴， 又∵中，， ∴，即， ∴是的切线； （2）如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， ∴劣弧的长为 【点睛】本题考查切线的判定定理及弧长公式，因为直线AE经过直径的端点E，所以证明AB⊥AE是证明切线的关键. 21. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P、Q两点同时移动； （1）当移动几秒时，的面积为8． （2）若两点同时分别从A、B出发，经过多长时间与相似？ 【答案】（1）2秒或4秒 （2）3秒或秒 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，一元二次方程的应用，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）由题意知，，，再代入三角形面积公式，解方程即可； （2）分两种情形：当或时，分别根据对应边成比例解决问题． 【小问1详解】 解：设运动时间为t秒时，由题意知，，， ∴， 解得或4， ∴当移动2秒或4秒时，的面积为8， 答：当移动2秒或4秒时，的面积为8； 【小问2详解】 解：分两种情况： ①当时，则， 即， 解得：， ②当时， 则， 即， 解得：， 综上，当移动3秒或秒时，与相似． 22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点（A点在B点右侧），一次函数的图象经过A、C两点，已知. （1）求该二次函数和一次函数的解析式 （2）连接BC，求△ABC的面积 【答案】(1) ; (2)3. 【解析】 【分析】（1）由二次函数y＝−x2+bx−2的解析式可求出和y轴交点的坐标即点C的坐标，由已知条件求出OA的长度进而求出点A的坐标，把A，C的坐标分别代入即可求出二次函数和一次函数的解析式； （2）令y=0，求出B点的坐标即OB的长度，所以AB的长度可以求出，又因为AB上的高为OC，利用面积公式即可求出△ABC的面积． 【详解】（1）在y＝−x2+bx−2中， 令x=0，得y=-2， ∴C（0，-2）， ∴OC=2， 在Rt△AOC中，OA==4， ∴A（4，0）． ∵y＝−x2+bx−2过A（4，0）， ∴0＝−×42+b×4−2， ∴b=， ∴y＝−x2+x−2． ∵y=mx+n（m≠0）过A（4，0）、C（0，-2）， ∴， ∴， ∴y=x-2； （2）在y＝−x2+x−2中， 令y=0，得x1=1，x2=4， ∴B（1，0）， ∴OB=1， ∴AB=OA-OB=3， ∴S△ABC=×AB•OC=×3×2=3． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的交点问题，解答本题的关键是进行数形结合进行解题，要熟练掌握二次函数和一次函数的性质，本题是一道比较不错的习题． 23. 问题提出 （1）如图①，在中，，，，求外接圆的半径； 问题解决 （2）如图②，某园林规划局计划在一片空地上，开发出一片区域，用于种植珍稀树苗，且用栅栏保护．其中四边形为平行四边形，连接，平分交于点M．，为了尽可能地减少栅栏的使用，要使四边形的周长最小，你认为该园林规则局的想法能否实现，若能，请求出四边形周长的最小值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）米 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接， 以为圆心，为半径，作，根据直角三角形斜边上的中线可得是的外接圆，勾股定理的长，即可求解； （2）过点作，求得四边形的周长为，在上截取，证明，进而得，作的外接圆，过点作，求得，根据，求得，进而可得的最小值为，即可求解． 【详解】解：（1）如图，取的中点，连接， 以为圆心，为半径，作 ，，， ， 是的外接圆， ， ， 外接圆的半径为； （2）如图，过点作， 平分交于点M．, ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形的周长为， 要使四边形的周长最小,即最小， 如图，在上截取， ， ， ， ， ，即， 作的外接圆，过点作， ， ， ， 中，，， ， ， ， ， ， 即的最小值为， 四边形的周长最小值为， ， 即四边形的周长最小值（米）． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形外心的性质，圆周角定理，利用好辅助圆是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $