精品解析：福建省漳浦道周中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

漳浦道周中学2024-2025学年上学期第一次调研考试 九年级试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 3. 下表是满足二次函数y＝ax2＋bx＋c的五组数据，x1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个解，则下列选项中正确的是（ ） x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y －0.80 －0.54 －0.20 0.22 0.72 A. 1.6＜x1＜1.8 B. 2.0＜x1＜2.2 C. 1.8＜x1＜2.0 D. 2.2＜x1＜2.4 4. 如图，某工程队计划将一块长64m、宽32m的矩形场地建设成绿化广场，广场内部修建四条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽．设小路的宽为xm，则可列方程（　　） A. B. C. D. 5. 矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是( ) A. 邻边相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 6. 如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB等于（ ） A. 10 B. C. 6 D. 5 7. 如果点E、F、G、H分别是四边形四条边的中点，要使四边形EFGH为菱形，则四边形应具备的条件是（ ） A. 一组对边平行而另一组对边不平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 8. 若关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=−5，则关于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为AD边的中点，将△ABE沿BE翻折，使点A落在点A′处，作射线EA′，交BC的延长线于点F，则CF的长为（　　） A. 1 B. C. D. 10. 如图，矩形中，，点分别在上，则的最小值是（ ） A. 6 B. C. 12 D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分 11. 一元二次方程化为一般形式是：_____． 12. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 13. 已知关于的方程的一根为，则方程的另一根为____． 14. 如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长为______． 15. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点A作于点H，连接，若，菱形的面积为48，则的长为_________． 16. 如图，在矩形中，，的平分线交于点于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O，有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有______（填序号）． 三、解答题：本大题共9小题，共86分 17. 按要求解下列一元二次方程： （1）（配方法） （2）（公式法） 18. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1） （2） 19. 如图，四边形为平行四边形，E为线段的中点，连接，延长交于点F，连接．求证：四边形是矩形． 20. 如图，在平行四边形中，以点 为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点 ，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接并延长交于点 ，连接． （1）根据条件与作图信息知四边形是 ； A.非特殊的平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 （2）设与相交于点，四边形的周长为，，求的长． 21. 如图，P是正方形 对角线上一点，点E在上，且． （1）求证：； （2）连接 ，试判断的度数，并证明你的结论． 22. 已知关于的方程 （1）求证：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）当为何整数时，关于的方程有两个整数根？ 23. 某商场在去年底以每件80元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件150元的售价销售了320件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了500件． （1）求二、三月份服装销售量的平均月增长率； （2）从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价5元，月销售量增加10件，当每件降价多少元时，四月份可获利12000元？ 24. 已知E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF＝45°． （1）如图①求证：BE+DF＝EF； （2）连接BD分别交AE、AF于M、N， ①如图②，若AB＝6，BM＝3，求MN． ②如图③，若EF∥BD，求证：MN＝CE． 25. 如图，直线与直线交于点，直线与轴交于点，点 从点出发沿向终点 运动，速度为每秒1个单位，同时点从点 出发以同样的速度沿向终点运动，作轴，交折线于点 ，作轴，交折线于点，设运动时间为． （1）求直线的表达式； （2）在点 ，点运动过程中，当点 ，分别在，上时，求证：四边形是矩形； （3）点是平面内一点，在点 的运动过程中，若以点，， ， 为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳浦道周中学2024-2025学年上学期第一次调研考试 九年级试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】A、：当时，方程变为一次方程，因此不一定是一元二次方程，不符合题意； B、：移项整理为，满足只含一个未知数且最高次数为2，二次项系数，为一元二次方程，符合题意； C、：未知数最高次数为3，是三次方程，不符合题意； D、：含有两个未知数和，是二元方程，不符合题意； 故选：B． 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，使用配方法将方程转化为完全平方形式，通过添加一次项系数一半的平方完成配方即可． 【详解】解：， ， ； 故选B． 3. 下表是满足二次函数y＝ax2＋bx＋c的五组数据，x1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个解，则下列选项中正确的是（ ） x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y －0.80 －0.54 －0.20 0.22 0.72 A. 1.6＜x1＜1.8 B. 2.0＜x1＜2.2 C. 1.8＜x1＜2.0 D. 2.2＜x1＜2.4 【答案】B 【解析】 【分析】根据表格即可直接得出答案． 【详解】解：由表格可知当x＝2.0时，y＝−0.20＜0，当x＝2.2时，y＝0.22＞0， 所以方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x1的取值范围是2.0＜x1＜2.2， 故选B． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似解，找到 y 由正变为负时,自变量的取值是解题关键． 4. 如图，某工程队计划将一块长64m、宽32m的矩形场地建设成绿化广场，广场内部修建四条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽．设小路的宽为xm，则可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的面积公式结合绿化区域的面积为广场总面积的80%，即可得出关于x的一元二次方程. 【详解】解：设小路的宽为x 米，则绿化区域面积相当于长为米，宽为米的矩形面积， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找准等量关系，是正确列出一元二次方程的关键． 5. 矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是( ) A. 邻边相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 【答案】D 【解析】 【详解】矩形、菱形、正方形都是平行四边形，所以一定都具有的性质是平行四边形的性质，即对角线互相平分. 故选：D. 6. 如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB等于（ ） A. 10 B. C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【详解】解：在菱形ABCD中，AO=4，BO=3，∠AOB=90°， 根据Rt△AOB的勾股定理可得：AB==5． 故选：D． 7. 如果点E、F、G、H分别是四边形四条边的中点，要使四边形EFGH为菱形，则四边形应具备的条件是（ ） A. 一组对边平行而另一组对边不平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】据已知条件可以得出要使四边形为菱形，应使，根据三角形中位线的性质可以求出四边形应具备的条件．此题主要考查了三角形中位线的性质以及菱形的判定方法，正确运用菱形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：连接，， 四边形中，、、、分别是四条边的中点，要使四边形为菱形， ， ，， 要使， ， 四边形应具备的条件是， 故选：B． 8. 若关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=−5，则关于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】设t=y+1，则原方程可化为at2+bt+c=0，根据关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=3，x2=-5，得到t1=3，t2=-5，于是得到结论． 【详解】解：设t=y+1， 则原方程可化为at2+bt+c=0， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=3，x2=-5， ∴t1=3，t2=-5， ∴y+1=3或y+1=-5， 解得y1=2，y2=-6． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了换元法解一元二次方程，关键是正确找出两个方程解的关系． 9. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为AD边的中点，将△ABE沿BE翻折，使点A落在点A′处，作射线EA′，交BC的延长线于点F，则CF的长为（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据正方形的性质得到AD∥BC，则∠AEB=∠EBF，再由折叠的性质即可得到∠FEB=∠AEB，，，，即可得到∠FEB=∠FBE，设CF=x，则BF=BC+CF=4+x，，再由勾股定理得到，求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CD=AD=BC=4，AD∥BC， ∴∠AEB=∠EBF， ∵E为AD的中点， ∴DE=AE=2， 由折叠的性质可知，∠FEB=∠AEB，，， ∴∠FEB=∠FBE， ∴EF=BF， 设CF=x，则BF=BC+CF=4+x，， 在直角三角形中， ∴， 解得， ∴CF=1， 故选A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 10. 如图，矩形中，，点分别在上，则的最小值是（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】作D关于直线AC的对称点D′，过D′作D′E⊥AD于E，D′E交AC于点P，则D′E=PE+PD的最小值，利用勾股定理即可得到结论． 【详解】解：作D关于直线AC的对称点D′，过D′作D′E⊥AD于E，D′E交AC于点P，D′D交AC于M， 则D′E=PE+PD的最小值， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=90°， ∵AD=12，∠DAC=30°，DD′⊥AC， ∴DM=6，∠ADM=60°， 由对称可知DD′=12， ∵D′E⊥AD， ∴∠DD′E=90°-60°=30°， ∴DE=6， ∴D′E=， ∴的最小值是， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称-最小距离问题，矩形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分 11. 一元二次方程化为一般形式是：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式直接求出即可． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式是， 故答案为：． 12. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 【答案】x1＝0，x2＝2 【解析】 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0， 解得x=0或x=2． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 13. 已知关于的方程的一根为，则方程的另一根为____． 【答案】 【解析】 【分析】设方程的另一根为，根据根与系数的关系得到，然后解一次方程即可． 【详解】解：设方程的另一根为， 根据题意得，解得， 即方程的另一根为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，设，为一元二次方程的两根，则有如下关系：，．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是本题的关键． 14. 如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】先推导出是等边三角形，再利用直角三角形30度角的性质，可得，即可解答． 【详解】解：在矩形中，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点A作于点H，连接，若，菱形的面积为48，则的长为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形的性质等知识点，掌握菱形的面积公式“菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”是解题的关键． 根据菱形面积的计算公式求得，再利用直角三角形斜边中线的性质即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵菱形的面积为48，， ∴， ∴， ∵，， ∴,O为的中点， ∴． 故答案为：4． 16. 如图，在矩形中，，的平分线交于点于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O，有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有______（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．根据角平分线的定义得出，证明得出，求出，从而判断出①正确；求出，，然后根据等角对等边可得，判断出②正确；求出，，证明可得，判断出③正确；判断出不是等边三角形，从而得到，即，即得到④错误． 【详解】解：在矩形中，平分， ， 是等腰直角三角形， 在和中， 平分，故①正确； ，故②正确； 在和中， ，故③正确； 不是等边三角形， ，即，故④错误； ∴①②③是正确的． 故答案为：①②③． 三、解答题：本大题共9小题，共86分 17. 按要求解下列一元二次方程： （1）（配方法） （2）（公式法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握求解一元二次方程的方法为解题关键． （1）利用配方法求解方程的解即可； （2）利用公式法求解方程的解即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 配方得：，即， 开方得：或， 解得：； 【小问2详解】 解：， 整理得：， ， ， ， ． 18. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个一元二次方程的特点选用恰当的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， 解得：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， 解得：． 19. 如图，四边形为平行四边形，E为线段的中点，连接，延长交于点F，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E为线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形和平行四边形．熟练掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形和判定和性质，矩形的判定，是解决问题的关键． 根据平行四边形的性质，得，得；再根据E为线段的中点，对顶角性质，判定，得到，得到四边形是平行四边形，根据，即可判定为矩形． 【详解】略 20. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接并延长交于点，连接． （1）根据条件与作图信息知四边形是 ； A.非特殊的平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 （2）设与相交于点，四边形的周长为，，求的长． 【答案】（1）C （2） 【解析】 【分析】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法及菱形的性质是解答此题的关键． （1）先根据四边形是平行四边形得出，证明，得出四边形是平行四边形，再由即可得出结论； （2）先根据菱形的周长求出其边长，再由得出，根据勾股定理求出的长，再由菱形的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意得：平分， ， ∵， ， ∵四边形是平行四边形， ∴． ， ， ， 四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：C； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，且周长为16， ∴．垂直平分， ∵， ∴． ∴， ∴． 21. 如图，P是正方形对角线上一点，点E在上，且． （1）求证：； （2）连接，试判断的度数，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质四条边都相等可得，对角线平分一组对角线可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后等量代换即可得证； （2）根据全等三角形对应角相等可得，根据等边对等角可得，从而得到，再根据，求出，然后根据四边形的内角和定理求出，判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ．理由如下： 连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在四边形中，， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 22. 已知关于的方程 （1）求证：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）当为何整数时，关于的方程有两个整数根？ 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用、一元一次方程的解的情况和一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）分两种情况讨论：当时和时，当时，根据方程各项的系数，利用根的判别式，即可求解； （2）根据方程有两个根，可知方程为一元二次方程，利用因式分解或公式法解方程，分析即可． 【小问1详解】 解：当时，方程为一元一次方程，必有一解； 当时，方程为一元二次方程， ， ∴一元二次方程有两个实数根； 综上：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； 【小问2详解】 解：∵方程有两个整数根， ∴方程为一元二次方程，即， ， ， ∴或， 解得：或， ∵为整数，方程的两个根也都为整数， ∴， 解得：或． 23. 某商场在去年底以每件80元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件150元的售价销售了320件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了500件． （1）求二、三月份服装销售量的平均月增长率； （2）从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价5元，月销售量增加10件，当每件降价多少元时，四月份可获利12000元？ 【答案】（1）二、三月份销售量的平均月增长率为25%；（2）每件降价50元，四月份可获利12000元． 【解析】 【分析】（1）由题意可得：一月份的销售量为：320件；设二月份到三月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：320（1+x）；三月份的销售量为：320（1+x）（1+x），又知三月份的销售量为：500元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率； （2）利用销量×每件商品的利润=12000求出即可． 【详解】（1）解：设二、三月份销售量的平均月增长率为x，根据题意得： 320（1+x）2=500 解得：x1=0.25，x2=-2.25（不合题意，舍去）． 答：二、三月份销售量的平均月增长率为25%． （2）解：设每件降价y元，根据题意得： （500+10×）（150-y-80）=12000 整理得：y2+180y-11500=0 解得：y1=50，y2=-230（不合，舍去）． 答：每件降价50元，四月份可获利12000元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 24. 已知E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF＝45°． （1）如图①求证：BE+DF＝EF； （2）连接BD分别交AE、AF于M、N， ①如图②，若AB＝6，BM＝3，求MN． ②如图③，若EF∥BD，求证：MN＝CE． 【答案】（1）证明见解析；（2）①5；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）延长CB到G，使GB＝DF，连接AG，求证△ABG≌△ADF，得∠3＝∠2，AG＝AF，进而求证△AGE≌△AFE，可得GB+BE＝EF，所以DF+BE＝EF． （2）①如图2，把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADM′，连接NM′．就可以得出△ABM≌△ADM′，就有∠BAM＝∠DAM′，就可以得出△AMN≌△AM′N就可以得出MN＝M′N，由勾股定理就可以得出结论MN2＝DN2+BM2； ②设正方形ABCD的边长为a，求出MN，EC即可判断； 【详解】（1）证明：证明：延长CB到G，使GB＝DF，连接AG（如图1）， ∵AB＝AD，∠ABG＝∠D＝90°，GB＝DF， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠3＝∠2，AG＝AF， ∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠1+∠2＝45°， ∴∠GAE＝∠1+∠3＝45°＝∠EAF， ∵AE＝AE，∠GAE＝∠EAF，AG＝AF， ∴△AGE≌△AFE（SAS）， ∴GB+BE＝EF， ∴DF+BE＝EF； （2）①解：如图2，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠ABM＝∠ADN＝45°． 把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADM'．连结NM'． ∴△ABM≌△ADM′（旋转不变性）， ∴DM'＝BM，AM'＝AM，∠ADM'＝∠ABM＝45°，∠DAM'＝∠BAM． ∴∠ADB+∠ADM′＝45°+45°＝90°， 即∠NDM′＝90°． ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAM+∠DAN＝45°， ∴∠DAM′+∠DAF＝45°， 即∠M′AN＝45°， ∴∠M'AN＝∠MAN． 在△AMN和△AM′N中 ， ∴△AMN≌△AM′N（SAS）， ∴M'N＝MN． ∵∠NDM′＝90°， ∴M'N2＝DN2+DM'2， ∴MN2＝DN2+BM2； 设MN＝x，则DN＝12﹣3﹣x＝9﹣x， ∴x2＝33+（9﹣x）2， ∴x＝5， ∴NM＝5； ②证明：如图3中，设正方形ABCD的边长为a． ∵EF∥BD， ∴∠CEF＝∠CBD＝45°，∠CFE＝∠CDB＝45°， ∴∠CEF＝∠CFE＝45°， ∴CE＝CF， ∴BE＝DF， ∵AB＝AD，∠ABE＝∠ADF，BE＝DF， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAF， ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE＝∠DAF＝22.5°， ∴∠AEB＝∠BME＝67.5°， ∴BM＝BE，同理可证：DN＝DF， ∴BM＝DN＝BE＝DF，设BM＝x，则MN＝x， ∴2x+x＝a， ∴x＝（﹣1）a， ∴MN＝（2﹣）a，EC＝BC﹣BE＝（2﹣）a， ∴MN＝EC． 【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 25. 如图，直线与直线交于点，直线与轴交于点，点从点出发沿向终点运动，速度为每秒1个单位，同时点从点出发以同样的速度沿向终点运动，作轴，交折线于点，作轴，交折线于点，设运动时间为． （1）求直线的表达式； （2）在点，点运动过程中，当点，分别在，上时，求证：四边形是矩形； （3）点是平面内一点，在点的运动过程中，若以点，，，为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为 ． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）直线的表达为：，由，即可求解； （2）证可推出四边形是平行四边形，结合即可求证； （3）分类讨论时，时，时，三种情况即可求解； 【小问1详解】 解：直线的表达为：， 由，可得：， 解得：， ∴直线的表达为：， 【小问2详解】 证明：由题意得： ∴ ∴ 由轴、轴可得： 由点、点的运动速度可知： ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形 【小问3详解】 解：若以点，，，为顶点的四边形是菱形，,则为等腰三角形 时，如图所示： 则 ∵且， ∴ 时，如图所示： 此时点与点重合，关于轴对称 ∴ 时，如图所示： 此时： ∵ ∴ 解得： ∴ ∵ ∴ 即： 故答案为： 【点睛】本题考查了一次函数与动点问题，涉及了一次函数的解析式求解、全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的证明、一次函数与特殊四边形问题，掌握相关结论是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $