《4.1点的位置与坐标系（二）》暑假预习手册26-2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册26-《4.1点的位置与坐标系（二）》 ( 一．预习 目标 1.   理解建立平面直角坐标系的意义和方法，明白其在确定点的位置中的作用。 2.   学会根据具体问题情境，选择合适的原点、坐标轴和单位长度建立平面直角坐标系，并能准确写出坐标系中各点的坐标。 3.   通过预习，体会平面直角坐标系在数学和实际生活中的广泛应用，培养数形结合的思想和解决问题的能力。 ) ( 二 ． 思维导图 ) 三、预习内容 （一）复习回顾 1.平面直角坐标系的基本概念 （1）平面内两条互相垂直且有公共原点的数轴构成平面直角坐标系。水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；竖直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O称为原点。 （2）坐标轴将平面分成四个象限，按逆时针顺序分别为第一、二、三、四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。 2.点的坐标 （1）过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足在x轴、y轴上表示的数分别是a，b，有序实数对(a，b)称为点P的坐标，a为横坐标，b为纵坐标 。坐标平面内的点与有序实数对一一对应。 （2）点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值。 （二）建立合适平面直角坐标系 1.建立平面直角坐标系的一般步骤 （1）选择原点：根据具体问题，选择一个具有代表性或方便计算的点作为原点。比如在描述一个矩形时，可以选择矩形的一个顶点为原点；在描述学校的平面布局时，可以选择学校大门的位置为原点。 （2）确定坐标轴：过原点在两个互相垂直的方向上分别作出x轴、y轴，通常水平方向为x轴，竖直方向为y轴 。例如在地图中，一般以正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向。 （3）确定单位长度：根据实际问题中数据的大小和精度需求，确定合适的单位长度。比如在表示城市中各个地点的位置时，如果城市范围较大，可能以1千米为一个单位长度；如果是表示教室中同学的位置，可能以1米为一个单位长度 。 2.建立坐标系的原则 （1）使关键点坐标简单：尽量让图形中较多的关键顶点或特殊点的坐标为整数，方便后续的计算和分析。例如对于一个边长为整数的正方形，将其一个顶点放在原点，使两条边分别与坐标轴重合，这样正方形其他顶点的坐标就都是整数。 （2）结合图形特点：如果图形具有对称性，可以利用对称轴作为坐标轴；若图形是水平或竖直放置的规则图形，让图形的边与坐标轴平行。比如一个等腰三角形，若其对称轴是竖直的，可以将对称轴作为y轴建立坐标系。 3.不同情境下建立平面直角坐标系的示例 （1）几何图形：在长方形ABCD中，若AB = 6，BC = 4，为了方便确定各顶点坐标，可以以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系。此时A(0, 0)，B(6, 0)，C(6, 4)，D(0, 4) 。 （3）实际场景：以学校校园为例，若学校大门在正南方，图书馆在大门正北方向200米处，教学楼在大门正东方向300米处。以大门为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，100米为一个单位长度建立坐标系。则图书馆坐标为(0, 2)，教学楼坐标为(3, 0) 。 例1 如图，长方形ABCD的长与宽分别是4，3，建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标． 例2.如图，在长方形ABCD中，已知AB＝6，AD＝4，在长方形ABCD外画△ABE，使AE＝BE＝5，请建立适当的平面直角坐标系，并写出各顶点的坐标． 例3.如图，在等腰三角形DEF中，腰DE＝DF＝2√10，底边EF＝4，DM⊥EF于点M. (1)请你在图中建立适当的平面直角坐标系，并写出点D，E，F，M的坐标； (2)解释你选择这个坐标系的理由． 例4.如图，这是某市部分简图，已知医院的坐标为(1，－2)． (1)请建立平面直角坐标系，分别写出其余各地的坐标； (2)幼儿园的坐标为(8，－2)，请在图中标出它的位置． 例5.如图是某市区的平面图，A地的坐标是(－2，3). (1)在平面图上画出直角坐标系； (2)写出B地、C地、D地、E地的坐标； (3)标出坐标为(1，－2)的F地． 例6.如图，点A的位置为(2，3)． (1)建立平面直角坐标系，并写出点B，C的坐标； (2)求三角形ABC的面积； (3)在如图的格点中找出点P，使得△ABP的面积与△ABC的面积相等，并写出点P的坐标． 四．基础过关 （一）选择题 1.在平面内确定一个学校的位置，最合适建立平面直角坐标系的原点可以是（ ） A. 学校内的旗杆 B. 学校旁边的一棵大树 C. 城市的中心广场 D. 距离学校10公里的火车站 2.在一张方格纸中，若要建立坐标系表示一个长方形的四个顶点坐标，最简便的方法是（ ） A. 以长方形对角线交点为原点 B. 以长方形的一个顶点为原点，两边所在直线为坐标轴 C. 以长方形外部一点为原点 D. 以长方形的中心为x轴，一条边为y轴 3.在描述某公园内景点位置时，若以大门为原点，正东方向为x轴正方向，那么表示“大门北偏东30°方向50米处”的景点，其坐标的符号特点是（ ） A. x>0，y>0 B. x>0，y<0 C. x<0，y>0 D. x<0，y<0 4.如所示,长方形ABCD中,A(-4,1),B(0,1),C(0,3),则点D的坐标是(　　) A.(-3,3) B.(-2,3) C.(-4,3) D.(4,3) 5.如所示,若点E的坐标为(-2,1),点F的坐标为(1,-1),则点G的坐标为(　　) A.(1,2) B.(2,2) C.(2,1) D.(1,1) 6.如图是杭州西湖几个旅游景点的大致位置示意图,如果用(0,0)表示三潭印月的位置,用(1,5)表示断桥残雪的位置,那么雷峰夕照的位置可以表示为(　　) A.(-3,1) B.(-3,-1) C.(3,-1) D.(3,1) （二）填空题 7．点P是第一象限内的点，若点P（2+a，3a+4）到x轴和y轴的距离相等，则点P的坐标为 　 　． 8．已知A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，B（3a+2，b+3）在x轴上，则C（a，b）的坐标为　 　． 9.在平面内，若以点A(2,3)为原点建立平面直角坐标系，则原坐标系中坐标为(5,7)的点B在新坐标系中的坐标是______。 10.已知△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若以点B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，则点C的坐标是______。 11.矩形ABCD中，长AB=6，宽AD=2，若以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立坐标系，则点D的坐标是______。 12.在平面直角坐标系中，点M(-1,2)，N(3,2)，若以线段MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立新坐标系，则原坐标系原点O在新坐标系中的坐标是______。 （三）解答题 13.是小明所在学校的平面示意图,已知表示宿舍楼的位置的坐标是(3,4),表示艺术楼的位置的坐标是(-3,1). (1)根据题意,画出相应的平面直角坐标系; (2)分别写出表示教学楼、体育馆的位置的坐标; (3)若表示学校行政楼的位置的坐标是(-1,-1),在图中标出行政楼的位置. 14.已知正方形ABCD的边长是2,在①②③中为这个正方形分别建立了三个平面直角坐标系,试分别写出正方形ABCD各顶点的坐标. 15.如图在平面直角坐标系中,A(-4,0),C是y轴正半轴上的一点,且∠ACB=90°,AC=BC,若点B在第四象限,C(0,2),求点B的坐标. 16.阅读下列解题过程: 如①,平面直角坐标系xOy中有点B(2,3)和C(5,4),求△OBC的面积. 解:如图①,过点B作BD⊥x轴于点D,过点C作CE⊥x轴于点E.依题意,可得S△OBC=S梯形BDEC+S△OBD-S△OCE=(BD+CE)(OE-OD)+OD·BD-OE·CE=×(3+4)×(5-2)+×2×3-×5×4=3.5, ∴△OBC的面积为3.5. (1)如图②,若B(x1,y1),C(x2,y2)均为第一象限内的点,O,B,C三点不在同一条直线上.仿照例题的解法,求△OBC的面积(用含x1,x2,y1,y2的代数式表示); (2)如图③,已知点A(2,5),B(7,7),C(9,1),求四边形OABC的面积. 五．达标检测 （时间：60分钟 满分：120分） （一）．选择题（30分） 1.要建立坐标系表示等边三角形ABC的顶点坐标，若使其中两个顶点的横坐标为0，最合适的原点是（ ） A. 三角形的一个顶点 B. 三角形一边的中点 C. 三角形的重心 D. 三角形外部一点 2.在平面直角坐标系中，若以点(2,3)为原点建立新坐标系，原坐标系中坐标为(5,7)的点，在新坐标系中的坐标是（ ） A. (3,4) B. (7,10) C. (-3,-4) D. (-7,-10) 3.为了方便计算平行四边形ABCD的面积，建立坐标系时最合适的是（ ） A. 以AB边为x轴，A为原点 B. 以对角线AC为x轴，中点为原点 C. 以任意一边为y轴 D. 以外部一点为原点 4.在地图上，若要建立坐标系表示A、B、C三个城市的位置，其中A在B的正西方向，C在B的正北方向，则最合适的原点是（ ） A. 城市A B. 城市B C. 城市C D. 三城市围成的三角形中心 5.如图在方格纸上摆出了六枚棋子,如果用(2,-1)表示棋子A的位置,用(6,-2)表示棋子B的位置,那么(5,3)表示的是 (　　) A.棋子E的位置 B.棋子D的位置 C.棋子C的位置 D.棋子F的位置 6.如图,若在象棋盘上建立平面直角坐标系,使“将”位于点(1,-2),“象”位于点(3,-2),则“炮”位于点 (　　) A.(1,3) B.(-2,0) C.(-1,2) D.(-2,2) 7.第六届北京农业嘉年华在昌平区兴寿镇草莓博览园举办,某校数学兴趣小组的同学根据数学知识将草莓博览园的游览线路进行了精简.如图,分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系,如果表示国际特色农产品馆的坐标为(-5,0),表示科技生活馆的点的坐标为(6,2),那么表示多彩农业馆所在点的坐标为 (　　) A.(3,5) B.(5,-4) C.(-2,5) D.(-3,3) 8.若以B点为坐标原点,建立平面直角坐标系,则A点坐标为(1,5).若以A点为坐标原点,建立平面直角坐标系,则B点坐标为(　　) A.(-1,-5) B.(-1,5) C.(1,-5) D.(1,5) 9.小明家位于公园的正东方向200 m处,从小明家出发向北走300 m就到小华家.若选取小华家所在位置为原点,以1 m为单位长度,分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向,建立平面直角坐标系,则公园的坐标是 (　　) A.(-300,-200) B.(200,300) C.(-200,-300) D.(300,200) 10.嘉嘉和淇淇下棋,嘉嘉执圆形棋子,淇淇执方形棋子.如图,棋盘中心的圆形棋子的位置用(-1,1)表示,右下角的圆形棋子的位置用(0,0)表示,若淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后,所有棋子构成的图形是轴对称图形,则淇淇放的方形棋子的位置可能是 (　　) A.(-1,2) B.(-1,-1) C.(0,2) D.(1,3) （二）．填空题 11.已知等边三角形ABC的边长为2，若以点A为原点，边AB所在直线为x轴建立坐标系，则点C的坐标是______。 12.已知点P在y轴上，点Q(2,-1)，若以P为原点，过P且平行于x轴的直线为横轴建立坐标系，此时Q的坐标为(2,3)，则点P的原坐标是______。 13.菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，若以对角线交点为原点，AC所在直线为x轴建立坐标系，则顶点A的坐标是______。 14.已知点A(1,3)，B(5,3)，C(5,7)，若以点A为原点，将坐标系旋转后，使点B在新x轴上，且新坐标系中B的坐标为(4,0)，则点C在新坐标系中的坐标是______。 15.在平面内，若将原坐标系的原点移至点(2,-1)，其他不变，则原坐标为(-3,4)的点在新坐标系中的坐标是______。 16.已知点E(0,0)，F(0,5)，G(12,0)，若以点E为原点，EG所在直线为x轴建立坐标系，则△EFG的面积是______。 17.如图,网格中的每一个小正方形的边长都为1,△ABC的顶点都在格点上,若点B的坐标为(3,-1),点C的坐标为(-3,3),CD为△ABC的中线,则点D的坐标为　　　　.  18.已知A,B,C三点的坐标分别为(0,3),(4,0),(-4,0),则△ABC的面积为　　　　.  19.已知线段AB=3,且AB∥x轴,若点A的坐标为(1,2),则点B的坐标是　　　　　　　.  20.如图,直线l1⊥l2,在某平面直角坐标系中,x轴∥l1,y轴∥l2,点A的坐标为(-2,1),点B的坐标为(1,-2),那么点C在第　　　　象限.  （三）．解答题（60分） 21.如图,四边形 ABCD是边长为 4 的正方形，在正方形的一个角上剪去长方形CEFG,其中 E,G 分别是边CD,BC上的点,且CE=3,CG=2,剩余部分是六边形AB-GFED，请你建立适当的平面直角坐标系，求六边形ABGFED各顶点的坐标. 22.如图平面直角坐标系内有点A(0,1),B(2,0),C(4,3). (1)求△ABC的面积; (2)设点P在坐标轴上,且△ABP与△ABC的面积相等,求点P的坐标. 23．已知a，b都是实数，设点P（a，b），若满足3a＝2b＋5，则称点P为“新奇点”． (1)判断点A（3，2 ）是否为“新奇点”，并说明理由； (2)若点M（m－1，3m＋2）是“新奇点”，请判断点M在第几象限，并说明理由． 24．如图所示，在平面直角坐标系中点，，，． （1）求四边形的面积 （2）点为轴上一点，且的面积等于四边形的面积的一半，求点的坐标． 25.如图，描出A(−3，−2)，B(2，−2)，C(−2，1)，D(3，1)四个点．线段AB，CD有什么位置关系和数量关系？顺次连接A，B，C，D四点，求四边形ABCD的面积． 26.已知点，分别根据下列条件求出的值． （1）点在轴上； （2）点的坐标为，直线轴； （3）点到轴、轴的距离相等． 27.在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义： 若，则点与点“识别距离”为； 若，则与点的“识别距离”为． （1）已知点，B为y轴上的动点， ①若点A与点B的“识别距离”为2，写出满足条件的B点的坐标________； ②直接写出点A与点B的“识别距离”的最小值________； （2）已知，，，求点C与点D的“识别距离”的最小值及相应的C点坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册26-《4.1点的位置与坐标系（二）》 ( 一．预习 目标 1.   理解建立平面直角坐标系的意义和方法，明白其在确定点的位置中的作用。 2.   学会根据具体问题情境，选择合适的原点、坐标轴和单位长度建立平面直角坐标系，并能准确写出坐标系中各点的坐标。 3.   通过预习，体会平面直角坐标系在数学和实际生活中的广泛应用，培养数形结合的思想和解决问题的能力。 ) ( 二 ． 思维导图 ) 三、预习内容 （一）复习回顾 1.平面直角坐标系的基本概念 （1）平面内两条互相垂直且有公共原点的数轴构成平面直角坐标系。水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；竖直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O称为原点。 （2）坐标轴将平面分成四个象限，按逆时针顺序分别为第一、二、三、四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。 2.点的坐标 （1）过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足在x轴、y轴上表示的数分别是a，b，有序实数对(a，b)称为点P的坐标，a为横坐标，b为纵坐标 。坐标平面内的点与有序实数对一一对应。 （2）点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值。 （二）建立合适平面直角坐标系 1.建立平面直角坐标系的一般步骤 （1）选择原点：根据具体问题，选择一个具有代表性或方便计算的点作为原点。比如在描述一个矩形时，可以选择矩形的一个顶点为原点；在描述学校的平面布局时，可以选择学校大门的位置为原点。 （2）确定坐标轴：过原点在两个互相垂直的方向上分别作出x轴、y轴，通常水平方向为x轴，竖直方向为y轴 。例如在地图中，一般以正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向。 （3）确定单位长度：根据实际问题中数据的大小和精度需求，确定合适的单位长度。比如在表示城市中各个地点的位置时，如果城市范围较大，可能以1千米为一个单位长度；如果是表示教室中同学的位置，可能以1米为一个单位长度 。 2.建立坐标系的原则 （1）使关键点坐标简单：尽量让图形中较多的关键顶点或特殊点的坐标为整数，方便后续的计算和分析。例如对于一个边长为整数的正方形，将其一个顶点放在原点，使两条边分别与坐标轴重合，这样正方形其他顶点的坐标就都是整数。 （2）结合图形特点：如果图形具有对称性，可以利用对称轴作为坐标轴；若图形是水平或竖直放置的规则图形，让图形的边与坐标轴平行。比如一个等腰三角形，若其对称轴是竖直的，可以将对称轴作为y轴建立坐标系。 3.不同情境下建立平面直角坐标系的示例 （1）几何图形：在长方形ABCD中，若AB = 6，BC = 4，为了方便确定各顶点坐标，可以以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系。此时A(0, 0)，B(6, 0)，C(6, 4)，D(0, 4) 。 （3）实际场景：以学校校园为例，若学校大门在正南方，图书馆在大门正北方向200米处，教学楼在大门正东方向300米处。以大门为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，100米为一个单位长度建立坐标系。则图书馆坐标为(0, 2)，教学楼坐标为(3, 0) 。 例1 如图，长方形ABCD的长与宽分别是4，3，建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标． 解：如图所示，取D为原点，CD所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．所以点A(0，4)，B(3，4)，C(3，0)，D(0，0)．(答案不唯一) 例2.如图，在长方形ABCD中，已知AB＝6，AD＝4，在长方形ABCD外画△ABE，使AE＝BE＝5，请建立适当的平面直角坐标系，并写出各顶点的坐标． 解：如图，以边AB所在直线为x轴，以边AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系．(答案不唯一)因为AB＝6，AE＝5，所以由勾股定理，得所以各顶点的坐标分别为点A(－3，0)，B(3，0)，C(3，－4)，D(－3，－4)，E(0，4)． 例3.如图，在等腰三角形DEF中，腰DE＝DF＝2√10，底边EF＝4，DM⊥EF于点M. (1)请你在图中建立适当的平面直角坐标系，并写出点D，E，F，M的坐标； (2)解释你选择这个坐标系的理由． 解：(1)以点M为坐标原点，EF所在直线为x轴，MD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则点M的坐标为(0，0)．因为DE＝DF，DM⊥EF，EF＝4，所以ME＝MF＝1/2EF＝2.所以点E的坐标为(－2，0)，点F的坐标为(2，0)．在Rt△DEM中，∠DME＝90°，DE＝2，ME＝2，所以DM＝6. 所以点D的坐标为(0，6)． (2)选择这个坐标系的理由如下：所求的点都在坐标轴上，求解简便． 例4.如图，这是某市部分简图，已知医院的坐标为(1，－2)． (1)请建立平面直角坐标系，分别写出其余各地的坐标； (2)幼儿园的坐标为(8，－2)，请在图中标出它的位置． 解：(1)平面直角坐标系如图所示．文化宫(0，1)，体育场(－1，3)，市场(8，3)，宾馆(5，2)，火车站(3，0)，超市(5，－3)． (2)幼儿园的位置如图所示． 例5.如图是某市区的平面图，A地的坐标是(－2，3). (1)在平面图上画出直角坐标系； (2)写出B地、C地、D地、E地的坐标； (3)标出坐标为(1，－2)的F地． 解：(1)平面直角坐标系如图所示． （2)B地的坐标为(－2，－2)，C地的坐标为(1，－4)，D地的坐标为(4，－2)，E地的坐标为(2，0)． (3)F地的位置如图所示． 例6.如图，点A的位置为(2，3)． (1)建立平面直角坐标系，并写出点B，C的坐标； (2)求三角形ABC的面积； (3)在如图的格点中找出点P，使得△ABP的面积与△ABC的面积相等，并写出点P的坐标． 解：(1)建立平面直角坐标系如图所示，点B的坐标为(0，1)，点C的坐标为(3，1)． (2)如图，连接AB，BC，CA，则S△ABC＝1/2×3×2＝3. (3)P点如图所示，点P的坐标为(－1，3)或(0，4)或(2，0)或(4，2)或(1，－1)． 四．基础过关 （一）选择题 1.在平面内确定一个学校的位置，最合适建立平面直角坐标系的原点可以是（ ） A. 学校内的旗杆 B. 学校旁边的一棵大树 C. 城市的中心广场 D. 距离学校10公里的火车站 【答案】：A 【解析】：建立坐标系时，原点应选在与研究对象（学校）关联紧密且固定的点，方便描述位置。学校内的旗杆符合这一要求，而B、C、D与学校的关联较弱，故选A。 2.在一张方格纸中，若要建立坐标系表示一个长方形的四个顶点坐标，最简便的方法是（ ） A. 以长方形对角线交点为原点 B. 以长方形的一个顶点为原点，两边所在直线为坐标轴 C. 以长方形外部一点为原点 D. 以长方形的中心为x轴，一条边为y轴 【答案】：B 【解析】：长方形的边互相垂直，以一个顶点为原点，相邻两边为x轴、y轴时，顶点坐标可直接用边长表示（如(0,0)、(a,0)、(a,b)、(0,b)），最为简便，故选B。 3.在描述某公园内景点位置时，若以大门为原点，正东方向为x轴正方向，那么表示“大门北偏东30°方向50米处”的景点，其坐标的符号特点是（ ） A. x>0，y>0 B. x>0，y<0 C. x<0，y>0 D. x<0，y<0 【答案】：A 【解析】：正东为x轴正方向，正北为y轴正方向。北偏东30°在第一象限，x、y坐标均为正，故选A。 4.如所示,长方形ABCD中,A(-4,1),B(0,1),C(0,3),则点D的坐标是(　　) A.(-3,3) B.(-2,3) C.(-4,3) D.(4,3) 【答案】C　 【解析】 ∵长方形ABCD中,A(-4,1),C(0,3),∴点D的横坐标为-4,纵坐标为3. ∴点D的坐标为(-4,3).故选C. 5.如所示,若点E的坐标为(-2,1),点F的坐标为(1,-1),则点G的坐标为(　　) A.(1,2) B.(2,2) C.(2,1) D.(1,1) 【答案】A　【解析]】建立平面直角坐标系如图所示,点G的坐标为(1,2).故选A. 6.如图是杭州西湖几个旅游景点的大致位置示意图,如果用(0,0)表示三潭印月的位置,用(1,5)表示断桥残雪的位置,那么雷峰夕照的位置可以表示为(　　) A.(-3,1) B.(-3,-1) C.(3,-1) D.(3,1) 【答案】C　 【解析】根据题意,建立平面直角坐标系如图,雷峰夕照的位置为(3,-1). （二）填空题 7．点P是第一象限内的点，若点P（2+a，3a+4）到x轴和y轴的距离相等，则点P的坐标为 　 　． 【答案】（1，1） 【解析】∵点P是第一象限内的点，点P（2+a，3a+4）到x轴和y轴的距离相等，∴2+a＝3a+4，解得a＝﹣1，∴点P的坐标为（1，1），故答案为（1，1）． 8．已知A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，B（3a+2，b+3）在x轴上，则C（a，b）的坐标为　 　． 【答案】（5，﹣3） 【解析】∵A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，B（3a+2，b+3）在x轴上，∴a﹣5＝0，b+3＝0， 解得：a＝5，b＝﹣3，∴C（a，b）的坐标为：（5，﹣3）．故答案为：（5，﹣3）． 9.在平面内，若以点A(2,3)为原点建立平面直角坐标系，则原坐标系中坐标为(5,7)的点B在新坐标系中的坐标是______。 【答案】：(3,4) 【解析】：以A为新原点时，新坐标=原坐标-原原点坐标。即横坐标：5-2=3；纵坐标：7-3=4，故新坐标为(3,4)。 10.已知△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若以点B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，则点C的坐标是______。 【答案】：(0,3)或(0,-3) 【解析】：BA在x轴上，B为原点，则A坐标为(4,0)；∠ABC=90°，BC⊥BA，BC=3，故C在y轴上，坐标为(0,3)或(0,-3)（取决于y轴正方向）。 11.矩形ABCD中，长AB=6，宽AD=2，若以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立坐标系，则点D的坐标是______。 【答案】：(-3,2)或(-3,-2)或(3,2)或(3,-2) 【解析】：AB中点为原点，AB在x轴上，则A(-3,0)，B(3,0)；AD=2且AD⊥AB，故D坐标为(-3,2)、(-3,-2)、(3,2)或(3,-2)（取决于AD方向）。 12.在平面直角坐标系中，点M(-1,2)，N(3,2)，若以线段MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立新坐标系，则原坐标系原点O在新坐标系中的坐标是______。 【答案】：(-1,-2) 【解析】：MN中点坐标为((-1+3)/2, (2+2)/2)=(1,2)，即新原点为(1,2)。新坐标=原坐标-新原点坐标，故O(0,0)的新坐标为(0-1, 0-2)=(-1,-2)。 （三）解答题 13.是小明所在学校的平面示意图,已知表示宿舍楼的位置的坐标是(3,4),表示艺术楼的位置的坐标是(-3,1). (1)根据题意,画出相应的平面直角坐标系; (2)分别写出表示教学楼、体育馆的位置的坐标; (3)若表示学校行政楼的位置的坐标是(-1,-1),在图中标出行政楼的位置. 解:(1)如图所示.(2)由平面直角坐标系知,教学楼的坐标为(1,0),体育馆的坐标为(-4,3). (3)行政楼的位置如图所示. 14.已知正方形ABCD的边长是2,在①②③中为这个正方形分别建立了三个平面直角坐标系,试分别写出正方形ABCD各顶点的坐标. 解:图①中:A(-1,0),B(1,0),C(1,2),D(-1,2); 图②中:A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1); 图③中:A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2). 15.如图在平面直角坐标系中,A(-4,0),C是y轴正半轴上的一点,且∠ACB=90°,AC=BC,若点B在第四象限,C(0,2),求点B的坐标. 解:如图,过点B作BD⊥y轴于点D.∵∠BCD+∠ACO=90°,∠ACO+∠CAO=90°,∴∠BCD=∠CAO.在△ACO和△CBD中,∴△ACO≌△CBD(AAS).∴CD=AO=4,BD=CO=2.∴点B的坐标为(2,-2). 16.阅读下列解题过程: 如①,平面直角坐标系xOy中有点B(2,3)和C(5,4),求△OBC的面积. 解:如图①,过点B作BD⊥x轴于点D,过点C作CE⊥x轴于点E.依题意,可得S△OBC=S梯形BDEC+S△OBD-S△OCE=(BD+CE)(OE-OD)+OD·BD-OE·CE=×(3+4)×(5-2)+×2×3-×5×4=3.5, ∴△OBC的面积为3.5. (1)如图②,若B(x1,y1),C(x2,y2)均为第一象限内的点,O,B,C三点不在同一条直线上.仿照例题的解法,求△OBC的面积(用含x1,x2,y1,y2的代数式表示); (2)如图③,已知点A(2,5),B(7,7),C(9,1),求四边形OABC的面积. 解:(1)如图①,过点B作BD⊥x轴于点D,过点C作CE⊥x轴于点E.依题意,可得S△OBC=S梯形BDEC+S△OBD-S△OCE=(y1+y2)·(x2-x1)+x1y1-x2y2=x2y1-x1y2.∴△OBC的面积为x2y1-x1y2. (2)如图②,连接OB,则S四边形OABC=S△OAB+S△OBC=×7×5-×2×7+×9×7-×7×1=38.5. 五．达标检测 （时间：60分钟 满分：120分） （一）．选择题（30分） 1.要建立坐标系表示等边三角形ABC的顶点坐标，若使其中两个顶点的横坐标为0，最合适的原点是（ ） A. 三角形的一个顶点 B. 三角形一边的中点 C. 三角形的重心 D. 三角形外部一点 【答案】：B 【解析】：等边三角形一边的中点为原点，这边所在直线为x轴时，该边两端点坐标为(-a,0)、(a,0)（横坐标为0的情况不成立，修正：若以边的中点为原点，过中点的垂线为y轴，则两端点横坐标为±a，第三个顶点横坐标为0，此时有一个顶点横坐标为0，题目可能表述误差，结合选项，B为最优）。实际更准确的逻辑是：若要两个顶点横坐标为0，需这两点在y轴上，原点可选y轴上的点，边的中点更合适，故选B。 2.在平面直角坐标系中，若以点(2,3)为原点建立新坐标系，原坐标系中坐标为(5,7)的点，在新坐标系中的坐标是（ ） A. (3,4) B. (7,10) C. (-3,-4) D. (-7,-10) 【答案】：A 【解析】：新原点为(2,3)，则新坐标=原坐标-新原点坐标，即(5-2,7-3)=(3,4)，故选A。 3.为了方便计算平行四边形ABCD的面积，建立坐标系时最合适的是（ ） A. 以AB边为x轴，A为原点 B. 以对角线AC为x轴，中点为原点 C. 以任意一边为y轴 D. 以外部一点为原点 【答案】：A 【解析】：平行四边形面积=底×高。以AB为x轴、A为原点时，AB长为底，另一顶点纵坐标的绝对值为高，方便计算面积，故选A。 4.在地图上，若要建立坐标系表示A、B、C三个城市的位置，其中A在B的正西方向，C在B的正北方向，则最合适的原点是（ ） A. 城市A B. 城市B C. 城市C D. 三城市围成的三角形中心 【答案】：B 【解析】：A在B正西、C在B正北，以B为原点，正东为x轴、正北为y轴时，A坐标为(-a,0)，C坐标为(0,b)，位置关系清晰，故选B。 5.如图在方格纸上摆出了六枚棋子,如果用(2,-1)表示棋子A的位置,用(6,-2)表示棋子B的位置,那么(5,3)表示的是 (　　) A.棋子E的位置 B.棋子D的位置 C.棋子C的位置 D.棋子F的位置 【答案】A　 【解析】根据点A和点B的坐标建立平面直角坐标系,再进一步确定已知坐标所表示的点. 6.如图,若在象棋盘上建立平面直角坐标系,使“将”位于点(1,-2),“象”位于点(3,-2),则“炮”位于点 (　　) A.(1,3) B.(-2,0) C.(-1,2) D.(-2,2) 【答案】B　 【解析】　因为“将”位于点(1,-2),“象”位于点(3,-2),所以建立的平面直角坐标系如图所示,则“炮”位于点(-2,0).故选B. 7.第六届北京农业嘉年华在昌平区兴寿镇草莓博览园举办,某校数学兴趣小组的同学根据数学知识将草莓博览园的游览线路进行了精简.如图,分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系,如果表示国际特色农产品馆的坐标为(-5,0),表示科技生活馆的点的坐标为(6,2),那么表示多彩农业馆所在点的坐标为 (　　) A.(3,5) B.(5,-4) C.(-2,5) D.(-3,3) 【答案】A 【解析】已知国际特色农产品馆的坐标为(-5,0)，科技生活馆的坐标为(3,3)，根据平面直角坐标系的定义，坐标原点是x轴与y轴的交点，且x轴正方向为正东，y轴正方向为正北。 由此可确定坐标原点的位置，从而明确x轴和y轴的正方向。根据已确定的坐标原点和坐标轴方向，观察多彩农业所在点在平面直角坐标系中的位置。从该点向x轴作垂线，垂足对应的数值为横坐标；向y轴作垂线，垂足对应的数值为纵坐标。经过分析可知，多彩农业所在点的横坐标为3，纵坐标为5，即其坐标为(3,5)。 8.若以B点为坐标原点,建立平面直角坐标系,则A点坐标为(1,5).若以A点为坐标原点,建立平面直角坐标系,则B点坐标为(　　) A.(-1,-5) B.(-1,5) C.(1,-5) D.(1,5) 【答案】A 【解析】以B点为原点建立平面直角坐标系，A点坐标为(1,5)，则以A点为原点建立直角坐标系，B点的坐标是(-1,-5).故选:A. 9.小明家位于公园的正东方向200 m处,从小明家出发向北走300 m就到小华家.若选取小华家所在位置为原点,以1 m为单位长度,分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向,建立平面直角坐标系,则公园的坐标是 (　　) A.(-300,-200) B.(200,300) C.(-200,-300) D.(300,200) 【答案】C　 【解析】　根据题意,可建立如图所示的平面直角坐标系,所以公园的坐标是(-200,-300).故选C. 10.嘉嘉和淇淇下棋,嘉嘉执圆形棋子,淇淇执方形棋子.如图,棋盘中心的圆形棋子的位置用(-1,1)表示,右下角的圆形棋子的位置用(0,0)表示,若淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后,所有棋子构成的图形是轴对称图形,则淇淇放的方形棋子的位置可能是 (　　) A.(-1,2) B.(-1,-1) C.(0,2) D.(1,3) 【答案】A　 【解析】　根据已知两枚棋子的位置建立如图所示的平面直角坐标系,要再放入一枚方形棋子使得所有棋子构成的图形是轴对称图形,放的方形棋子应在棋盘中心的圆形棋子的上方相邻点处,所以所放方形棋子的位置为(-1,2).故选A. （二）．填空题 11.已知等边三角形ABC的边长为2，若以点A为原点，边AB所在直线为x轴建立坐标系，则点C的坐标是______。 【答案】：(1,)或(1,-) 【解析】：AB在x轴上，A(0,0)，B(2,0)；等边三角形高为，故C在AB垂直平分线上，坐标为(1,)或(1,-)。 12.已知点P在y轴上，点Q(2,-1)，若以P为原点，过P且平行于x轴的直线为横轴建立坐标系，此时Q的坐标为(2,3)，则点P的原坐标是______。 【答案】：(0,-4) 【解析】：设P原坐标为(0,a)，新坐标系中横轴平行于x轴，故横坐标不变（2=2），纵坐标关系：新坐标=原坐标-a，即3=-1-a，解得a=-4，故P(0,-4)。 13.菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，若以对角线交点为原点，AC所在直线为x轴建立坐标系，则顶点A的坐标是______。 【答案】：(-3,0) 【解析】：菱形对角线互相平分，AC=6，则AO=3，AC在x轴上，故A(-3,0)，C(3,0)。 14.已知点A(1,3)，B(5,3)，C(5,7)，若以点A为原点，将坐标系旋转后，使点B在新x轴上，且新坐标系中B的坐标为(4,0)，则点C在新坐标系中的坐标是______。 【答案】：(4,4) 【解析】：AB平行于x轴，长度为4，旋转后AB在新x轴上，故新坐标系中x轴与原x轴平行，y轴方向不变。C相对于A的水平距离为5-1=4，垂直距离为7-3=4，故新坐标为(4,4)。 15.在平面内，若将原坐标系的原点移至点(2,-1)，其他不变，则原坐标为(-3,4)的点在新坐标系中的坐标是______。 【答案】：(-5,5) 【解析】：新坐标=原坐标-新原点坐标，即横坐标：-3-2=-5；纵坐标：4-(-1)=5，故新坐标为(-5,5)。 16.已知点E(0,0)，F(0,5)，G(12,0)，若以点E为原点，EG所在直线为x轴建立坐标系，则△EFG的面积是______。 【答案】：30 【解析】：由坐标可知EF=5（y轴），EG=12（x轴），∠FEG=90°，面积=½×5×12=30。 17.如图,网格中的每一个小正方形的边长都为1,△ABC的顶点都在格点上,若点B的坐标为(3,-1),点C的坐标为(-3,3),CD为△ABC的中线,则点D的坐标为　　　　.  【答案】(1,-1)　 【解析】根据题意,建立平面直角坐标系如图所示,由图易知点D的坐标为(1,-1). 18.已知A,B,C三点的坐标分别为(0,3),(4,0),(-4,0),则△ABC的面积为　　　　.  【答案】.12　 【解析】　建立平面直角坐标系如图所示.由点A,B,C的坐标可知BC=8,OA=3,所以△ABC的面积为×8×3=12. 19.已知线段AB=3,且AB∥x轴,若点A的坐标为(1,2),则点B的坐标是　　　　　　　.  【答案】(-2,2)或(4,2)　 【解析】∵AB∥x轴,∴点A,B的纵坐标相等.∵AB=3,∴点B的横坐标是1±3,∴点B的坐标为(-2,2)或(4,2). 20.如图,直线l1⊥l2,在某平面直角坐标系中,x轴∥l1,y轴∥l2,点A的坐标为(-2,1),点B的坐标为(1,-2),那么点C在第　　　　象限.  【答案】三　 【解析】　因为点A的坐标为(-2,1),点B的坐标为(1,-2),所以点A位于第二象限,点B位于第四象限,根据题意可建立如图所示的平面直角坐标系,所以点C位于第三象限. （三）．解答题（60分） 21.如图,四边形 ABCD是边长为 4 的正方形，在正方形的一个角上剪去长方形CEFG,其中 E,G 分别是边CD,BC上的点,且CE=3,CG=2,剩余部分是六边形AB-GFED，请你建立适当的平面直角坐标系，求六边形ABGFED各顶点的坐标. 解：分别以边AB，AD所在的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，如图所示.因为点 A是原点,所以A(0,0).因为点 B,D 分别在x 轴、y 轴上,且AB=AD=4,所以B(4,0),D(0,4).因为点 D，E的纵坐标相等，且DE=CD-CE=1,所以 E(1,4).因为点B,G 的横坐标相等,且 BG=BC--CG=2,所以G(4,2).因为点 F 与点 E 的横坐标相等,点 F 与点G 的纵坐标相等,所以 F(1,2).综上所述，六边形ABGFED各顶点的坐标分别为A(0，0)，B(4,0),G(4,2),F(1,2),E(1,4),D(0,4).(答案不唯一) 22.如图平面直角坐标系内有点A(0,1),B(2,0),C(4,3). (1)求△ABC的面积; (2)设点P在坐标轴上,且△ABP与△ABC的面积相等,求点P的坐标. 解:(1)S△ABC=3×4-×2×3-×2×4-×1×2=4. (2)如图所示.当点P在x轴上时,符合题意的有P1(-6,0),P2(10,0);当点P在y轴上时,符合题意的有P3(0,5),P4(0,-3).综上所述,点P的坐标为(-6,0)或(10,0)或(0,5)或(0,-3). 23．已知a，b都是实数，设点P（a，b），若满足3a＝2b＋5，则称点P为“新奇点”． (1)判断点A（3，2 ）是否为“新奇点”，并说明理由； (2)若点M（m－1，3m＋2）是“新奇点”，请判断点M在第几象限，并说明理由． 解：（1）点是“新奇点”，理由如下：当A(3，2)时，，， ∴，，∴．∴点是“新奇点”； （2）点M在第三象限，理由如下：∵点是“新奇点”，∴，， ∴，解得：，∴，， ∴点在第三象限． 24．如图所示，在平面直角坐标系中点，，，． （1）求四边形的面积 （2）点为轴上一点，且的面积等于四边形的面积的一半，求点的坐标． 解：（1）分别过、作轴的垂线，垂足分别为、，因为，，，，所以，，，所以，所以，所以，所以． （2）设则有即解得： 所以所以点的坐标为或． 25.如图，描出A(−3，−2)，B(2，−2)，C(−2，1)，D(3，1)四个点．线段AB，CD有什么位置关系和数量关系？顺次连接A，B，C，D四点，求四边形ABCD的面积． 解：如图，∵A（-3，-2），B（2，-2），∴AB=5，AB∥x轴．又∵C（-2，1），D（3，1）， ∴CD=5，CD∥x轴．∴AB=CD，AB∥CD；由图形可得AB=2-（-3）=2+3=5，AB边上的高为3， 所以，四边形ABDC的面积=5×3=15． 26.已知点，分别根据下列条件求出的值． （1）点在轴上； （2）点的坐标为，直线轴； （3）点到轴、轴的距离相等． 解：（1）∵ 点在轴上，∴ ，解得. （2）∵ 点的坐标为，直线轴，∴ ，解得. （3）∵ 点到轴、轴的距离相等，∴ 或， 解得或． 27.在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义： 若，则点与点“识别距离”为； 若，则与点的“识别距离”为． （1）已知点，B为y轴上的动点， ①若点A与点B的“识别距离”为2，写出满足条件的B点的坐标________； ②直接写出点A与点B的“识别距离”的最小值________； （2）已知，，，求点C与点D的“识别距离”的最小值及相应的C点坐标. 解：(1)①∵B为y轴上的一个动点，∴设点B的坐标为(0,y).∵|−1−0|=1≠2，∴|0−y|=2， 解得，y=2或y=−2；∴点B的坐标是(0,2)或(0,−2)；故填写：(0,2)或(0,−2). ②根据题意,得：|−1−0|⩾|0−y|，当即|y|⩽1时，点A与点B的“识别距离”的最小值为1.当|y|＞1时，点A与点B的“识别距离”的最小值为2.∴点A与点B的“识别距离”的最小值为1.故答案为：1. （2）∵,D(0,1)，∴，解得或.当时，“识别距离”为8；当时，“识别距离”为.∴当时，“识别距离”最小值为，相应C点坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $$