【第五章 直角三角形 02讲 勾股定理及其逆定理】【五大知识点+十大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版湘教版专用）

第五章 直角三角形 02讲 勾股定理及其逆定理 题型归纳 【题型1. 用勾股定理理解三角形】………………………………………………… 3 【题型2. 勾股数问题】……………………………………………………………… 6 【题型3. 勾股定理与网络问题】…………………………………………………… 7 【题型4. 勾股定理中折叠问题】…………………………………………………… 12 【题型5. 勾股定理中面积问题】…………………………………………………… 17 【题型6. 勾股定理的证明方法】…………………………………………………… 21 【题型7. 以弦图为背景的计算题】………………………………………………… 28 【题型8. 勾股定理与无理数】……………………………………………………… 33 【题型9. 判断三边能否构成直角三角形】………………………………………… 37 【题型10. 利用勾股定理的逆定理求解】…………………………………………… 39 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 44 知识清单 知识点1 勾股定理 C B A a b C 1.定义：如果直角三角形的两条直角边分别为，b，那么 . 2.符号语言：∵ 在Rt△ABC中，∠C=90° ∴ 【提示】 变式：，，，， 知识点2 勾股定理的验证 1.赵爽弦图：∵ S大正方形=，S小正方形=， S三角形=，S大正方形=S小正方形+S三角形 ∴ ∴ 2.加菲尔德拼图：∵ S梯形=， S大三角形= S小三角形=，S梯形=S大三角形+S小三角形 ∴ ∴ 3.毕达哥拉斯拼图：∵ S大正方形=， S小正方形= S三角形=，S大正方形=S小正方形+S三角形 ∴ ∴ 知识点3 勾股数及勾股树扩展 1.勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 【提示】 （1）常见的勾股数：3,4,5 ；5,12,13 ；6,8,10 ；8,15,17 ；7,24,25 ；9,12,15…… （2）如果，b，c为一组勾股数，则，nb，nc也是一组勾股数，其中n（n≥1）为自然数. 2.勾股树扩展：S3=S1+S2 等腰直角三角形 等边三角形 知识点4 勾股定理与数轴 要求：在数轴上作出表示实数和的点. 作法（）：如图5.2-6，（1）由勾股定理可知，当两条直角边都为1时， 该直角三角形的斜边OA1长为； （2）以原点O为圆心，OA1为半径画圆弧，与数轴的交点就是 表示的点. 作法（）：（1）当两条直角边分别为，1时，该直角三角形的斜边OA2长为； （2）以原点O为圆心，OA2为半径画圆弧，与数轴的交点就是表示的点. 知识点5 勾股定理的逆定理 1.定义：如果直角三角形的三条边，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形. 2.符号语言：如图，∵ ∴ △ABC是直角三角形，∠C=90° 题型专练 题型1. 用勾股定理理解三角形 【例1】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在四边形中，，相交于点O，且，若，，则的值为（   ） A．12 B．20 C．25 D．26 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，，， ∵，， ∴ ， ∴的值为25． 故选：C． 【例2】（24-25九年级下·浙江衢州·自主招生）如图，已知，垂足为点，，且，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．13 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，设，可得，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， 在中，，， ∵， ∴， 解得：， 所以，， 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【分析】先由勾股定理求出，再由求出，再由勾股定理可得，得，即可得出结论． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·广东汕尾·期末）汕尾城区“网红打卡景点”——小岛渔村（屿仔岛），为便于市民、游客通行，物流交往，现已在小岛与湖滨大道码头之间修建一座桥（如图），在与方向成角的方向上的点处测得，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，直接利用勾股定理即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ∴， 故选：． 题型2. 勾股数问题 【例1】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）下列各组数为勾股数的是（   ） A．7，12，13 B．3，3，4 C．0.1，0.2，0.3 D．9，12，15 【分析】本题考查了勾股数，如果三个正整数满足，那么这三个正整数就是勾股数，解决本题的关键是根据勾股数的定义进行判断． 【详解】解：A、， 7，12，13不是勾股数，故该选项不符合题意； B、， 3，3，4不是勾股数，故该选项不符合题意； C、0.1，0.2，0.3不是正整数， 0.1，0.2，0.3不是勾股数，故该选项不符合题意； D、， 9，12，15是勾股数，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）下列各数中，与6，8能构成勾股数的是（   ） A．6 B．8 C．10 D．14 【分析】本题考查了勾股数．熟练掌握勾股数的定义，是解题的关键．勾股数的定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数． 根据勾股数的定义，分当第三个数为最大数，或当8为最大数，求出两种情况下的第三数，验证是否满足正整数，即得． 【详解】解：当第三个数为最大数，第三数为 ，与6，8能构成勾股数． 当8为最大数，第三数为 ，不是勾股数． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，不属于“勾股数”的是（   ） A．3，4，5 B．5，7，9 C．8，15，17 D．7，24，25 【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理的公式是解题的关键． 根据勾股数的定义，即三个正整数满足（其中为最大数），逐一验证各选项即可． 【详解】解：A：，满足勾股数条件，故该选项不符合题意； B：，而，，不满足勾股数条件，故该选项符合题意； C：，满足勾股数条件，故该选项不符合题意； D：，满足勾股数条件，故该选项不符合题意． 故选：B． 题型3. 勾股定理与网络问题 【例1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，图中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点上，则其三边的大小关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了勾股定理，无理数的大小比较．根据勾股定理分别求出三边的大小，再比较，即可． 【详解】解：， ∵， ∴． 故选：A 【例2】（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在的正方形网格中，直线过点，点都在格点处，则点到直线的距离是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，理解题意，结合图形求解是解题关键． 直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，据此求解即可． 【详解】解：由题图可知，， ， 点到直线的距离是线段的长度． 故选：B 【例3】（24-25八年级下·新疆喀什·期末）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点． (1)在网格中画一个长为的线段； (2)证明你画的线段为． 【分析】本题考查利用勾股定理画图． （1）借助格点，根据勾股定理构长为的线段即可； （2）利用勾股定理进行证明即可． 【详解】（1）解：线段即为边长为的线段； （2）解：∵为直角三角形，，， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点得，则边上的高是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用面积法，即用两种不同的表达方式列出三角形的面积．利用填充法算出的面积，即正方形的面积减去，和的面积和，再利用勾股定理算出的长度，利用面积法列方程，即可解决． 【详解】解：如图， 小正方形边长为， ，， ∴， 同理，，， 正方形的面积为：， ∴， 在中，， ∵， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·广东东莞·期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为，，，三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．点到直线的距离是 【分析】本题主要考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．根据勾股定理以及其逆定理和三角形的面积公式逐项分析即可得到问题答案． 【详解】解：A、，故本选不符合题意； B、∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴，故本选不符合题意； C、，故本选符合题意； D、点A到直线的距离，故本选不符合题意； 故选：C． 【变式3】（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，点，，在边长为的正方形组成的网格格点上，解答下列问题： (1)线段的长为______，线段 的长为______； (2)连接，判断的形状，并证明你的结论． 【分析】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． （1）根据勾股定理进行计算即可； （2）根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：由图可知，，， 故答案为：，； （2）解：是直角三角形， 证明：由知，，， ， ， 是直角三角形． 题型4. 勾股定理中折叠问题 【例1】（2025·吉林长春·二模）如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）    A． B． C．3 D．2 【分析】本题考查了勾股定理与翻折问题，熟练掌握勾股定理和翻折的性质是解题的关键．根据勾股定理和翻折的性质即可求解． 【详解】解：点是边的中点， ， 由翻折的性质得，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·云南文山·期末）如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】本题考查了勾股定理，图形的翻折变换，掌握相关知识点是解题的关键． 先在中由勾股定理求出，再利用翻折的性质求出，再求的长． 【详解】在中，，，， ， 由翻折的性质知，， ． 故选：B． 【例3】（2025·江西吉安·一模）如图，一张长方形纸片的长，宽．点E在边上，点F在边上，将四边形沿直线翻折后，点B落在边的三等分点G处，则的长为 ． 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理．因为点为的三等分点，所以或4，由折叠的性质可得，，，设，则或，再由勾股定理分别计算即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，， ∵点为的三等分点， ∴或4， 当时， 设，则， 由勾股定理得：，即， 解得：， ∴， 当时， 设，则， 由勾股定理得：，即， 解得：， ∴， 故答案为：或． 【变式1】（24-25九年级下·湖南湘潭·期中）在矩形中，，，现将矩形折叠使点与点重合，则折痕的长是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE的长度是解题的关键，也是本题的突破口． 根据矩形的性质，可得，，再由折叠的性质可得：，，然后在中，根据勾股定理可得，，再证得，过点E作于点H，则，在根据勾股定理解答，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质得：，， 在中，，，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，过点E作于点H，则， ∴， ∴． 故选：D 【变式2】（24-25八年级下·北京朝阳·期末）如图，在中，，点D，E分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为，点刚好落在边上．图中与线段相等的线段是 ；若，，则的长为 ． 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．设，则，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知， 设，则， ∵，， ∴，即， 解得， 故答案为：；3． 【变式3】（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）如图，在中，，，，D为斜边上的一动点（不包含A，B两端点），将沿折叠，点A落在点处，与相交于点E，若，则的长为 ．    【分析】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用．利用平行线的性质以及折叠的性质，即可得到，即，再根据勾股定理可得，最后利用面积法得出，可得，进而依据，即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可得，， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 题型5. 勾股定理中面积问题 【例1】（2025·河南商丘·三模）如图，在中，，，．分别绕点A顺时针、逆时针各旋转，得到和，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【分析】本题考查旋转的性质，直角三角形的边角关系以及扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及旋转的性质是正确解答的关键．根据旋转的性质，三角板的特殊角求出扇形的圆心角度数，根据勾股定理求出扇形的半径，由扇形面积以及三角形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：由题意得，，，， ，，． ，， 故答案为：． 【例2】（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，正方形的面积是169平方厘米，正方形面积是144平方厘米，正方形的面积是25平方厘米，则阴影四边形的面积是 平方厘米．    【分析】根据正方形的面积、正方形面积、正方形的面积可以计算，，，进而判定为直角三角形，即可求证、、三点共线，且阴影部分的面积为，即可解题． 【详解】解：根据正方形的面积、正方形面积、正方形的面积可得厘米，厘米，厘米，且满足， 为直角三角形， ， 、、三点共线，、、三点共线， 为直角三角形，（厘米），（厘米）， ∴（平方厘米） （平方厘米） ∴（平方厘米）． ∵（平方厘米） ∴阴影四边形的面积（平方厘米）． 故答案为 ． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，勾股定理的逆定理判定直角三角形，正方形各边长相等、各内角为直角的性质，三角形面积的计算，本题中求阴影部分的面积为是解题的关键． 【例3】（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图所示的是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形，已知③号正方形的面积是1，那么①号正方形的面积是 ． 【分析】本题考查勾股定理定理，根据正方形的边长相等，等腰直角三角形的直角边相等，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，可知，③号正方形的边长为1， 由勾股定理，得：4号正方形的面积为：， ②号正方形的面积为：， 5号正方形的面积为：， ①号正方形的面积为：； 故答案为：16． 【变式1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用和三角形面积的算法，解决此题的关键是合理的运用勾股定理；先根据勾股定理和已知的式子算出，再根据同底等高的算法即可得到答案； 【详解】解：在△中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，由勾股定理得：， 即， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为5， 故答案为：5． 【变式2】（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，图①中的直角三角形斜边长为5，将四个图①中的直角三角形分别拼成如图②所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为 ． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．根据题意设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，根据勾股定理可得，根据图形面积可得，即可求得答案． 【详解】解：设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为， ∴ 故答案为：25． 【变式3】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，以斜边和直角边为直径的半圆面积分别记为、，则 ．（结果保留π） 【分析】根据题意，得，，根据勾股定理，得，代入解答即可． 本题考查了圆的面积，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∴ ∵， ∴， 故答案为：． 题型6. 勾股定理的证明方法 【例1】（24-25八年级下·广东汕头·期末）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·山东济南·期中）用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形，解答下列问题： (1)根据图2，利用图形的面积关系，试说明． (2)利用（1）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且，求小正方形的面积． 【分析】本题考查了对勾股定理的证明，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键． （1）方法1、根据图2是由4个完全一样的直角三角形和1个小正方形构成的，所以其面积个正方形的面积个三角形的面积；方法2、观察图形发现图2是一个正方形，所以其面积边长；写出、、之间的等量关系； （2）直接用（1）的结论求出结果． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：大正方形的面积是25， ， ， ， ， ． 由（1）得， ， 小正方形的面积等于1． 【例3】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图1的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，图2的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为．请利用达芬奇的方法证明勾股定理．    【分析】本题考查勾股定理的证明，首先根据正方形和三角形的面积公式，用含，，的代数式分别表示，，再根据题意列方程即可得到结论． 【详解】证明：根据题意得，图1中空白部分的面积， 图2中空白部分的面积， 由，得， ． 【变式1】（24-25八年级下·河北邢台·期中）在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 【分析】本题考查了勾股定理的证明，面积转化法，完全平方公式，掌握方法是解题的关键． 由图形中的面积关系：梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积，正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积，化简即可求解． 【详解】解：甲同学的方案： 由题意得等腰三角形的直角三角形； 梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积， ， 整理得， 因此甲同学的方案可以证明勾股定理． 乙同学的方案： 大正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积， ， ， ， 因此乙同学的方案可以证明勾股定理； 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程，（1）依据图1中的正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得； （2）根据四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24得直角三角形的斜边长为6，设，依题意有，进行计算即可得； （3）设每个三角形的面积都为y，则，，即可得，根据，即可得； 掌握勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 则． （2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24， ∴直角三角形的斜边长为：， 设， 依题意有， ， 解得：， ． 故该飞镖状图案的面积是． （3）解：设每个三角形的面积都为y， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【变式3】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，连接，的三边长分别为a，b，，利用四边形的面积的不同求法，列等量关系，可证得勾股定理． （1）______（用含a，b的式子表示） ＝______（用含a，b，c的式子表示） 利用面积的等量关系，整理得出：______； 【探究】淇淇将从图1的位置开始沿向左移动，直到点F与点B重合时停止，如图2所示，与交于点O．淇淇在图2中也尝试利用四边形的面积对勾股定理进行证明． （2）请你帮助她完成证明过程； （3）【应用】在图2的基础上，若四边形的面积为200，的长为12，求的长． 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键． （1）根据两种不同方式表示四边形的面积，建立等量关系即可求解； （2）先根据梯形面积公式得到，再根据得到，据此可证明结论； （3）根据题意可得．进而得到，据此求出c的值，再根据列式求解即可． 【详解】解：（1） 利用面积的等量关系得， 故答案为：，，； （2）证明：连接． ， 如图1所示，，则由平移的性质可得在图2中， ， ∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 题型7. 以弦图为背景的计算题 【例1】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，若，则小正方形与大正方形的边长之比为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，，推出，设，则，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，，， ∵， ， 设，则 ， ． 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·河南商丘·期末）将四个图1中的直角三角形拼成图2中的弦图，若，，则图2中阴影部分的面积为（   ）    A．11 B．12 C．9 D．10 【分析】本题考查了求阴影部分的面积，如图可知，正方形的面积减去四个直角三角形的面积等于阴影部分的面积． 【详解】解：， 故选：C． 【例3】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形较短的直角边，斜边，则小正方形的边长为 ． 【分析】本题考查了勾股定理的证明、勾股定理、正方形的面积，根据题意和勾股定理，可以求得直角三角形的另一条直角边，再根据小正方形的面积大正方形的面积四个直角三角形的面积，代入数据计算即可． 【详解】解：∵直角三角形较短的直角边，斜边， ∴另一条直角边为， ∵小正方形的面积大正方形的面积四个直角三角形的面积， ∴小正方形的面积为：， ∴小正方形的边长为7， 故答案为：7． 【变式1】（24-25八年级下·青海西宁·期末）如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，它是由四个全等的直角三角形围成的一个小正方形和一个大正方形．若大正方形的面积是49，小正方形的面积是4．设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，斜边长为，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了完全平方公式与几何图形．熟练掌握正方形性质，勾股定理，完全平方公式，是解题的关键． 根据几何图形得到，，，，然后利用完全平方公式变形求解判断即可． 【详解】解：∵大正方形的面积是49，小正方形的面积是4．设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，斜边长为， ∴，， ∴，故A、C选项正确，不符合题意； ∵， ∴，选项B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，选项D错误，符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边 ()，下列四个说法：①；②;③；④．其中说法正确的结论有 ．(填序号) 【分析】根据题意，得，，结合公式，求得，结合公式计算即可． 本题考查了弦图中公式变形计算，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握公式变形，弦图的几何意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∴， 故． 故①正确；②错误；③错误；④错误； 故答案为：①． 【变式3】（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）学习了勾股定理的证明方法后，小明同学对拼图产生了浓厚兴趣，他用四个完全相同的长为a宽为b的长方形纸片拼成如图所示正方形．若大正方形的面积为32，小正方形的面积为8，求每个小长方形纸片的对角线长． 【分析】此题考查了勾股定理，根据大正方形的面积为32，小正方形的面积为8，得到，，求得，根据勾股定理得到结论． 【详解】解：大正方形的面积为32，小正方形的面积为8， ∴，， ∴， ， 每个小长方形纸片的对角线长． 题型8. 勾股定理与无理数 【例1】（24-25八年级下·广西南宁·期末）利用勾股定理可以作出长为无理数的线段．如图，，过点作直线，在上取点，使，以点为圆心，的长为半径作弧，与数轴正半轴交于点，那么点表示的是（ ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握勾股定理和两点间的距离公式． 由题意可知：，，再根据勾股定理求出，从而求出，然后设点表示的数为，根据两点间的距离公式，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：由题意可知：， 直线， ， 由勾股定理得：， 设点表示的数为， ， 或不合题意舍去， 点C表示的数是， 故选：． 【例2】（24-25八年级下·北京·期中）如图，已知O为数轴原点．在数轴上截取线段，过点A作直线n垂直于，在直线n上截取线段，以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点．根据以上作图过程及所作图形，点C所表示的数是（ ） A． B．3 C．4 D． 【分析】利用勾股定理求出可得结论． 本题考查作图复杂作图，勾股定理，实数与数轴，解题的关键是理解题意，正确计算． 【详解】解：在中，， ， 点C表示的数为． 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，点为数轴上的原点，点在数轴的负半轴上，且点表示的数为，，，连接，请你在数轴的正半轴上画出点，使得点表示的数为．（保留画图痕迹，不写画法） 【分析】相题主要考查实数与数轴，根据勾股定理求出，进而确定点C所表示的数． 【详解】解：, 如图，点即为所求． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在数轴上找到分别表示原点，数1的点和点，过点作，且，再以点为圆心，以的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数是（　　） A．2 B． C． D． 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理．先利用勾股定理求出，结合数轴即可求解． 【详解】解：∵，，， 由勾股定理得， ∴， ∴点P表示的数为， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，正方形的面积为，点表示的数为，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点（点在点的左侧），则点表示的数为 ． 【分析】根据正方形的面积公式求出，从而求出，设点表示的数为，然后根据两点间的距离公式列出关于的方程，解方程求出即可． 本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式． 【详解】解：由题意可知：， 正方形的面积为， ， 设点表示的数为， ， 解得：， 点表示的数为：， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·山东潍坊·阶段练习）如何在数轴上作出表示的点，我们可以这样做：如下图，在数轴上找出表示与1的点，分别记为点A与点C，作，且，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数即为 参照上述方法，请在下面数轴上找出表示的点 【分析】本题考查实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意，利用勾股定理构建两直角边分别为2和4的直角三角形，进而可以得到表示的点． 【详解】解∶在数轴上找出表示与2的点，分别记为点与点，作，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数即为； 由作法可得， ， ， 点表示数为∶，点即为求作的点． 题型9. 判断三边能否构成直角三角形 【例1】（24-25八年级下·湖北孝感·期末）以长度分别为下列各组数的线段为边，可以组成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．5，12，13 C． D．9，16，25 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：“如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形”，逐一判断即可，掌握逆定理是解题关键．根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】A选项：，所以不能构成直角三角形，不符合题意； B选项：，所以能构成直角三角形，符合题意； C选项：，所以不能构成直角三角形，不符合题意； D选项：，所以不能构成直角三角形，不符合题意． 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·广西钦州·期末）由下列各组线段组成的三角形是直角三角形的是（   ） A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．2，3，5 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为3，4，4的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴长为3，4，5的三条线段可以组成直角三角形，故此选项符合题意； C、∵， ∴长为3，4，6的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴长为2，3，5的三条线段不可以组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·广西玉林·期末）若三角形的三边长分别为1，，2，则这个三角形是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三边长度均不相等，故非等腰或等边三角形，根据勾股定理判断三角形是否为直角三角形即可． 【详解】解：三边长度均不相等，故非等腰或等边三角形； ∵， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）下列条件无法判定是直角三角形的是（    ） A． B．，， C． D． 【分析】本题主要考查直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据题意求出角的度数或者利用勾股定理的逆定理进行计算即可． 【详解】解：A．∵， 设， ， ， ， ， ∴是直角三角形，故选项A不符合题意； B．∵，， ∴， ∴是直角三角形，故选项B不符合题意； C．∵， ， ， ， ∴是直角三角形，故选项C不符合题意； D．∵， 设， ∴， ∴不是直角三角形，故选项D符合题意； 故选：D． 题型10. 利用勾股定理的逆定理求解 【例1】（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在四边形中，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、求直角三角形面积等知识点．勾股定理用于直角三角形中求边长，勾股定理的逆定理用于判断三角形是否为直角三角形，注意要先判定直角三角形，进而计算四边形面积． （1）知道两直角边长运用勾股定理，即可求出斜边长度； （2）先运用勾股定理的逆定理判定形状，再分别求直角与面积，两个三角形面积之和即为四边形的面积． 【详解】（1）解：在中， ． 的长是5． （2）（2）， 又， ． ， ． ， ． 四边形的面积． 四边形的面积是11． 【变式1】（24-25八年级下·西藏·期中）如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积是(    ) A． B． C． D． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键．连接，利用勾股定理求出，利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ，， ， ， ，， ， 为直角三角形，且， ， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在中，是的中点，，交于点，且，，．求证：．    【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理的逆定理，并能进行推理论证是解决问题． 连接，由线段垂直平分线的性质得出，再由已知条件得出，由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形，故，即． 【详解】证明：连接，    是的中点，， 垂直平分， ， ∵，，． ， ， 是直角三角形， ∴． 即． 【变式3】（24-25八年级下·江西宜春·期末）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图，，，，，，现计划在空地内种草，若每平方米草地造价40元，则这块地全部种草的费用是多少元？ 【分析】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理．连接，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，，   ∴， ∴是直角三角形即， ∴， ∴（元）， 答：这块地全部种草的费用是5760元． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25八年级下·广西贺州·期末）下列各组数构成勾股数的是（   ）． A．，， B．1.5，2，2.5 C．6，8，12 D．9，40，41 【分析】本题主要考查了勾股数，以及勾股定理，解题关键是掌握勾股数组的定义，如果a、b、c为正整数，且满足，那么a、b、c叫做一组勾股数．根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】A、，，均为分数，不符合勾股数必须为正整数的要求，选项错误； B、1.5，2.5为小数，不符合勾股数必须为正整数的要求，选项错误； C. 6，8，12为整数，但，不满足勾股定理条件，选项错误； D. 9，40，41为整数，且，符合勾股数定义，选项正确； 故选：D． 2．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）已知的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 【详解】解：A、∵，， ∴最大角为， ∴不是直角三角形， 故本选项符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故本选项不符合题意； C、∵， ∴最大角是， ∴能构成直角三角形， 故选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本选项不符合题意． 故选：A． 3．（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（   ）． A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，以直角三角形三边为边长作正方形，若两个较小的正方形面积和等于最大的正方形面积，那么可证明直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，即可证明勾股定理，据此可得答案． 【详解】解：由题意知，，所以四幅图中只有D选项中的图形不能用面积验证勾股定理， 故选：D． 4．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在中，．以点O为圆心，长为半径画弧交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数是（    ） A．1 B．2 C． D． 【分析】本题主要考查了勾股定理，数轴上的无理数， 先根据勾股定理求出，再根据得出答案． 【详解】解：根据勾股定理，得， 即， 解得， 根据题意，得， 所以点P所表示的数是， 故选：C． 5．（24-25七年级下·广西玉林·期末）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，若，，则小正方形的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题考查了勾股定理等，先求出大正方形的面积为，由勾股定理得，求出小正方形的面积，即可求解；能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：正方形的面积为：， ， ， 小正方形的面积是， 故选：A． 6．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，在等腰直角三角形中，，于点D，点E是内一点，连接、、、，若，，，则的长为（    ） A． B．2 C． D．3 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理，添加辅助线构造等腰直角三角形及全等三角形，证明是解决问题的关键．根据题意，结合等腰直角三角形的性质可知，点只能在内，如图，过点作，利用勾股定理求得，过点作交于， 可得为等腰直角三角形，则，， 证明，进一步可得答案． 【详解】解：在等腰直角三角形中，，于点D， ∴，，， 如图，当点在内或上时，，不符合题意， ∴点只能在内，如图，过点作于， ∵，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 过点作交于， 则， ∴为等腰直角三角形，则，， ∵， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 7．（2025·河南许昌·三模）如图，在中，顶点在轴的负半轴上，，将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第3秒旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【分析】根据题意得出，将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第秒旋转结束时，相当于点顺时针旋转，画出图形，证明，得出点的坐标，即可求解． 【详解】解：∵，， ， ∴， ， 依题意将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第秒旋转结束时，相当于绕点顺时针旋转，如图所示，过点作轴，于点，则， ∵旋转，则，， 又， ∴ ∴ ∴ ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了规律旋转，勾股定理，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，解决问题的关键是探究旋转规律，确定旋转最后位置． 8．（2025·宁夏中卫·模拟预测）如图，将绕着点A顺时针旋转得到，点B、C的对应点分别为点D、E，点C、D、E恰好在一条直线上．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得，，，推出是等腰直角三角形，，过点A作于点H，得到，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：由旋转得，，， ∴是等腰直角三角形，， 过点A作于点H， ∴， ∴， 故选：C． 9．（24-25八年级下·湖南湘西·阶段练习）在中，，则（    ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能 【分析】本题主要考查了三角形边角关系，由已知条件入手，把进行变形，变形为，再利用三角形边角关系得,把其代入可得关系式，再利用完全平方公式得，可得，可得一定是锐角． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是三角形的三边， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴一定是锐角． 故选：A． 10．（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）    A． B． C． D． 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接，    ∵ ∴， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴． 故选：C． 二、填空题 11．（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，数轴上点O、A所表示的数分别是0，3，过点A作数轴，个单位长度，以O为圆心，长为半径画弧交数轴上A点的左侧一点C，则点C表示的数是 ． 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理．利用勾股定理可得，进而即可求解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：∵数轴， ∴， ∵数轴上点O、A所表示的数分别是0，3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C表示的数是， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·新疆吐鲁番·期末）在中，，，则斜边的长为 ． 【分析】本题考查的是利用勾股定理求边长的问题，根据勾股定理来进行解答即可． 【详解】解：∵中，，，为斜边， ∴ 故答案为：． 13．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，三个四边形均为正方形，则字母所表示的值是 ． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】解：由勾股定理得：， 故答案为：144． 14．（24-25八年级下·广东广州·期末）我国是最早发现勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．请利用勾股定理解决下列问题：如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为 ． 【分析】本题考查了勾股定理的运用．连接，由勾股定理求出，即可得出的长． 【详解】解：如图，连接，则， 在中，由勾股定理可得， 又∵， ∴， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在单位长度为1的的网格系中，的顶点都在格点上，则 ． 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定及性质．取格点D，使得，，连接．证明，是等腰直角三角形即可求解． 【详解】解：，， 取格点D，使得，， 连接， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为： 16．（24-25七年级下·山东烟台·期末）在中，，，．过点C作，使，连接．点P，Q分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系的应用，过点作，且，连接，，根据得到，即可得到，然后得到当M、P、C三点共线时，最小为，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：过点作，且，连接，， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即当M、P、C三点共线时，最小为， 这时， ∴， 故答案为：． 17．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则 【分析】本题考查了全等三角形的证明，勾股定理的灵活运用，本题中证明三角形全等得到相邻两个正放的正方形面积和等于这两个正方形间斜放的面积是解题的关键．由正方形的性质证明，则可得，同理得，，由此即可求解． 【详解】解：如图，由题意知，； ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 同理得，， ∴； 故答案为：4． 18．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）如图，中，，分别以的三边为直角边作三个等腰直角三角形：，，，若图中阴影部分的面积，，，则 ． 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理，得出．设分别交、于点、点，设，，，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案． 【详解】解：如图，设分别交、于点、点， ∵，，均是等腰直角三角形， ∴，，， 设，，，，， ∵，，， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：38． 19．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，分别以、、为边向上作正方形、正方形、正方形，点E在上，若，，则图中阴影的面积为 ． 【分析】本题考查求阴影部分的面积，全等三角形的性质和判定，勾股定理，利用面积分割法是关键． 勾股定理求出，根据条件证明，利用全等三角形的性质即可得到，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵，，， ∴， ∴， ∵是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴阴影面积， 故答案为：． 20．（24-25八年级下·福建漳州·期中）如图，在网格图中（每个小正方形的边长为1），A，B，C，D均为格点（网格线的交点），直线与所夹的锐角度数为 ． 【分析】本题考查了网格与勾股定理，勾股定理逆定理，平移的性质，等腰三角形的判定与性质，将平移到，再连接，运用网格与勾股定理算出，，，再运用勾股逆定理证明是等腰直角三角形，即可作答． 【详解】解：将平移到，再连接，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即直线与所夹的锐角度数为． 故答案为：． 三、解答题 21．（24-25八年级下·新疆吐鲁番·期末）如图，在中，，，，点D是外一点，连接，，且，． (1)求证：； (2)求四边形面积． 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，四边形的面积，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）先由勾股定理求出，进而根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可得证； （2）根据四边形的面积等于与的面积之和即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴． ∵， ， ∴， ∴是直角三角形，． （2）解：∵是直角三角形，且， ∴； ∵在中，， ∴． ∴． 22．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的长； 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题关键是熟练掌握勾股定理． （1）在中，根据勾股定理进行计算即可； （2）在中根据勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）解：在中，于点D， 故在中， ； （2）在中，于点D， 故在中， ． 23．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为． (1)______，______； (2)连接，判断是什么三角形，并说明理由． 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理可求出的长，则可证明，，据此可得结论． 【详解】（1）解：由勾股定理得：，， 故答案为：，； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图，由勾股定理得：， ， ， ，， ∴， 是等腰直角三角形． 24．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，线段、点、点均在小正方形的顶点上． (1)画出，使，，点在小正方形的顶点上； (2)画出，使，，点在小正方形的顶点上； (3)连接，直接写出的长． 【分析】本题主要考查了勾股定理，作等腰三角形， （1）根据勾股定理可知，作，，则，可得； （2）根据勾股定理可知，，即； （3）根据勾股定理求出． 【详解】（1）解：如图所示，就是所求作的三角形； （2）解：如图所示，就是所求作的三角形； （3）解：． 25．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，是等腰直角三角形，是的中点，为边上的动点，以为直角边，为直角顶点，向左侧作等腰直角三角形，连接，与直线交于点． (1)如图1，当点与点重合时． ①求的长． ②求证：． (2)如图2，连接，若，求的长． 【分析】（1）①由直角三角形斜边上中线的性质及勾股定理即可求解；②证明即可； （2）过点作交于点，证明，则；在中计算出，由即可求解． 【详解】（1）①解：是等腰直角三角形，， ； 是的中点，， ， 是等腰直角三角形，且， ， 由勾股定理得：； ②证明：是的中点， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作交于点， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 是的中点，， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． 26．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．    (1)如图②，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求原路长多少千米？ 【分析】本题主要考查勾股定理及等积法，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据梯形面积为或，则有等式，然后问题可求解； （2）设千米，则千米，然后根据勾股定理可得方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴梯形的面积为或， ∴， ∴， 即； （2）解：设千米，则千米， 在中，，即， 解得，即， 答：原路长千米． 27．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）【课本再现】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请写出证明过程． 【类比迁移】 （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为___________． 【能力提升】 （3）如图3，在中，是边上的高，，，，设的长为，请求出的值． 【分析】（1）利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为的正方形的面积建立方程，即可得出结论； （2）由折叠后空白部分的面积为边长为c的正方形的面积−2个直角三角形的面积可得答案； （3）设的长为，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解:（1）依题意，∵大的正方形的面积可以表示为， 大的正方形的面积还可以表示为 ∴ ∴ ∴； （2）空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）∵设的长为，则 ∵是边上的高 ∴ ∴ ∴ 解得． 【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 28．（24-25八年级下·广西贺州·期末）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，请直接写出、与之间的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，． ①求的长； ②如图3，延长，交于点，求的长度． 【分析】本题考查了“一线三垂直”的全等模型，掌握模型的构成与结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）①证即可求解；②设，根据，即可求解； 【详解】解：（1）、与之间满足的数量关系为：； 理由如下： 由题意得：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）①在等腰直角中，，， ，             于点，于点， ， ， ，             在和中， ， ，，         ；         ②设， 在中，     在中，     在中，     ，解得         29．（24-25八年级下·江西宜春·期末）我们定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图1，四边形中，，，则四边形叫做“等补四边形”． 【概念理解】（1）①在等补四边形中，若，则的度数为______； ②在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形    B．菱形    C．矩形    D．正方形 【性质探究】（2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． 【拓展应用】（3）将斜边相等的两块三角板如图3放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，，位于的两侧，其中，若，连接，则的长为______． 【分析】（1）①由四边形是等补四边形及等补四边形的定义得，结合，即可求解； ②在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，符合等补四边形的定义，即可得到问题的答案； （2）作于点，交的延长线于点，由四边形是等补四边形得，而，所以，可根据全等三角形的判定和性质得出，再根据直角三角形全等的判定和性质得出，所以平分； （3）过点作于点，则，先证明四边形是等补四边形，结合（2）结论得出平分，根据等角对等边得出，结合三角形内角和定理得出，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出，即可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形等补四边形，， ∴， ∴， 故答案为：． ②在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，只有正方形的邻边相等且对角互补， ∴正方形是等补四边形， 故选：D． （2）解：平分， 理由：如图，作于点，交的延长线于点， ∵四边形是等补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． （3）解：过点作于点，则， ∵，， ∴，， ∴四边形是等补四边形， 由（2）得，平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， 故， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，勾股定理等．正确作出辅助线是解题的关键． 30．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离．要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离，． (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； (2)求证：． 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键，要注意勾股定理逆定理的格式． （1）在中，先利用勾股定理求出，从而求出，再在中，利用勾股定理求出； （2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据斜边所对的角是直角从而得到． 【详解】（1）解：由题意可知：， 在中，， ， ， 在中，， ， 供水点到喷泉需要铺设的管道长为； （2）证明：，，， ， 是直角三角形，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 直角三角形 02讲 勾股定理及其逆定理 题型归纳 【题型1. 用勾股定理理解三角形】………………………………………………… 3 【题型2. 勾股数问题】……………………………………………………………… 4 【题型3. 勾股定理与网络问题】…………………………………………………… 5 【题型4. 勾股定理中折叠问题】…………………………………………………… 7 【题型5. 勾股定理中面积问题】…………………………………………………… 8 【题型6. 勾股定理的证明方法】…………………………………………………… 10 【题型7. 以弦图为背景的计算题】………………………………………………… 14 【题型8. 勾股定理与无理数】……………………………………………………… 15 【题型9. 判断三边能否构成直角三角形】………………………………………… 17 【题型10. 利用勾股定理的逆定理求解】…………………………………………… 18 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 20 知识清单 知识点1 勾股定理 C B A a b C 1.定义：如果直角三角形的两条直角边分别为，b，那么 . 2.符号语言：∵ 在Rt△ABC中，∠C=90° ∴ 【提示】 变式：，，，， 知识点2 勾股定理的验证 1.赵爽弦图：∵ S大正方形=，S小正方形=， S三角形=，S大正方形=S小正方形+S三角形 ∴ ∴ 2.加菲尔德拼图：∵ S梯形=， S大三角形= S小三角形=，S梯形=S大三角形+S小三角形 ∴ ∴ 3.毕达哥拉斯拼图：∵ S大正方形=， S小正方形= S三角形=，S大正方形=S小正方形+S三角形 ∴ ∴ 知识点3 勾股数及勾股树扩展 1.勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 【提示】 （1）常见的勾股数：3,4,5 ；5,12,13 ；6,8,10 ；8,15,17 ；7,24,25 ；9,12,15…… （2）如果，b，c为一组勾股数，则，nb，nc也是一组勾股数，其中n（n≥1）为自然数. 2.勾股树扩展：S3=S1+S2 等腰直角三角形 等边三角形 知识点4 勾股定理与数轴 要求：在数轴上作出表示实数和的点. 作法（）：如图5.2-6，（1）由勾股定理可知，当两条直角边都为1时， 该直角三角形的斜边OA1长为； （2）以原点O为圆心，OA1为半径画圆弧，与数轴的交点就是 表示的点. 作法（）：（1）当两条直角边分别为，1时，该直角三角形的斜边OA2长为； （2）以原点O为圆心，OA2为半径画圆弧，与数轴的交点就是表示的点. 知识点5 勾股定理的逆定理 1.定义：如果直角三角形的三条边，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形. 2.符号语言：如图，∵ ∴ △ABC是直角三角形，∠C=90° 题型专练 题型1. 用勾股定理理解三角形 【例1】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在四边形中，，相交于点O，且，若，，则的值为（   ） A．12 B．20 C．25 D．26 【例2】（24-25九年级下·浙江衢州·自主招生）如图，已知，垂足为点，，且，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．13 【变式1】（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·广东汕尾·期末）汕尾城区“网红打卡景点”——小岛渔村（屿仔岛），为便于市民、游客通行，物流交往，现已在小岛与湖滨大道码头之间修建一座桥（如图），在与方向成角的方向上的点处测得，，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型2. 勾股数问题 【例1】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）下列各组数为勾股数的是（   ） A．7，12，13 B．3，3，4 C．0.1，0.2，0.3 D．9，12，15 【变式1】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）下列各数中，与6，8能构成勾股数的是（   ） A．6 B．8 C．10 D．14 【变式2】（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，不属于“勾股数”的是（   ） A．3，4，5 B．5，7，9 C．8，15，17 D．7，24，25 题型3. 勾股定理与网络问题 【例1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，图中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点上，则其三边的大小关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在的正方形网格中，直线过点，点都在格点处，则点到直线的距离是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【例3】（24-25八年级下·新疆喀什·期末）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点． (1)在网格中画一个长为的线段； (2)证明你画的线段为． 【变式1】（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点得，则边上的高是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·广东东莞·期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为，，，三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．点到直线的距离是 【变式3】（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，点，，在边长为的正方形组成的网格格点上，解答下列问题： (1)线段的长为______，线段 的长为______； (2)连接，判断的形状，并证明你的结论． 题型4. 勾股定理中折叠问题 【例1】（2025·吉林长春·二模）如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）    A． B． C．3 D．2 【例2】（24-25八年级下·云南文山·期末）如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例3】（2025·江西吉安·一模）如图，一张长方形纸片的长，宽．点E在边上，点F在边上，将四边形沿直线翻折后，点B落在边的三等分点G处，则的长为 ． 【变式1】（24-25九年级下·湖南湘潭·期中）在矩形中，，，现将矩形折叠使点与点重合，则折痕的长是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·北京朝阳·期末）如图，在中，，点D，E分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为，点刚好落在边上．图中与线段相等的线段是 ；若，，则的长为 ． 【变式3】（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）如图，在中，，，，D为斜边上的一动点（不包含A，B两端点），将沿折叠，点A落在点处，与相交于点E，若，则的长为 ．    题型5. 勾股定理中面积问题 【例1】（2025·河南商丘·三模）如图，在中，，，．分别绕点A顺时针、逆时针各旋转，得到和，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【例2】（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，正方形的面积是169平方厘米，正方形面积是144平方厘米，正方形的面积是25平方厘米，则阴影四边形的面积是 平方厘米．    【例3】（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图所示的是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形，已知③号正方形的面积是1，那么①号正方形的面积是 ． 【变式1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式2】（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，图①中的直角三角形斜边长为5，将四个图①中的直角三角形分别拼成如图②所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为 ． 【变式3】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，以斜边和直角边为直径的半圆面积分别记为、，则 ．（结果保留π） 题型6. 勾股定理的证明方法 【例1】（24-25八年级下·广东汕头·期末）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·山东济南·期中）用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形，解答下列问题： (1)根据图2，利用图形的面积关系，试说明． (2)利用（1）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且，求小正方形的面积． 【例3】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图1的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，图2的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为．请利用达芬奇的方法证明勾股定理．    【变式1】（24-25八年级下·河北邢台·期中）在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 【变式2】（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 【变式3】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，连接，的三边长分别为a，b，，利用四边形的面积的不同求法，列等量关系，可证得勾股定理． （1）______（用含a，b的式子表示） ＝______（用含a，b，c的式子表示） 利用面积的等量关系，整理得出：______； 【探究】淇淇将从图1的位置开始沿向左移动，直到点F与点B重合时停止，如图2所示，与交于点O．淇淇在图2中也尝试利用四边形的面积对勾股定理进行证明． （2）请你帮助她完成证明过程； （3）【应用】在图2的基础上，若四边形的面积为200，的长为12，求的长． 题型7. 以弦图为背景的计算题 【例1】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，若，则小正方形与大正方形的边长之比为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·河南商丘·期末）将四个图1中的直角三角形拼成图2中的弦图，若，，则图2中阴影部分的面积为（   ）    A．11 B．12 C．9 D．10 【例3】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形较短的直角边，斜边，则小正方形的边长为 ． 【变式1】（24-25八年级下·青海西宁·期末）如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，它是由四个全等的直角三角形围成的一个小正方形和一个大正方形．若大正方形的面积是49，小正方形的面积是4．设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，斜边长为，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边 ()，下列四个说法：①；②;③；④．其中说法正确的结论有 ．(填序号) 【变式3】（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）学习了勾股定理的证明方法后，小明同学对拼图产生了浓厚兴趣，他用四个完全相同的长为a宽为b的长方形纸片拼成如图所示正方形．若大正方形的面积为32，小正方形的面积为8，求每个小长方形纸片的对角线长． 题型8. 勾股定理与无理数 【例1】（24-25八年级下·广西南宁·期末）利用勾股定理可以作出长为无理数的线段．如图，，过点作直线，在上取点，使，以点为圆心，的长为半径作弧，与数轴正半轴交于点，那么点表示的是（ ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·北京·期中）如图，已知O为数轴原点．在数轴上截取线段，过点A作直线n垂直于，在直线n上截取线段，以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点．根据以上作图过程及所作图形，点C所表示的数是（ ） A． B．3 C．4 D． 【例3】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，点为数轴上的原点，点在数轴的负半轴上，且点表示的数为，，，连接，请你在数轴的正半轴上画出点，使得点表示的数为．（保留画图痕迹，不写画法） 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在数轴上找到分别表示原点，数1的点和点，过点作，且，再以点为圆心，以的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数是（　　） A．2 B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，正方形的面积为，点表示的数为，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点（点在点的左侧），则点表示的数为 ． 【变式3】（24-25八年级下·山东潍坊·阶段练习）如何在数轴上作出表示的点，我们可以这样做：如下图，在数轴上找出表示与1的点，分别记为点A与点C，作，且，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数即为 参照上述方法，请在下面数轴上找出表示的点 题型9. 判断三边能否构成直角三角形 【例1】（24-25八年级下·湖北孝感·期末）以长度分别为下列各组数的线段为边，可以组成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．5，12，13 C． D．9，16，25 【例2】（24-25八年级下·广西钦州·期末）由下列各组线段组成的三角形是直角三角形的是（   ） A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．2，3，5 【变式1】（24-25七年级下·广西玉林·期末）若三角形的三边长分别为1，，2，则这个三角形是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式2】（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）下列条件无法判定是直角三角形的是（    ） A． B．，， C． D． 题型10. 利用勾股定理的逆定理求解 【例1】（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在四边形中，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【变式1】（24-25八年级下·西藏·期中）如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积是(    ) A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在中，是的中点，，交于点，且，，．求证：．    【变式3】（24-25八年级下·江西宜春·期末）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图，，，，，，现计划在空地内种草，若每平方米草地造价40元，则这块地全部种草的费用是多少元？ 巩固练习 一、单选题 1．（24-25八年级下·广西贺州·期末）下列各组数构成勾股数的是（   ）． A．，， B．1.5，2，2.5 C．6，8，12 D．9，40，41 2．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）已知的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（   ）． A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在中，．以点O为圆心，长为半径画弧交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数是（    ） A．1 B．2 C． D． 5．（24-25七年级下·广西玉林·期末）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，若，，则小正方形的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，在等腰直角三角形中，，于点D，点E是内一点，连接、、、，若，，，则的长为（    ） A． B．2 C． D．3 7．（2025·河南许昌·三模）如图，在中，顶点在轴的负半轴上，，将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第3秒旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·宁夏中卫·模拟预测）如图，将绕着点A顺时针旋转得到，点B、C的对应点分别为点D、E，点C、D、E恰好在一条直线上．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·湖南湘西·阶段练习）在中，，则（    ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能 10．（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）    A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，数轴上点O、A所表示的数分别是0，3，过点A作数轴，个单位长度，以O为圆心，长为半径画弧交数轴上A点的左侧一点C，则点C表示的数是 ． 12．（24-25八年级下·新疆吐鲁番·期末）在中，，，则斜边的长为 ． 13．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，三个四边形均为正方形，则字母所表示的值是 ． 14．（24-25八年级下·广东广州·期末）我国是最早发现勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．请利用勾股定理解决下列问题：如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为 ． 15．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在单位长度为1的的网格系中，的顶点都在格点上，则 ． 16．（24-25七年级下·山东烟台·期末）在中，，，．过点C作，使，连接．点P，Q分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ． 17．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则 18．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）如图，中，，分别以的三边为直角边作三个等腰直角三角形：，，，若图中阴影部分的面积，，，则 ． 19．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，分别以、、为边向上作正方形、正方形、正方形，点E在上，若，，则图中阴影的面积为 ． 20．（24-25八年级下·福建漳州·期中）如图，在网格图中（每个小正方形的边长为1），A，B，C，D均为格点（网格线的交点），直线与所夹的锐角度数为 ． 三、解答题 21．（24-25八年级下·新疆吐鲁番·期末）如图，在中，，，，点D是外一点，连接，，且，． (1)求证：； (2)求四边形面积． 22．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的长； 23．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为． (1)______，______； (2)连接，判断是什么三角形，并说明理由． 24．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，线段、点、点均在小正方形的顶点上． (1)画出，使，，点在小正方形的顶点上； (2)画出，使，，点在小正方形的顶点上； (3)连接，直接写出的长． 25．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，是等腰直角三角形，是的中点，为边上的动点，以为直角边，为直角顶点，向左侧作等腰直角三角形，连接，与直线交于点． (1)如图1，当点与点重合时． ①求的长． ②求证：． (2)如图2，连接，若，求的长． 26．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．    (1)如图②，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求原路长多少千米？ 27．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）【课本再现】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请写出证明过程． 【类比迁移】 （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为___________． 【能力提升】 （3）如图3，在中，是边上的高，，，，设的长为，请求出的值． 28．（24-25八年级下·广西贺州·期末）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，请直接写出、与之间的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，． ①求的长； ②如图3，延长，交于点，求的长度． 29．（24-25八年级下·江西宜春·期末）我们定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图1，四边形中，，，则四边形叫做“等补四边形”． 【概念理解】（1）①在等补四边形中，若，则的度数为______； ②在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形    B．菱形    C．矩形    D．正方形 【性质探究】（2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． 【拓展应用】（3）将斜边相等的两块三角板如图3放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，，位于的两侧，其中，若，连接，则的长为______． 30．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离．要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离，． (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； (2)求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$