第一章 有理数（复习课件）数学北京版2024七年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了有理数的概念、分类、运算及应用，通过单元知识图将正数负数、数轴、绝对值、有理数运算等核心内容串联，结合考点串讲构建从概念到应用的逻辑知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”的复习策略，通过实际应用题型培养学生应用意识，分层训练提升运算能力与抽象思维，知识框架图和错题变式设计助力教师高效备课，促进学生系统巩固知识。

单元复习课件 第一章 有理数 北京版2024·七年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.熟练掌握有理数的概念和分类；掌握数轴的三要素及有理数在数轴上的表示；理解相反数、绝对值的性质与几何意义；掌握有理数的大小比较方法； 3.能够将有理数知识与实际生活场景相结合；运用有理数运算解决实际问题；能通过分析题目中的数量关系，选择合适的运算方法解决相关数学问题。 2. 重点掌握并运用有理数的加法、减法、乘法、除法的运算法则；掌握有理数的混合运算的顺序，明确计算顺序，并能灵活运用运算律简便计算，提高计算效率和准确性； 单元学习目标 单元知识图谱 考点一： 正数与负数 2.用正、负数表示具有相反意义的量 1.小学学过的除0以外的数都是正数. 在正数前面加上符号“-”（负）的数叫做负数. 考点串讲 考点二：有理数的概念与分类 1.有理数的概念 整数和分数统称有理数 有理数 正整数 负整数 负分数 正有理数 负有理数 正分数 零 有理数 正整数 正分数 整数 分数 零 负整数 自然数 2.有理数的分类 负分数 (1)按定义分类 (2)按符号分类 考点串讲 考点三：数轴 (1)规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴. (2)任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示. 考点串讲 考点四：相反数与绝对值 1.相反数 （1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数 （2）互为相反数的两个数到原点的距离相等 2.绝对值 （1）一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值 （2）一个正数的绝对值是它本身. 一个负数的绝对值是它的相反数. 0的绝对值是0. 考点串讲 考点五：有理数的大小比较 (1)数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大． (2)正数大于0，0大于负数，正数大于负数； 两个负数，绝对值大的反而小． 考点串讲 考点六：有理数的运算 1.有理数的加法 (1)加法法则 (2)加法的运算律 加法的交换律 加法的结合律 2.有理数的减法 减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数. 考点串讲 3.有理数的乘法 (1)乘法法则 (2)乘法的运算律 乘法的交换律 乘法的结合律 乘法的分配律 4.有理数的除法 除法法则： 除以一个数，等于乘以这个数的倒数. 考点串讲 5.有理数的乘方 求几个相同因数的积的运算，叫做乘方. 指数 底数 幂 (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、 中括号、大括号依次进行. 6.有理数的混合运算 考点串讲 考点七： 科学记数法 1.1≤a＜10 2.n为原数的整数位减去1 科学记数法：把大于10的数记成a×10n的形式，其中 考点八：近似数 1．按照要求取近似数 2．由近似数判断精确度 四舍五入到某一位，就说这个数近似数精确到那一位． 考点串讲 题型一、正数与负数 【例1】一袋面粉的包装袋上标有“净含量：25±0.2千克”字样，下面不可能是这袋面粉的质量的是（    ）． A．24.8千克 B．24.9千克 C．25.2千克 D．25.5千克 【详解】解：∵面粉的包装袋上标有“净含量：25±0.2千克”字样， ∴一袋面粉的质量范围是24.8—25.2， ∵24.8千克、24.9千克、25.2千克在这个范围内，25.5千克不在此范围内， ∴不可能是这袋面粉的质量的是25.5千克，故D符合题意． 故选：D． 具有相反意义的量 ①必须是同类量，而且是成对出现的； ②只要求意义相反，不要求数量一定相等. 正数与负数 题型剖析 针对训练 针对训练 题型二、有理数的分类 【例2】下列叙述正确的是（     ） A．1是最小的正数 B．整数只包含零和正整数 C．比3小的自然数只有1和2 D．0.3不是负整数 【详解】解：A、1是最小的正整数，原说法错误； B、整数包含零和正整数、负整数，原说法错误； C、比3小的自然数有0、1和2，原说法错误； D、0.3不是负整数，说法正确； 故选：D． 题型剖析 有理数有两种常用的分类方式： 整数 分数 正整数 0 负整数 负分数 正分数 有理数 有理数 正整数 负整数 负分数 正有理数 负有理数 正分数 零 题型剖析 针对训练 针对训练 题型三、数轴 【例3】用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近 的是 ( ) B A. B.1 C.2 D.3 【解析】因为，，，， ，所以与原点距离最近的是1对应的点，故选B. 题型剖析 1.数轴的定义： 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴． 2.数轴的画法． 3.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示， 原点右边的数是正数，原点左边的数是负数， 0是正负数的分界点． 题型剖析 针对训练 针对训练 题型四、相反数 【例4】下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和+（） B．+（）和（+3） C．（）和+1 D．和（） 【详解】解：A．+（）= ，故和+（）不是互为相反数； B．+（）=，（+3）=，故+（）和（+3）不是互为相反数； C．（）=1 ，故（）和+1不是互为相反数； D．（2）=2，故2和（2）是互为相反数； 故选：D． 牢记相反数的定义是解决此类问题的关键： 数字相同，符号相反 题型剖析 针对训练 题型五、绝对值 【例5】下列说法中不正确的是（    ） A．一个数的绝对值一定不小于它本身 B．互为相反数的两个数的绝对值相等 C．任何有理数的绝对值都不是负数 D．任何有理数的绝对值都是正数 【详解】解：A、一个数的绝对值一定不小于它本身，故此选项正确，不符合题意； B、互为相反数的两个数的绝对值相等，故此选项正确，不符合题意； C、任何有理数的绝对值都不是负数，故此选项正确，不符合题意； D、0的绝对值是0，0既不是正数也不是负数，故此选项错误，符合题意；故选：D． 题型剖析 1.一个正数的绝对值是它 ；一个负数的绝对值是它的 ；0的绝对值是 . 2.(1)如果a＞0,那么|a|= ； (2)如果a=0, 那么|a|= ； (3)如果a＜0,那么|a|= . 3.|a|≥0 本身 相反数 0 a 0 -a 绝对值的概念与性质：非负性 题型剖析 针对训练 针对训练 针对训练 题型六、有理数的大小比较 【例6】下列说法中正确的是（    ） A．最小的正整数是0 B．任何数都大于它的相反数 C．绝对值最小的有理数是0 D．两个数中，较大的那个数的绝对值也较大 【详解】解：A．0既不是正数也不是负数，故A错误； B．的相反数是1，而＜1，故B错误； C．绝对值最小的有理数是0，故C正确； D．1＞5，则|1|=1，|5|=5，而1＜5，故D错误． 故选：C． 总结：(1)正数大于0,0大于负数，正数大于负数； (2)两个负数，绝对值大的反而小. 题型剖析 A 针对训练 针对训练 题型七、有理数的混合运算 【例7】计算 (1)(7)(5)+(4)； (2)(81)÷ (3)72×(3)+(6)÷()； (4)(1)2022|10.5|×． 【详解】（1）原式=7+54 =124=8； （2）原式=81×××() =1； （3）原式=7+6+18=17； （4）原式=1 =1+= 题型剖析 有理数混合运算的顺序： 先算乘除，再算加减，同级运算从左往右依次计算，如有括号，先算括号内的. 有理数的加减乘除混合运算三步走: 1.看清运算，定运算顺序; 2.根据特点，巧用运算律; 3.选对法则，耐心计算. 【总结】 题型剖析 针对训练 针对训练 题型八、有理数的实际应用 【例8】希望小学要买60个足球，现有甲、乙、丙三个商店可以选择，三个商店足球的价格都是25元，但各个商店的优惠办法不同． 甲店：买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送． 乙店：每个足球优惠5元． 丙店：购物每满200元，返还现金30元． 为了节省费用，希望小学应到哪个商店购买？为什么？ 【详解】解：甲：50×25=1250（元）； 乙：60×（25-5）=1200（元）； 丙：60×25=1500（元），1500÷200=7.5（个），1500-30×7=1290（元）； ∵1200＜1250＜1290， ∴乙最划算； 答：到乙店购买便宜，最划算． 题型剖析 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 题型九、科学记数法与近似数 【例9】在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域成绩显著．大数据中心的规模和数据存储量，决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍．数据58000000000用科学记数法表示为（    ） A．5.8×1010 B．5.8×1011 C．5.8×109 D．0.58×1011 【详解】解：58000000000=5.8×1010． 故选：A． 题型剖析 【总结】 1.用科学记数法表示较大的数应注意以下两点： ①1≤＜10 ②当大数是大于10的整数时，n为整数位减去1. 2.灵活运用科学记数法，注意解题技巧，总结解题规律. 近似数是一个与实际值很接近的数. 误差是近似值与它的准确值的差. 精确度表示近似数与准确数的接近程度. 近似数 题型剖析 C 1×1010 针对训练 针对训练 题型十、有理数的简便计算 【例10】计算：(－8)×9×(－1.25)×(　－ ). 解： (－8)×9×(－1.25)× ＝[(－8)×(－1.25)]× ＝10×(－1) ＝－10. 题型剖析 针对训练 针对训练 题型十一、数轴上动点问题 【例11】如图， A ， B 分别为数轴上的两个点，点 A 表示 的数为－10，点 B 表示的数为90. (1)请写出到 A ， B 两点距离相等的点 M 对应的数. 解： (1)点 M 对应的数为40. 题型剖析 (2)一只电子蚂蚁 P 从点 B 出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时 另一只电子蚂蚁 Q 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，经过 多长时间这两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度？ 解： (2)相遇前，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度时，(100－35)÷(2＋3)＝13(秒)； 相遇后，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度时， (35＋100)÷(2＋3)＝27(秒)， 即经过13秒或27秒这两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度. 题型剖析 针对训练 题型十二、绝对值的几何意义 题型剖析 题型剖析 针对训练 针对训练 有理数的四则运算 正数 负数 相反意义的量 0 有理数 数轴 有理数的大小比较 相反数 绝对值 加减法法则 乘除法法则 乘方法则 法则 运算律 交换律 结合律 分配律 定义分 正负分 数轴上点的运动 绝对值的性质 课堂总结 感谢聆听! 2．某种零件的直径的合格标准是(25±0.2)mm．经检查， 一个零件的直径是24.9 mm， 则该零件是 的（填“合格”或“不合格”）． 【详解】解：根据题意 （mm），（mm）， 可知零件直径的合格标准在 之间， 所以24.9mm合格．故答案为：合格． 1．地球上海拔最高的地点是珠穆朗玛峰，其海拔高于海平面8848.86米，记作 米，则地球上海拔最低的地点是我国新疆吐鲁番盆地的艾丁湖，其海拔低于海平面154米，记作 米． 【详解】解：由题意可得海拔低于海平面154米，记作-154米， 故答案为：-154． 3．下列各数 ，， ， ， ， ， 中，负数有 个． 【详解】解：数-7，2.5， ，0，-5.2， ，+41中，负数有-7，-5.2， ，共3个， 故答案为：3． 1．把下列各数分别填入相应的集合： ， 负数集合：｛______…｝； 正整数集合：｛______…｝； 分数集合：｛______…｝ 【详解】解：负数集合为： ； 正整数集合为： ； 分数集合为： ； 2．在 中有理数有 个，自然数有 个，分数有 个，负数有 个，则 ． 【详解】解：由 有理数有7个，自然数有2个，分数有2个，负数有3个， 故 ， 故 ． 故答案为：6． 2．已知 是数轴上的一个点，把 向左移动4个单位后，这时它到原点的距离是5个单位，则 点表示的数是 ． 【详解】解：依题意平移之后到原点的距离是5个单位，即表示的是5或者 ，则．故答案为： 或 ． 1．将一刻度尺如图贴放，刻度尺上“ ”和“ ”对应的数分别是 和 ，那么 的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【详解】解：根据数轴可知： ，解得． 故选：D． 3．（1）在数轴上表示下列各数：-4， ，0，-1.5． （2）将原数按从小到大的顺序用“＜”连接起来． 【详解】解：（1）在数轴上表示各数，如图： （2）由图可知： ． 2．数轴上，若A、B两点的距离为6，并且点A、B表示的数是互为相反数，则这两点所表示的数分别是 ． 【详解】解：∵点A、B表示的数是互为相反数， ∴设一个数为x，另一个数为 ，， ， 当 时， ；当 时， ， 故答案为：3和-3． 1．如果a和2025互为相反数，那么a表示的数是（   ） A． B． C．2025 D． 【详解】解：∵ 和2025互为相反数，，故选：A． 2．如果 为有理数，式子存在最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵ ，∴当 时，即当 时，式子 存在最小值，这个最小值是 ，故选：A． 1．若 ，则 （ ） A．2 B．7 C．8 D．5 【详解】解：∵ ，∴， 解得 ，∴ ．故选：D． 3．在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义， 表示5在数轴上对应的点到原点的距离，可以表示为： ；那么 表示 在数轴上对应的两点之间的距离； ，所以 表示 在数轴上对应的两点之间的距离． (1)若 ，则 _______， ________； (2)若 ，则 _______； (3)若 ，且x的值为整数，则x值为_______； 【详解】（1）若 ， 则 ，解得 ， ，解得 ． （2）若 ， 则 或 ， 解得 或 ． （3）若 ， 表示数 的点到数2的点距离与到数-3的点的距离之和为5， ∴ ， ∵x的值为整数， ∴x值为 ． 2．下列说法中正确的是（   ） A．若a，b都是负数，且有 ，则 B．若a，b都是正数，且有 ，则 C．若 ，且有 ，则 D．若a，b都是正数，且有 ，则 1．把有理数-3、|-3|、0、 用“＜”连接正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵ ，， ∵ ，∴ ．故选：B． 3．比较下列每对数的大小（写出比较过程） (1) 与 (2) 与 【详解】（1） ，，∵ ，∴ ； （2）解： ， ， ∵ ， ， ，∴ ，即 ． （2）解： ． 1．计算． (1) (2) 【详解】（1）解： ． 2．计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ； （4）解： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ． 1．某市出租车起步价是7元，2.5千米以后按每千米1.8元计费，不足1千米按1千米计算．妈妈和琳琳从家乘出租车去“悦为书吧”看书，她家到书吧的路程是8.2千米．请你帮琳琳计算一下，她们乘坐出租车需要多少元？ 【详解】解： （千米） 5.7千米按照6千米进行计算 EMBED Equation.DSMT4 （元） 答：她们乘坐出租车需要17.8元． 2．0～40℃范围内，当温度每上升1℃时，某种金属丝约伸长 反之，当温度每下降1℃时，金属丝约缩短 ，把20℃的这种金属丝加热到30℃，再使它冷却降温到5℃， (1)金属丝的长度经历了怎样的变化？ (2)最后的长度比原长度约伸长多少毫米？ 【详解】（1）解：把20℃的这种金属丝加热到30℃，金属丝伸长 再使它冷却降温到5℃，金属丝缩短 所以金属丝先伸长 再缩短 （2）最后的长度比原来长度伸长 3．某工厂要加工一批相同型号的零件，计划每天加工20件，但由于各种原因，实际每天的加工量与计划量相比会有所差异．下表是工厂在某周的加工情况（超过20件记为正，不足20件记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（件） +5 -2 -4 +3 -1 +8 -7 (1)求工厂当周一共加工的零件总数； (2)若每件零件的加工成本为0.5元，求该工厂当周的加工总成本； (3)为鼓励生产，工厂所在城市出台了如下奖惩制度：工厂每加工一件零件奖励10元，若某天超过了计划加工量，则当天再给予200元奖金，若某天没有达到计划加工量，则当天需缴纳100元罚金，求该工厂当周的奖励总额． 【详解】（1）解：根据题意得： （件）， 答：工厂当周一共加工142件零件； （2）解：根据题意得： （元）， 答：该工厂当周的加工总成本为71元； （3）解：根据题意得： 元， 答：该工厂当周的奖励总额为1620元． 1．科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量为 ，一张普通唱片的容量为，则蓝光唱片的容量是普通唱片的多少倍？结果用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．随着泼水节的到来，云南多地发布泼水舞曲，这些舞曲凭借轻快的曲风、动感的节奏火爆出圈．云南省临沧市耿马傣族佤族自治县于2023年推出的《up耿马》，就是在中国互联网成现象级传播的泼水节“神曲”，全网观看量超过100亿次，将数据“100亿”用科学记数法表示为 ． 3．按括号里的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)1.596（精确到0.01） (2)0.03057（精确到千分位） (3)2345000（精确到万位） (4)60290（保留两个有效数字） 【详解】（1）解：1.596精确到0.01为1.60； （2）解：0.03057精确到千分位为0.031； （3）解：2345000精确到万位为 ； （4）解：60290保留两个有效数字为 ． （2）解： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ． 1．简便计算． (1) (2) 【详解】（1）解： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ； 2．简便计算： (1) (2) 【详解】（1）解： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ． （2）解： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ． 1．如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C的其中个点，才能使点C恰好是线段 的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为4， ∴将点A向左移动5个单位长度，这时的点表示的数是4-5=-1． 故答案为：-1． （2）解：当点A移动时，此时只需将A向左移动8个单位即可． 当点B移动时，此时只需将B向左移动8个单位即可． 当点C移动时，此时只需要将C向右移动4个单位即可． 【例12】点 、 、 在数轴上的位置如图所示． (1)点B表示的数是______，点C表示的数是______； (2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点 与表示数______的点重合； (3)有理数 、 在数轴上对应点之间的距离可表示为 ，如5与2在数轴上所对应的点之间的距离为 ． ①求 的最小值； ②若 、 两点之间的距离为2024（点 在点 的左侧），将数轴折叠，使得1对应的点与 对应的点重合，此时 、 两点也重合，求 、 两点分别表示的数； 【详解】（1）解∶点 表示的数是-2，点 表示的数是6， 故答案为∶-2,6； （2）解∶折叠数轴，使数轴上的点 和点 重合，则数轴在2对应的点处折叠，因此点 与数9表示的点重合， 故答案为∶9； （3）解∶①当 的值最小值时，对应的点在3和6对应的点之间， 当 时， 的值最小， 此时 ，因此 的最小值是3； ② 对应的点与-3对应的点重合，∴数轴在-1对应的点处折叠， 两点之间的距离为2024， 与-1对应的点的距离是1012， 表示的数是 表示的数是 ． 1．阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数 、 ，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB ．也就是说， 表示4与-3之差的绝对值，实际上也可理解为4与-3两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如 可以写成 ，它的几何意义是数轴上表示数 的点与表示数-3的点之间的距离． 再举个例子：等式 的几何意义可表示为：在数轴上表示数 的点与表示数2的点的距离等于1，这样的数 可以是0或2． 解决问题： (1) ． (2)若 ，则 ______；若 ，则 ______． (3) 表示数轴上有理数 所对的点到 和1所对的两点距离之和． 请你利用数轴，找出所有符合条件的整数 ，使得 ． 【详解】（1）解：∵数轴上表示4的点与表示-2的点之间的距离为6， ． 故答案为：6； （2）∵ ，∴ ，解得： 或 ； ， ，解得： ； 故答案为：4或 ； ；． （3）∵ 表示数轴上有理数x所对应的点到 和1所对应的点的距离之和， ， 这样的整数有 、 、 、0、1 $$