精品解析：山西省太原市第三十七中学校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

太原37中2024—2025学年九年级12月质量监测数学 说明：时间90分钟，满分100分 一、选择题．（每小题3分，共30分） 1. 太阳发出的光照在物体上是（　　），路灯发出的光照在物体上是（　　） A. 平行投影，中心投影 B. 中心投影，平行投影 C. 平行投影，平行投影 D. 中心投影，中心投影 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行投影与中心投影的定义判断即可． 【详解】解：太阳发出的光照在物体上是平行投影，路灯发出的光照在物体上是中心投影． 故选：A． 【点睛】本题考查中心投影，平行投影等知识，解题的关键是理解中心投影，平行投影的定义，属于中考常考题型． 2. 如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为，根据平行线分线段成比例，即可得出，代入即可得出答案． 【详解】解： ，，， ． 故选C． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例的性质，属于基础概念题型． 3. 点A（﹣3，2）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，则k的值是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. ﹣1 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可． 【详解】解：∵A（﹣3，2）在反比例函数y=（k≠0）的图象上， ∴k=（﹣3）×2=﹣6， 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上所有点的坐标均满足该函数的解析式． 4. 如图，平面上两棵不同高度、笔直的小树，同一时刻在太阳光线照射下形成的影子分别是AB、DC，则（　　） A. 四边形ABCD是平行四边形 B. 四边形ABCD是梯形 C. 线段AB与线段CD相交 D. 以上三个选项均有可能 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件可知∶，但，所以四边形为梯形． 【详解】解：∵AB、DC分别是同一时刻笔直的小树在太阳光线照射下形成的影子， ∴AB∥DC， 又∵两棵小树的高度不同， ∴AB≠DC， ∴四边形ABCD是梯形． 故选：B． 【点睛】本题考查平行投影，解题的关键要掌握平行投影的概念及性质，还要注意平行四边形的判定∶一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 5. 甲、乙两地相距100km，则汽车由甲地匀速行驶到乙地所用时间y（h）与行驶速度x（km/h）之间的函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据实际意义，写出函数解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断． 【详解】根据题意可知：时间（小时）与行驶速度（千米/时）之间的函数关系式为：， ∴函数图象大致为 故选D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从而判断它的函数类型，要注意自变量的取值范围，结合自变量的实际范围作图． 6. 已知线段，点C是线段的黄金分割点（），则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割点的概念．黄金分割点将线段分为两部分，较长部分与整个线段的比值等于较短部分与较长部分的比值，该比值为． 根据题意，说明点靠近，此时为较长部分，然后运用黄金分割点的定义求解即可． 【详解】解：由线段，点是黄金分割点且，则为较长部分． 根据黄金分割的定义，代入，得：． 故选B． 7. 在△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，且DE∥BC，若AD：DB＝1：1，则S△ADE：S四边形DBCE的值为（　　） A. 1：1 B. 1：2 C. 1：3 D. 1：4 【答案】C 【解析】 【分析】证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴DE：BC＝AD：AB＝1：2， ∴S△ADE：S△ABC＝1：4， ∴S△ADE：S四边形DBCE＝1：3， 故选C． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 8. 如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则a的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，则可利用相似多边形的性质构建比例式，求解后即可得出结论． 【详解】解：∵裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解答此题的关键． 9. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，根据一次函数与反比例函数的图象与性质逐一排除即可，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、由图象可知，，即，由图象可知，不符合题意； 、由图象可知，，即，由图象可知，不符合题意； 、由图象可知，，即，由图象可知，不符合题意； 、由图象可知，，即，由图象可知，符合题意； 故选：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交反比例函数，的图象于点A，B．若C是y轴上任意一点，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设点，则，从而得出点C到直线的距离为a，，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图：设点， ∵直线轴， ∴点B的横坐标为a，则， ∴点C到直线的距离为a， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象k的几何意义，解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数k的几何意义． 二、填空题；（每小题3分，共15分） 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．根据已知等式可得，代入化简即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图所示，一架投影机插入胶片后图象可投到屏幕上．已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片BC的距离为0.1米，胶片的高BC为0.038米，若需要投影后的图象DE高1.9米，则投影机光源离屏幕大约为__________ 【答案】5米 【解析】 【分析】作AH⊥DE交DE于点H，交BC于点F，不难证明△ABC∽△ADE，由相似三角形的相似比等于高之比列方程，求出AH的长度即可. 【详解】作AH⊥DE交DE于点H，交BC于点F， 由题意得，AF=0.1，BC=0.038，DE=1.9， ∵BC∥DE， ∴△ABC∽△ADE， ∴==， ∴=， ∴AH=5. 故答案为5米. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的相似比等于高之比列方程是解题的关键. 13. 如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点C的坐标，从而可以求得k的值，进而求得反比例函数的解析式． 【详解】解：过C作CE⊥OB于E， ∵在菱形ABOC中，∠A＝60°，AB＝2， ∴OC＝2，∠COB＝60°， ∵CE⊥OB， ∴∠CEO＝90°， ∴∠OCE＝30°， ∴OE＝OC＝1，CE＝， ∴点C的坐标为（﹣1，）， ∵顶点C在反比例函数的图象上， ∴＝，得k＝﹣， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点C的坐标． 14. 我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为________步． 【答案】360 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得AECD，AE=CE，则有△ABE∽△CED，根据相似三角形的性质得， 不妨设正方形的边长为2x，则AE=CE=x，求出x的值进而可确定出正方形的边长． 【详解】解：设正方形的边长为2x步，根正方形的性质可得AECD，AE=CE=x步， ∵AECD， ∴△ABE∽△CED， ∴， ∴，解得x=180（负值舍去）. ∴2x=360． ∴正方形的边长为360步． 故答案为：360． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，利用相似比计算对应的线段长，熟练掌相似三角形的判定和性质是解决本题的关键． 15. 如图，ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是____mm． 【答案】48 【解析】 【详解】试题分析：设该正方形的边长是a，则符合题意得式子= 考点：比例分析 点评：本题主要考查了图形的线段比例的分析，通过比例的大小从而列比例式求解 三、解答题：（共55分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）无解 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可． （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ，，， ， 则此方程无解． 【小问2详解】 解： ， 则， 17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出和． （1）把先向上平移1个单位，再向右平移4个单位，得到； （2）以图中的O为位似中心，将作位似变换且放大到原来的两倍，得到． 【答案】（1） 解：如图所示．为所求； （2） 解：如图所示．为所求． 【解析】 【分析】此题主要考查了位似变换以及平移变换，根据题意确定对应点位置是解题关键． （1）利用平移的性质分别作出对应点位置，再连线即可；        （2）直接利用位似图形的性质作出对应点位置，再连线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在中，D，E分别是边，上的点，，，，且，求的长. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件可证明，再根据对应线段成比例即可求出DE. 【详解】解：∵， ， ∴. ∴. ∵， ∴. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判断与性质，解题的关键是熟知两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 19. 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，反比例函数的图象经过点(1，6)，菱形OABC的顶点A在函数的图象上，对角线OB在x轴上． （1）求反比例函数的关系式； （2）求菱形OABC的面积． 【答案】（1）；（2）12． 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法，把（1，6）代入即可求解； （2）根据菱形的对角线互相垂直平分，得菱形的两条对角线长分别是2和8，再根据菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半进行计算． 【详解】解：（1）∵y=的图象经过点（1，6）， ∴k=16=6， ∴所求反比例函数的关系式为y=； （2）连接AC交x轴于点D， ∵四边形OABC是菱形， ∴AD=CD，AD⊥OB，OD=BD， ∴S△AOD=S△ABD=S△OCD=S△BCD， ∵S△OAD=×6=3， ∴S菱形OABC=12． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、以及菱形的性质及反比例函数的比例系数k的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|． 20. 如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小玉的身高用线段表示，路灯灯泡在线段上． （1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小玉在灯光下形成的影子； （2）如果小华的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，则灯泡的高为________． 【答案】（1） 如图所示，点P为灯泡位置，线段为小玉在灯下的影长． （2） 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，掌握中心投影的性质是解题的关键． （）连接并延长交于点，点即为所求，连接并延长交于，线段即为所求； （）由中心投影的性质可得，从而，再将数据代入即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意，得，， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 21. 某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地．为了安全、迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积的变化，人和木板对地面的压强将如何变化？如果人和木板对湿地的压力合计，(备注：不回答题干的问题)，那么： （1）直接写出p与S之间的函数关系式？ （2）当木板面积为时，压强是多少？ （3）如果要求压强不超过，木板面积至少要多大？ 【答案】（1） （2） （3）木板面积至少要 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，跨学科综合，正确理解题意是解题的关键． (1)由物理学的相关知识可知：人和木板对地面的压强=人和木板对地面的压力÷木板的面积； (2) 把代入即可求解； (3)先把代入，求出，再由反比例函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由物理学的相关知识可知，； 【小问2详解】 解：由题意得，把代入， 则； 【小问3详解】 解：把代入， 则， ∵， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴压强不超过，木板面积至少要． 22. 如图，直线与双曲线相交于A、B两点，A点的坐标为． （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出当时，x的取值范围； （3）若点P为x轴上一点，为等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）； （2）或； （3）点的坐标为或或或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标，根据图象即可得出答案； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入中得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：把点代入中得：， ∴， 联立得：， 解得：，， ∴点， 由图象可知，当时，或； 【小问3详解】 解：∵点， ∴， 当时，如图： ∴点的坐标为或， 当时，作轴于点，则，如图： ∵点， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 当时，作轴于点，则，如图： ∵，， ∴点是的中点， ∵点， ∴点，即， 设点，则， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴点， 综上，点的坐标为或或或． 23. 已知四边形和四边形都是正方形． （1）如图1，当点G在对角线上时，________BE； （2）将正方形绕着点C顺时针旋转；（） ①当正方形旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立，请说明理由； ②在正方形绕着点C顺时针旋转的过程中，当三点共线时，直线与射线相交于点H，若，，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2） ①成立，理由如下： 四边形和四边形都是正方形， ， ， ∽， ， ②或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，平行线分线段成比例，推出，即可得证； （2）①证明∽，即可得证；②分点在之间，以及点在之间，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 四边形和四边形都是正方形， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 ①略 ②当点在之间，如图， 同①得∽， 四边形都是正方形， ， ， ， 三点共线， ， ， 三点共线， 四边形是正方形，， ，， 在中，， ， ， ，， ∽， ， ， ， 即 解得（舍去）或， ， 当点在之间，如图， 同理可得，，∽， ， ， ， ， 即 解得（舍去）或， ， 综上所述，或． 【点睛】本题考查正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握正方形的性质，证明三角形相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原37中2024—2025学年九年级12月质量监测数学 说明：时间90分钟，满分100分 一、选择题．（每小题3分，共30分） 1. 太阳发出的光照在物体上是（　　），路灯发出的光照在物体上是（　　） A. 平行投影，中心投影 B. 中心投影，平行投影 C. 平行投影，平行投影 D. 中心投影，中心投影 2. 如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 3. 点A（﹣3，2）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，则k的值是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. ﹣1 D. 6 4. 如图，平面上两棵不同高度、笔直的小树，同一时刻在太阳光线照射下形成的影子分别是AB、DC，则（　　） A. 四边形ABCD是平行四边形 B. 四边形ABCD是梯形 C. 线段AB与线段CD相交 D. 以上三个选项均有可能 5. 甲、乙两地相距100km，则汽车由甲地匀速行驶到乙地所用时间y（h）与行驶速度x（km/h）之间的函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 6. 已知线段，点C是线段的黄金分割点（），则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 在△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，且DE∥BC，若AD：DB＝1：1，则S△ADE：S四边形DBCE的值为（　　） A. 1：1 B. 1：2 C. 1：3 D. 1：4 8. 如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则a的值等于（ ） A. B. C. D. 9. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交反比例函数，的图象于点A，B．若C是y轴上任意一点，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 二、填空题；（每小题3分，共15分） 11. 若，则______． 12. 如图所示，一架投影机插入胶片后图象可投到屏幕上．已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片BC的距离为0.1米，胶片的高BC为0.038米，若需要投影后的图象DE高1.9米，则投影机光源离屏幕大约为__________ 13. 如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为_____． 14. 我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为________步． 15. 如图，ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是____mm． 三、解答题：（共55分） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出和． （1）把先向上平移1个单位，再向右平移4个单位，得到； （2）以图中的O为位似中心，将作位似变换且放大到原来的两倍，得到． 18. 在中，D，E分别是边，上的点，，，，且，求的长. 19. 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，反比例函数的图象经过点(1，6)，菱形OABC的顶点A在函数的图象上，对角线OB在x轴上． （1）求反比例函数的关系式； （2）求菱形OABC的面积． 20. 如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小玉的身高用线段表示，路灯灯泡在线段上． （1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小玉在灯光下形成的影子； （2）如果小华的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，则灯泡的高为________． 21. 某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地．为了安全、迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积的变化，人和木板对地面的压强将如何变化？如果人和木板对湿地的压力合计，(备注：不回答题干的问题)，那么： （1）直接写出p与S之间的函数关系式？ （2）当木板面积为时，压强是多少？ （3）如果要求压强不超过，木板面积至少要多大？ 22. 如图，直线与双曲线相交于A、B两点，A点的坐标为． （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出当时，x的取值范围； （3）若点P为x轴上一点，为等腰三角形，直接写出点P的坐标． 23. 已知四边形和四边形都是正方形． （1）如图1，当点G在对角线上时，________BE； （2）将正方形绕着点C顺时针旋转；（） ①当正方形旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立，请说明理由； ②在正方形绕着点C顺时针旋转的过程中，当三点共线时，直线与射线相交于点H，若，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $