福建省莆田市仙游县第四教研片区2024-2025学年八年级下学期月考数学试卷

2024-2025学年福建省莆田市仙游县第四教研片区八年级（下）月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各武中是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2.如果有意义，那么x的取值范围是（　　） A. x＞1 B. x≥1 C. x≤1 D. x＜1 3.直角三角形的两直角边是6和8，则第三边是（　　） A. 7 B. 10 C. 2 D. 10或2 4.下列命题中，逆命题正确的是（　　） A. 如果两个实数相等，那么他们的绝对值相等 B. 如果两个角是直角，那么这两个角相等 C. 对顶角相等 D. 两直线平行，内错角相等 5.若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6.和的大小关系是（　　） A. B. C. D. 不能比较 7.实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简（）2+-|a|的结果是（　　） A. 2a B. 2b C. -2b D. -2a 8.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，则边BC的长是（　　） A. 14 B. 4 C. 14或4 D. 9.如图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°，BC=4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为（　　） A. cm B. 2cm C. 2cm D. 3cm 10.如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2=12，且AC+BC=10，则AB的长为（　　） A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.在直角坐标系中，点P（4，-3）到原点的距离是______. 12.若，则m-n的值为______． 13.如果最简根式-与能够进行合并，则a-b=______. 14.一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一轮船以12海里∕小时从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，则两船相距______． 15.如图1，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形所围成的正方形，在Rt△ABC中，AC=3，BC=2，∠ACB=90°，则AB的长为______；若将图1中的四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则该“数学风车”的周长为______. 16.有一个如图示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm,高AB=60cm,水深为AE=40cm,在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵.求小动物爬行的最短路线长______. 三、计算题：本大题共1小题，共8分。 17.先化简再求值，其中a=+1． 四、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.(本小题8分) （1）； （2）. 19.(本小题8分) 如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在格点上. ​​​​​​​（1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）求AB边上的高h. 20.(本小题8分) 如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD=30°；小丽沿岸向前走30m选取点B，并测得∠CBD=60°．请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度． 21.(本小题8分) 已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a•b满足b=4++3，求此三角形的周长． 22.(本小题10分) 如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G；连接AG． （1）求证：△ABG≌△AFG； （2）求BG的长． 23.(本小题10分) 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts. （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值. 24.(本小题12分) 我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，0=02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求3-2的算术平方根. 解：3-2， ∴3-2的算术平方根是-1. 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： （1）； （2）. 25.(本小题14分) 已知△ABC，点P是平面内任意一点（不与点A，B，C重合），若点P与A，B，C中的某两点的连线的夹角为直角，则称点P为△ABC的一个“勾股点”. （1）如图（1），若点P是△ABC内一点，∠A=55°，∠ABP=10°，∠ACP=25°，试说明点P是△ABC的一个“勾股点”； （2）如图（2），已知点D是△ABC的一个“勾股点”，∠ADC=90°，且∠DCB=∠DAC，若AD=3CD=3，BC=6，求AB的长； （3）如图（3），在△ABC中，∠ACB=90°，，点D为△ABC外一点，DB=DA，∠BCD=45°，CD=3，点D能否是△ABC的“勾股点”，若能，求出BC的长；若不能，请说明理由. 1.【答案】  【解析】解：A、，不是最简二次根式，此选项不符合题意； B、是最简二次根式，此选项符合题意； C、，不是最简二次根式，此选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，此选项不符合题意； 故选：B． 直接利用最简二次根式的定义逐项判断即可． 此题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是判断最简二次根式得过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）二次根式的被开方数不能含有开方开得尽的因数或因式． 2.【答案】  【解析】解：∵有意义， ∴x-1≥0， 即x≥1， 故选：B． 根据“负数没有平方根”进行解答即可． 本题考查二次根式有意义的条件，理解“负数没有平方根”是正确解答的前提． 3.【答案】  【解析】解：∵两直角边是6和8， ∴第三边==10． 故选：B． 利用勾股定理列式计算即可得解． 本题考查了勾股定理，是基础题，熟记定理是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：根据实数绝对值的性质、对顶角的性质、平行线的性质逐项分析判断如下： A、该选项的逆命题是：两个实数，如果它们的绝对值相等，那么这两个实数相等； 例如：（-2）2=22，故本选项错误，不符合题意； B、该选项的逆命题是：如果两个角相等，那么它们是直角； 不一定是直角，故本选项错误，不符合题意； C、该选项的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 不一定是对顶角，故本选项错误，不符合题意； D、该选项的逆命题是：内错角相等，两直线平行，正确，符合题意； 故选：D． 根据实数绝对值的性质、对顶角的性质、平行线的性质逐项判断即可． 本题考查了实数绝对值的性质、对顶角的性质、平行线的性质，解决此题的关键是掌握这些基本性质，即可快速解决这类题型． 5.【答案】  【解析】解：∵75=25×3， ∴是整数的正整数n的最小值是3． 故选：B． 先把75分解，然后根据二次根式的性质解答． 本题考查了二次根式的定义，把75分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：∵（-2）2=12＜（-3）2=18，＜0，＜0， ∴＞． 故选A． A、B、C、D分别把已知数据先平方后比较大小即可解决问题． 此题主要考查了实数的大小的比较，其中比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等． 实数大小比较法则： （1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数； （2）两个负数，绝对值大的反而小． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查根据数轴化简二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及绝对值的性质，本题属于基础题型．根据数轴判断b-a、b、a与0的大小关系，然后根据二次根式以及绝对值的性质即可求出答案． 【解答】 解：由数轴可知：a＜0＜b， ∴b-a＞0， ∴原式=b+b-a+a =2b， 故选：B． 8.【答案】  【解析】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12， 在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=132-122=25， 则BD=5， 在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2-AD2=152-122=81， 则CD=9， 故BC的长为BD+DC=9+5=14； （2）钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12， 在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=132-122=25， 则BD=5， 在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2-AD2=152-122=81， 则CD=9， 故BC的长为DC-BD=9-5=4． 综上可得BC的长为14或4． 故选C． 分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD-BD． 本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答，注意分类讨论，不要漏解，难度一般． 9.【答案】  【解析】解：∵△ABC是直角三角形，∠A=30°， ∴∠ABC=90°-30°=60°， ∵沿折痕BD折叠点C落在斜边上的点C′处， ∴∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=∠ABC=30°， ∵沿DE折叠点A落在DC′的延长线上的点A′处， ∴∠ADE=∠A′DE， ∴∠BDE=∠A′BD+∠A′DE=×180°=90°， 在Rt△BCD中，BD=BC÷cos30°=4÷=cm， 在Rt△BDE中，DE=BD•tan30°=×=cm． 故选：A． 根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，翻折前后两个图形能够互相重合可得∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=30°，∠ADE=∠A′DE，然后求出∠BDE=90°，再解直角三角形求出BD，然后求出DE即可． 本题考查了翻折变换的性质，解直角三角形，熟记性质并分别求出有一个角是30°角的直角三角形是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：由勾股定理得，AC2+BC2=AB2， ∵S1+S2=12， ∴×π×（）2+π×（）2+AC×BC-π×（）2=12， ∴AC×BC=24， AB===2． 故选：A． 根据勾股定理得到AC2+BC2=AB2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可． 本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 11.【答案】  【解析】解：∵坐标原点O（0，0） ∴由两点间的距离公式得：OP==5． 故答案为：5． 依题意得坐标原点O（0，0），然后根据两点间的距离公式求出OP即可得出答案． 此题主要考查了点的坐标，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解决问题的关键． 12.【答案】  【解析】解：根据题意得：， 解得：． 则． 故答案是：4． 根据任何非负数的算术平方根以及偶次方都是非负数，两个非负数的和等于0，则这两个非负数一定都是0，即可得到关于m、n的方程，从而求得m、n的值，进而求解． 本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 13.【答案】  【解析】解：因为最简根式-与能够进行合并， 可得：， 解得：， 所以a-b=2-2=0， 故答案为：0． 根据同类二次根式的根指数、被开方数相同，可得关于a、b的方程组，解出即可． 本题考查了同类二次根式的知识，解答本题注意掌握同类二次根式的根指数、被开方数相同． 14.【答案】  【解析】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴∠BAC=90°， 两小时后，两艘船分别行驶了16×3=48，12×3=36海里， 根据勾股定理得：=60（海里）． 故答案为：60海里． 根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题． ​​​​​​​由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个． 【解答】 解：如图， 在Rt△ABC中，AC=3，BC=2，∠ACB=90°， 所以AB2=AC2+BC2=13， 所以AB=， 依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为BD， 则BD2=62+22=40， 所以BD=2， 所以风车的外围周长为4（BD+AC）=4×（2+3）=8+12． 16.【答案】  【解析】解：如图所示作点A关于BC的对称点A′，连接A′G交BC与点Q，小虫沿着A→Q→G的路线爬行时路程最短． 在直角△A′EG中，A′E=80cm,EG=60cm, ∴AQ+QG=A′Q+QG=A′G==100cm, ∴最短路线长为100cm, 故答案为：100cm. 作点A关于BC的对称点A′，连接A′G交BC与点Q，小虫沿着A→Q→G的路线爬行时路程最短． 本题考查平面展开-最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 17.【答案】  【解析】先对分式进行化简，然后代入a的值得出结果． 本题主要考查了分式的化简求值，难度适中． 18.【答案】  【解析】（1）原式=1-（3-1）+2 =1-2+2 =1； （2） = =． （1）先计算零次幂、负整数指数幂、运用平方差公式计算二次根式乘法，然后计算加减法即可； （2）先将二次根式化简，然后计算加减法即可． 题目主要考查二次根式的化简及零次幂、负整数指数幂的运用，熟练掌握运算法则是解题关键． 19.【答案】  【解析】（1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理得出即可； （2）根据三角形面积公式即可求解． 本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记知识点的内容是解此题的关键． 20.【答案】  【解析】先根据题意画出示意图，过点C作CE⊥AD于点E，设BE=x，则在RT△ACE中，可得出CE，利用等腰三角形的性质可得出BC，继而在RT△BCE中利用勾股定理可求出x的值，也可得出CE的长度． 此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是画出示意图，将实际问题转化为解直角三角形的问题，注意直角三角形的构造，难度一般． 21.【答案】  【解析】根据题意求出a、b的值，根据三角形的三边关系确定三角形的边长，求出此三角形的周长． 本题考查的是二次根式有意义的条件、三角形三边关系和等腰三角形的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 22.【答案】  【解析】（1）由四边形ABCD是正方形，得AB=AD，∠B=∠D=90°，由折叠得AF=AD，∠AFE=∠D=90°，则AB=AF，∠AFG=90°，即可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△ABG≌Rt△AFG； （2）设BG=FG=x,由CG2+CE2=EG2，列方程得（6-x）2+32=（3+x）2，解方程求出x的值即可． 此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据轴对称的性质得到相等的线段和相等的角是解题的关键． 23.【答案】  【解析】（1）由勾股定理求解即可； （2）①由题意得：BP=t cm，分两种情况：①当∠APB=90°时，点P与点C重合，则BP=BC=4cm，得t=4； ②当∠BAP=90°时，CP=（t-4）cm，在Rt△ACP和Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2=AC2+CP2=BP2-AB2，即32+（t-4）2=t2-52，求解即可． 本题考查了勾股定理以及分类讨论；熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解题的关键． 24.【答案】  【解析】（1） = = =； （2）原式= = = =． （1）将变形为完全平方式的形式，然后开平方即可； （2）分别化简，合并同类二次根式即可得出答案． 本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 25.【答案】  【解析】（1）根据∠A=55°，求出∠ACB+∠ABC=125°，根据∠ABP=10°，∠ACP=25°，求出∠CPB=90°，即可证明结论； （2）先求出∠ACB=90°，得出AD=3CD=3，求出CD=1，得出AC2=CD2+AD2=12+32=10，根据勾股定理求出即可． （3）分三种情况讨论：当∠ADB=90°时，点D是△ABC的“勾股点”；当∠CDB=90°时，点D是△ABC的“勾股点”；当∠ADC=90°时，点D是△ABC的“勾股点”；其中只有第一种情况存在求出结果即可． 本题主要考查了勾股定理，三角形内角和定理的应用，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握基本的判定和性质，作出相应的辅助线，并注意分类讨论． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$