2.8 直角三角形全等的判定（教学课件）数学浙教版2024八年级上册

该初中数学课件聚焦直角三角形全等的HL判定定理，课堂导入从工人用三角尺判断垂直、测量员测距等现实问题切入，旧知复习回顾一般三角形全等判定方法，通过“特殊三角形是否有更简条件”设问，引导学生经画图剪拼实践验证HL定理，构建从现实到旧知再到新知的学习支架。 其亮点在于以实践探究为主线，结合数学眼光（从三角尺等现实情境发现问题）、数学思维（画图验证后的严谨证明推理）、数学语言（规范几何证明书写）。课堂练习融入梯子滑动、滑梯角度等实际应用，小结明确HL定理与一般三角形判定的区别，帮助学生形成知识体系。学生通过实践提升推理与应用能力，教师可直接利用活动设计与分层练习高效教学。

2.8 直角三角形全等的判定 第2章 特殊的三角形 浙教版2024·八年级上册 章节导读 学 习 目 标 知识与技能目标 重点应用HL定理：明确“斜边和直角边对应相等（HL）”是直角三角形特有的判定方法，并能用规范的几何语言书写证明过程。 过程与方法目标 探究推理能力：通过画图、剪拼等实践活动，探索直角三角形全等的条件，体会数学猜想与验证的过程。 情感态度与价值观目标 严谨性培养：感受几何证明的严密性，养成步步有据的数学表达习惯。 应用意识：体会直角三角形全等在实际问题（如测量、建筑）中的应用价值，增强学习兴趣。 课堂导入 "工人师傅为什么用三角尺就能判断窗框垂直？测量员仅用直角仪和一条边的长度如何确定距离？这背后的数学原理是什么？" 旧知复习 一般三角形全等的判定方法有哪些？ AAS ASA SAS SSS 直角三角形作为特殊三角形，是否可以用更简化的条件判定全等？ 观察三角尺：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等（如两把相同三角尺），它们是否一定全等？ 新知探究 课堂活动：画图验证HL定理 步骤1：每人画一个直角三角形△ABC，使∠C=90°，AC=5cm，AB=10cm。 10cm 5cm 步骤2：同桌交换图纸，尝试画出另一个△DEF，满足∠F=90°，DF=5cm，DE=10cm。 5cm 10cm 步骤3：剪下三角形重叠比较，观察是否完全重合。 新知探究 已知：如图所示，在△ACB和△A'C'B'中，∠C＝∠C'＝90°，AB＝A'B'，AC＝A'C'。 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C' 因为 AC＝A'C'，所以可考虑以 AC 为一边作一个直角三角形，使它和 Rt△A'B'C'全等，然后只要证明所作的直角三角形和Rt△ABC全等。 证明：如图，延长 BC至D，使 CD＝B'C'，连结AD。 由AC＝A'C'，∠ACD＝90°＝∠C'，得△ADC≌△A'B'C'（ SAS）， ∴AD＝A'B'，∵A'B'＝AB，∴AD＝AB。 又∵AC⊥BD，AC是等腰三角形ABD的高线， ∴BC＝CD。而AC＝AC（公共边）， 可得△ADC ≌△ABC（SSS），所以△ABC ≌△A'B'C'。 直角三角形全等的判定定理： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边” “HL”）。 例1. 在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A'B'C'，使得Rt△A'B'C'≌Rt△ABC．小宏同学先画出了∠MB'N之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（       ） 典例分析 A ．SAS B．AAS C．ASA D．HL D 小宏第一步为截取BC=B'C' 小宏第二步为作线段AC=A'C' 变式训练 用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取ON=OM，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB．做法中用到证明△OMP与△ONP全等的理由是（       ） D A ．SAS B．AAS C．ASA D．HL 例2 如图，AD，BC相交于点O，AB=CD，AM⊥BC于点M，DN∥AM，与BC交于点N，BN=CM．求证：∠B=∠C． 典例分析 根据AM⊥BC于点M，DN∥AM得∠AMB=∠DNC=90°。根据BN=CM得BM=CN,进而可依据“HL”判定Rt△ABM和Rt△DCN全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论。 证明：∵AM⊥BC于点M，DN∥AM ∴∠AMB=∠DNC=90° ∵BN=CM，∴BN+MN=CM+MN ∴BM=CN 在Rt△ABM和Rt△DCN中 ∴Rt△ABM≌Rt△DCN(HL),∴∠B=∠C 变式训练 如图，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF，连接BD、CD和AD，DB=DC．求证：AD是∠BAC的平分线． 证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F ∴∠BED=∠CFD=90° 又∵BE=CF，BD=DC, ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL) ∴DE=DF ∵DE=DF，DE⊥AB，DF⊥AC ∴点D在∠BAC的平分线上 ∴AD是∠BAC的平分线 先证明Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，得到DE=DF，再根据角平分线的判定即可求证，掌握以上知识点是解题的关键 例3 已知：如图所示，P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分别是垂足，且PD＝PE。求证：点P在∠AOB的平分线上。 做一做 证明：如图，作射线OP。由PD⊥OA，PE⊥OB， 可得∠PDO＝∠PEO＝90°。∵OP＝OP，PD＝PE， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）。 ∴∠1＝∠2，即点P在∠AOB的平分线上（角平分线的定义）。 如图所示，要证明点P在∠AOB的平分线上，可以转化为证明射线OP平分∠AOB。 1 2 角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 课堂练习 1．如图，能用“”判定和全等的条件是（       ） A A．AC=A'C' AB=A'B' B．∠A=∠A' AB=A'B' C．AC=A'C' BC=B'C' D．∠B=∠B' BC=B'C' HL 已知条件结合∠C=∠C',运用“AAS”得到全等 已知条件结合∠C=∠C',运用“SAS”得到全等 已知条件结合∠C=∠C',运用“ASA”得到全等 课堂练习 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点E，且AE=AC，若BC=7，则DE+BD的值为（      ） A .14 B . 12 C . 9 D . 7 D 证明Rt△ADE≌Rt△ADC(HL),得到DE=DC，即可求出DE+BD=DC+BD=BC=7 解：∵∠C=90°，DE⊥AB于点E， ∴△ADE、△ADC都是直角三角形 ∵AE=AC，AD=AD ∴Rt△ADE≌Rt△ADC(HL),∴DE=DC ∴DE+BD=DC+DB=BC=7 课堂练习 3．如图，一架梯子斜靠在竖直的墙体上，梯子底部B到墙角C的距离为1m．若梯子底部B沿水平方向向右滑动至点D，梯子顶部A落在竖直墙体的点E处，此时梯子与水平地面的夹角∠EDC=32°，点到墙角的距离为1m，则∠AOE的度数为_________． 根据题意证明△ABC≌△DEC(HL)，得到∠BAC=∠EDC=32°，根据直角三角形的性质得到∠DEC=90°-∠EDC=58°，得到∠AOE=∠DEC-∠BAC=58°-32°=26° 解：根据题意得BC=CE=1m,AB=DE ∵∠C=∠C=90°，∴△ABC≌△DEC(HL) ∴∠BAC=∠EDC=32° ∵∠C=90°，∴∠DEC=90°-∠EDC =58° ∴∠AOE=∠DEC-∠BAC=58°-32°=26° 26° 课堂练习 4 .如图，点E在△ABC的边BC上，D为线段BC上方一点，连接DE，DB，且AC=BE，AB=BD，∠ACB=∠BED=90°，若∠1=28°，则∠2的度数为__________． 利用HL证明RtACB≌Rt△BED，得到∠A=∠2，再利用三角形内角和定理求解即可 解：∵AC=BE，AB=BD，∠ACB=∠BED=90° ∴RtACB≌Rt△BED（HL） ∴∠A=∠2, ∵∠1=28°，∴∠A=180°-90°-28°=62° ∴∠2=∠A=62° 62° 课堂练习 5.如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若∠ABC=25°，则∠DFE的度数为______． 利用HL证明Rt△ABC和Rt△DEF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DEF=∠ABC，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得 解：∵在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） ∴∠DEF=∠ABC=25° ∴∠DFE=90°-25°=65° 课堂练习 6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，EC⊥于C，且AB=BE=AC，CD=CE，求证：Rt△ABD≌ Rt△BEC． 解：∵AB=AC，AD⊥BC，CD=CE ∴BD=CD=CE，∵EC⊥BC ∴∠ADB=∠BCE=90° 在Rt△ABD和Rt△BCE中， ∴Rt△ABD≌Rt△BEC（HL） 先根据等腰三角形的三线合一性质得到BD=CD=CE，然后利用HL证明三角形全等即可 课堂练习 7．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF=AC，DF=DC． 证明：∵AD⊥BC，∴∠BDF=∠ADC=90° 在△BDF和△ADC中，,∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL） (1)求证：△BDF≌△ADC (2)若AF=6，FD=2，试求△ABC的面积 解：∵Rt△BDF≌Rt△ADC ∴AD=BD=AF+FD ∵AF=6，FD=2，DF=DC ∴BD=AD=8，BC=BD+CD=8+2=10 ∴ 课堂小结 普通三角形全等判定中没有“边边角（SSA）”，但直角三角形中，斜边与直角边构成的“SSA”即HL定理成立。 因直角固定了三角形的形状，确保唯一性。 HL定理的独特性 内容：若两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则它们全等。 特点： 直角三角形独有的判定方法，普通三角形不适用。 本质是“边边角（SSA）”在直角三角形中的特例（因直角固定了三角形的形状）。关系推直角”。 ②必须验证最长边的平方是否等于另两边的平方和。 斜边-直角边定理（HL） 01 03 04 02 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 初 中 数 学 $$