第2章 特殊三角形 习题课件 2025-2026学年浙教版数学八年级上册

第2章 特殊三角形 一、选择题(每题3分,共30分) 1. 【跨化学·仪器】(2024重庆中考A卷,★☆☆)下列四种化学 仪器的示意图中,是轴对称图形的是 ( )  A　　　     B　　　     C　　　     D 　C     2. (2025温州龙湾期中,★☆☆)下列条件中,能判定△ABC为 直角三角形的是 ( ) A.AB=1,AC=1,BC=2　     B.∠A=∠B=2∠C C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5　    D.BC∶AC∶AB=3∶4∶5 　D     解析　∵1+1=2,∴不能组成三角形,故A选项不符合题意;∵ ∠A=∠B=2∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴5∠C=180°,解得∠C= 36°,∴∠A=∠B=72°,∴△ABC不是直角三角形,故B选项不符 合题意;∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,∠A+∠B+∠C=180°,∴ ∠C=180°× =75°,∴△ABC不是直角三角形,故C选项不 符合题意;∵BC∶AC∶AB=3∶4∶5,∴设BC=3k(k≠0),则AC= 4k,AB=5k,∴BC2+AC2=(3k)2+(4k)2=25k2=AB2,∴BC2+AC2=AB2, ∴△ABC是直角三角形,故D选项符合题意.故选D. 3. (★☆☆)如图,将两个完全相同且含60°角的三角尺ABC与 EDC按如图所示的位置摆放,这两个三角尺的直角边AB,DE 所在直线交于点O,连结OC并延长,射线OC就是∠AOE的平分 线,判断的依据是 ( ) A.角的平分线上的点到角的两边的距离相等 B.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C.三角形三条角平分线的交点到三条边的 距离相等 D.以上均不正确 　B     解析　∵CB⊥OA,CD⊥OE,CB=CD, ∴射线OC平分∠AOE(角的内部到角的两边距离相等的点在 角的平分线上),故选B. 4. (★☆☆)把等边三角形ABC的边AB延长一倍至点D,连结 DC,则△ADC是 ( ) A.等腰三角形　　　    B.等边三角形　　　     C.等腰直角三角形　 D.直角三角形 　D     解析　如图,∵三角形ABC是等边三角形,   ∴AC=BC,∠CBA=∠A=60°.∵AB延长一倍至D,∴DB=CB.∴ ∠BDC=∠BCD, ∵∠CBA是△DCB的外角,∴∠BDC=∠BCD=30°, ∴∠A+∠BDC=90°,∴△ADC是直角三角形.故选D. 5. (2025湖州吴兴期中,★★☆)若等腰三角形的一个内角的度 数比另一个内角的度数大30°,则这个等腰三角形的一个底角 的度数是 ( ) A.50°　　　    B.80°　　　    C.50°或70°　　    D.80°或40° 　C     解析　在△ABC中,设∠A=x,∠B=x+30°,当∠A和∠C为底角 时,2x+(x+30°)=180°,解得x=50°,∴底角∠A=50°;当∠B和∠C 为底角时,2(x+30°)+x=180°,解得x=40°,∴底角∠B=70°.故这个 等腰三角形的一个底角的度数为50°或70°.故选C. 6. (2025杭州余杭期中,★★☆)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC =5,BC=12,线段DE的两个端点D、E分别在边AC、BC所在的 直线上滑动,且DE=7,若点P、Q分别是AB、DE的中点,则下列 有关PQ长度的说法正确的是 ( ) A.有最大值13.5　　　    B.有最大值13　　　     C.有最小值3.5 　　　    D.有最小值3 　D     解析　如图,连结CQ、CP, 在△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,BC=12, ∴AB= =13. ∵DE=7,点Q、P分别是DE、AB的中点,∠ACB=90°, ∴CQ= DE=3.5,CP= AB=6.5. 当点C、Q、P在同一直线上时,PQ取得最小值, ∴PQ的最小值为6.5-3.5=3.故选D. 7. (2025绍兴期中,★★☆)如图,四边形ABCD中,已知AD=4 m, CD=3 m,∠ADC=90°,AB=13 m,BC=12 m,则四边形ABCD的面 积为 ( ) A.24 m2　　　    B.30 m2　　　    C.48 m2　　　    D.60 m2   　A     解析　如图,连结AC,∵AD=4 m,CD=3 m,∠ADC=90°,∴AC=  = =5(m).又∵AB=13 m,BC=12 m,∴AB2=BC2+ AC2,即△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,∴四边形ABCD的面 积为S△ABC-S△ACD= AC·BC- AD·CD= ×5×12- ×3×4=24(m2).故 选A. 8. (★★☆)如图,在△ABC中,点D在BC边上,E,F分别是线段 AC,BD的中点.若AB=AD,EF=3,则AC= ( ) A.5　　　    B.6　　　    C.3 　　　    D.4 　B     解析　如图,连结AF,∵AB=AD,F为BD的中点,   ∴AF⊥BD,∴∠AFC=90°. ∵E为AC的中点,∴EF是Rt△AFC斜边的中线, ∴EF= AC.∵EF=3,∴AC=6.故选B. 9. (2024河北保定期末,★★★)如图,∠AOB=120°,OP平分∠ AOB,且OP=1.若点M,N分别在OA,OB上,且△PMN为等边三角 形,则满足上述条件的△PMN有 ( ) A.1个　　　    B.2个　　　    C.3个　　　    D.无数个   第9题图 　D     解析　如图,过点P作PM⊥OA于M,PN⊥OB于N,连结MN,   ∴PM=PN,∠PMO=90°,∠PNO=90°. ∴∠MPN=360°-∠AOB-∠PMO-∠PNO=60°. ∴△PMN是等边三角形. 当M向射线MO方向移动,N向射线NB方向移动,∠MPM1=∠ NPN1时,∠M1PN1=∠MPN=60°, 在△PMM1和△PNN1中,  ∴△PMM1≌△PNN1(ASA),∴PM1=PN1, ∴△M1PN1是等边三角形. ∴当M向射线MO方向移动,N向射线NB方向移动,∠MPM1=∠ NPN1时,存在无数个满足条件的等边三角形.同理,当M向射线 MA方向移动,N向射线NO方向移动,∠MPM1=∠NPN1时,也存 在无数个满足条件的等边三角形.故选D. 10. (2024宁波鄞州实验中学期末,★★★)如图,在△ABC中,内 角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P,BE=BC,PG∥AD 交BC于F,交AB于G,连结CP.下列结论:①∠ACB=2∠APB;②S △PAC∶S△PAB=PC∶PB;③BP垂直平分CE;④∠PCF=∠CPF.其 中正确的有 ( ) A.①②④　　　    B.①③④　　　     C.②③④　　　    D.①③ 　B     解析　∵AP平分∠CAB,BP平分∠CBE,∴∠PAB= ∠CAB,∠ PBE= ∠CBE,∵∠CBE=∠CAB+∠ACB,∠PBE=∠PAB+∠ APB,∴∠ACB=2∠APB,故①正确;如图,过P作PM⊥AE于M, PN⊥AD于N,PS⊥BC于S,∵AP平分∠CAB,BP平分∠CBE,∴ PM=PN=PS,∴CP平分∠BCD,∵S△PAC∶S△PAB= ∶  =AC∶AB,故②不正确;∵BE=BC,BP平分∠CBE, ∴BP垂直平分CE,故③正确;∵PG∥AD,∴∠FPC=∠DCP,∵ CP平分∠DCB,∴∠DCP=∠PCF,∴∠PCF=∠CPF,故④正确. 综上,①③④正确.故选B.   11. (★☆☆)“直角三角形的两个锐角互余”这个命题的逆 命题是______________________________________. 　有两个内角互余的三角形是直角三角形     二、填空题(每题3分,共18分) 12. (2025宁波期中,★☆☆)已知等腰三角形的两边长分别 为x、y,且满足|x-4|+(x-y+4)2=0,则这个三角形的周长为______.     20 解析　由题意得,x-4=0,x-y+4=0,∴x=4,y=8. ①当4是一腰长时,三边长分别为4、4、8, ∵4+4=8,∴不能组成三角形; ②当4是底边长时,三边长分别为4、8、8, 能组成三角形,此时周长=4+8+8=20. 综上,三角形的周长为20. 13. 【新考向·数学文化】(★☆☆)“三等分角”是古希腊三 大几何问题之一.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分 任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒 在O点相连并可绕O转动,C点固定,OC=CD=DE,点D、E可在 槽中滑动,若∠BDE=60°,则∠CDE的度数是____________.       100°     解析　设∠O=α,∵OC=CD,∴∠O=∠CDO=α,∴∠DCE=∠O +∠CDO=2α,∵CD=DE,∴∠DCE=∠DEC=2α,∴∠BDE=∠O +∠DEC=3α,∵∠BDE=60°,∴3α=60°,解得α=20°,∴∠O=∠ CDO=α=20°,∴∠CDE=180°-(∠CDO+∠BDE)=180°-(20°+ 60°)=100°. 14. 【新考向·数学文化】(2025温州山海联盟协作学校期中, ★★☆)如图甲所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示 意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.在Rt△ABC中,若 直角边AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分 别向外延长一倍,得到图乙所示的“数学风车”,则这个风车 的外围周长(图乙中的实线)是__________.     76     解析　依题意,设“数学风车”中延长后的四个直角三角形 的斜边长为x,则x2=122+52=169,∴x=13, ∴“数学风车”的周长是(13+6)×4=76.   15. (2025贵州贵阳期中,★★☆)在如图所示的4×3网格纸中, 小正方形的边长为1,有A,B两个格点,试取格点C,使得△ABC 是直角三角形,则BC的长为__________________.     1或2或 或 或2      解析　如图,易得BC的长为1或2或 或 或2 .   16. (2025宁波瑾州期末,★★☆)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC =4,BC=3,点P为AC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,则PB+ PD的最小值为_________. 解析　如图,作点B关于AC的对称点B',过点B'作B'D⊥AB于点 D,交AC于点P,连结BP,AB',   此时PB+PD有最小值, 根据对称的性质得BP=B'P,∴PB+PD的最小值为B'P+PD=B'D 的长, 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3, ∴AB= =5, ∵AC=AC,∠ACB=∠ACB',BC=B'C, ∴△ABC≌△AB'C(SAS),∴S△ABB'=S△ABC+S△AB'C=2S△ABC,即 AB·B'D=2× BC·AC,∴5B'D=24,解得B'D= ,即PB+PD的最小值为  . 17. (2025温州鹿城月考,★☆☆)(8分)如图所示的图形均是由 5个全等的正方形组成的,请你在图中分别补上一个同样大小 的正方形,使它变成轴对称图形.(用3种不同的方法)   第17题图 三、解答题(共72分) 解析　 如图.(任选3种方法即可)   18. (2025杭州大关中学教育集团期中,★☆☆)(8分)如图,在△ ABC中,AD⊥BC于点D,E为AC上一点,且BF=AC,DF=DC. (1)求证:△BDF≌△ADC. (2)已知AF=6,BC=12,求AD的长.   第18题图 解析    (1)证明:∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°. 在Rt△BDF和Rt△ADC中,  ∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL). (2)∵Rt△BDF≌Rt△ADC,∴BD=AD. ∵BC=BD+CD=12,∴AD+CD=12,∴AF+DF+DC=12. ∵DF=CD,∴AF+2DF=12, ∵AF=6,∴DF=3,∴AD=AF+DF=9. 19. (★★☆)(8分)如图,在△ABC中,边AB、AC的垂直平分线 分别交BC于点D、E. (1)若BC=10,求△ADE的周长. (2)若∠BAC=115°,求∠DAE的度数. (3)设直线DM、EN交于点O,试判断点O是否在边BC的垂直平 分线上,并说明理由. 解析    (1)∵DM是AB的垂直平分线,EN是AC的垂直平分线,∴ DB=DA,EA=EC,∵BC=10, ∴△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=10. (2)∵∠BAC=115°,∴∠B+∠C=180°-∠BAC=65°,∵DA=DB, EA=EC,∴∠B=∠DAB,∠C=∠EAC,∴∠DAB+∠EAC=∠B+ ∠C=65°,∴∠DAE=∠BAC-(∠DAB+∠EAC)=50°. (3)点O在BC的垂直平分线上. 理由:如图,连结OA,OB,OC,   ∵OM是AB的垂直平分线,ON是AC的垂直平分线, ∴OA=OB,OA=OC,∴OB=OC, ∴点O在边BC的垂直平分线上. 20. 【新考向·尺规作图】(2025温州二中期中,★★☆)(8分) 尺规作图问题 问题呈现 如图,已知直线BC和直线外一点A,连结AB,AC. (1)用无刻度的直尺和圆规在直线BC上取点D,点E(点D在点E的左侧),使得∠EAD=∠BAC,且DE=BC(不要求写作法,但要保留作图痕迹); (2)请根据自己的作法说明作图正确的理由 我的画法   我的理由 解析　我的画法:如图所示.   我的理由:过点A作AH⊥CD于点H.由作图可知AC=AD,AB=AE, ∴CH=DH,BH=EH,∠ACD=∠ADC,∠ABE=∠AEB.∴DE=BC, ∵∠ACD=∠ABE+∠BAC,∠ADC=∠AEB+∠DAE,∴∠BAC= ∠EAD. 21. (2025温州乐清月考,★★☆)(8分)“儿童散学归来早,忙趁 东风放纸鸢.”某校八年级(1)班的小明和小亮为了测得风筝 的垂直高度CE,示意图如下.他们进行了如下操作: ①测得水平距离BD的长为30米; ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为50米; ③小明手里的风筝线轮盘距地面的高度为1.6米. (1)求风筝的垂直高度CE. (2)如果小明想将风筝沿CD方向下降24米 至M点,求他应该往回收的线的长度. 解析    (1)在Rt△CDB中, 由勾股定理得CD= = =40(米), ∴CE=CD+DE=40+1.6=41.6(米). (2)由题意得CM=24米,∴DM=40-24=16(米), ∴BM= = =34(米), ∴BC-BM=50-34=16(米), ∴他应该往回收的线的长度为16米. 22. (2025金华月考,★★☆)(10分)如图,在△ABC中,AB=AC=2, ∠B=40°,点D在线段BC上运动(D不与B、C重合),连结AD,作 ∠ADE=40°,DE交线段AC于E. (1)当∠BDA=115°时,∠BAD=_______;点D从B向C运动时,∠ BDA逐渐变_______(填“大”或“小”). (2)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE?请说明理由. (3)在点D的运动过程中,△ADE的形状也在改变, 当∠BDA等于多少度时,△ADE是等腰三角形? 解析    (1)25°;小. (2)当DC=2时,△ABD≌△DCE.理由如下: ∵∠EDC+∠EDA=∠DAB+∠B,∠B=∠EDA=40°, ∴∠DAB=∠EDC.∵AB=AC=2,∴∠B=∠C,∵AB=DC=2,∴△ ABD≌△DCE(ASA). (3)∵AB=AC,∴∠B=∠C=40°.①当AD=AE时,∠ADE=∠AED=40° 由题意得∠AED>∠C,∴矛盾,∴此种情况不存在; ②当DA=DE时,易得∠DAE=∠DEA= ×(180°-40°)=70°,∴∠ BDA=∠DAE+∠C=70°+40°=110°; ③当EA=ED时,易得∠ADE=∠DAE=40°, ∴∠BDA=∠DAE+∠C=40°+40°=80°. 综上,当∠BDA=110°或80°时,△ADE是等腰三角形. 23. (2025丽水期末,★★☆)(10分)在数学活动课上,同学们用 边长分别为m,n的两个正方形A,B(如图1)进行摆放,其中m>n. 现有两种摆放方式:方式一,如图2,将正方形B放在正方形A内 部;方式二,如图3,将正方形A,B并列放置在边长为(m+n)的正 方形内部.若记图1中正方形A,B的面积之和为a,记图2,图3中 阴影部分的面积分别为b,c,解答下列问题: (1)用含m,n的代数式表示c. (2)若△ABC的三边长分别为a,b,c,试猜想△ABC是哪一类三 角形,并证明你的猜想. (3)已知直角三角形的两边长分别为m,n,且m,n为整数,当a=25 时,求直角三角形第三边的长.   第23题图 解析    (1)c=(m+n)2-m2-n2=2mn. (2)△ABC是直角三角形. 证明:∵a=m2+n2,b=m2-n2,c=2mn, ∴a2=(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4,b2+c2=(m2-n2)2+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+ 4m2n2=m4+2m2n2+n4, ∴b2+c2=a2,∴△ABC是直角三角形. (3)由题意得a=m2+n2=25, ∵n为大于0且小于5的整数,m>n,∴m=4,n=3, ①当m,n为直角边长时,第三边长为 =5, ②当m为斜边长时,第三边长为 = . 综上,直角三角形第三边的长为5或 . 24. 【新考向·动点探究题】(2025杭州期中,★★★)(12分)如 图,在△DEF中,DE=DF,点B在EF边上,且∠EBD=60°,C是射线 BD上的一个动点(不与点B重合,且BC≠BE),在射线BE上截取 BA=BC,连结AC. (1)当点C在线段BD上时, ①若点C与点D重合,请根据题意补全图1,并直接写出线段AE 与BF的数量关系为_______. ②如图2,若点C不与点D重合,请证明AE=BF+CD. (2)当点C在线段BD的延长线上时,用等式表示线段AE,BF,CD 之间的数量关系(直接写出结果,不需要证明).   第24题图 解析    (1)①补全图形如图1,AE=BF.   图1 图2 　　      ②证明:如图2,在BE上截取BG=BD,连结DG, ∵∠EBD=60°,BG=BD,∴△GBD是等边三角形, 同理,△ABC也是等边三角形, ∴BG-BA=BD-BC,即AG=CD, ∵DE=DF,∴∠E=∠F.∵∠DGB=∠DBG=60°, ∴∠DGE=∠DBF=120°. 在△DGE与△DBF中,  ∴△DGE≌△DBF(AAS), ∴GE=BF,∴AE=GE+AG=BF+CD. (2)AE=BF-CD或AE=CD-BF. 详解:当点A在线段BE上时,如图3,在BE上截取BG=BD,连结DG, 由(1)知,GE=BF,易得AG=CD, ∴AE=EG-AG=BF-CD.   图3 图4 　　      当点A在BE的延长线上时,如图4,在BE上截取BG=BD,连结 DG, 由(1)知,GE=BF,易得AG=CD, ∴AE=AG-EG=CD-BF. $