第六讲 等边三角形课件 2025-2026学年数学浙教版（2024）八年级上册专题复习培优

第六讲 等边三角形 重点分析： 1. 等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三个角都等于60°，三条 边都相等，三边上都满足“三线合一”，有三条对称轴。 2. 判定一个三角形是等边三角形，有三种思路：一是证明三条边都 相等；二是证明有两个角是60°（即三个角都相等）；三是先证明它是 等腰三角形，再说明其中一个角是60°。 3. 等边三角形有旋转不变性，即绕着中心旋转120°，仍和原图形重 合。等边三角形丰富的边角等量关系为几何证明提供了大量有用条件， 解题时要注意灵活运用。 4. 逆命题与逆定理：把命题的条件和结论互换就得到逆命题，每个 命题都有逆命题，真命题的逆命题不一定是真命题，所以定理不一定有 逆定理。 难点分析： 1. 等边三角形的三种判定方法要注意区别，特别是有一个角是60° 的等腰三角形是等边三角形的前提是要先判定这个三角形是等腰三角 形，不要误认为只要有一个角是60°的三角形就是等边三角形。 2. 等边三角形具有轴对称性和旋转不变性，利用轴对称和旋转变换 是解决与等边三角形有关的问题常用的思路，但要注意找准对称轴和旋 转方向及旋转角度。 　如图1，△ABD和△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A'B'D'的位置，得到图2，则涂色部分的周长为 　 。 　根据△ABD和△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A'B'D'的位置，得出线段之间的相等关系，进而得出 OM+MN+NR+GR+EG+OE=A'D'+CD=1+1=2，即可得出答案。 　∵△ABD和△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A'B'D'的位置，∴A'M=A'N=MN，MO=DM=DO，OD'=D'E=OE，EG=EC=GC，B'G=RG=RB'。∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A'D'+CD=1+1=2。故答案为：2。 　本题主要考查了平移的性质以及等边三角形的性质，根据 题意得出A'M=A'N=MN，MO=DM=DO，OD'=D'E=OE，EG=EC=GC，B'G=RG=RB'是解答本题的关键。 　本题也可以通过特殊情况，即重叠部分是正六边形时得到 答案，但要注意重叠部分不一定是正六边形。 　如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（点P不与点A， B重合），分别以AP，PB为边向线段AB的同一侧作等边三角形APC和等 边三角形PBD。 （1）连结AD，BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由。 （2）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否会发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明） 　（1）首先证得△APD≌△CPB，然后根据三角形内角和定理即可求解。（2）旋转的过程中，（1）中的两个三角形的全等关系不 变，因而角度不会发生变化。 　（1）α的大小不会随点P的移动而变化。理由如下： ∵△APC是等边三角形，∴PA=PC，∠APC=60°。 ∵△PBD是等边三角形，∴PB=PD，∠BPD=60°。∴∠APC=∠BPD。 ∴∠APD=∠CPB。∴△APD≌△CPB。∴∠PAD=∠PCB。 ∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°。 ∴∠AQC=180°-120°=60°，即α的大小不会随点P的移动而变化。 （2）此时α的大小不会发生改变，始终等于60°。同理可得 △APD≌△CPB， ∴∠PAD=∠PCB。∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°。 ∴α=∠AQC=180°-120°=60°。 　本题考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质。在 等边三角形中，旋转全等是常见的全等三角形，即△APD绕着点P旋转 60°可得△CPB，这类全等的证明一般用SAS定理。 　题（2）图形虽然发生了变化，但题（1）中的全等三角形 仍然成立，这类图形变化但结论不发生变化的问题一定要关注图形变化 过程中不变的量，从而找到解决问题的突破口。 　如图，P是等边三角形ABC的AB边上一点，过点P作PE ⊥ AC于点E，在BC的延长线上截取CQ=AP，连结PQ交AC于点D。 （1）若∠Q=28°，求∠EPD的度数。 （2）求证：PD=QD。 　 （1）根据三角形外角的性质可得∠ACB=∠Q+∠CDQ，再由对顶角相等可得∠EDP=∠CDQ=∠ACB-∠Q，然后在Rt△PED中即可求得∠EPD的度数。（2）作PF∥BC交AC于点F，先证明△APF是等边三角形，得出AP=AF=PF，证出PF=CQ，由ASA证明△PFD≌△QCD，得出对应边相等即可。 　（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠ACB=60°。 ∵∠Q=28°，∴∠EDP=∠CDQ=∠ACB-∠Q=32°。 ∵PE ⊥ AC，∴∠PED=90°。∴∠EPD=90°-∠EDP=58°。 （2）如图，作PF∥BC交AC于点F。由作图可知∠APF=∠B=60°， ∠AFP=∠ACB=60°，∠FPD=∠Q，∠PFD=∠QCD， ∴∠APF=∠AFP=∠A=60°。 ∴△APF是等边三角形。∴AP=AF=PF。 ∵CQ=AP，∴PF=QC。在△PFD和△QCD中， ∵∴△PFD≌△QCD（ASA）。∴PD=QD。 　 本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和 判定，平行线的性质。熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是 解决（2）的关键。 　证明△PFD和△QCD全等的条件要完整，并且每个条件都要 说明清楚。 　如图，点O是等边三角形ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α。以OC为一边作等边三角形OCD，连结AD。 （1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由。 （2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 　 （1）先根据已知条件证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状。（2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解，注意分类讨论。 　（1）∵△ABC与△OCD均是等边三角形，∴OC=DC，BC=AC， ∠ACB=∠OCD=60°。∴∠BCO=∠ACD。在△BOC和△ADC中， ∵∴△BOC≌△ADC（SAS）。∴∠BOC=∠ADC。 而∠BOC=α=150°，∠ODC=60°，∴∠ADO=150°-60°=90°。 ∴△ADO是直角三角形。 ∵△ABC与△OCD均是等边三角形，∴OC=DC，BC=AC， ∠ACB=∠OCD=60°。∴∠BCO=∠ACD。在△BOC和△ADC中， ∵∴△BOC≌△ADC（SAS）。∴∠BOC=∠ADC。 （2）设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d， 则a+b=60°，b+c=180°-110°=70°，c+d=60°， ∴a+d=a+b+c+d-（b+c）=60°+60°-70°=50°，即∠DAO=50°。 ①要使AO=AD，需满足∠AOD=∠ADO= × （180°-50°）=65°， ∴α=∠ADC=∠ADO+∠ODC=65°+60°=125°。 ②要使OA=OD，需满足∠ADO=∠DAO=50°， ∴α=∠ADC=∠ADO+∠ODC=50°+60°=110°。 ③要使OD=AD，需满足∠DOA=∠DAO=50°， ∴∠ADO=180°-50°-50°=80°。∴α=∠ADC=∠ADO+∠ODC=80°+60°=140°。∴当 α为110°，125°或140°时，△AOD是等腰三角形。 　本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质及等腰三角形 的性质。△ADC可看作是由△BOC绕点C顺时针旋转60°得到的。 　第（2）题需要根据等腰三角形边的情况分三种情况讨 论，分类时要注意不重不漏。 　已知等边三角形ABC的边长为a。（提示：含30°角的直角三角形的 三条边的比为1∶∶2） （1）探究：如图1，过等边三角形ABC的顶点A，B，C依次作AB，BC，CA的垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形且MN=a。 （2）探究：在等边三角形ABC内取一点O，过点O分别作OD ⊥ AB，OE ⊥ BC，OF ⊥ CA，垂足分别为D，E，F。如图2，若O是△ABC三条中线的交点，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1：OD+OE +OF=a；结论2：AD+BE+CF=a。如图3，若O是等边三角形ABC内任意一点，则上述结论1，2是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由。 　（1）由△ABC为等边三角形，得AB=BC=a，∠ABC=60°，求出∠N，∠G的值。在Rt△AMB，Rt△BCN中，先用a表示出BM，BN，然后再表示出MN，即可证得MN=a。（2）判定结论1是否成立，可通过构建直角三角形，把所求的线段都转化到直角三角形中进行求解；判断结论2是否成立，也要通过构建直角三角形，把所求的线段都用结论1中的线段表示出来，然后经过化简判断结论2是否正确。 　（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°。 ∵BC ⊥ MN，BA ⊥ MG，∴∠CBM=∠BAM=90°。 ∴∠ABM=90°-∠ABC=30°。∴∠M=90°-∠ABM=60°。 同理可得∠N=∠G=60°。∴△MNG为等边三角形。在Rt△ABM中， BM=a，在Rt△BCN中，BN=a，∴MN=BM+BN=a。 （2）结论1成立。证明：如图4，过点O作GH∥BC，分别交 AB，AC于点G，H，过点H作HM ⊥ BC于点M， ∴∠DGO=∠B=60°，∠OHF=∠C=60°。∴△AGH是等边三角形。∴GH=AH。 ∵GH∥BC，HM ⊥ BC，OE ⊥ BC，∴易证HM=OE。 在Rt△ODG中，OD=OG。在Rt△OFH中，OF=OH。在Rt△HMC中，HM=HC。∴OD+OE+OF=OD+HM+OF=OG+HC+OH=（GH+HC）=AC=a。 结论2成立。证明：如图4，过点G作GN ⊥ BC于点N。在Rt△ODG中， DG=OD，OG=OD。在Rt△OFH中，OH=OF，FH=OF。在Rt△BNG中，BN=GN=OE。在Rt△CHM中，CH=HM=OE。 ∴AD+BE+CF=AG-DG+BN+NE+CH+FH=OG+OH- DG+BN + OG+CH+FH=OD+OF- OD+OE+OD+OE+ OF=（OD+OE+OF ）=a。 　本题考查了等边三角形的判定和性质以及特殊三角形的三 边数量关系等知识，特别注意有一个角是30°的直角三角形三边比为 1∶∶2是解答与等边三角形有关的线段计算常用的数量关系。 　本题涉及的知识比较多，难度比较大，特别是题（2）中 的结论需要构造出直角三角形，并熟练应用特殊三角形边的比结合代数 恒等式的变形证得结论，要注意正确处理代数式，合理应用乘法公式。 1. 下列条件中，不一定是等边三角形的是（　D　）。 A. 有两个内角是60°的三角形 B. 三边都相等的三角形 C. 有一个角是60°的等腰三角形 D. 有两个外角相等的等腰三角形 D 2. 如图，l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹 锐角为20°，则∠α的度数为（　C　）。 A. 60° B. 45° C. 40° D. 30° C 3. 如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，则∠EDC的度数为 （　D　）。 A. 30° B. 20° C. 25° D. 15° D 4. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（　A　）。 A. 60° B. 45° C. 40° D. 30° A 5. 如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，连结AE，CD，若 ∠BAE=39°，则∠BCD= °。  39 6. 如图，点D为等边三角形ABC内一点，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD= °。  30 7. 如图，在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问：△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论。 【答案】△APQ是等边三角形。证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC。在△ABP和△ACQ中，∵，∴△ABP≌△ACQ（SAS）。∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ。∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°，∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°。∴△APQ是等边三角形。 8. 如图，已知点B，C，D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H。求证： （1）△BCE≌△ACD。 【答案】（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°。∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD。在△BCE 和△ACD中，∵∴△BCE≌△ACD（SAS）。 （2）FH∥BD。 【答案】（2）由（1）知△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH。又∵△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B，C，D在同一条直线上，∴∠ACH=180°-∠ACB-∠HCD=60°=∠BCF。在△BCF和△ACH中，∵∴△BCF≌△ACH（ASA）。∴CF=CH。又∵∠FCH=60°，∴△CHF为等边三角形。∴∠FHC=∠HCD=60°。∴FH∥BD。 9. 如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2。若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（　D　）。 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个 D 10. 如图，已知△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD=62°，则∠AEB的度数是（　B　）。 A. 124° B. 122° C. 120° D. 118° B 11. 将一个等边三角形、一个直角三角形以及一个等腰三角形按如图放 置，已知等腰三角形的底角∠3=64°，则∠1+∠2= 。  146° 12. 如图，六边形ABCDEF的六个角都是120°，边长AB=1 cm，BC=3 cm，CD=3 cm，DE=2 cm，则这个六边形的周长是 。  15 cm 13. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°。分别以AB，AC为边，向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE。 （1）如图1，连结线段BE，CD。求证：BE=CD。 【答案】（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°。∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE。在△DAC 和△BAE中，∵∴△DAC≌△BAE（SAS）。∴DC=BE。 （2）如图2，连结DE交AB于点F。求证：点F为DE中点。 【答案】（2）作DG∥AE，交AB于点G。由∠EAC=60°，∠CAB=30°得∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，∴∠DGF=∠FAE=90°。又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°， ∴∠ABC=60°。又∵△ABD为等边三角形，∴∠DBG=60°，DB=AB。∴∠DBG=∠ABC=60°。∴△DGB≌△ACB（AAS）。∴DG=AC。又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC。∴DG=AE。∵∠AFE=∠DFG，∴△DGF≌△EAF（AAS）。∴DF=EF，即点F为DE中点。 14. 已知△ABC是等边三角形，D是直线BC上一动点，连结AD，在线段AD的右侧作射线DP且使∠ADP=30°，作点A关于射线DP的对称点E，连结DE，CE。 （1）当点D在线段BC上运动时，①依题意将图1补全。②请用等式表示 线段AB，CE，CD之间的数量关系，并证明。 【答案】（1）①如图1。 ②AB=CE+CD。证明：∵点A关于射线DP的对称点为E，∴DP垂直平分AE。∴AD=DE。又∵∠ADP=30°， ∴∠ADE=2∠ADP=60°。∴△ADE是等边三角形。∴AD=AE， ∠DAE=∠ADE=60°。又∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°。∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE。在△BAD和△CAE中， ∵，∴△BAD≌△CAE（SAS）。 ∴BD=CE。∴AB=BC=BD+CD=CE+CD。 （2）当点D在直线BC上运动时，请直接写出AB，CE，CD之间的数量关 系，不需证明。 【答案】（2）①当点D在线段BC上时，AB=CE+CD。②当点D在CB的延长线上时，AB=CD-CE。理由如下：如图2，由（1）得，△ADE是等边三角形，∴AD=AE，∠DAE=∠ADE=60°。又∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°。∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，即∠BAD=∠CAE。在△BAD和△CAE中，∵ ，∴△BAD≌△CAE（SAS）。 ∴BD=CE。∴AB=BC=BD-CD=CE-CD。 1. 【福建】如图，在等边三角形ABC中，AD ⊥ BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（　A　）。 A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° A 2. 【兰州】如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E分别为AB，AC 的中点，则△ADE的面积是（　A　）。 A. B. C. D. A 3. 【淄博】如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内 部，∠BDC=90°，连结AD，过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角的度数分别是 ⁠ 。  120°， 150° 4. 如图，点P是∠AOB内一定点，点M，N分别在边OA，OB上运动，若 ∠AOB=30°，OP=3，则△PMN的周长的最小值为 　​ 　。  ​ 5. 已知△ABC，△EFG是边长相等的等边三角形，D是边BC，EF的中点。 （1）如图1，连结AD，GD，则∠ADC= 　　　　°；∠GDF= 　　　　°；AD与GD的数量关系是 　　　　；DC与DF的数量关系是 　　　　。  【答案】（1）90　90　AD=GD　DC=DF （2）如图2，直线AG，FC相交于点M，求∠AMF的大小。 【答案】（2）如图，连结AD，DG，由（1）得 ∠ADC=∠GDF=90°，∴∠ADC-∠GDC=∠GDF-∠GDC，即∠1=∠2。由（1）得AD=GD，∴∠DGA=∠DAG=。∴∠DGA=∠3。 ∵∠AMF=∠AGF+∠5∴∠AMF=∠DGA+∠4+∠5=∠3+∠4+∠5=180°-∠GDF=180°-90°=90°。 1. 如图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边 长为2 cm时，这个六边形的周长为（　D　）。 A. 30 cm B. 40 cm C. 50 cm D. 60 cm D 2. 在等边三角形ABC所在的平面内求一点P，使△PAB， △PBC，△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（　D　）。 A. 1个 B. 4个 C. 7个 D. 10个 3. 如图，等边三角形RST的顶点R，S，T分别在等腰三角形ABC的边AB，BC，CA上，设∠ART=x°，∠RSB=y°，∠STC=z°，用含y，z的代数式表示x是 。  D x=2y-z 4. 如图，点P是等边三角形ABC内部一点，且∠APC=117°，∠BPC=130°。求以AP，BP，CP为边的三角形的三内角的度数。 【答案】如图，将△APC绕点A顺时针旋转60°得△AQB，则△AQB≌△APC，∴BQ=CP，AQ=AP。∵∠1+∠3=60°，∴△APQ是等 边三角形。∴QP=AP，∠4=∠5=60°。∴△QBP就是以AP，BP，CP为边的三角形。∵∠APB=360°-∠APC-∠BPC=113°，∴∠6=∠APB-∠5=53°。∵∠AQB=∠APC=117°，∴∠7=∠AQB- ∠4=57°。∴∠QBP=180°-∠6-∠7=70°。∴以AP，BP，CP为边的三角形的三内角的度数分别为70°，57°，53°。 $