第19章 一次函数（巩固复习.单元培优）-2024-2025学年八年级下册数学人教版

第19章 一次函数 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列解析式中，y不是x的函数的是（　　） A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝± （x＞0） D．y＝|x| 2．（3分）在△ABC中，它的底边是a，底边上的高是h，则三角形面积Sah，当a为定长时，在此式中（　　） A．S，h是变量，，a是常量 B．S，h，a是变量，是常量 C．S，h，是变量，a是常量 D．S是变量，，a，h是常量 3．（3分）变量x与y之间的关系是y＝2x﹣3，当因变量y＝6时，自变量x的值是（　　） A．9 B．15 C．4.5 D．1.5 4．（3分）早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，小明妈妈发现小明的作业本落在家里，便带上作业本骑车追赶，途中追上小明两人稍作停留，妈妈骑车返回，小明继续步行前往学校，两人同时到达．设小明在途中的时间为x，两人之间的距离为y，则下列选项中的图象能大致反映y与x之间关系的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝﹣x上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＜y1＜y2 6．（3分）若函数y＝kx（k≠0）的值随自变量的增大而增大，则函数y＝x+2k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）已知一次函数y＝2x+a，y＝﹣x+b的图象都经过A（﹣2，0），且与y轴分别交于B、C两点，则△ABC的面积为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（3分）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点（2，0），点（0，3）．有下列结论： ①关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2； ②关于x的方程kx+b＝3的解为x＝0； ③当x＞2时，y＜0； ④当x＜0时，y＜3．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，OABC的顶点A在x轴上，定点B的坐标为（6，4），若直线经过定点（1，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线的表达式（　　） A．y＝3x﹣2 B．yx C．y＝x﹣1 D．y＝3x﹣3 10．（3分）如图，点A、B的坐标分别为（0，4）、（6，8），点P为x轴上的动点，若点B关于直线AP的对称点B'恰好落在x轴上，则点P的坐标是（　　） A． B． C．（2，0） D．（3，0） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）已知函数y＝﹣4x+6，则当x＝﹣1时，函数值y的值是 　 　 ． 12．（3分）某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶，汽车在行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如下表： t（小时） 0 1 2 3 y（升） 100 92 84 76 由表格中y与t的关系可知，当汽车行驶　 　 小时，油箱的余油量为0． 13．（3分）若正比例函数y＝（2﹣m）x|m﹣2|，y随x的增大而减小，则m的值是　 　 ． 14．（3分）如图，两个一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象分别为直线l1和l2，l1与l2交于点A（1，p），l1与x轴交于点B（﹣2，0），l2与x轴交于点C（4，0），则不等式组0＜mx+n＜kx+b的解集为 　 　 ． 15．（3分）如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4），顶点C在x轴的正半轴上，则∠AOC的角平分线所在直线的函数关系式为　 　 ． 16．（3分）速度分别为100km/h和akm/h（0＜a＜100）的两车分别从相距s千米的两地同时出发，沿同一方向匀速前行．行驶一段时间后，其中一车按原速度原路返回，直到与另一车相遇时两车停止．在此过程中，两车之间的距离y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①a＝60；②b＝2；③；④若s＝60，则．其中说法正确的是 　 　 ， 三、解答题（本大题共72分） 17．（6分）已知y与x+2成正比，当x＝4时，y＝4． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点（a，3）在这个函数图象上，求a的值． 18．（8分）画出函数y＝|x|﹣2的图象，利用图象回答下列问题： （1）写出函数图象上最低点的坐标，并求出函数y的最小值； （2）利用图象直接写出不等式|x|﹣2＞0的解集； （3）若直线y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与y＝|x|﹣2的图象有两个交点A（m，1），B（，），直接写出关于x的方程|x|﹣2＝kx+b的解． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，2），C（4，4）．已知四边形ABCD为菱形，其中AB与BC为一组邻边． （1）请在图中作出菱形ABCD，并求出菱形ABCD的面积； （2）过点A的直线l：yx+b与线段CD相交于点E，请在图中作出直线l的图象，并求出△ADE的面积． 20．（8分）如图，直线l1与x轴交于点A（﹣6，0），与直线l2相交于点C（m，m），直线l2与x轴交于点B．已知直线l2的函数表达式为y＝﹣x+6． （1）求直线l1的函数表达式． （2）P是直线l1上的一个动点，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标． 21．（9分）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动． 甲书店：所有书籍按标价8折出售； 乙书店：一次购书中标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元后的部分打6折． （1）以x（单位：元）表示标价总额，y（单位：元）表示应支付金额，分别就两家书店的优惠方式，求y关于x的函数解析式； （2）“世界读书日”这一天，如何选择这两家书店去购书更省钱？ 22．（10分）已知第一象限点P（x，y）在直线y＝﹣x+5上，点A的坐标为（4，0），设△AOP的面积为S． （1）当点P的横坐标为2时，求△AOP的面积； （2）当S＝4时，求点P的坐标； （3）求S关于x的函数解析式，写出x的取值范围，并在图中画出函数S的图象． 23．（11分）某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为60元，售价为80元；乙商品的进价为90元，售价为120元．设购进甲种商品x件，商场售完这100件商品的总利润为y元． （1）写出y与x的函数关系式； （2）该商场计划最多投入8400元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？ （3）商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元（0＜a＜15）出售，且限定商场最多购进甲种商品60件．在（2）的条件下，若商场获得最大利润为3120元，求a的值． 24．（12分）（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（4，0），直线y＝3x与线段AB交于点M，点N在x轴上，Q（0，﹣1），∠MQN＝45°． ①直接写出直线AB的解析式为 　 　 ； ②求点N的坐标； （2）如图2，将（1）中的直线AB向上平移（m﹣4）个单位得到直线A'B'，点C是射线A'B'上的一动点，点D的坐标是（m，m），以CD为边向右作正方形CDEF，连接B′E，B'E＝nB'C，其中m＞4，n＞0，直接写出点E的坐标为 　 　 （用m，n的式子表示）． 第19章 一次函数 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列解析式中，y不是x的函数的是（　　） A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝± （x＞0） D．y＝|x| 【答案】C 【分析】根据函数的概念可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可得出答案． 【解答】解：A、y＝2x对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义； B、y＝x2对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义； C、y＝± （x＞0）对于x的每一个取值，y有两个确定的值，不符合函数的定义； D、y＝|x|对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义． 故选：C． 【点评】此题主要考查了函数的概念．函数的概念：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 2．（3分）在△ABC中，它的底边是a，底边上的高是h，则三角形面积Sah，当a为定长时，在此式中（　　） A．S，h是变量，，a是常量 B．S，h，a是变量，是常量 C．S，h，是变量，a是常量 D．S是变量，，a，h是常量 【答案】A 【分析】根据函数的定义：对于函数中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应；来解答即可． 【解答】解：∵三角形面积Sah， ∴当a为定长时，在此式中S、h是变量， ，a是常量； 故选：A． 【点评】函数的定义：设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作y＝f（x）；变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量． 3．（3分）变量x与y之间的关系是y＝2x﹣3，当因变量y＝6时，自变量x的值是（　　） A．9 B．15 C．4.5 D．1.5 【答案】C 【分析】把y＝6代入y＝2x﹣3可得x的值． 【解答】解：当y＝6时，2x﹣3＝6， 解得：x＝4.5， 故选：C． 【点评】此题主要考查了函数值的求法，关键是掌握代入法求函数值． 4．（3分）早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，小明妈妈发现小明的作业本落在家里，便带上作业本骑车追赶，途中追上小明两人稍作停留，妈妈骑车返回，小明继续步行前往学校，两人同时到达．设小明在途中的时间为x，两人之间的距离为y，则下列选项中的图象能大致反映y与x之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可以得到各段时间段内y随x的变化情况，从而可以判断哪个选项中的函数图象符合题意，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， 小明从家出发到妈妈发现小明的作业本落在家里这段时间，y随x的增大而增大， 小明的妈妈开始给你小明送作业到追上小明这段时间，y随x的增大而减小， 小明妈妈追上小明到各自继续行走这段时间，y随x的增大不变， 小明和妈妈分别去学校、回家的这段时间，y随x的增大而增大， 故选：B． 【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5．（3分）已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝﹣x上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＜y1＜y2 【答案】A 【分析】先根据直线y＝﹣x判断出函数图象的增减性，再根据各点横坐标的大小进行判断即可． 【解答】解：∵直线y＝﹣x，k＝﹣1＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵﹣2＜﹣1＜1， ∴y1＞y2＞y3． 故选：A． 【点评】本题考查的是一次函数的增减性，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小． 6．（3分）若函数y＝kx（k≠0）的值随自变量的增大而增大，则函数y＝x+2k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论． 【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的函数值y随x的增大而增大， ∴k＞0， ∵一次函数y＝x+2k， ∴k′＝1＞0，b＝2k＞0， ∴此函数的图象经过一、二、三象限． 故选：A． 【点评】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系，掌握y＝kx+b（k≠0）的图象与系数的关系是解题的关键． 当k＞0，b＞0时，图象过一、二、三象限， 当k＞0，b＜0时，图象过一、三、四象限， 当k＜0，b＞0时，图象过一、二、四象限， 当k＜0，b＜0时，图象过二、三、四象限． 7．（3分）已知一次函数y＝2x+a，y＝﹣x+b的图象都经过A（﹣2，0），且与y轴分别交于B、C两点，则△ABC的面积为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】将A的坐标分别代入一次函数y＝2x+a，y＝﹣x+b中，得出a与b的值，即求出B，C两点的坐标．然后根据三角形的面积公式求出△ABC的面积． 【解答】解：将A的坐标分别代入一次函数y＝2x+a，y＝﹣x+b中， 可得a＝4，b＝﹣2， 那么B，C的坐标是：B（0，4），C（0，﹣2）， 因此△ABC的面积是：BC×OA÷2＝6×2÷2＝6． 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是一次函数的性质和点与点之间的距离等知识点，要注意线段的距离不能为负． 8．（3分）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点（2，0），点（0，3）．有下列结论： ①关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2； ②关于x的方程kx+b＝3的解为x＝0； ③当x＞2时，y＜0； ④当x＜0时，y＜3．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解． 【解答】解：由图象得：①关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2，正确； ②关于x的方程kx+b＝3的解为x＝0，正确； ③当x＞2时，y＜0，正确； ④当x＜0时，y＞3，错误； 故选：A． 【点评】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，利用数形结合是求解的关键． 9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，OABC的顶点A在x轴上，定点B的坐标为（6，4），若直线经过定点（1，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线的表达式（　　） A．y＝3x﹣2 B．yx C．y＝x﹣1 D．y＝3x﹣3 【答案】C 【分析】根据过平行四边形的中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，先求出平行四边形中心的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答即可． 【解答】解：∵点B的坐标为（6，4）， ∴平行四边形的中心坐标为（3，2）， 设直线l的函数解析式为y＝kx+b， 则， 解得， 所以直线l的解析式为y＝x﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，熟练掌握过平行四边形的中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分是解题的关键． 10．（3分）如图，点A、B的坐标分别为（0，4）、（6，8），点P为x轴上的动点，若点B关于直线AP的对称点B'恰好落在x轴上，则点P的坐标是（　　） A． B． C．（2，0） D．（3，0） 【答案】A 【分析】先根据勾股定理AB的长，求得B′的坐标．然后用待定系数法求出直线B′B的解析式，由对称的性质得出AP⊥B′B，求出直线AP的解析式，然后求出直线AP与x轴的交点即可． 【解答】解：如图，连接AB、AB′， ∵A（0，4），B（6，8）， ∴AB2， ∵点B与B′关于直线AP对称， ∴AB′＝AB＝2， 在Rt△AOB′中，B′O6， ∴B′点坐标为（﹣6，0）或（6，0）， ∵A（0，4），点B（6，8）关于直线AP的对称点B′恰好落在x轴上， ∴点B（6，8）关于直线AP的对称点B′（﹣6，0）， ∴B′点坐标为（6，0）不合题意舍去， 设直线BB′方程为y＝kx+b 将B（6，8），B′（﹣6，0）代入得 ， 解得k，b＝4， ∴直线BB′的解析式为：yx+4， ∴直线AP的解析式为：yx+4， 当yAP＝0时，x+4＝0， 解得：x， ∴点P的坐标为：（，0）； 故选：A． 【点评】本题是一次函数综合题目，考查了用待定系数法确定一次函数的解析式、轴对称的性质、垂线的关系等知识；本题有一定难度，综合性强，由直线AB的解析式进一步求出直线AP的解析式是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）已知函数y＝﹣4x+6，则当x＝﹣1时，函数值y的值是 　10　 ． 【答案】10． 【分析】代入x＝﹣1，求出y值即可． 【解答】解：当x＝﹣1时，y＝﹣4×（﹣1）+6＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b”是解题的关键． 12．（3分）某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶，汽车在行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如下表： t（小时） 0 1 2 3 y（升） 100 92 84 76 由表格中y与t的关系可知，当汽车行驶　12.5　 小时，油箱的余油量为0． 【答案】见试题解答内容 【分析】由表格可知，开始油箱中的油为100L，每行驶1小时，油量减少8L，据此可得y与t的关系式． 【解答】解：由题意可得：y＝100﹣8t， 当y＝0时，0＝100﹣8t 解得：t＝12.5． 故答案为：12.5． 【点评】本题考查了函数关系式．注意贮满100L汽油的汽车，最多行驶的时间就是油箱中剩余油量为0时的t的值． 13．（3分）若正比例函数y＝（2﹣m）x|m﹣2|，y随x的增大而减小，则m的值是　3　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据正比例函数的定义列出关于m的不等式组，求出m取值范围，再根据此正比例函数y随x的增大而减小即可求出m的值． 【解答】解：∵此函数是正比例函数， ∴， 解得m＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是正比例函数的定义及性质，根据正比例函数的定义列出关于m的不等式组是解答此题的关键． 14．（3分）如图，两个一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象分别为直线l1和l2，l1与l2交于点A（1，p），l1与x轴交于点B（﹣2，0），l2与x轴交于点C（4，0），则不等式组0＜mx+n＜kx+b的解集为 　1＜x＜4　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】观察图象即可求解． 【解答】解：由图象可知满足0＜mx+n＜kx+b的部分为A点与C点之间的部分， ∴1＜x＜4， 故答案为1＜x＜4． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合的思想是解题的关键． 15．（3分）如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4），顶点C在x轴的正半轴上，则∠AOC的角平分线所在直线的函数关系式为　y　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】延长BA交y轴于D，则BD⊥y轴，依据点A的坐标为（3，4），即可得出B（8，4），再根据∠AOC的角平分线所在直线经过点B，即可得到函数关系式． 【解答】解：如图所示，延长BA交y轴于D，则BD⊥y轴， ∵点A的坐标为（3，4）， ∴AD＝3，OD＝4， ∴AO＝AB＝5， ∴BD＝3+5＝8， ∴B（8，4）， 设∠AOC的角平分线所在直线的函数关系式为y＝kx， ∵菱形OABC中，∠AOC的角平分线所在直线经过点B， ∴4＝8k，即k， ∴∠AOC的角平分线所在直线的函数关系式为yx， 故答案为：yx． 【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及菱形的性质的运用，正确得出B点坐标是解题关键． 16．（3分）速度分别为100km/h和akm/h（0＜a＜100）的两车分别从相距s千米的两地同时出发，沿同一方向匀速前行．行驶一段时间后，其中一车按原速度原路返回，直到与另一车相遇时两车停止．在此过程中，两车之间的距离y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①a＝60；②b＝2；③；④若s＝60，则．其中说法正确的是 　①③④　 ， 【答案】①③④． 【分析】观察函数关系图可以知道，经过b小时速度为100km/h的车追上速度为akm/h的车，再经过2小时，两车的距离为80km，即经过2小时，速度为100km/h的车比速度为akm/h的车多行驶80km．据此分析计算就可以了． 【解答】解：①观察函数关系图可以知道，经过b小时速度为100km/h的车追上速度为akm/h的车，再经过2小时，两车的距离为80km， 即经过2小时，速度为100km/h的车比速度为akm/h的车多行驶80km， 所以，两车的速度之差为：80÷（b+2﹣b）＝40（km/h）， ∴a＝100﹣40＝60，结论①正确； ②速度为100km/h的车追上速度为akm/h的车所需时间b（h），∵s的值不确定，∴b值不确定，结论②不正确； ③两车第二次相遇时间为， 结论③正确； ④由②可知，，s＝60， ∴，结论④正确． 故答案为：①③④． 【点评】本题主要考查一次函数的应用．解决问题的关键是理解函数图象表达的信息：经过b小时速度为100km/h的车追上速度为akm/h的车，再经过2小时，两车的距离为80km，即经过2小时，速度为100km/h的车比速度为akm/h的车多行驶80km． 三、解答题（本大题共72分） 17．（6分）已知y与x+2成正比，当x＝4时，y＝4． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点（a，3）在这个函数图象上，求a的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）首先设 y＝k（x+2），再把x＝4，y＝4代入所设的关系式，即可算出k的值，进而得到y与x之间的函数关系式； （2）把（a，3）代入（1）中所求的关系式即可得到a的值． 【解答】解：（1）设 y＝k（x+2）， ∵当x＝4时，y＝4， ∴k（4+2）＝4， ∴k， ∴y与x之间的函数关系式为y（x+2）x； （2）∵点（a，3）在这个函数图象上， ∴a3， ∴a＝2.5． 【点评】此题主要考查了求一次函数关系式，关键是掌握凡是图象经过的点必能满足解析式． 18．（8分）画出函数y＝|x|﹣2的图象，利用图象回答下列问题： （1）写出函数图象上最低点的坐标，并求出函数y的最小值； （2）利用图象直接写出不等式|x|﹣2＞0的解集； （3）若直线y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与y＝|x|﹣2的图象有两个交点A（m，1），B（，），直接写出关于x的方程|x|﹣2＝kx+b的解． 【答案】见试题解答内容 【分析】当x＞0，画出函数y＝x﹣2的图象；当x＜0，画出函数y＝﹣x﹣2的图象，从而得到函数y＝|x|﹣2的图象； （1）根据所画图象易得最低点的坐标和函数y的最小值； （2）利用函数图象，写出图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可； （3）先利用y＝|x|﹣2确定A点坐标，然后根据两直线的交点问题可确定关于x的方程|x|﹣2＝kx+b的解． 【解答】解：函数y＝|x|﹣2的图象如图， （1）最低点坐标是（0，﹣2），函数y的最小值是﹣2； （2）x＞2或x＜﹣2； （3）当y＝1时，|x|﹣2＝1，解得x＝﹣3或x＝3（舍去）， 所以交点A的坐标为（﹣3，1）， 而交点B的坐标为（，）， 所以关于x的方程|x|﹣2＝kx+b的解为x＝﹣3或x． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，2），C（4，4）．已知四边形ABCD为菱形，其中AB与BC为一组邻边． （1）请在图中作出菱形ABCD，并求出菱形ABCD的面积； （2）过点A的直线l：yx+b与线段CD相交于点E，请在图中作出直线l的图象，并求出△ADE的面积． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据点A，B，C的坐标，利用菱形的性质可得出点D的坐标，作出菱形ABCD，再利用菱形的面积公式即可求出结论； （2）由点A的坐标可求出直线l的解析式，由点C，D的坐标可求出直线CD的解析式，联立直线l与直线CD的解析式成方程组，通过解方程组可求出点E的坐标，再利用分割图形求面积法即可求出△ADE的面积． 【解答】解：（1）∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，2），点C的坐标为（4，4）， ∴点D的坐标为（4+4﹣0，0+4﹣2），即（8，2）． 作出菱形ABCD，如图所示． S菱形ABCDAC•BD8×4＝16． （2）将A（4，0）代入yx+b，得：04+b， ∴b＝﹣6． ∵点C的坐标为（4，4），点D的坐标为（8，2）， ∴直线CD的解析式为yx+6． 联立直线l与直线CD的解析式成方程组，得：， 解得：， ∴点E的坐标为（6，3）， ∴S△ADE2×3（3+2）×24×2＝4． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象以及菱形的性质，解题的关键是：（1）利用菱形的性质求出点D的坐标；（2）联立两直线的解析式成方程组，通过解方程组求出点E的坐标． 20．（8分）如图，直线l1与x轴交于点A（﹣6，0），与直线l2相交于点C（m，m），直线l2与x轴交于点B．已知直线l2的函数表达式为y＝﹣x+6． （1）求直线l1的函数表达式． （2）P是直线l1上的一个动点，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把点C（m，m）代入直线l2的函数表达式y＝﹣x+6求出m＝3，再利用待定系数法即可求出直线l1的函数表达式； （2）设点P的坐标为（t，t+2），再由S△ABP＝6求出t的值即可． 【解答】解：（1）把点C（m，m）代入直线l2的函数表达式y＝﹣x+6，得m＝﹣m+6，解得m＝3， ∴C（3，3）， 设直线l1：y＝kx+b， ∵直线l1与x轴交于点A（﹣6，0），与直线l2相交于点C（3，3）， ∴， 解得：， 故直线l1的函数表达式为：yx+2； （2）由题及（1）可设点P的坐标为（t，t+2）． ∵直线l2：y＝﹣x+6与x轴交于点B． ∴B（6，0）， ∵点A（﹣6，0）， ∴AB＝12， ∵S△ABP＝6， ∴AB•|t+2|12•|t+2|＝6，即|t+2|＝1，解得：t＝﹣3或t＝﹣9， ∴点P的坐标为（﹣3，1）或（﹣9，﹣1）． 【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键． 21．（9分）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动． 甲书店：所有书籍按标价8折出售； 乙书店：一次购书中标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元后的部分打6折． （1）以x（单位：元）表示标价总额，y（单位：元）表示应支付金额，分别就两家书店的优惠方式，求y关于x的函数解析式； （2）“世界读书日”这一天，如何选择这两家书店去购书更省钱？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意给出的等量关系即可求出答案． （2）先求出两书店所需费用相同时的书本数量，从而可判断哪家书店省钱． 【解答】解：（1）甲书店：y＝0.8x， 乙书店：y． （2）当x≤100时， ∴0.8x＜x， ∴甲书店比较便宜． 当x＞100时， 令0.8x＝0.6x+40， 解得：x＝200， 当100＜x＜200时，选择甲书店更省钱， 当x＝200，甲乙书店所需费用相同， 当x＞200，选择乙书店更省钱． 综上所述：当x＜200时，选择甲书店更省钱， 当x＝200，甲乙书店所需费用相同， 当x＞200，选择乙书店更省钱． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． 22．（10分）已知第一象限点P（x，y）在直线y＝﹣x+5上，点A的坐标为（4，0），设△AOP的面积为S． （1）当点P的横坐标为2时，求△AOP的面积； （2）当S＝4时，求点P的坐标； （3）求S关于x的函数解析式，写出x的取值范围，并在图中画出函数S的图象． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）求出点P坐标，再根据三角形面积公式进行计算即可； （2）当S＝4时求出点P的纵坐标，进而确定其横坐标； （3）根据三角形的面积计算方法以及一次函数关系式得出答案． 【解答】解：（1）把点P的横坐标为2代入得，y＝﹣2+5＝3， ∴点P（2，3）， ∴S△AOP4×3＝6； （2）当S＝4时，即4×|y|＝4， ∴y＝2或y＝﹣2（舍去）， 当y＝2时，即2＝﹣x+5， 解得x＝3， ∴点P（3，2）， ∴点P的坐标为（3，2）； （3）由题意得， SOA•|y|＝2y（y＞0）， 当y＞0时，即0＜x＜5时，S＝2（﹣x+5）＝﹣2x+10， ∴S关于x的函数解析式为S＝﹣2x+10（0＜x＜5），画出的图象如图所示． 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，将坐标转化为线段的长，利用三角形的面积公式得出关系式是解决问题的关键． 23．（11分）某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为60元，售价为80元；乙商品的进价为90元，售价为120元．设购进甲种商品x件，商场售完这100件商品的总利润为y元． （1）写出y与x的函数关系式； （2）该商场计划最多投入8400元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？ （3）商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元（0＜a＜15）出售，且限定商场最多购进甲种商品60件．在（2）的条件下，若商场获得最大利润为3120元，求a的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意得：y＝（80﹣60）x+（120﹣90）（100﹣x）＝﹣10x+3000； （2）由商场计划最多投入8400元购买甲、乙两种商品，得60x+90（100﹣x）≤8400，x≥20，再根据一次函数性质可得答案； （3）根据题意可得：y＝（80﹣60+a）x+（120﹣90）（100﹣x），分三种情况：①当0＜a＜10时，x＝20，y有最大值，故20（a﹣10）+3000＝3120，②当a＝10时，a﹣10＝0，y＝3000，不符合题意；③当10＜a＜15时，x＝60，y有最大值，故60（a﹣10）+3000＝3120，解方程并检验可得答案． 【解答】解：（1）根据题意得：y＝（80﹣60）x+（120﹣90）（100﹣x）＝﹣10x+3000； ∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+3000； （2）∵商场计划最多投入8400元购买甲、乙两种商品， ∴60x+90（100﹣x）≤8400， 解得x≥20， 在y＝﹣10x+3000中，y随x的增大而减小， ∴当x＝20时，y取最大值﹣10×20+3000＝2800， ∴商场可获得的最大利润是2800元； （3）根据题意得： y＝（80﹣60+a）x+（120﹣90）（100﹣x）， 即y＝（a﹣10）x+3000，其中20≤x≤60， ①当0＜a＜10时，a﹣10＜0，y随x的增大而减小， ∴当x＝20时，y有最大值， ∴20（a﹣10）+3000＝3120， 解得a＝16（不符合题意，舍去）， ∴这种情况不存在； ②当a＝10时，a﹣10＝0，y＝3000，不符合题意； ③当10＜a＜15时，a﹣10＞0，y随x的增大而增大， ∴当x＝60时，y有最大值， ∴60（a﹣10）+3000＝3120， 解得a＝12， 综上所述，a的值为12． 【点评】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意列出函数关系式和不等式，一元一次方程． 24．（12分）（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（4，0），直线y＝3x与线段AB交于点M，点N在x轴上，Q（0，﹣1），∠MQN＝45°． ①直接写出直线AB的解析式为 　y＝﹣x+4　 ； ②求点N的坐标； （2）如图2，将（1）中的直线AB向上平移（m﹣4）个单位得到直线A'B'，点C是射线A'B'上的一动点，点D的坐标是（m，m），以CD为边向右作正方形CDEF，连接B′E，B'E＝nB'C，其中m＞4，n＞0，直接写出点E的坐标为 　（，）或（，）　 （用m，n的式子表示）． 【答案】（1）①y＝﹣x+4； ②N（，0）； （2）（，）或（，）． 【分析】（1）①用待定系数法求解析式即可； ②联立直线OM和AB的解析式求出M点的坐标，求出直线QM的解析式，过点N作NP⊥MQ于点P，设出点P和点N的坐标，根据PQ＝PN，NQPQ，列方程组求解即可； （2）根据平移得出A'，B'点坐标，连接A'D，B'D，证△A'DC≌△B'DE，得出A'C＝B'E，设E（a，b），根据正方形的性质得出C（b，﹣b+m），再根据B'E＝nB'C，分C在第一象限和第四象限两种情况求出E点的坐标即可． 【解答】解：（1）①设直线AB的解析式为y＝kx+b， 代入A点和B点的坐标得：， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4， 故答案为：y＝﹣x+4； ②过点N作NP⊥MQ于点P， 联立直线AB和OM的解析式， 解得， ∴M（1，3）， 设直线QM的解析式为y＝sx+d， ∴， 解得， ∴直线QM的解析式为y＝4x﹣1， 设P（t，4t﹣1），N（g，0）， ∵∠MQN＝45°， ∴△QNP是等腰直角三角形， ∴， 即， 解得或（舍去）， ∴N（，0）； （2）∵直线AB向上平移（m﹣4）个单位得到直线A'B'， ∴直线A'B'，的解析式为y＝﹣x+m，A'（0，m），B'（m，0）， 连接A'D，B'D， ∵点D的坐标是（m，m）， ∴A'D＝B'D，∠A'DB'＝90°， ∵四边形CDEF是正方形， ∴DC＝DE，∠CDE＝90°， ∴∠A'DC+∠CDB'＝∠EDB'+∠CDB'＝90°， ∴∠A'DC＝∠EDB'， ∴△A'DC≌△B'DE（SAS）， ∴A'C＝B'E， 设E（a，b），C（e，﹣e+m）， ∵D（m，m），四边形CDEF是正方形，F点的纵坐标为0， ∴m+0＝b﹣e+m， 即e＝b， ∴C（b，﹣b+m）， ∵D点在E点的左上方， ∴b＞a， ∵A'C＝B'E， ∴（b）2+（﹣b+m﹣m）2＝b2+（a﹣m）2， 解得b＝a﹣m， ∵B'E＝nB'C， 当C点在第一象限时，A'C+B'C＝A'B'， ∵A'C＝B'E， ∴B'EB'E＝A'B'， 即， ∵b＝a﹣m， ∴a，b， 即E（，）； 当C点在第四象限时，A'B'+B'C＝A'C， ∴B'EB'E＝A'B'， 即， ∴a，b， 即E（，）； 故答案为：（，）或（，）． 【点评】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，正方形的性质，直角坐标系，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$