专题11《根据两条直线的交点求不等式的解集（一次函数与不等式）》（挑战压轴题）-2024-2025学年人教版数学八年级下册专题培优满分特训卷

2024-2025学年人教版数学八年级下册专题培优满分特训卷-挑战压轴题 专题11《根据两条直线的交点求不等式的解集（一次函数与不等式）》 试题满分：100分 检测时间：120分钟 难度系数：0.45（难度较大） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题2分）（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是 【答案】D 【思路点拨】本题考查一次函数与方程，不等式的关系，利用数形结合的思想是解题关键．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【规范解答】解：由图可知直线与直线的交点P的坐标为， ∴方程的解是，故A选项结论正确，不符合题意； ∴不等式的解集为，不等式的解集为， ∴不等式和不等式的解集相同，故B选项结论正确，不符合题意； 将点P的坐标代入直线与直线可得直线与直线 ∴直线与x轴交于点， ∴不等式组的解集是，故C选项结论正确，不符合题意； 由题意可知方程组，即方程组的解是， 无法求出方程组的解，故D选项结论错误，符合题意． 故选：D． 2．（本题2分）（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】此题考查了利用一次函数图象解不等式，根据函数图象交点的横坐标及图象的位置关系即可得到答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴一次函数的图象与正比例函数的图象的交点， ∴根据图象可知：不等式的解集为， 故选：． 3．（本题2分）如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是（     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一次函数的交点问题，根据图象即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【规范解答】解：∵函数和的图象交于点， 由图象可得，当时，， ∴不等式的解集是， 故选：． 4．（本题2分）（23-24八年级下·湖北孝感·期末）一次函数与的图象如图所示，下列结论：①，；②关于x，y的方程的一组解是；③关于x的不等式的解集是；④两直线与y轴围成的三角形的面积是．其中，结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一次函数的图象和性质．根据一次函数的图象和性质进行判断即可得到答案． 【规范解答】解：由图象可知一次函数的图象经过一、二、四象限， ， 由图象可知一次函数的图象经过一、三、四象限， ， ，故①正确，符合题意； 一次函数与的图象交于点，的坐标为， 即的一组解是， 故②正确，符合题意； 一次函数与的图象交于点的坐标为， 关于x的不等式的解集是，故③正确，符合题意； 直线与和的交点的纵坐标分别为和，距离为， 直线与的交点的坐标为， 两直线与y轴围成的三角形的面积是，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的为①②③， 故选：C． 5．（本题2分）（2024·贵州遵义·三模）已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是利用数形结合的思想解决问题．根据一次函数中的，与其图象间的关系，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，可解决此题． 【规范解答】解：①的图象过第二、三、四象限， 观察图象可知，，． 所以． 故①正确． ②将分别代入和得， ，． 观察图象不难发现点在点的上方， 所以． 故②不正确． ③观察图象发现，与交点的横坐标为． 当时，两者的函数值相等． ， 故③正确． ④，是直线上不重合的两点， 由的图象可知，当时，，则． 当时，，则． 故④不正确． 故选：B． 6．（本题2分）（23-24八年级下·浙江台州·期末）直线与的图象交于点，下列判断①关于的方程的解是②当时，关于的不等式的解集是③设直线，则直线一定经过定点④当原点到直线的距离最大时，则．正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④ 【答案】A 【思路点拨】根据两条直线交点与对应方程组的关系可判断①；把点代入两个函数关系式，可求出，结合可求出的范围，进而可判断②③；当时，原点到直线的距离最大，结合勾股定理即可判断④． 【规范解答】解：∵直线与的图象交于点， 当时，， ∴当时，， ∴关于的方程的解是，故①正确； ∵直线与的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴过一、二、三象限，随的增大而增大， 由直线与的图象交于点，作图如下： 由图可知，不等式的解集是，故②正确； ∵与的图象交于点， ∴当时，， ∴直线一定经过定点，故③正确； 如图，当时，原点到直线的距离最大 ∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得；故④错误； 综上，正确的结论是①②③； 故选：． 【考点评析】本题考查了勾股定理，一次函数与不等式，一次函数的图象和性质，坐标与图形，属于常考题型，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 7．（本题2分）（22-23八年级下·浙江台州·期末）当时，对于x的每一个值，函数（k≠0）的值都小于函数的值，则k的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】先求得时，，当，直线（）与直线平行，且在直线下方；当直线与直线的交点在的上方时，函数（）的值都小于函数的值，据此求解即可． 【规范解答】解：当时，，即有点， 将点代入， 有，解得， 当，直线（）与直线平行，且在直线下方；    结合图象可知：直线与直线的交点在的上方时，并随着交点的不断上移，直至直线（）与直线平行时，满足当时，函数（）的值都小于函数的值， ∴， 故选：C． 【考点评析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． 8．（本题2分）（22-23八年级下·四川巴中·期中）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】根据一次函数经过第一、二、三象限，即可判断①；根据一次函数与x轴、y轴的交点即可判断②③；利用图象法即可判断④⑤． 【规范解答】解：∵一次函数经过第一、二、三象限， ∴，故①正确； ∵一次函数与y轴交于负半轴，与x轴交于， ∴，方程的解是，故②正确，③不正确； 由函数图象可知不等式的解集是，故④不正确； 由函数图象可知，不等式的解集是，故⑤正确； ∴正确的一共有3个， 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数图象的性质，图象法解不等式；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 9．（本题2分）（22-23八年级下·湖南长沙·期中）一次函数（，k、b是常数）与（，m是常数）的图像交于点，下列结论正确的序号是（   ） ①关于的方程的解为； ②一次函数（）图像上任意不同两点和满足：； ③若（），则； ④若，且，则当时，． A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【思路点拨】根据两直线的交点即为其解析式所组成的方程组的解，即可判断①；利用待定系数法求出，结合一次函数的性质即可判断②；求出，结合，即得出，解得或，故③错误；将代入，即可求出 ，进而可得出，且，画出大致图像，可得出当时，一次函数的图像位于一次函数的图像上方，即，可判断④正确． 【规范解答】解：∵一次函数与的图像交于点， ∴联立的解为， 即方程的解为，故①正确； 将代入，得：， 解得：， ∴． ∵， ∴对于一次函数，y的值随x的增大而减小， ∴当时，；当时，， ∴无论何时与都为异号， ∴，故②正确； ∵，且， ∴． ∵， ∴， ∴或， ∴或，故③错误； 将代入，得：， ∴． ∵，且， ∴，且， ∴画出图像如图所示． 由图可知当时，一次函数的图像位于一次函数的图像上方， ∴当时，，故④正确． 故选B． 【考点评析】本题考查一次函数的图像和性质，绝对值的性质等知识．熟练掌握一次函数的图像和性质是解题关键． 10．（本题2分）（21-22八年级下·陕西西安·期中）已知直线，，的图象如图所示，若无论x取何值，y总取、、中的最小值，则y的最大值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据无论x取何值，y总取、、中的最小值，y最大值即求三个函数的公共部分的最大值． 【规范解答】解：如图    由于y总取、、中的最小值，所以的图象如图所示，分别求出、、交点的坐标，，， 当时，； 当时，； 当时，． 所以y最大值为． 故选：B． 【考点评析】此题主要考查了一次函数与一次不等式的综合应用，画出函数的图象根据数形结合解题，数形结合是解题的关键． 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分． 11．（本题2分）（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，一次函数与的图象相交于点，与轴分别交于点，．请结合图象，写出当时的取值范围 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，两直线交点坐标的求法，将两个函数表达式联立成方程组，解此方程组即可求出点的坐标，再根据函数图象和点的坐标即可得到结果．求出点的坐标是解题的关键． 【规范解答】解：由题意可得：， 解得：， ∴， 根据图象可知，当时，， ∴当时的取值范围是． 故答案为：． 12．（本题2分）（23-24八年级上·江苏盐城·期中）设表示x，y两个数中的最大值．例如“”．则关于x的函数的最小值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查一次函数的性质，根据题意正确画出图形并灵活运用数形结合是解答本题的关键．根据题意画出画在同一个坐标系中，再利用数形结合确定图形即可确定最小值． 【规范解答】解：如图：将画在同一个坐标系中， 令， 解得：， 则两条直线交点为， 当时，函数，最小值为； 当时，函数，最小值为； 综上，关于x的函数的最小值为， 故答案为：． 13．（本题2分）（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知一次函数的图象与轴交于点，且，则下列结论： ①函数图象一定经过定点； ②若函数图象不经过第四象限，则； ③不等式的解集为，则； ④直线与直线交于点，与轴交于点，则的面积为1．其中正确的结论是 （请填写序号）． 【答案】①③④ 【思路点拨】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式，两直线围成的面积；根据以上知识逐个判断即可． 【规范解答】解：当时，，即函数图象一定经过点，故①正确； 函数图象不经过第四象限，则，即， 得，故②错误； 不等式的解集为，即不等式的解集为， 当时，，即直线过点， 所以直线与直线交于点， 当时，直线在直线的上方，则；故③正确； 当时，，，即， 所以； 又当时，，，即， 则； 故，故④正确； 综上，正确的有①③④； 故答案为：①③④． 14．（本题2分）（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，一次函数的图象交轴于，一次函数的图象交轴于，交轴于，两函数图象交于点，已知，，的横坐标分别为，，，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式及一次函数的性质，根据所给函数图象，利用数形结合的数学思想即可解决问题，巧用数相结合的数学思想是解题的关键． 【规范解答】∵，，的横坐标分别为，，， ∴结合图象可知当时，的取值范围是， 故答案为：． 15．（本题2分）（23-24八年级下·重庆江津·期末）如图，一次函数与一次函数的图像交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式，正确理解一次函数与一元一次不等式间的关系是解题的关键．从函数的角度看，就是寻求使的值大于的自变量的取值范围，即在两直线交点的左侧部分自变量的值是不等式的解集，由此即得答案． 【规范解答】根据图象得，当时，， 即关于的不等式的解集是． 故答案为：． 16．（本题2分）（2024八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象为直线，在下列结论中： ①无论取何值，直线一定经过某个定点； ②过点作，垂足为，则的最大值是； ③若与轴交于点，与轴交于点，为等腰三角形，则； ④对于一次函数，无论取何值，始终有，则，或． 其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②/②① 【思路点拨】本题考一次函数与一元一次不等式，等腰三角形的性质，充分掌握一次函数的图象和性质是解答本题的关键．根据一次函数的图象和性质分别判断即可． 【规范解答】解：一次函数， 当时，， 函数图象过定点， ①正确； ，垂足为， 当点与点重合时，最大， 此时． ②正确； 在中，当时，， 当时，， ，， ，是等腰三角形， ， 或， 或（舍去）， ③错误； 一次函数的图象过定点， 一次函数过定点， 无论取何值，始终有， 当时，若，两直线平行时，始终有，符合题意； 当时，经过点，的直线为， 一次函数的图象过定点， 当，若时，直线，不论取何值，始终有，符合题意， 或， ④错误． 故答案为：①②． 17．（本题2分）（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图，函数（k，b为常数，）的图象经过点，与函数的图象交于点A，下列结论：①点A的横坐标为2；②关于x的不等式的解集为；③关于x的方程的解为；④关于x的不等式组的解集为．其中正确的是 （只填写序号）． 【答案】②④ 【思路点拨】本题考查一次函数与一元一次不等式及一次函数与一元一次方程，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． 根据所给函数图象，利用数形结合的思想及一次函数与一元一次不等式的关系，对所给结论依次进行判断即可． 【规范解答】解：由所给函数图象可知，点的纵坐标为2， 则， 解得， 所以点的横坐标为1．故①错误． 因为点坐标为， 所以当时，函数的图象在轴下方，即， 则不等式的解集为．故②正确． 因为函数和函数交点的横坐标为1， 所以方程的解为．故③错误． 由函数图象可知， 当时，函数的图象在函数图象的下方，即， 当时，函数的图象在轴上方，即， 所以关于的不等式组的解集为． 故④正确． 故答案为：②④． 18．（本题2分）（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）如图，正比例函数与一次函数的图象交于点．下面四个结论：①；②，③不等式的解集是；④当时，．其中正确的是    【答案】④ 【思路点拨】此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断．根据正比例函数和一次函数的图像与性质判断即可． 【规范解答】解：①因为正比例函数经过二、四象限，所以，①错误； ②一次函数经过一、二、三象限，所以，即②错误； ③由图象可得：不等式的解集是，③错误； ④当时，，④正确； 故答案为：④． 19．（本题2分）（23-24八年级上·江苏镇江·期末）直线和如图所示，则关于的不等式的解集是 ．    【答案】 【思路点拨】本题主要考查一次函数和一元一次不等式的关系及一次函数的平移，正确得出两直线的平移方式是解题关键．根据图像可得出的解集，根据直线和是直线和向右平移2个单位所得，结合直线和交点坐标即可即可得出平移后两直线的交点坐标，即可得出不等式的解集． 【规范解答】解：∵直线和的交点坐标为， ∴的解集为， ∵直线和是直线和向右平移2个单位所得， ∴平移后两直线的交点坐标为， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 20．（本题2分）（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线的函数表达式为．已知点，点P是线段上一动点（可与点B，D重合），直线（k为常数）经过点P，交于点C． （1）当时，点C的坐标为 ； （2）在点P移动的过程中，k的取值范围为 ． 【答案】 且或 【思路点拨】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质． （1）当时，直线的函数表达式为，进而与直线l1的函数表达式联立成方程组，解方程组即可求解； （2）当直线过点时，将点B的坐标代入函数表达式得：，解得：；当直线过点时，同理可得：，进而求解． 【规范解答】解：（1）当时，直线的函数表达式为， 由， 解得：， ∴． 故答案为：； （2）令，则， ∴， ∵， 当时，，即直线必过点； 当直线过点时， 将点B的坐标代入函数表达式得：， 解得：； 当直线过点时， 同理可得：； ∵两条直线相交于点C，则， 综上，k的取值范围为：且或． 故答案为：且或． 三、解答题：本大题共8小题，共60分． 21．（本题6分）（24-25八年级下·河南平顶山·期中）在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数和的图象（如下图），两直线交于点，分别与轴交于两点．已知点，观察图象并回答下列问题： (1)关于的方程的解是____________；关于的不等式的解集是____________． (2)若点的坐标为，直接写出关于的不等式的解集并求出的面积． 【答案】(1)， (2)不等式的解集是．的面积为 【思路点拨】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式． （1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案； （2）根据图象找到图象在图象上方所对应的x的范围，再利用三角形的面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：一次函数和的图象，分别与轴交于点， 关于的方程的解是， 关于的不等式的解集，为， 故答案为：，； （2）解：点的坐标为， 由图象可知，不等式的解集是． ，点， ， ． 22．（本题6分）（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． (1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ (2)求直线的表达式和a的值． 【答案】(1) (2)， 【思路点拨】本题考查一次函数解析式及一次函数的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）根据图象可知时，在的下方，得出答案； （2）将点，代入，求出直线的表达式为，进而求出点M的坐标为，把代入，求解即可得出答案． 【规范解答】（1）解：由图象可知，当时， x的取值范围为； （2）解：将点，代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 把代入 得， ∴点M的坐标为， 把代入， 得． 23．（本题8分）（24-25八年级下·山西晋中·期中）【材料阅读】 我们知道：二元一次方程有无数组解，如：，，……如果我们将方程的解（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标）看成一组有序数对，例如是方程的一个解，用一个点来表示．探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象．如图1所示． 【问题探究】 在平面直角坐标系中，方程的图象是图1中的直线m，也可表示为． （1）仿照材料完成下列各题： ①写出二元一次方程的解（写出三对整数解）：_______． ②在图1中的同一平面直角坐标系中找出以上三点（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标），并画出这个方程的图象，记为直线n，也可表示为；请你直接写出直线m与直线n的交点M的坐标_______；则方程组的解是_______． ③过点且垂直于x轴的直线与m，n的交点分别为A、B两点，求出的面积． 【问题拓展】 （2）已知关于x，y的二元一次方程组无解，由此你猜想直线与直线这两条直线_______．（填位置关系） （3）如果（2）中有存在符合题意的两条直线恰好相交，且交点坐标为，请你利用图2分析并直接写出不等式中x的取值范围_______． 【答案】（1）①，，；②图象见详解，，；③9；（2）平行；（3） 【思路点拨】本题主要考查了二元一次方程的解，一次函数的图象和性质，方程组的解，解题的关键是理解题意，数形结合，熟练掌握一次函数与方程和不等式的关系． （1）①根据题意写出二元一次方程的三对整数解即可； ②先描出三个点，然后再连接即可得出直线，根据交点位置，得出交点坐标，即可得出方程组的解； ③先求出点的坐标，再求出的面积即可； （2）根据两条直线的交点坐标即为方程组的解，要使方程组无解，即两条直线无交点，根据同一平面内，不相交的两条直线平行，即可得出答案； （3）根据题意得出直线经过点，，画出两条直线，根据图象即可解答． 【规范解答】解：（1）①二元一次方程的三对整数解为：；（答案不唯一） ②如图，直线即为所求， 根据图象可知：直线与直线的交点的坐标； 则方程组的解是； ③把代入得：，解得：， ， 把代入得：，解得：， ， ． （2）∵两条直线的交点坐标即为方程组的解， ∴要使方程组无解，则需要使两条直线无交点， ∵同一平面内，不相交的两条直线平行， ∴这两条直线平行； （3）∵直线与直线相交，且交点坐标为， 令，则，故直线经过点，， 画出图象如图： 根据图象可得不等式中x的取值范围是． 24．（本题8分）（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在x轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． （2）如图2，观察图象，不等式的解集是__________． 【拓展延伸】： （3）如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C． ①结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是__________． ②在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②P点坐标为或或或． 【思路点拨】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键． （1）结合图象即可求解； （2）通过观察图象求解即可； （3）①根据函数图象上点的特征，求函数与坐标轴的交点坐标，通过观察图象求解即可； ②分别求出，，，再由等腰三角形的边的关系，分三种情况讨论即可． 【规范解答】解：（1）∵的图象经过点， ∴观察图象，不等式的解集是， 故答案为：； （2）通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为， ∵的解为两直线交点的横坐标， ∴由图象可得，当时，， ∴不等式的解是， 故答案为：； （3）①联立方程组， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴； 由的图象可知，当时，， 当时，， ∴关于x的不等式组的解集为， 故答案为：； ②存在点P，使得为等腰三角形，理由如下： 设点P的坐标为：， ∵，， ∴，， 当时，则， 解得或(舍去)， ∴P点坐标为； 当时，则， ∴或， ∴P点坐标为或； 当时，则， 解得， ∴P点坐标为； 综上所述：P点坐标为或或或． 25．（本题8分）（24-25八年级上·江苏扬州·期末）把一次函数（k，b为常数，）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V”形图象，例如，如图1就是函数的“V”形图象． (1)请在图2中画出一次函数的“V”形图象，并直接写出该“V”形图象的函数表达式及自变量x的取值范围； (2)在（1）的条件下，若一次函数的“V”形图象与x轴交于点A，与直线相交于B，C两点，求的面积； (3)一次函数（k为常数）的“V”形图象经过，两点，且，求k的取值范围． 【答案】(1)图象见解析； (2) (3)或 【思路点拨】本题考查一次函数的应用及两直线的交点问题、一次函数的基本性质等，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键． （1）根据题意作出相应函数图象， （2）由一次函数解析式确定点A的坐标即可,然后联立求出交点坐标，结合图形求三角形面积即可； （3）对的取值范围进行分类讨论，利用一次函数的增减性质求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示， 该“V”形图象的函数表达式为 （2），当时，， ∴点的坐标为 由图可得：线段所在直线的解析式为， ∴， 解得 ∴ 线段所在直线的解析式为， ∴， 解得 ∴ 由（1）得： ∴的面积； （3）∵直线（，且为常数） 当时， ∴经过定点 当时， ∴该图象与x轴交点 ①当时，当，则对称轴为直线， ∵， 由图象可知， 解得 ∴ ②当时，由图象可知，始终有 综上所述，或． 26．（本题8分）（23-24八年级下·湖北黄冈·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴、轴分别交于点、，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点．点、点恰好关于点对称． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)如果线段的长为，求点的坐标； (4)我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，直接写出所有符合条件的整点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点坐标为或 (4) 【思路点拨】（1）根据得，根据点、点恰好关于点对称，得到．代入，解得m值即可求直线的解析式； （2）根据得到，根据得到，继而得到，根据得到，根据，解答即可； （3）根据点在直线上，设，根据轴，交直线于点，得．结合线段的长为，得到，解答即可； （4）根据点在直线上，设，根据轴，交直线于点，得．得到，结合，分类解答即可． 【规范解答】（1）∵， ∴， ∵点、点恰好关于点对称， ∴． 把代入， 得 解得， 故直线的解析式为． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）∵点在直线上，设， ∵轴，交直线于点， ∴． ∵线段的长为， ∴， ∴或， 解得或． ∴点坐标为或． （4）∵点在直线上，设， ∵轴，交直线于点， ∴． ∴， ∵， ∴，， ∴，，，， 解得，，， ∴或， ∵点P是整点，， ∴n必须是整数，必须是整数， ∴或，且n是2的倍数， 故或， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上所述，点或或或． 【考点评析】本题考查了待定系数法求解析式，对称的性质，不等式组解集的整数解，平行y轴直线上的两点间距离公式，熟练掌握待定系数法，不等式组解集的整数解是解题的关键． 27．（本题8分）（23-24八年级下·广东深圳·期中）[问题提出]：如何解不等式？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到：当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为_________． 预备知识2：函数称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号，比如化简时， 可令和， 分别求得， (称1， 3分别是和的零点值)， 这样可以就，，三种情况进行讨论： （1） 当时， （2） 当时，； （3） 当时，， 所以就可以化简为 预备知识3：函数(b为常数)称为常数函数，其图象如图③所示． [知识迁移] 如图④，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是___________． [问题解决] 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式． （1）请在平面直角坐标系内作出函数的图象； （2）通过观察图象，便可得到不等式的解集，这个不等式的解集为_______． 【答案】[问题提出]；[知识迁移]；[问题解决]（1）见解析；（2）或． 【思路点拨】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，熟练掌握函数的性质，数形结合是解题的关键． [问题提出]：根据函数图象可得答案； [知识迁移]：先求解的值，再根据函数图象可得答案； [问题解决]：（1）把函数化为，再画图即可； （2）在同一坐标系内画的图象，并求解两个函数的交点坐标，根据函数图象可得答案； 【规范解答】解：[问题提出]，如图， ∵当时，函数的图象在的图象上方， ∴不等的解集为：， [知识迁移]，如图， ∵点在上， ∴， 解得：， ∴， ∵当时，直线的图象在的图象的上方， ∴不等式， 即的解集为：， [问题解决] （1）根据题意得： ， 画图如下： （2）再在同一坐标系内画的图象如下： 由函数图象得：与有交点， 则， 解得：， 与有交点， 则 解得： ∴与的两个交点坐标分别为：，； 由函数图象可知，当时，的图象在的上方， 当时，的图象在的上方， 故不等式的解集为：或． 28．（本题8分）（23-24八年级上·江苏淮安·期中）在我们学习函数的过程中，经历了“确定函数的解析式一利用函数图象研究其性质”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点或平移的方法画出一个函数的大致图象．同时，我们也学习了绝对值的意义 阳阳结合上面的学习过程，对函数的图象与性质进行了探究． (1)① 化简函数的表达式：当时， ，当时， ； ② 在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； (2)函数的图象可由的图象向上平移1个单位得到； ① 当时，的取值范围是 ； ② 当时，x的取值范围是 ； ③ 当时（其中m，n为实数，），自变量x的取值范围是，求n的值及m的取值范围． 【答案】(1)①②详见解析； (2)①②或③，n的值为4，详见解析． 【思路点拨】本题考查的是两条直线相交问题，考查了用待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象和性质， （1）①根据绝对值的代数意义去掉绝对值即可；②根据一次函数的图象特征和自变量x的取值范围不同，确定三个点即可画出该函数图象； （2）①根据题意画出图象，利用函数顶点的位置和自变量的取值范围进行计算判断即可；②根据题意画出图象，利用函数顶点的位置和函数的取值范围进行计算判断即可；③根据题意画出图象，利用函数顶点的位置和自变量的取值范围及函数的取值范围进行计算判断即可； 熟练掌握其性质及数形结合思想是解决此题的关键． 【规范解答】（1）①函数， 当时，； 当时，． 故答案为：． ②当时，；当时，；当时，， 图象过三点， |如图示： （2）平移后的图象如图所示：    ①当时，函数；当时，函数， 由图象知，函数图象最低点为， ∴的最小值为， 结合图象知当，的取值范围是， 故答案为：， ②时，或，当时或， 结合图象知，x的取值范围是或， 故答案为：或 ③当时，，当时，， 结合图象知，当x的取值范围是时， ∴m的取值范围,n的值4． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学八年级下册专题培优满分特训卷-挑战压轴题 专题11《根据两条直线的交点求不等式的解集（一次函数与不等式）》 试题满分：100分 检测时间：120分钟 难度系数：0.45（难度较大） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题2分）（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是 2．（本题2分）（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（本题2分）如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是（     ）. A． B． C． D． 4．（本题2分）（23-24八年级下·湖北孝感·期末）一次函数与的图象如图所示，下列结论：①，；②关于x，y的方程的一组解是；③关于x的不等式的解集是；④两直线与y轴围成的三角形的面积是．其中，结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（本题2分）（2024·贵州遵义·三模）已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 6．（本题2分）（23-24八年级下·浙江台州·期末）直线与的图象交于点，下列判断①关于的方程的解是②当时，关于的不等式的解集是③设直线，则直线一定经过定点④当原点到直线的距离最大时，则．正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④ 7．（本题2分）（22-23八年级下·浙江台州·期末）当时，对于x的每一个值，函数（k≠0）的值都小于函数的值，则k的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 8．（本题2分）（22-23八年级下·四川巴中·期中）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（本题2分）（22-23八年级下·湖南长沙·期中）一次函数（，k、b是常数）与（，m是常数）的图像交于点，下列结论正确的序号是（   ） ①关于的方程的解为； ②一次函数（）图像上任意不同两点和满足：； ③若（），则； ④若，且，则当时，． A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 10．（本题2分）（21-22八年级下·陕西西安·期中）已知直线，，的图象如图所示，若无论x取何值，y总取、、中的最小值，则y的最大值为（　　）    A． B． C． D． 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分． 11．（本题2分）（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，一次函数与的图象相交于点，与轴分别交于点，．请结合图象，写出当时的取值范围 ． 12．（本题2分）（23-24八年级上·江苏盐城·期中）设表示x，y两个数中的最大值．例如“”．则关于x的函数的最小值为 ． 13．（本题2分）（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知一次函数的图象与轴交于点，且，则下列结论： ①函数图象一定经过定点； ②若函数图象不经过第四象限，则； ③不等式的解集为，则； ④直线与直线交于点，与轴交于点，则的面积为1．其中正确的结论是 （请填写序号）． 14．（本题2分）（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，一次函数的图象交轴于，一次函数的图象交轴于，交轴于，两函数图象交于点，已知，，的横坐标分别为，，，当时，的取值范围是 ． 15．（本题2分）（23-24八年级下·重庆江津·期末）如图，一次函数与一次函数的图像交于点，则关于的不等式的解集是 ． 16．（本题2分）（2024八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象为直线，在下列结论中： ①无论取何值，直线一定经过某个定点； ②过点作，垂足为，则的最大值是； ③若与轴交于点，与轴交于点，为等腰三角形，则； ④对于一次函数，无论取何值，始终有，则，或． 其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）． 17．（本题2分）（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图，函数（k，b为常数，）的图象经过点，与函数的图象交于点A，下列结论：①点A的横坐标为2；②关于x的不等式的解集为；③关于x的方程的解为；④关于x的不等式组的解集为．其中正确的是 （只填写序号）． 18．（本题2分）（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）如图，正比例函数与一次函数的图象交于点．下面四个结论：①；②，③不等式的解集是；④当时，．其中正确的是    19．（本题2分）（23-24八年级上·江苏镇江·期末）直线和如图所示，则关于的不等式的解集是 ．    20．（本题2分）（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线的函数表达式为．已知点，点P是线段上一动点（可与点B，D重合），直线（k为常数）经过点P，交于点C． （1）当时，点C的坐标为 ； （2）在点P移动的过程中，k的取值范围为 ． 三、解答题：本大题共8小题，共60分． 21．（本题6分）（24-25八年级下·河南平顶山·期中）在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数和的图象（如下图），两直线交于点，分别与轴交于两点．已知点，观察图象并回答下列问题： (1)关于的方程的解是____________；关于的不等式的解集是____________． (2)若点的坐标为，直接写出关于的不等式的解集并求出的面积． 22．（本题6分）（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． (1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ (2)求直线的表达式和a的值． 23．（本题8分）（24-25八年级下·山西晋中·期中）【材料阅读】 我们知道：二元一次方程有无数组解，如：，，……如果我们将方程的解（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标）看成一组有序数对，例如是方程的一个解，用一个点来表示．探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象．如图1所示． 【问题探究】 在平面直角坐标系中，方程的图象是图1中的直线m，也可表示为． （1）仿照材料完成下列各题： ①写出二元一次方程的解（写出三对整数解）：_______． ②在图1中的同一平面直角坐标系中找出以上三点（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标），并画出这个方程的图象，记为直线n，也可表示为；请你直接写出直线m与直线n的交点M的坐标_______；则方程组的解是_______． ③过点且垂直于x轴的直线与m，n的交点分别为A、B两点，求出的面积． 【问题拓展】 （2）已知关于x，y的二元一次方程组无解，由此你猜想直线与直线这两条直线_______．（填位置关系） （3）如果（2）中有存在符合题意的两条直线恰好相交，且交点坐标为，请你利用图2分析并直接写出不等式中x的取值范围_______． 24．（本题8分）（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在x轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． （2）如图2，观察图象，不等式的解集是__________． 【拓展延伸】： （3）如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C． ①结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是__________． ②在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． 25．（本题8分）（24-25八年级上·江苏扬州·期末）把一次函数（k，b为常数，）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V”形图象，例如，如图1就是函数的“V”形图象． (1)请在图2中画出一次函数的“V”形图象，并直接写出该“V”形图象的函数表达式及自变量x的取值范围； (2)在（1）的条件下，若一次函数的“V”形图象与x轴交于点A，与直线相交于B，C两点，求的面积； (3)一次函数（k为常数）的“V”形图象经过，两点，且，求k的取值范围． 26．（本题8分）（23-24八年级下·湖北黄冈·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴、轴分别交于点、，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点．点、点恰好关于点对称． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)如果线段的长为，求点的坐标； (4)我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，直接写出所有符合条件的整点的坐标． 27．（本题8分）（23-24八年级下·广东深圳·期中）[问题提出]：如何解不等式？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到：当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为_________． 预备知识2：函数称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号，比如化简时， 可令和， 分别求得， (称1， 3分别是和的零点值)， 这样可以就，，三种情况进行讨论： （1） 当时， （2） 当时，； （3） 当时，， 所以就可以化简为 预备知识3：函数(b为常数)称为常数函数，其图象如图③所示． [知识迁移] 如图④，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是___________． [问题解决] 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式． （1）请在平面直角坐标系内作出函数的图象； （2）通过观察图象，便可得到不等式的解集，这个不等式的解集为_______． 28．（本题8分）（23-24八年级上·江苏淮安·期中）在我们学习函数的过程中，经历了“确定函数的解析式一利用函数图象研究其性质”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点或平移的方法画出一个函数的大致图象．同时，我们也学习了绝对值的意义 阳阳结合上面的学习过程，对函数的图象与性质进行了探究． (1)① 化简函数的表达式：当时， ，当时， ； ② 在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； (2)函数的图象可由的图象向上平移1个单位得到； ① 当时，的取值范围是 ； ② 当时，x的取值范围是 ； ③ 当时（其中m，n为实数，），自变量x的取值范围是，求n的值及m的取值范围． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$