精品解析：江苏省盐城市大丰区飞达路初级中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024年秋学期第二次学情检测 九 年 级 数 学 试 题 考试时间：120分钟 卷面总分：150分 一．选择题（请将答案填在答题纸上．共8小题） 1. 下列四组图形中，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，正确理解相似图形的定义是解题的关键，根据相似图形的定义逐一判断选项即可． 【详解】A、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； B、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； C、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； D、形状不相同，不符合相似图形的定义，符合题意． 故选：D． 2. 下列函数属于二次函数的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义“形如的函数”，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，故不符合题意； B、不是二次函数，故不符合题意； C、是二次函数，故符合题意； D、不是二次函数，故不符合题意． 故选C． 3. 二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一判断图象即可．本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与二次函数的系数的关系是解题的关键． 【详解】解：的图象是一条过原点，开口向下的抛物线， 故选：D． 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，设 则 再代入分式求值即可. 【详解】解： ，设 故选： 【点睛】本题考查的是分式的值，掌握设辅助参数的方法求解分式的值是解题的关键. 5. 抛物线的图象经过点，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴开口向上，对称轴为y轴，即对称轴为直线， ∴离对称轴越近，点越低， ∵点A，B，C与对称轴的距离分别为3,1,4， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握该图象的性质是解题的关键． 6. 二次函数的最小值是（    ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用二次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵二次函数中， ∴开口向上， ∴顶点为 ∴当，有最小值为， 故选：A． 7. 如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质求的值． 【详解】解：∵， ， ． 故选：B． 8. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为（　 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的概念得到，，得到，得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∵与的面积比为， ∴与的相似比，即， ∴，即， 故选：B． 二、选择题（请将答案填在答题纸上．共8小题） 9. 二次函数的图象的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线顶点式及顶点坐标，掌握顶点式是解题关键．根据抛物线顶点式直接可求顶点坐标． 【详解】解：二次函数的顶点式为 故顶点坐标为 故答案为： ． 10. 若抛物线的开口向上，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线的开口向上，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∴； 故答案为：． 11. 把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的图象的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式在平移中的变化规律，根据规律“左加右减，上加下减．”进行解题即可． 【详解】解：由题意得 ， 故答案：． 12. 已知线段的长是，点P是线段的黄金分割点，则较长线段的长______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是黄金分割，解题的关键是清楚黄金比例概念以及黄金分割比为． 根据黄金分割点的定义即可进行解答． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，线段的长是，线段为较长线段， ∴， 故答案为：． 13. 抛物线与y轴交点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，令，求出值，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线与y轴交点的坐标为； 故答案为：． 14. 如图，若，则．横线上应填入______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质即可求解，掌握相似三角形的性质和相似三角形顶点的对应关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案是：． 15. 如图，在离某建筑物4米处有一棵树，在某时刻，将1.2m长的竹竿竖直立在地面上，影长为2m，此时，树的影子照射到地面，还有一部分影子投影在建筑物的墙上，墙上的影子长为2m，那么这棵树高约为_____米． 【答案】 【解析】 【分析】根据树高与影长的关系求出在地上的影长＝，再利用（+4）：＝：2求出答案． 【详解】解：∵长为2米， ∴设在地上的影长为，， 解得＝． ∴在地上的影长为（4+）＝米， ∴． ∴＝． ∴树高约米． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的应用：树高与影长的关系，正确理解题意得到数量之间的关系是解题的关键． 16. 如图，已知正方形，E为的中点，F是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于M，现在有如下5个结论：①是直角三角形；②当F与D重合时，有；③当M与C重合时，有；④平分正方形的面积；⑤，在以上5个结论中，正确的有______． 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】由折叠的性质可得°，由“”可证，可得，由平角的性质可求，故①正确；通过证明，可得，可得，故⑤正确；设．则，通过证明，可得，可求，可得，故②错误；设．则，通过证明，可得，可求，可得，故③正确；当点F与点D重合时，直线不平分正方形的面积，故④错误，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵E为的中点， ∴， 由翻折可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴是直角三角形， 故①正确， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵ ∴，故⑤正确， 如图，当D和F重合时， 设．则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又 ∴，故②错误， 如图，当M与C重合时， 设．则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴，故③正确， 如图， 当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，故④错误， 综上所述，正确的有：①③⑤， 故答案为：①③⑤ 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质等知识，利用相似三角形的性质求线段的关系是解题的关键． 三．解答题 17. 已知，且，试求的值． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设， ，，代入可求出k的值，由此即可得． 【详解】解∶∵， ∴设， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ，， ∴． 18. 若是关于的二次函数，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据形如的函数是二次函数，以此计算即可． 本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴ 解得，， 又∵， ∴， ∴. 19. 如图，． （1）与是否相似？请说明理由． （2）设，，求的值． 【答案】（1） 相似，理由如下： ∵ ∴， 又， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质： （1）相似，由平行线的性质得，结合可证明; （2）根据相似三角形列式求解即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∵，， ∴． 20. 如图，在中，是上一点，已知． （1）求证：； （2）已知，求的度数． 【答案】（1） 证明：，， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据“两边对应成比例且它们的夹角相等”可判断三角形相似，进而求解即可； （2）由三角形内角和可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ． 21. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，且经过点．求： （1）该抛物线的表达式； （2）求抛物线的顶点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，正确得出二次函数解析式是解题关键． （1）直接利用待定系数法将已知点代入得出方程组，求解即可； （2）直接利用配方法求出抛物线顶点坐标即可； 【小问1详解】 解：把，代入，得 ，解得：， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为． 22. 已知二次函数的图象如图所示． （1）求k的值； （2）当时，求y的最大值． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，二次函数的最值问题，掌握知识点是解题的关键． （1）把代入二次函数解析式，即可解答； （2）把，分别代入函数解析式，求出y的值，再根据函数图像，即可解答． 【小问1详解】 解：由图象得：抛物线与x轴的交点为，把代入二次函数解析式， 得：， 解得：； 【小问2详解】 把代入得：， 把代入得：， 把代入得：， 由图像可知，则当时，y的最大值为12． 23. 如图所示，九年级某班开展测量旗杆高度的活动，已知标杆的高度，人的眼睛与地面的高度，当A，C，E三点共线时，标杆与标杆的水平距离，人与标杆CD的水平距离，求旗杆AB的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质，主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度． 利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求的长度分成了2个部分，和部分，其中，剩下的问题就是求的长度，利用，得出，把相关条件代入即可求得，所以． 【详解】解：过作于，交于， ，， ， ， 四边形和四边形是矩形， ，，， ， ， ， 即， ， ， ． 答：旗杆的高度为． 24. 如图，二次函数的图象经过，三点，（） （1）求的值； （2）经过A、B、C三点的圆的圆心为M，求M点坐标； （3）在（2）的条件下，求半径及劣弧围成的扇形的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二元函数与坐标轴的交点，一元二次方程，相似三角形的判定与性质，圆周角，勾股定理，扇形的面积，掌握知识点是解题的关键． （1）将，分别代入二次函数，即可解答； （2）过圆心M作于E，于F，令圆M与y轴正半轴的交点为D，连接，先求出，，，，证明，可求出，即，继而求出，即可解答； （3）根据勾股定理，求出， ，证明为等腰直角三角形，即， 则半径及劣弧围成的扇形的面积为：，即可解答． 【小问1详解】 解∶当时，， ， 当时，， 则, 则 【小问2详解】 解：过圆心M作于E，于F，令圆M与y轴正半轴的交点为D，连接，如图 由（1）得，，， ∴，，， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴，即， ∵于E，，点M为圆心， ∴， ∴， ∴点M的坐标为． 【小问3详解】 ∵， ∴， ， ∴, ∴为等腰直角三角形，即， 则半径及劣弧围成的扇形的面积为：． 25. 如图，在中，是高，矩形的顶点P、N分别在上，在上，交于点E．设，，求矩形的面积． 【答案】180 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 结合矩形性质证明，设，则，，利用矩形性质和相似三角形性质建立方程求出的值，进而得到，即可求出矩形的面积． 【详解】解：四边形为矩形， ， ， 中，是高， 中，是高，且有， ， ，， 设，则，， ， 解得， ， 矩形的面积为． 26. 问题提出 （1）如图1，在正方形中，点E在边上，且，求证：； 问题拓展 （2）如图1，在正方形中，点E在边上，且，若，，求的长； 问题解决 （3）市政府要规划一个形如梯形的花园，如图2，，米．园林设计者想在该花园内设计一个四边形区域来种植花卉，其他区域种植草皮．要求E、F分别位于、边上，，且，米．为了美观，要求平分，求种植花卉区域四边形的面积． 【答案】 （1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）4； （3）4500平方米 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据正方形的性质和余角的性质可得出，然后利用两角对应相等判定两三角形相似即可； （2）利用（1）中，根据相似三角形的性质求解即可； （3）过D作于G，连接，设，则，证明，得出，，证明，根据相似三角形的性质求出，，则可得出，解方程求出a的值，然后根据割补法求出边形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）∵四边形是正方形， ∴， 由（1）知：， ∴， 又，， ∴， 解得； （3）过D作于G，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴设，则， ∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴，， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 解得， ∴，，， ∴四边形的面积为， 即种植花卉区域四边形的面积4500平方米． 27. （1）【证明推断】 如图1，在正方形中，点E是对角线上的动点（与点B、D不重合），连接，过点E作，分别交直线于点F、G． ①求证：； ②直接写出的值； （2）【类比探究】 如图2，将（1）中的“正方形”改为“矩形”，其他条件均不变． ①若，求的值； ②若，直接写出的值（用含m的代数式表示）； （3）【拓展运用】 如图3，在矩形中，点E是对角线上一点（与点B、D不重合），连接，过点E作，分别交直线于点F、G，连接，当时，求的长． 【答案】 （1）①证明：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ； ②1 （2）① ②m （3）2 【解析】 【分析】（1）①由“ASA”可证； ②由全等三角形的性质可得，即可求解； （2）①由（1）得，可证，可得，通过证明，得，则，即可求解长度； ②思路同①，可证，可得，通过证明，得，则可求解； （3）过点C作于H，由勾股定理可求得长，由锐角三角函数可求长度，进而利用勾股定理求得，根据等腰三角形三线合一可知，则，长度可求，由求得长，由求得长，利用即可求解． 【详解】（1）①略 ②解：由①知：， ， ； （2）①解：四边形是矩形， ， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②解：四边形是矩形， ， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点C作于H， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）知， , , , , , , ． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形性质，矩形的性质，等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是分析图形，灵活运用相似三角形的判定和性质，并能正确做出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期第二次学情检测 九 年 级 数 学 试 题 考试时间：120分钟 卷面总分：150分 一．选择题（请将答案填在答题纸上．共8小题） 1. 下列四组图形中，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数属于二次函数的是 （ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的图象经过点，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的最小值是（    ） A. B. C. D. 2 7. 如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为（　 　） A. B. C. D. 二、选择题（请将答案填在答题纸上．共8小题） 9. 二次函数的图象的顶点坐标是______． 10. 若抛物线的开口向上，则的取值范围是______． 11. 把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的图象的表达式为______． 12. 已知线段的长是，点P是线段的黄金分割点，则较长线段的长______． 13. 抛物线与y轴交点的坐标为______． 14. 如图，若，则．横线上应填入______ 15. 如图，在离某建筑物4米处有一棵树，在某时刻，将1.2m长的竹竿竖直立在地面上，影长为2m，此时，树的影子照射到地面，还有一部分影子投影在建筑物的墙上，墙上的影子长为2m，那么这棵树高约为_____米． 16. 如图，已知正方形，E为的中点，F是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于M，现在有如下5个结论：①是直角三角形；②当F与D重合时，有；③当M与C重合时，有；④平分正方形的面积；⑤，在以上5个结论中，正确的有______． 三．解答题 17. 已知，且，试求的值． 18. 若是关于的二次函数，求的值． 19. 如图，． （1）与是否相似？请说明理由． （2）设，，求的值． 20. 如图，在中，是上一点，已知． （1）求证：； （2）已知，求的度数． 21. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，且经过点．求： （1）该抛物线的表达式； （2）求抛物线的顶点坐标． 22. 已知二次函数的图象如图所示． （1）求k的值； （2）当时，求y的最大值． 23. 如图所示，九年级某班开展测量旗杆高度的活动，已知标杆的高度，人的眼睛与地面的高度，当A，C，E三点共线时，标杆与标杆的水平距离，人与标杆CD的水平距离，求旗杆AB的高度． 24. 如图，二次函数的图象经过，三点，（） （1）求的值； （2）经过A、B、C三点的圆的圆心为M，求M点坐标； （3）在（2）的条件下，求半径及劣弧围成的扇形的面积． 25. 如图，在中，是高，矩形的顶点P、N分别在上，在上，交于点E．设，，求矩形的面积． 26. 问题提出 （1）如图1，在正方形中，点E在边上，且，求证：； 问题拓展 （2）如图1，在正方形中，点E在边上，且，若，，求的长； 问题解决 （3）市政府要规划一个形如梯形的花园，如图2，，米．园林设计者想在该花园内设计一个四边形区域来种植花卉，其他区域种植草皮．要求E、F分别位于、边上，，且，米．为了美观，要求平分，求种植花卉区域四边形的面积． 27. （1）【证明推断】 如图1，在正方形中，点E是对角线上的动点（与点B、D不重合），连接，过点E作，分别交直线于点F、G． ①求证：； ②直接写出的值； （2）【类比探究】 如图2，将（1）中的“正方形”改为“矩形”，其他条件均不变． ①若，求的值； ②若，直接写出的值（用含m的代数式表示）； （3）【拓展运用】 如图3，在矩形中，点E是对角线上一点（与点B、D不重合），连接，过点E作，分别交直线于点F、G，连接，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $