12.2 多边形 课件 2024--2025学年青岛版七年级数学下册

第12章 平面图形的认识 12.2 多边形 青岛版 数学 七年级下册 1 1.掌握多边形的定义及有关概念，能区分凹凸多边形. 2.掌握正多边形的概念.（重点） 3.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式. （重点） 4.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题. （难点） 学习目标 青岛版 数学 七年级下册 2 有哪些熟悉的平面图形？ 青岛版 数学 七年级下册 3 有那些熟悉的平面图形？ 青岛版 数学 七年级下册 4 有那些熟悉的平面图形？ 青岛版 数学 七年级下册 5 多边形 一 合作探究 思考：这些图形是由什么样的线按怎样的方式组成的？ 三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形. 青岛版 数学 七年级下册 6 多边形的相关概念 由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭平面图形叫做多边形． 组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．（通常用虚线表示） 提示：我们平常所说的多边形都是指凸多边形，即多边形总在任何一条边所在直线的同一侧. 青岛版 数学 七年级下册 7 内角：多边形相邻两边组成的角 顶点 边 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角. n边形有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角． 多边形按它的边数可分为：三角形，四边形，五边形等等.其中三角形是最简单的多边形. 青岛版 数学 七年级下册 8 （1） （2） 如图（1）这样，画出多边形的任何一条边所在的直线， 整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就 是凸多边形.本节我们只讨论凸多边形. A B C D E F G H 此类多边形被一条边所在的直线分成了两部分，不在这条直线同侧是凹多边形. 青岛版 数学 七年级下册 9 小试牛刀 下列图形是多边形的有： .（只填序号） （1）（4） 青岛版 数学 七年级下册 10 ①组成多边形的线段在“同一平面内” ②线段必须“不在同一直线上”且线段条数不少于3条 ③首尾顺次相连 ④封闭图形 青岛版 数学 七年级下册 11 A C D E B 如图，在多边形ABCDE中，点A、点B等是多边形的顶点；线段AB、线段BC等是多边形的边；∠EAB、∠B等是多边形的内角(简称多边形的角)；如线段AC、线段AD是多边形的对角线． 你还能画出图中其他的对角线吗？ 青岛版 数学 七年级下册 12 归纳：n边形有n个顶点、n条边、n个内角. n边形 … 多边形名称 三角形 四边形 五边形 六边形 八边形 …… n 顶点 边 内角 3 4 5 6 8 n 3 4 5 6 8 n 3 4 5 6 8 n 探究1：多边形边、顶点、内角的关系 青岛版 数学 七年级下册 13 问题1：过n边形的每一个顶点有几条对角线？可以分割成多少个三角形？ 问题2：n边形一共有多少条对角线？ 探究2：多边形边、对角线的关系 任务分配： 1.每人分配一个图形，先过一个顶点画出所有对角线；再在表格中填出相应的数据； 2.小组交流并汇总完成全部表格. 青岛版 数学 七年级下册 14 多边形的边数 4 5 6 7 …… n 从一个顶点出发的对角线的条数 分割成的三角形的个数 对角线的总条数 1 2 3 4 2 3 4 5 2 5 9 14 n-3 n-2 青岛版 数学 七年级下册 15 1.一个多边形从一个顶点最多能引出2016条对角线，这个多边形的边数是(　　) A．2016 B．2017 C．2018 D．2019 练一练 2.连接九边形一个顶点与其他各顶点的线段，将九边形分成了_____个三角形． D 7 青岛版 数学 七年级下册 16 例1 观察、探索及应用 (1)观察上图并填空． 一个四边形有2条对角线； 一个五边形有5条对角线； 一个六边形有____条对角线； 一个七边形有____条对角线． 典例精析 9 14 青岛版 数学 七年级下册 17 (4)应用：一个凸十二边形有______条对角线． (2)分析探索：由凸n边形的一个顶点出发，可作________条对角线，凸n边形共有n个顶点，若允许重复计数，共可作________条对角线． n(n－3) (n－3) 54 (3)结论：一个凸n边形有__________条对角线． 青岛版 数学 七年级下册 18 议一议 观察下图中的多边形，它们的边角有什么特点？ 正多边形的定义 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. 青岛版 数学 七年级下册 19 问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗？ 问题1 三角形内角和是多少度？ 三角形内角和 是180°. 都是360°. 问题3 猜想任意四边形的内角和是多少度？ 多边形的内角和 一 青岛版 数学 七年级下册 20 猜想：四边形ABCD的内角和是360°. 问题4 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？ 猜想与证明 证法1：如图，连接AC, 所以四边形被分为两个三角形， 所以四边形ABCD的内角和为 180°×2=360°. A B C D 青岛版 数学 七年级下册 21 A B C D E 证法2：如图，在BC边上任取一点E，连接AE,DE， 所以该四边形被分成三个三角形， 所以四边形ABCD的内角和为 180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°. 青岛版 数学 七年级下册 22 证法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E， 连接AE,BE,CE,DE， 把四边形分成四个三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE. 所以四边形ABCD的 内角和为： 180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB) =180°×4-360°=360°. A B C D E 青岛版 数学 七年级下册 23 A B C D P 证法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD，将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形. 所以四边形ABCD的内角和为180° ×3－ 180° = 360°. 这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学过的三角形内角和求解. 结论： 四边形的内角和为360°. 青岛版 数学 七年级下册 24 例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由. 解： 如图，四边形ABCD中，∠A+ ∠C =180°. ∠A+∠B+∠C+∠D= 360 °， 因为 ∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C） = 360°－ 180° =180°. 所以 A B C D 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补. 典例精析 青岛版 数学 七年级下册 25 【变式题】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形． 证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补， ∴∠ABC+∠ADC=180°. ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴∠CDF+∠EBF=90°. ∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD， ∴∠CDF+∠CFD=90°. 故△DCF为直角三角形． 运用了整体思想 青岛版 数学 七年级下册 26 A C D E B A B C D E F 问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方 法求五边形和六边形内角和吗? 内角和为180° ×3 = 540°. 内角和为180° ×4 = 720°. 青岛版 数学 七年级下册 27 n 边形 六边形 五边形 四边形 三角形 多边形内角和 分割出三角形的个数 从多边形的一顶点引出的对角线条数 图形 多边形 ······ 0 n -3 1 2 3 1 2 3 4 n -2 （ n -2 ）·180º 1×180º=180º 2×180º=360º 3×180º=540º 4×180º=720º ······ ······ ······ ······ 由特殊到一般 青岛版 数学 七年级下册 28 分割 多边形 三角形 分割点与多边形的位置关系 顶点 边上 内部 外部 转化思想 总结归纳 多边形的内角和公式 n边形的内角和等于(n-2)×180 °. 青岛版 数学 七年级下册 29 例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，则这个多边形的每个内角是多少度？ 解：设这个多边形边数为n， 则（n-2）•180=360+720， 解得n=8， ∵这个多边形的每个内角都相等， （8-2）×180°=1080°， ∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°． 典例精析 青岛版 数学 七年级下册 30 例3 已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°． （1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，请说明理由； 解：∵360°÷180°=2， 630°÷180°=3......90°， ∴甲的说法对，乙的说法不对， 360°÷180°+2=4． 故甲同学说的边数n是4. 青岛版 数学 七年级下册 31 （2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x． 解：依题意有 （n+x-2）×180°-（n-2）×180°=360°， 解得x=2． 故x的值是2． 青岛版 数学 七年级下册 32 【变式题】一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？ 解：设此多边形的内角和为x， 则有1125°＜x＜1125°＋180°， 即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°. 因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数， 所以x＝180°×7＝1260°. 所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°. 因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形． 思路点拨：多边形的内角的度数在0°~180°之间. 青岛版 数学 七年级下册 33 例4 如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数． 解析：根据五边形的内角和等于540°，由∠C,∠D, ∠E的度数可求∠EAB+∠ABC的度数，再根据角平 分线的定义可得∠PAB与∠PBA的角度和，进一步求 得∠P的度数． 可运用了整体思想 青岛版 数学 七年级下册 34 解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°， ∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°. ∵AP平分∠EAB, ∴∠PAB＝ ∠EAB， 同理可得∠ABP＝ ∠ABC， ∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°， ∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA =180°− (∠EAB+∠ABC)=180°− ×230°=65°． 青岛版 数学 七年级下册 35 多边形的外角和 二 如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和． 问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？ 问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？ E B C D 1 2 3 4 5 A 互补 5×180°=900° 青岛版 数学 七年级下册 36 E B C D 1 2 3 4 5 A 五边形外角和 =360 °. =5个平角和 －五边形内角和 =5×180° －(5－2) × 180° 结论：五边形的外角和等于360°. 问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？ 青岛版 数学 七年级下册 37 在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和． n边形外角和 n边形的外角和等于360°. －(n－2) × 180° =360 °. =n个平角和-n边形内角和 = n×180 ° An A2 A3 A4 1 2 3 4 n A1 思考：n边形的外角和又是多少呢？ 与边数无关 青岛版 数学 七年级下册 38 问题4：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？ 每个内角的度数是 每个外角的度数是 练一练： (1)若一个正多边形的内角是120 °,那么这是正____边形. (2)已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是 ______边形. 六 正八 青岛版 数学 七年级下册 39 典例精析 例5 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的 2倍，求这个多边形的边数. 解： 设多边形的边数为n. ∵它的内角和等于 (n－2)•180°， 外角和等于360°， ∴ (n－2)•180°=2× 360°. 解得 n=6. ∴这个多边形的边数为6. 青岛版 数学 七年级下册 40 例6 已知一个多边形的每个内角与外角的比都 是7:2，求这个多边形的边数. 解法一：设这个多边形的内角为7x °,外角为2x°, 根据题意得7x+2x=180， 解得x=20. 即每个内角是140 °，每个外角是40 °. 360° ÷40 °=9. 答：这个多边形是九边形. 还有其他解法吗？ 青岛版 数学 七年级下册 41 解法二：设这个多边形的边数为n ,根据题意得 解得n=9. 答：这个多边形是九边形. 青岛版 数学 七年级下册 42 【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数． 解：设该正多边形的内角是x°，外角是y°， 则得到一个方程组 解得 而任何多边形的外角和是360°， 则该正多边形的边数为360÷120=3， 故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是3． 青岛版 数学 七年级下册 43 1.判断． (1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.( ) (2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.( ) (3)三角形的外角和与八边形的外角和相等． ( ) 2.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于______． 120° 青岛版 数学 七年级下册 44 3.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是________米． 150 青岛版 数学 七年级下册 45 4.一个多边形的内角和不可能是（ ） A.1800° B.540 ° C.720 ° D.810 ° D 5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，则这个多边形的 内角和等于（ ） A.360° B.540 ° C.720 ° D.900 ° C 青岛版 数学 七年级下册 46 6. 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和. 解：∵1800÷180＝10， ∴原多边形边数为10＋2＝12. ∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1， ∴新多边形的边数可能是11，12，13， ∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°. 青岛版 数学 七年级下册 47 拓展提升： 7.如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数. 解：如图， ∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°. 8 9 青岛版 数学 七年级下册 48 $$