11.2 提公因式法 课件 2024--2025学年青岛版七年级数学下册

第11章 因式分解 11.2 提公因式法 青岛版 数学 七年级下册 1 1.能确定多项式的公因式.（重、难点） 2.能熟练运用提公因式法把多项式因式分解.(重点） 学习目标 青岛版 数学 七年级下册 2 问题引入 问题1：多项式ma+mb+mc有哪几项？ 问题2：每一项的因式都分别有哪些？ 问题3：这些项中有没有公共的因式，若有，公共的因 式是什么？ ma, mb, mc 依次为m, a和m, b和m, c 有，为m 问题4：请说出多项式ab2-2a2b中各项的公共的因式. a, b, ab 青岛版 数学 七年级下册 3 相同因式p 这个多项式有什么特点？ pa+pb+pc 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个多项式各项的公因式，简称多项式的公因式. 确定公因式 一 青岛版 数学 七年级下册 4 例1 找 3x 2 – 6 xy 的公因式. 系数：最大公约数 3 字母：相同的字母 x 所以公因式是3x. 指数：相同字母的最低次幂 1 典例精析 青岛版 数学 七年级下册 5 正确找出多项式各项公因式的关键是： 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公 约数. 2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即 字母最低次幂. 要点归纳 青岛版 数学 七年级下册 6 写出下列多项式的公因式. （1）x-x2； （2）abc+2a； （3）abc-b2+2ab； （4）a2+ax2； 练一练 x a b a 青岛版 数学 七年级下册 7 提公因式法分解因式 二 问题：ma+mb+mc=m( ) ab2-2a2b=ab( ) (提示，逆用乘法分配律） 概念学习 逆用乘法对加法的分配律，可以把公因式写在括号外边，作为积的一个因式，这种将多项式分解因式的方法，叫做提公因式法. a+b+c b-2a 青岛版 数学 七年级下册 8 思考：以下是三名同学对多项式2x2+4x分解因式的结果： （1）2x2+4x = 2(x2+2x)； （2）2x2+4x = x(2x+4)； （3） 2x2+4x = 2x(x+2). 第几位同学的结果是正确的？ 用提公因式法分解因式应注意哪些问题呢？ 做乘法运算来检验易得第3位同学的结果是正确的. 青岛版 数学 七年级下册 9 典例精析 (1) 8a3b2 + 12ab3c； 例2 把下列各式分解因式 分析：提公因式法步骤（分两步） 第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积. (2) 2a(b+c) - 3(b+c). 公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法. 青岛版 数学 七年级下册 10 解：（1） 8a3b2 + 12ab3c =4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc =4ab2(2a2+3bc)； 如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公式？ 另一个因式将是2a2b+3b2c, 它还有公因式是b. （2） 2a(b+c)-3(b+c) =(b+c)(2a-3). 如何检查因式分解是否正确？ 做整式乘法运算. 青岛版 数学 七年级下册 11 把12x2y+18xy2分解因式. 解：原式 =3xy(4x + 6y). 错误 公因式没有提尽，还可以提出公因式2 注意：公因式要提尽. 正解：原式=6xy(2x+3y). 小明的解法有误吗？ 青岛版 数学 七年级下册 12 当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1. 错误 注意：某项提出莫漏1. 解：原式 =x(3x-6y). 把3x2 - 6xy+x分解因式. 正确解：原式=3x·x-6y·x+1·x =x(3x-6y+1) 小亮的解法有误吗？ 青岛版 数学 七年级下册 13 提出负号时括号里的项没变号 错误 把 - x2+xy-xz分解因式. 解：原式= - x(x+y-z). 注意：首项有负常提负. 正确解：原式= - (x2-xy+xz) =- x(x-y+z) 小华的解法有误吗？ 青岛版 数学 七年级下册 14 例3：把下列多项式分解因式： (1)-3x2+6xy-3xz； (2)3a3b+9a2b2-6a2b. 解：(1) -3x2+6xy-3xz=(-3x)·x+(-3x)·(-2y)+(-3x)·z =-3x·(x-2y+z). 方法归纳：用提公因式法分解因式应注意：(1)如果多项式的第一项系数是负数,一般要先提出负因数，保证括号内首项为正.(2)公因式的系数是负号时，提公因式后各项要变号. (2)3a3b+9a2b2-6a2b=3a2b·a+3a2b·3b-3a2b·2 =3a2b(a+3b-2) 青岛版 数学 七年级下册 15 例4：把分解因式：2a(b+c)-5(b+c). 解：2a(b+c)-5(b+c) =(b+c)·2a+(b+c)·5 =(b+c)(2a-5). 方法归纳：公因式可以是数字，字母，单项式，还可以是多项式. 青岛版 数学 七年级下册 16 例5 计算： (1)39×37－13×91； (2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14. (2)原式＝20.16×(29＋72＋13－14)＝2016. ＝13×20＝260； 解：(1)原式＝3×13×37－13×91 ＝13×(3×37－91) 方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便． 青岛版 数学 七年级下册 17 例6 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值． ∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28. 解：∵a＋b＝7，ab＝4， 方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入即可. 青岛版 数学 七年级下册 18 提公因式法步骤（分两步）： 第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积. 注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 运用提公因式法分解因式常常运用到整体思想，整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法. 要点归纳 青岛版 数学 七年级下册 19 1.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是（　　） A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D ．5mn2 2.把多项式（x+2）（x-2）+（x-2）提取公因式（x-2）后，余下的部分是（　　） A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3 3.下列多项式的分解因式，正确的是（　　） A．12xyz-9x2y2=3xyz（4-3xyz） B．3a2y-3ay+6y=3y（a2-a+2） C．-x2+xy-xz=-x（x2+y-z） D．a2b+5ab-b=b（a2+5a） B C D 青岛版 数学 七年级下册 20 4.把下列各式分解因式： (1)8 m2n+2mn=_____________； (2)12xyz-9x2y2=_____________； (3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )=_____________； (4) -x3y3-x2y2-xy=_______________； 2mn(4m+1) 3xy(4z-3xy) (a2+b2)(p-q) -xy(x2y2+xy+1) (5)(x-y)2+y(y-x)=_____________. (y-x)(2y-x) 5.若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则M等于_____________. 3a(x－y)2 青岛版 数学 七年级下册 21 6.简便计算： (1) 1.992+1.99×0.01 ; (2)20132+2013-20142; (3)(-2)101+(-2)100. (2) 原式=2013(2013+1)-20142 =2013×2014-20142=2014×(2013-2014) =-2014． 解：(1) 原式=1.99(1.99+0.01)=3.98； (3)原式=(-2)100 ×(-2+1) =2100 ×(-1)=-2100. 青岛版 数学 七年级下册 22 解：(1)2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 ×4=12. (2)原式=(2x+1)[(2x+1)-(2x-1)] =(2x+1)(2x+1-2x+1)=2(2x+1). 7.(1)已知: 2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值. (2)化简求值：(2x+1)2-(2x+1)(2x-1)，其中x= . 将x= 代入上式，得 原式=4. 青岛版 数学 七年级下册 23 $$