24.1圆的有关性质同步练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版

24.1圆的有关性质同步练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．已知四边形是圆内接四边形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，点在上，，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，于点，，，则最长的弦长是（    ） A． B． C． D． 4．如图，，已知是的直径，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 5．壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感，如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区，已知种植区的深度为，圆形框架的半径为，则弦的长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，四边形内接于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．已知圆内接四边形中，：：：：则的大小是（ ） A． B． C． D． 8．杭温高铁的开通，进一步完善了区域铁路网布局，便利沿线人民群众出行，带动旅游资源开发，有力地服务长三角一体化高质量发展．如图是其中一个隧道的横截面示意图，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，若是弦的中点，经过圆心交优弧于点，且，则的半径为（　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为 . 10．如图，圆O的半径垂直弦于点C，连接并延长交圆O于点E，连接，若，，则长为 ． 11．如图，的直径，，则CD的长度为 ． 12．如图，的弦与直径相交，若，则 ． 13．如图所示，为的直径，点、在圆上，，则 ． 14．如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则的长为 ． 15．如图，在矩形中，，，P是线段上一动点，M是线段上一点，且，连接，则线段长的最小值为 ． 16．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是 ． 三、解答题 17．如图，内接于为的直径，的平分线与交于点D，连接，其中，求的长度． 18．如图，是的弦，请利用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，请在图中作一个矩形； (2)在图2中，为的中点，请以为底作一个等腰三角形． 19．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，则中间柱的高度为多少m？ 20．如图，是的直径，为的一条弦（不为直径），点是与的交点，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的半径． 21．如图为一个含角的直角三角形及其外接圆，点在边上且为的角平分线，请用无刻度直尺按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)在图1中，以点为顶点作一锐角，使之与互余； (2)在图2中，过点作线段的中点． 22．如图，，是中两条互相垂直的半径，与都与相切．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作，是的圆周角，且． (2)在图2中，作有一个内角是的菱形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《24.1圆的有关性质同步练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A D C D B B A 1．D 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的对角互补性质，对角之和为，直接计算即可． 【详解】解：∵ 四边形是圆内接四边形， ∴ （圆内接四边形对角互补），， ∴， 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，，由可得，再利用圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．D 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，先利用垂径定理和勾股定理求出的长，再求圆的直径即可． 【详解】在中，， ∴， 在中，， ∴的直径为， 即最长的弦长是． 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，由可得，即得，再根据邻补角的性质即可求解，掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：． 5．D 【分析】本题考查了圆的相关知识以及垂径定理，如图，作交于点，交于点，连接，利用垂径定理得出，利用勾股定理求出，进而了得出．根据垂径定理正确的利用辅助线构造出直角三角形解决问题是关键． 【详解】解：如图，作交于点，交于点，连接 在中， ∴ ∵，， ， ∴， ∴ 故选：． 6．B 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，根据圆内接四边形的对角互补，以及同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴； 故选B． 7．B 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补的性质，结合已知角度比例求解． 【详解】解：圆内接四边形对角互补， ，． ：：：：，设，，． ， 解得． ． 故选：B． 8．A 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理的运用，掌握垂径定理是关键，根据题意设圆的半径为，则，，，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 设此圆的半径为，则， ∵是弦的中点，经过圆心， ∴， ∵， ∴，， 在中，， 即， 解得：， 即的半径长为． 故选：A． 9． 【分析】　本题考查了圆内接四边形“对角互补”的性质，理解圆的有关性质是解题的关键．利用圆内接四边形的对角互补，可先求出；再依据圆周角定理（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），计算出的大小。 【详解】解：在中，， ， 是弧所对的圆心角，是弧所对的圆周角， ， 故答案为：． 10．2 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆周角定理得到，勾股定理求出的长，进而求出，的长，垂径定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：由题意，为圆O的直径， ∴， ∴， ∴， ∵圆O的半径垂直弦于点C， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2 11． 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质．利用圆周角定理求得，，再利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：为的直径， ， 由圆周角定理得， 则． 故答案为：． 12．/40度 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，解题的关键是利用直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，进而求得直角三角形的另一锐角． 因为为直径，所以，求出，然后根据等弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为． 13． 【分析】连接，根据圆周角定理，三角形内角和定理解答即可． 本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径，， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，连接，首先根据题意可求得，，根据勾股定理即可求得的长，再根据垂径定理即可求得的长． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 15． 【分析】取的中点，连接，．证明，推出，点M的运动轨迹是以O为圆心，5为半径的．利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：如图，取的中点O，连接，． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 点M的运动轨迹是以O为圆心，5为半径的． ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 16．/116度 【分析】此题考查直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质，由是的直径，得，求出，然后利用圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴ ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴． 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了圆周角定理（直径所对的圆周角为直角）、等弧对等弦及勾股定理的综合应用，解题的关键是利用角平分线得到等弧，进而推出，为后续计算直径奠定基础． 连接，由为直径得；利用平分，得，故；在中用勾股定理求；在中用勾股定理求． 【详解】解：连接． 为的直径； ； 是的平分线； ； ； ； 在中，； ； 在中，； ． 18．(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查直径所对圆周角为，矩形的判定，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）连接并延长交圆于C，连接，由直径所对圆周角为知，同理构造三个角为的四边形即为所求矩形； （2）连接，利用圆半径相等可得所求等腰三角形． 【详解】（1）解：连接并延长交圆于C，连接并延长交圆于D，连接，则四边形为矩形． 理由：为直径， 为直径， ∴四边形为矩形． （2）连接，则是以为底的等腰三角形． 理由：都为圆半径， ， 是以为底的等腰三角形． 19． 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据图得，即，运用勾股定理列式，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：依题意， 则 ∵ ∴， ∴ 20．(1)，理由见解析 (2)10 【分析】此题考查了等弧所对的圆心角相等，垂径定理，勾股定理，等边对等角等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）如图所示，连接，，得到，，然后证明出即可得到； （2）首先根据垂径定理得到，设的半径为，则，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图所示，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，是的直径， ∴， 设的半径为，则， ∴在中，， ∴， ∴， ∴的半径为10． 21．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）延长交圆于点E，连接即可求解； （2）延长，交于点F，连接交于点O即为所求． 【详解】（1）如图所示，即为与互余的角． ∵ ∴是圆的直径 ∴ ∵ ∴ ∵为的角平分线 ∴ ∴ ∴ ∴即为与互余的角； （2）如图所示，点O即为所求． ∵ ∴ ∴点D在线段的垂直平分线上 ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴点F在线段的垂直平分线上 ∴垂直平分 ∴，即点O是中点． 【点睛】此题考查了无刻度直尺作图，圆中所对的弦是直径，等边三角形的性质和判定，垂直平分线的判定，三角形内角和定理以及等角对等边等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 22．(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题综合考查圆的性质、特殊四边形（正方形、菱形）的判定与性质以及无刻度直尺作图，核心是运用几何图形的基本关系进行推理和构造图形． （1）连接并延长交于点，连接交于点，连接，即可； （2）连接并延长交于点，连接交于点，反向延长交于点， 连接交于点，连接并延长交于点，连接交于点即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求作角． 连接并延长交于点，连接交于点，连接，即可． ，是中两条互相垂直的半径，与都与相切 ， 为正方形 连接， 由圆的对称性可知 在中 即为所求作角 （2）如图所示四边形即为所求作图形． 连接并延长交于点，连接交于点，反向延长交于点， 连接交于点，连接并延长交于点，连接交于点即可． 由（1）可知 由圆的对称性可知 ，， 四边形为菱形，且符合条件 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$