24.1圆的有关性质同步练习题2025-2026学年人教版（2012）九年级数学上册

24.1 圆的有关性质 同步练习题 一、单选题 1．下列说法正确的是（  ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．半圆是弧，但弧不一定是半圆 C．长度相等的两条弧是等弧 D．圆的切线垂直于半径 2．如图，在中，弦，圆心O到弦的距离，则的半径为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 3．如图，点、、在上，是的中点，交于点．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，的半径长为4，将沿折叠，恰好经过的中点，且，则折痕长为（    ） A． B． C．4 D． 5．如图，是的直径，，，，则的直径为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，半径，互相垂直，点在劣弧上．连接，和，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，四边形是的内接四边形，四边形为平行四边形，则（    ）    A． B． C． D． 8．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A、B两点，点P的坐标为，点B的坐标为，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 9．如图是排水管示意图，截面是半径为5分米的圆，管内水面分米，则水深等于（   ） A．分米 B．分米 C．2分米 D．3分米 10．如图，分别为的两条弦，于M，于N，且，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 11．如图，四边形内接于圆，为延长线上一点，图中与一定相等的角是 ． 12．如图，在中，点是弦的中点，，的度数为 ． 13．，是的两条弦，且，于点，连接．若的半径为，则弦的长为 ． 14．如图，中，点A，B，C在圆上，若，则的大小是 ． 15．如图，把沿弦翻折后恰好经过圆心，点是阴影部分内任意一点（包含除点、之外的边界），则的度数的取值范围是 ． 三、解答题 16．如图，在中，，以为直径作交于点D，交于点E，连接， ． (1)求证：； (2)若，求的长． 17．已知AB，CD是的弦，点与AB，CD位置如图所示，． (1)求证． (2)仅用无刻度的直尺作弦CD的垂直平分线，说明理由． (3)若之间的距离为39，求的半径． 18．如图1，在中，，以为直径作分别交于点D，    (1)求证： (2)若，，求半径． (3)如图2，点F在上，，连接、．求证：． 19．如图，四边形是的内接四边形，点G在边的延长线上． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 20．如图所示，在中，，点是外接圆上的一点，连接AP，BP，CP，且．点为弧上一点（不与，重合），过作垂足为． (1)判断的形状，并说明理由； (2)已知 ①求四边形面积的最大值； ②求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《24.1 圆的有关性质 同步练习题2025-2026学年人教版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C B C C B C C D 1．B 【分析】本题考查圆的基本概念，熟练掌握有关概念是解题的关键． 根据圆的基本概念逐项判断即可． 【详解】解：选项A：相等的圆心角所对的弧相等，需在同圆或等圆中才成立，否则不一定成立，故A错误； 选项B：直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做半圆，是弧的一种；但弧可以是劣弧、优弧或半圆，故弧不一定是半圆，B正确； 选项C：等弧指在同圆或等圆中能完全重合的弧，长度相等但圆不同则不是等弧，故C错误； 选项D：圆的切线垂直于过切点的半径，但选项未指定“过切点的”，因此说法不严谨，故D错误； 故选：B． 2．A 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，是解题的关键． 根据，得出，，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴根据勾股定理得：， 即的半径为5． 故选：A． 3．C 【分析】本题考查了三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理，关键是掌握圆周角定理． 如图所示，连接，首先求出，然后得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接 ∵，是的中点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了垂径定理，折叠的性质以及勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 延长交于E点，连接，根据垂径定理可得，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出其长度即可． 【详解】解：延长交于E点，连接， ∵， ∴E为的中点， ∵的半径长为4，恰好经过的中点， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴． 故选：B． 5．C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，勾股定理是解题的关键．根据，可得，从而得到，然后根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：， ， ， 是的直径， ， ， 的直径为， 故选：C 6．C 【分析】本题主要考查圆周角定理．连接，根据圆周角定理可求解的度数，再利用圆周角定理结合垂直的定义可求解的度数即可． 【详解】解：连接， ， ， 半径，互相垂直， ， ， ， 故选：C． 7．B 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键． 利用“圆内接四边形的对角与圆心角的关系”，结合平行四边形中，通过圆周角定理，最终求出的度数． 【详解】四边形是的内接四边形， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ． 故选：B． 8．C 【分析】本题考了垂径定理，连接，过点P作于点，由垂径定理可得，根据坐标可得，从而得到即可求出点A的坐标． 【详解】解：连接，过点P作于点D， ∴， ∵点P的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∴， ∴点A的坐标为． 故选：C． 9．C 【分析】本题主要考查的是垂径定理的应用，由题意知，交于点C，由垂径定理可得出的长，在中，根据勾股定理求出的长，由即可得出结论． 【详解】解：连接， 由题意知，交于点C， ∵分米， ∴（分米）， 在中，根据勾股定理得： （分米）， ∴（分米）． 故选：C． 10．D 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦及弦心距的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系是解题的关键．结合已知条件，根据“在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等”得到与之间的关系；根据圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系即可得到弦与，弦心距与的数量关系，进而得出正确选项． 【详解】解：∵分别为的两条弦，， ∴，故③正确； ∵，于M，于N， ∴，故①②正确． 综上可知，正确的有3个． 故选：D． 11． 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得到，根据邻补角的定义得到，根据同角的补角相等解答即可． 【详解】解：∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴， 则图中与一定相等的角是， 故答案为：． 12．/40度 【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键；由题意得，然后问题可求解． 【详解】解：∵点是弦的中点， ∴，即， ∵， ∴； 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等弦对等弧的性质以及勾股定理，熟练掌握圆周角与圆心角的数量关系是解题的关键． 先通过等弦对等弧推出角的关系，结合垂直条件证出，再利用圆周角定理得到圆心角，最后用勾股定理求弦的长． 【详解】解：连接、、． ∵， ∴，即， ∴，故， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴在中，， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理并灵活运用． 根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半解答即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了圆周角定理、折叠的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 过点作于点，延长交于点，连接，先证出是等边三角形，则，根据等腰三角形的三线合一可得，则劣弧的度数为，优弧的度数为，再分两个临界位置：①当点在优弧上时，②当在劣弧翻折后的圆弧上时，利用圆周角定理求出的度数，由此即可得． 【详解】解：如图1，过点作于点，延长交于点，连接， ∵把沿弦翻折后恰好经过圆心， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴劣弧的度数为，优弧的度数为． 如图2，当点在优弧上时，连接， 由圆周角定理得：； 如图3，当在劣弧翻折后的圆弧上时， 作点关于弦的对称点，连接，则点在劣弧上，， 由圆周角定理得：， ∴此时； 如图4，在内有任意点，连接，则有，证明如下： ， ∵， ∴， ∴当点是阴影部分内任意一点（包含除点、之外的边界）时，． 故答案为：． 16．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，掌握相关知识并熟练角度之间的相互转换是解题的关键． （1）通过等腰三角形的性质证，，得到，即可求解． （2）通过等腰三角形的性质先求出，再利用圆的内接四边形对角互补，得到，证得四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ． （2）， ， 四边形是的内接四边形， ， 又， ， ， ， 根据（1）可知， 四边形是平行四边形， 又为的直径，且， ． 17．(1)证明见解析 (2)图见解析，理由见解析 (3)25 【分析】本题考查了垂直平分线基本性质，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握基本性质是解题关键； （1）连接，通过圆周角定理得到，再根据平行线的性质即可得证； （2）连接交于P点，如图，根据圆周角定理得到，则，由于，根据线段垂直平分 线的性质定理的逆定理得到点P和点O都在的垂直平分线上，从而判断垂直平分； （3）连接、，交于E点，交于F点，设的半径为r，，则，根据平行线的性质得，则利用垂径定理得到，，再利用勾股定理列方程，解方程组即可． 【详解】（1）解：证明：连接， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，为的垂直平分线； 连接交于P点，连接并延长，与交于点，与交于点， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴点和点都在的垂直平分线上， ∴为的垂直平分线． （3）解：连接、，设的半径为r，，则， ∵，， ∴， ∴，， 在中，，即， 在中，，即， 联立方程①②，解得：（负值已舍去）． 18．(1)见解析 (2)5 (3)见解析 【分析】（1）如图：连接，利用圆周角定理和等腰三角形的三线合一的性质即可证明结论； （2）如图：连接，利用圆周角定理和勾股定理求得，设半径为r，则，再利用勾股定理列出方程求解即可； （3）如图，连接，，利用圆周角定理，等腰三角形的性质得到，利用圆周角定理的推论得到，致力于平行线的判定与性质，圆的内接四边形的性质和等腰三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，   为的直径， ， ， ， ． （2）解：如图：连接，    由（1）知：， ， ， 为的直径， ， ， 设半径为r，则， ， ， ，解得：， 半径为5． （3）证明：如图，连接，   为的直径， ， ， ， ，， ， ∵， ， ， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质、圆周角定理、圆的内接四边形的性质、直角三角形的性质，等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等知识点，连接直径所对的圆周角是直角成为解题的关键． 19．(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查圆内接四边形，同弧或等弧所对圆周角相等，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）根据圆内接四边形的性质得到，则，由同弧所对圆周角相等即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．(1)的形状为等腰直角三角形，见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理； （1）利用圆周角定理和等腰直角三角形的定义解答即可； （2）①利用圆周角定理，勾股定理求得，进而得到的面积，当点为弧的中点时，的面积取得最大值，此时，为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求得的面积，再利用四边形面积的最大值解答即可； ②作，交的延长线于，证明，得出四边形为正方形，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的形状为等腰直角三角形． （2）①∵， ∴为外接圆的直径， ∵点是外接圆上的一点， ∴， ∵为弧上一点， ∴当点为弧的中点时，此时点到的距离最大，则的面积取得最大值，此时，为等腰直角三角形， ， ， 当点C在中点时，四边形面积达到最大． ； ②证明：作，交的延长线于，如图， ∵ ∴为直径 ∴ ∵ ∴四边形为矩形 在和中， ∴ ∴， ∴四边形为正方形， ∴ ∵，， ∴， ∵， 即， 解得（负值舍去）． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $