21.2解一元二次方程 同步练习卷-2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.2解一元二次方程同步练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 2．若方程的两根为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知，是一元二次方程的两个实数根，求的值（    ） A． B．2025 C． D． 4．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 5．若菱形两条对角线的长度是方程的两个实数根，则菱形的边长为（    ） A． B．4 C． D．5 6．已知四边形是菱形，其两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．－1 B． C． D．1 7．关于x的一元二次方程有实数根，则实数m范围为（   ） A． B． C． D． 8．下列命题中，为真命题的有（    ） ①同位角相等，两直线平行    ②若，则 ③在中，若，则为钝角 ④若，则关于x的方程有两个实数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．一元二次方程的解是 ． 10．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为 ． 11．对于实数定义新运算：※．例如：3※，若关于的方程※有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 12．若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程的两根，则这个等腰三角形的周长是 ． 13．已知、是的两个根，则的值为 ． 14．已知一元二次方程的两个实数根为，，则的值为 ． 15．如图是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”．弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．若，则 ． 16．如图，正方形和正方形的面积之和为，若，则 ． 三、解答题 17．解方程： (1)； (2) 18．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，它们分别为． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 20．已知是关于的一元二次方程． (1)求证：该一元二次方程总有两个实数根； (2)方程的两个实数根分别为，，若，判断动点所形成的函数图象是否经过点，并说明理由． 21．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)若方程为，求出该方程的衍生点M的坐标； (2)若关于x的一元二次方程为的衍生点为M，且点M在直线上，求m的值； (3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图像上？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《21.2解一元二次方程同步练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B C A D A B 1．C 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 2．B 【分析】本题考查二次方程根与系数的关系及代数式求值．首先根据一元二次方程根与系数的关系可得：, ，根据多项式乘以多项式的法则计算可得：，然后现整体代入求值即可． 【详解】解：方程 的两根为 和 ， , ， ， ． 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了完全平方公式，根与系数的关系．根据完全平方公式可变形为，再利用完全平方公式可得，最后利用根与系数的关系即可解答． 【详解】解：根据完全平方公式将原式变形变形，得： ， 再利用完全平方公式可得， 故原式， ，是一元二次方程的两个实数根， ，， 原式， 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根于系数的关系，根据新定义的运算将方程转化为一元二次方程，计算判别式判断根的情况． 【详解】解：根据定义，运算可表示为：， 由方程得：， 整理为标准形式： ∵， ∴方程无实数根． 故选C． 5．A 【分析】本题考查解一元二次方程，菱形的性质，勾股定理．掌握菱形的性质是解题的关键． 首先解方程得到菱形的两条对角线长度，再利用勾股定理计算边长． 【详解】解：， 化简，得， ， 解得或， ∴菱形的两条对角线长度分别为2和4． ∵菱形的对角线互相垂直且平分， ∴边长可由勾股定理计算： 故选：A． 6．D 【分析】本题主要考查了菱形的性质、一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程等知识，解题关键是熟练掌握相关基本知识，用转化的思想思考问题． 根据题意，令一元二次方程的根的判别式，构建方程，解方程即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． ∵的长是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， ∵ ∴ ∴， 即， 解得． 故选：D． 7．A 【分析】本题考查一元二次方程的判别式，一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式求解． 【详解】解：对于一元二次方程，当判别式时，方程有实数根． 判别式， 由得： 解得： 因此，实数的范围是． 故选A． 8．B 【分析】题目主要考查命题判断，平行线的性质，一元二次方程根的判别式，勾股定理等，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键．判断四个命题的真假，逐一分析每个命题是否符合条件即可． 【详解】解：命题①：同位角相等，两直线平行，为真命题； 命题②：若，则， 反例：取，，满足，但，故②为假命题； 命题③：在中，若，则为钝角，为真命题； 命题④：若，方程有两个实数解， 当时，方程退化为一次方程，仅有一个解，不满足条件； 当时，判别式，需即； 但时命题不成立，故为假命题 综上，真命题为①和③，共2个， 故选：B． 9． 【分析】本题考查利用提公因式进行因式分解解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 先将方程化为，再利用提公因式进行因式分解，即可解答． 【详解】解∶ ， ， ， ∴或， 解得． 故答案为：． 10．9 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：9． 11． 【分析】本题考查了新定义的运算，要根的判别式，理解新定义的运算是解答关键． 根据新定义的运算表示出一元二次方程，再利用判别式来求解． 【详解】解：※， ， 即． 关于的方程※有两个不相等的实数根， ， 解得． 故答案为：． 12．10 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系等知识点，熟练运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 先利用因式分解法解方程解得到或，然后分、两种情况，分别运用三角形的三边关系进行验证后，再求周长即可． 【详解】解：， 方程分解得：， 可得或， 解得：或， 若2为腰，三角形三边为2，2，4，不能构成三角形，舍去； 若2为底，三角形三边为2，4，4，周长为． 故答案为：10． 13． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数关系求出，，再把化为，再代入求值即可． 【详解】解：∵、是的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．1 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系． 先利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， 所以． 故答案为：1． 15． 【分析】此题考查了勾股定理和弦图，解一元二次方程， 设，，表示出，然后根据得到，整理为，然后解方程即可． 【详解】解：∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成 ∴设， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴整理得， ∴ 解得 ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了正方形的性质、一元二次方程的解法，设正方形的边长为，则正方形的边长为，根据正方形和正方形的面积之和为，可列方程，解方程求出正方形的边长为，正方形的边长为，根据边之间的关系求出的长度即可． 【详解】解：四边形是正方形， ， 设， ， ， 四边形是正方形， ， 正方形的面积为，正方形的面积为， 又正方形和正方形的面积之和为， ， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 正方形的边长为，正方形的边长为， ，， ． 故答案为：． 17．(1)，； (2)，． 【分析】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求解方法． （1）利用因式分解法求解一元二次方程即可； （2）利用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ∴，； （2）解： ，，， ， ， ，． 18．(1) (2)1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的判别式、韦达定理以及方程的求解方法．解题的关键在于利用韦达定理将 转化为关于 m 的方程，并解出 m 的值． （1）利用判别式 确定方程有两个不相等的实数根，从而得到 m 的取值范围； （2）应用韦达定理将根的和与积表示出来，并通过给定条件转化为关于 m 的方程；最后解出 m 的值并验证其合理性，确保满足初始条件，特别是判别式的条件． 【详解】（1）解：， ∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 的取值范围为； （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根分别为， ， ， ， ， 解得：（不符合题意，舍去）， 的值为1． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式等知识点，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可解答． （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得、，再与结合可得，易得求解即可． 【详解】（1）证明：∵关于的一元二次方程为， ∴， ∴此方程总有两个不相等的实数根． （2）解：∵方程的两个实数根分别为、， ∴，， ∴，解得：， ∴，解得：． 20．(1)证明见解析 (2)经过，理由见解析 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键； （1）先求出该一元二次方程的判别式的值，再根据一元二次方程根判别式，即可得证． （2）根据，，得出，将代入，即可求解． 【详解】（1）证明：， ∵任何数的平方都大于等于，即， ∴，该一元二次方程总有两个实数根． （2）解：经过，理由如下： 在一元二次方程中， ，． ∵， ∴将，代入可得： 即动点所形成的函数关系式为． 将代入得： 当时，， ∴动点所形成的函数图象经过点． 21．(1) (2) (3)有，， 【分析】本题考查根与系数的关系、因式分解法解一元二次方程、一次函数图像上点的坐标特征，分类讨论思想． （1）解方程，根据 判断得解； （2）用因式分解法解方程，可得，根据做分类讨论，分别计算即可判断得解； （3）依据题意，衍生点与的取值无关，直线过定点，故方程的衍生点M为，根据，由根与系数的关系求解． 【详解】（1）解：解方程得， ， ， ， ， 该方程的衍生点M的坐标为； （2）方程为， ， ，或，， ①当，即时， 衍生点M的坐标为． ∵点M在直线上， 代入得， ∴，符合题意； ②当，即时， 衍生点M的坐标为， ∵点M在直线上， 代入得， ，与矛盾，故舍去； 综上，； （3）存在b，c满足条件，理由如下： ， 直线经过定点， ∴方程的衍生点M为， 即，， ，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$