精品解析： 上海交通大学附属中学2024-2025学年八年级下学期数学期末考试试卷（7月）

2025年7月上海交大附中初二期末考试试卷2025.7 一、填空题（22分） 1 已知，（），则_________． 2. 若，则代数式的值为______． 3. 若关于x，y的方程组有无数组解，则______． 4. 如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把 表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为_________． 5. 下列命题：①相等角是对顶角；②算术平方根等于它本身的数有两个，分别是0和1；③已知关于的二元一次方程组，不论取什么有理数，的值始终不变；④已知正实数的平方根是和，若，则；⑤若不等式对一切实数都成立，则的最大值是5； 其中真命题是：___________．（请填序号） 6. 一个正整数能写成（，均为正整数），则称为“美满数”，，为的一个美满分解，并规定：．如果一个两位正整数（十位数字大于个位数字，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数与原数是4752的一个美满分解，则的值为___________． 7. 已知关于的多项式，当时，该多项式有2个整数值，则的取值范围是______． 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与正方形交于，两点，与轴交于点，已知点，则点的坐标为______． 9. 如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，，点是直线上一动点，将点向左平移1个单位得到点，点，则的最小值为___________． 10. 已知抛物线与轴交于两点，顶点为，如果为直角三角形，则______． 11. 如图，已知直线l与y轴、x轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点．若C、D两点为线段的三等分点，连接、，则面积为____________． 二、选择题．（30分，每小题3分） 12. 若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 13. 下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 14. 一次空气污染指数抽查中，收集到一周的数据如下：70，70，63，82，91，91，75．该组数据的中位数是（ ） A. 63 B. 82 C. 91 D. 75 15. 下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. B. 1， C. 4，5，6 D. 1，1， 16. 下列一次函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 17. 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分．各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占、演讲能力占、演讲效果占计算选手的综合成绩（百分制）．某选手上述三项成绩分别为分，分，分．这名选手的综合成绩为（ ） A. 分 B. 92分 C. 分 D. 94分 18. 下列说法正确是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 19. 如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 20. 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x，y的二元一次方程组中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（47分) 21. 某数学兴趣小组的同学在学习了《图形的相似》之后；对三角形的相似问题进行深入探究． 【感知问题】 如图1，在四边形中，点P在边上（点P不与A，B重合），．易证：．（不需要证明） 探究问题】 如图2，在四边形中，点P 在边上（点P不与点A，B重合），．求证：． 【知识应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A，B重合），连接，作，与边交于点E． （1）当时，求的长； （2）当是等腰三角形时，求长． 22. 如图，直线与轴，轴及直线分别交于点，，． （1）求点B和点C的坐标； （2）为轴上点右侧一动点，以，为邻边作，连接，． ①求的最小值； ②在点移动过程中，能否等于？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请说明理由． 23. 在矩形中，点E在边上，将线段绕点E顺时针旋转，点A的对应点F恰好落在上． （1）如图1，求证：； （2）连接，作的平分线交于点P，交于点M． ①如图2，判断点P是否为线段的中点，并说明理由； ②如图3，连接交于点N，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年7月上海交大附中初二期末考试试卷2025.7 一、填空题（22分） 1. 已知，（），则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三元一次方程组的求解，用z将x、y表示出来，并代入代数式求解即可． 【详解】解∶联立，， 得， 解得， ∴， 故答案为∶． 2. 若，则代数式的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查非负性，二次根式的运算，根据非负性求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：10 3. 若关于x，y的方程组有无数组解，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数和算术平方根，熟知二元一次方程组有无数组解时，方程组的两个方程是同一个方程是解题的关键． 根据题意可知方程和方程是同一个方程，据此求解a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于，的方程组有无数组解， ∴方程和方程是同一个方程， ∴， ∴， 故答案为：2． 4. 如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把 表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：根据题意得：，点表示的数为2，点表示的数为3， 即点表示的数为，， ∴， ∴， 同理，，……， 以此类推可得，当n为奇数时，；当n为偶数时，， ∴， 故答案为：． 5. 下列命题：①相等的角是对顶角；②算术平方根等于它本身的数有两个，分别是0和1；③已知关于的二元一次方程组，不论取什么有理数，的值始终不变；④已知正实数的平方根是和，若，则；⑤若不等式对一切实数都成立，则的最大值是5； 其中真命题是：___________．（请填序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据对顶角、平方根、解二元一次方程组、代数式求值、绝对值等知识逐项判断即可． 【详解】解：①对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，所以①是假命题； ②算术平方根等于它本身的数有两个，分别是0和1，即②是真命题． ③解方程组可得：，则， 所以不论取什么有理数，的值始终不变，③是真命题． ④因为正实数的平方根是和， 所以，即，且， 因为， 所以，即， 因为正实数，则，④是真命题． ⑤：设， 当时，； 当时，； 当时，． 所以的最小值是3， 若不等式对一切实数a都成立，则，即m的最大值是3，则⑤是假命题． 故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查了对顶角、平方根、解二元一次方程组、代数式求值、绝对值等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 6. 一个正整数能写成（，均为正整数），则称为“美满数”，，为的一个美满分解，并规定：．如果一个两位正整数（十位数字大于个位数字，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数与原数是4752的一个美满分解，则的值为___________． 【答案】或． 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是根据“美满数”的定义列出关于、的方程组． 先设出原两位正整数的十位数字和个位数字，根据新数与原数是4752的一个美满分解列出方程组，可得，求出、的值，进而得出的值． 【详解】解：设原两位正整数的十位数字为，个位数字为均为正整数），则原数为，新数为， 新数与原数是4752的一个美满分解，， 又， 将，代入， 可得：（均为正整数） 此方程有两组符合题意的解， 分别为：或 当时，， ， 当时，， ， 综上，的值为或． 故答案为：或． 7. 已知关于多项式，当时，该多项式有2个整数值，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，理解题意并得到关于的一次函数是解题的关键． 令，根据求得的取值范围，然后根据题意列得关于的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：令，则随着的增大而增大， 当时，， 当时，， 时， ， 多项式有个整数值， 有个整数值，即，， 则， 解得：， 故答案为：． 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与正方形交于，两点，与轴交于点，已知点，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，正方形的性质，全等三角形三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．过点作轴于点，过作轴于点，，结合正方形的性质可证明，得到，，进而求出，再求出直线的解析式为，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过作轴于点， 则， ， ， ，， 四边形是正方形， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， 点的坐标为， 故答案为：． 9. 如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，，点是直线上一动点，将点向左平移1个单位得到点，点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】取点，作点关于直线的对称点，连接，交直线于，连接，作轴于，根据题意就是的最小值，由直线的解析式求得的坐标，进而求得的长，从而求得和，然后根据勾股定理即可求得． 【详解】解：取点，作点关于直线的对称点，连接，交直线于，连接，作轴于， 连接， 根据平移可得，且， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当点D于于时， 根据对称可得， ∴，即， ∴的最小值为， 由题可知， 令，解得， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，轴对称-最短路线问题以及平行四边形的性质、平移的性质，勾股定理的应用，证得是的最小值是本题的关键． 10. 已知抛物线与轴交于两点，顶点为，如果为直角三角形，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，二次函数与一元二次方程，由一元二次方程根的判别式可得，再利用二次函数解析式可得，点到轴的距离为，由为直角三角形，点关于对称轴对称，可得为等腰直角三角形，即得，列出方程解答即可求解，由二次函数的性质判断出为等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得， ∵抛物线， ∴抛物线与轴交点横坐标为，顶点的纵坐标为， ∴，点到轴的距离为， ∵为直角三角形，点关于对称轴对称， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 整理得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 11. 如图，已知直线l与y轴、x轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点．若C、D两点为线段的三等分点，连接、，则面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，由题意可得为的中点，，设，，由中点坐标公式可得，，代入反比例函数的解析式可得，作轴于，则，，再由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵C、D两点为线段的三等分点， ∴，即为的中点， ∴， 设，， 由中点坐标公式可得，， 代入反比例函数解析式可得：， ∴， 如图，作轴于， 则，， ∴， ∴面积为， 故答案为：． 二、选择题．（30分，每小题3分） 12. 若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式以及二次根式有意义的条件等知识点，根据二次根式有意义的条件，解不等式即可得解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决此题的关键． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：D． 13. 下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的定义，，正比例函数的定义为形如（为常数且）的函数，据此求解即可． 【详解】选项A：，x位于分母，不是正比例函数，不符合定义． 选项B：，x的次数为2，不是正比例函数，不符合定义． 选项C：，含常数项，属于一次函数但非正比例函数． 选项D：，可化简为，符合的形式，k为，是正比例函数． 故选：D． 14. 一次空气污染指数抽查中，收集到一周的数据如下：70，70，63，82，91，91，75．该组数据的中位数是（ ） A 63 B. 82 C. 91 D. 75 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数的含义．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，根据定义求解即可． 【详解】解：将这组数据重新排序为：63，70，70，75，82， 91，91， 则其中位数为75， 故选：D． 15. 下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. B. 1， C. 4，5，6 D. 1，1， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； B、∵， ∴1，可以作为直角三角形的三边长，故此选项符合题意； C、∵， ∴4，5，6不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； D、∵， ∴1，1，不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； 故选：B． 16. 下列一次函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的增减性，根据一次函数的性质，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，只需判断各选项中的正负即可作答． 【详解】解：A、，，故随增大而增大，不符合题意； B、，，故随增大而减小，符合题意； C、，，故随增大而增大，不符合题意； D、，，故随增大而增大，不符合题意； 故选：B 17. 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分．各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占、演讲能力占、演讲效果占计算选手的综合成绩（百分制）．某选手上述三项成绩分别为分，分，分．这名选手的综合成绩为（ ） A. 分 B. 92分 C. 分 D. 94分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握公式是解题的关键．根据加权平均数计算公式进行计算，即可求解． 【详解】解： 故选：A． 18. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，不符合题意； B．矩形的对角线不一定互相垂直，不符合题意； C．正方形的每一条对角线平分一组对角，正确，符合题意； D．平行四边形不一定是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义，熟练掌握基础知识是解题的关键． 19. 如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，由题意可得，，，再由勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∵， ∴， ∴点表示的数为， 故选：B． 20. 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x，y的二元一次方程组中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】“甜果苦果买一千”可得甜果个数+苦果个数=1000，可列出一个方程；又根据“甜果九个十一文，苦果七个四文钱”可得甜果和苦果的单价，根据共花费“九百九十九文钱”可得买甜果的钱数+买苦果的钱数=999．据此可得另一个方程．联立组成方程组即可． 【详解】解：由题意可得：， 故选：C． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组． 三、解答题（47分) 21. 某数学兴趣小组的同学在学习了《图形的相似》之后；对三角形的相似问题进行深入探究． 【感知问题】 如图1，在四边形中，点P在边上（点P不与A，B重合），．易证：．（不需要证明） 【探究问题】 如图2，四边形中，点P 在边上（点P不与点A，B重合），．求证：． 【知识应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A，B重合），连接，作，与边交于点E． （1）当时，求的长； （2）当是等腰三角形时，求的长． 【答案】【探究问题】见解析【知识应用】（1）或（2）或 【解析】 【分析】探究问题：利用三角形外角的性质，得到，即可求解； 知识应用：（1）通过三角形外角的性质，得到，利用相似三角形的性质，求解即可；（2）分两种情况，、，分别求解即可． 【详解】【探究问题】解：证明：由三角形外角的性质可得： ， ， ， 又， ； 【知识应用】 解：（1）设，则， ，， ，，， ，， ， ， ， 即， 化简可得：， 解得或， 即或； （2）由（1）可得，， ， 则为等腰三角形，有两种情况，或， ① 当时， 由（1）可得，，， ， ， ； ② 当时， 可得， 则， ， 设，则， ， 由可得， ， 即 解得， ， 综上，或. 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解一元二次方程，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 22. 如图，直线与轴，轴及直线分别交于点，，． （1）求点B和点C的坐标； （2）为轴上点右侧一动点，以，为邻边作，连接，． ①求的最小值； ②在点移动过程中，能否等于？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1），； （2）①的最小值为；②． 【解析】 【分析】（1）先求出直线的解析式，再求两直线交点坐标即可； （2）①作C点关于x轴的对称点G，连接，则，过点G点作，过点N作，交于H点，则四边形是平行四边形，，根据，，求出，则的最小值为的长； ②过点C作交于点Q，过C点作轴，过点M作交于E点，过点Q作交于F点，证明，设，则，Q点在直线上，可得，求出m即可求M点坐标． 【小问1详解】 解：将点代入， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴， 当时，解得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①作C点关于x轴的对称点G，连接，则， 过点G点作，过点N作，交于H点， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴由平移可得：， ∵， ∴的最小值为的长， ∵， ∴的最小值为； ②能等于，理由如下： 过点C作交于点Q，过C点作轴，过点M作交于E点，过点Q作交于F点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴直线的解析式为， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、平行四边形的性质、轴对称求最短距离等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质，轴对称求最短距离，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 23. 在矩形中，点E在边上，将线段绕点E顺时针旋转，点A的对应点F恰好落在上． （1）如图1，求证：； （2）连接，作的平分线交于点P，交于点M． ①如图2，判断点P是否为线段的中点，并说明理由； ②如图3，连接交于点N，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①点P为线段的中点，理由见解析，② 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质及旋转的性质，证明，即可得证； （2）①连接，根据题意及角平分线的定义，证明，得到，进而证明，得到，即可解答； ②连接，根据题意及角的等量代换证明，利用解直角三角形及勾股定理求出、、，进而证明，列出比例式，代入、即可解答． 【小问1详解】 证明：∵四边形矩形， ∴，， ∵将线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①点P为线段的中点，理由如下： 如图，连接， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P是线段的中点． ②如图，连接，，，， ∴，， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，角平分线的定义，三角函数的应用，掌握矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$