2.3 一次式 讲义 2025--2026学年沪教版（五四制）六年级数学上册

2025年新六年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题11 一次式 知识点一、一次式的概念 1、项、一次项、一次项的系数与常数项： 代数式5x-3y+4是5.x、-3y和4的和，我们把5x、-3y、4称作代数式5-3y+4的项. 5. x、-3y只含有一个字母，且字母的指数是1,叫作一次项.不含字母的项叫作常数项，一次项中的数字因数叫作项的数字系数，简称系数. 【注意】x和-x的系数分别是1、一1,而系数 “1”遇常省略不写. 2、 一次式 由一次项与常数项组成，或仅含一次项的代数式叫作一次式. 例-2b、7-、6m+7m、 等都是一次式，但m²、 a-b²、6+3c-c2、-9等都不是一次式. 知识点二、一次式的同类项 1、同类项的概念：一次式5x+3x中的5.x、3x这两项所含字母相同，一次式16S-4S中的16S、-4S这两项所含字母也相同.在一次式中，字母相同的项叫作一次式的同类项，所有常数项都是同类项. 一次式中含字母的同类项可以合并，合并时只要把含字母的同类项的系数相加 2、合并同类项： 一般地，把同类项合并成一项，称为合并同类项. 3、合并同类项方法：合并一次式的同类项时，把含字母的同类项的系数相加所得的结果作为系数，字母不变；常数项直接相加. 知识点三、一次式的加减 数的运算中的去括号方法在一次式中同样适用，即括号前面是“+”号， 去掉括号后，括号内各项都不变；括号前面是“一”号，去掉括号后，括号内各项都变号. 【方法规律】几个一次式相加减，通常用括号把每个一次式括起来，再用加减号连接。 知识点四、数与一次式相乘 一般地，数与一次式相乘，就是用这个数去乘一次式的每一项，再把所得的积相加.在含有字母的项与数相乘时，把这个数与项的系数相乘的积作为字母的系数，字母不变.运算时要注意这个数与项的系数相乘的积的符号. 【方法规律】 式子2×(5a-2)中问的乘号可以省略不写、简记为2(5a-2). 题型1：一次式的概念 【名师点拨】1.不一定只含一个字母，项的次数是1次。2.常数不是一次式。 【例1】在下列代数式中，一次式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次式的定义解决此题 【详解】解：根据单一次式的定义，数字或字母的乘积组成的代数式， ∴一次式是 故选：B 【点睛】本题主要考查一次式的定义，熟练掌握一次式的定义是解决本题的关键 【例2】在下列整式，，，，，8中一次式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查一次式定义，熟记一次式定义是解决问题的关键． 【详解】解：代数式，，，，，8中一次式有，，共3个， 故选：C． 【例3】请写出一个系数是-2025，并且含字母x、y的一次式______． 【答案】-2025x-2025y（答案不唯一） 【分析】根据一次式的定义可知，所求一次式中x和y的指数之和为3，系数为． 【详解】解：根据一次式的系数和次数的定义可知，符合条件的一个一次式为-2025x-2025y（答案不唯一） ， 故答案为：-2025x-2025y（答案不唯一） 【跟踪训练】 1.下列代数式：2、、、、、中，一次式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】数与字母的积的形式的代数式是一次式，单独的一个数或一个字母也是一次式，分母中含字母的不是一次式，可以确定一次式的个数． 【详解】解：2、、、、、，符合一次式的定义是一次式有、共2个． 故选：A． 【点睛】本题考查一次式的定义，较为简单，要准确掌握定义． 2.在下列四个代数式中，是一次式的为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用一次式的定义逐项进行判断即可得到答案． 【详解】解：A.是一次式，故A正确，符合题意； B.，是5次一次式，故B错误，不符合题意； C.，2次式，故C错误，不符合题意； D.，是2次式，故D错误，不符合题意； 故选：A． 3．下列说法中，正确的是（ ） （A）8是一次式； （B）不是一次式； （C）是一次式； （D）是一次式． 【答案】C 3.请你写出一个含有字母m，n的一次式，使它的系数为分别为﹣2、3．可列式为_____． 【答案】﹣2m+3n+2（答案不唯一） 题型2：一次项的系数与常数项 【名师点拨】只含有一个字母，且字母的指数是1,叫作一次项.不含字母的项叫作常数项，一次项中的数字因数叫作项的数字系数，简称系数.系数包括前面符号。 【例4】指出一次式5m--8中的一次项、常数项及一次项的系数 【答案】解：一次式5m--8中的一次项是5m和-，常数项是-8,其中 一次项的系数分别是5、- 【例5】一次式的项数和常数项分别是________ 【答案】3，-7 【跟踪训练】 1.一次式的项数和常数项分别是________ 【答案】3,-6 2.下列说法错误的是 （    ） A． 的一次项是2x，-3y B．是一次式 C． 的系数是 D．不是一次式 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次式、一次式的项，一次项的系数，不含字母的项叫做常数项．一次式中次数最高的项的次数叫做一次式的次数．正确掌握相关定义是解题关键． 【详解】A． 的一次项是2x，-3y 正确，故此选项不合题意； B．是一次式 不是一次式，正确，故此选项不符合题意； C． 的系数是 ，正确，故此选项不合题意； D．不是一次式，是一次式错误，故此选项符合题意，； 故选：D． 3.下列说法正确的是（　　） A．的系数是 B． 不是一次式 C． 的常数项是 D．是一次式 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次式、一次式的项，一次项的系数，不含字母的项叫做常数项．一次式中次数最高的项的次数叫做一次式的次数．正确掌握相关定义是解题关键． 【详解】解：由题意可得， 的系数是，故A选项错误，不符合题意， B． 是一次式，故B选项错误，不符合题意， 的常数项是，故C选项错误，不符合题意， 是一次式，故D正确，符合题意， 故选：D． 4.一次式中的常数项是________． 【答案】-1 【分析】先化简一次式，然后再根据常数项的定义解答即可． 【详解】解：∵= ∴该一次式的常数项为-1． 故填：-1． 【点睛】本题主要考查了一次式，正确化简一次式成为解答本题的关键． 题型3：同类项 【名师点拨】1.判断同类项要理解两个“相同”,两个“无关”. 两个“相同”是指:①所含字母相同;②相同字母的指数分别相同，这两个条件缺一不可.两个“无关”是指:①与系数无关;②与字母的排列顺序也无关. 2.单独的一项不能说是同类项，至少应对两项而言。 【例6】下列代数中，－x的同类项是（ ） （A）－2x； （B）－mx； （C）3x2； （D）. 【答案】A 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，依次进行判断即可． 【例7】判断下列各组一次式是不是同类项： (1)2和b； (2)－2和5； (3)与(4)2a和3b 【答案】(1)不是(2)是(3)是(4)不是 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，依次进行判断即可． 【详解】（1）2和b中，一个是数字，一个是字母，故不是同类项； （2）-2和5，都是数字是同类项； （3） 与，所含字母不同，不是同类项，故本选项不符合题意； （4）2a与3b中所含字母不同，故不是同类项． 【点睛】本题主要考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 【例7】若一次式与是同类项，则＝（ ） （A）1； （B）2； （C）0； （D）. 【答案】C 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，依次进行判断即可． 【跟踪训练】 1．在一次式中，________________叫做一次式的同类项．_________都是同类项． 【答案】字母相同的项．所有常数项． 2．若一次式－am与2a|n|是同类项，则nm的值为_____________． 【答案】1或-1 3.指出下列一次式中的同类项. （1）-5x＋8y-4x； （2）8b-5-6a＋； （3）7m＋4n-3-m-6n＋5. 题型4：合并同类项 【名师点拨】1.合并同类项的法则：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变 2.步骤：(1)找:准确找出同类项,这实际上是把给出的一次式进行分类通常在同类项的下面作上相同的标记 (2)移:运用加法交换律和结合律,交换各项的顺序,将同类项写在一起,交换时注意连同各项的符号一起交换 (3)合并:利用法则“字和字母的指数不变系数相加”合并同类项 【例8】判断下列代数式的化简是否正确，正确的在括号里打“√”，错误的在括号里打“×”，并说明错误可能产生的原因： （1） 8－6x＝2x； ( ) （2）－2y＋2y＝－4y ； ( ) （3）3m＋4n＝7mn； ( ) （4）4m＋4m＝16m. ( ) 【答案】（1）× （2） × （3） × （4）× 【例9】化简下列一次式： （1）7m－2－7n＋3m； （2） 解：（1）7m－2－7n＋3m=10m-7n-2 (2)=-6 【例10】指出并合并一次式7m+4n-3-m-6n+5中的同类项. 【答案】解：一次式7m+4n-3-m-6m+5中，7m和-m是同类项，4n和-6n是同类项，-3和5是同类项 因为7m+4n-3-m-6n+5就是7m、4n、-3、-m、-6n、5的和， 所以根据加法的交换律和结合律，得 7m+4n-3-m-6n+5 =7m-m+4n-6n-3+5(加法交换律) =(7m—m)+(4n-6n)+(-3+5)(加法结合律) =(7-1)m+(4-6)n+2(合并同类项) =6m-2n+2. 【跟踪训练】 1.下列运算正确的是 （          ）． A． B． A． B． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项的运算法则逐项判断即可得解，熟练掌握合并同类项的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意； D、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 2．下列各式中，合并同类项正确的是 （ ） （A）2a＋3a=6a； （B）5x－2x=3x； （C）2m＋2n=2mn； （D）y－(－y)=0. 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项的运算法则逐项判断即可得解，熟练掌握合并同类项的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意； D、y－(－y)=2y，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 3．计算：（1）．（2）（1）2m＋5m（2）－6b＋2b 【详解】（1）， （2）． （3）2m＋5m=7m （4）－6b＋2b=-b 4．化简下列一次式： （1）5x＋2－3x＋7y （2）4x－7y －6＋5y－2x－1 （3） （4） 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项的运算法则逐项判断即可得解，熟练掌握合并同类项的运算法则是解此题的关键． 题型5：一次式加减与求值 【名师点拨】去括号法则 括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号,括号里的各项不变号.例如a+(b+c-d)=a+b+c-d. 括号前面是“-”号去掉“－”号和括号，括号里的各项都变号.例如a-(b+c-d)=a-b-c+d. 【例11】下列变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去括号的法则，逐个分析判断即可． 【详解】解：A. ，该选项正确，符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了去括号法则，理解并掌握去括号法则是解题关键． 【例12】去括号：－（x－1），结果正确的是（ ） （1） x－1； （B）x＋1； （C）－x－1； （D）－x＋1. 【答案】D 【例13】计算（1.5x－1）＋（2x＋6）和（2x＋6）－（1.5x－1） 【分析】你发现了什么？有同类项，可以合并同类项 如何合并同类项？去括号后，合并同类项 数的运算中的去括号方法在一次式中还适用吗？ 数的运算中的去括号方法在一次式中同样适用，即括号前面是“＋”号，去掉括号后，括号内各项都不变；括号前面是“－”号，去掉括号后，括号内各项都变号．如下所示，根据去括号方法，我们可以分别求出（1.5x－1）＋（2x＋6）和（2x＋6）－（1.5x－1）的结果． （1.5x－1）＋（2x＋6）＝1.5x－1＋2x＋6＝3.5x＋5 （2x＋6）－（1.5x－1）＝2x＋6－1.5x＋1＝0.5x＋7 项不变 项不变 正号变负号 负号变正号 【例13】先去括号，再合并同类项： （1）a＋2－（9a－3）； （2）－（6m－8）－（－1＋2m）． 解：(1)a+2—(9a-3) =a+2-9a+3 =-8a+5. （2）—(6m-8)-(-1+2m) = —6m+8+1-2m =—8m+9. 【例14】（1）求一次式2x、3－4x、x＋1的和； （2） 求3m－2n＋1减去m＋n－2的差． 【分析】根据去括号的法则，逐个分析判断即可 问1：如何列式？ 问2：如果不添加括号，那么式子表示的含义与题中的意思相符吗？ 注：几个一次式相加减，通常用括号把每个一次式括起来，再用加减号连接． 【分析】根据去括号的法则，逐个分析判断即可 【例15】当x＝时，求一次式3x－1＋（3x－6）－（－3x＋1）的值． 【跟踪训练】 1. 下列各式中，去括号正确的是（ ） （A） a－(b－c)＝a－b－c； （B）－(a－b＋c )＝ －a＋b－c； （C）7a＋(5b－1)＝7a＋5b＋1； （D）－(a－b)＋(c－1)＝ －a－b＋c－1. 2.下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了去括号的知识，熟记去括号法则是解题的关键． 括号前是“”，去括号后括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，去括号后括号内的各项都改变符号，据此判断． 【详解】解：A、，故该项不正确，不符合题意； B、，此选项符合题意； C、，故该项不正确，不符合题意； D、，故该项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查的是去括号与添括号，掌握去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反是解决此题关键. 3.下列计算对不对？如果不对，应怎样改正？ （1）（m－n）－（2m－1）＝m－n－2m－1＝－m－n－1； （2）（5x－4y）－（－x＋y）＝5x－4y＋x－y＝6x－3y． 通过辨析让学生充分关注去括号后各项的符号是否正确，并再次明确：如果括号前是“－”号，那么去括号时，括号内每一项都要改变符号． 4.化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先去括号，再根据合并同类项法则计算即可． 【详解】解： ，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，是解答本题的关键． 5.化简： ． 【答案】 【分析】按照运算法则先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的加减混合运算．按照运算法则先去括号，再合并同类项即可．熟练掌握法则是解题的关键． 6.先去括号，再合并同类项． （1）（2－6x）＋（3x＋3）；（2）－（5y－10）－（2－2y）． 7.（1）求4x－5与2－y＋6x的和； （2）求5m减去4n－3m＋1的差． 【分析】在根据题意列式的过程中，感受添加必要的括号，体会数学的严谨性． 7. 先化简，再求值：（2x－y）－（x＋y－3），其中x＝1，y＝－1． 【分析】经历求一次式的值时应先考虑化简，再代入求值，体现了化简在求值上的优越性，感受数学式子的简洁美． 8．计算： (1) (2x-3y)-(5x-y). (2) (3a+7)-(17-3a) (3) (x+3)-(y-2x)+(2y-1). (4) 【答案】(1) (2x-3y)-(5x-y)=-3x+2y; (2) (3a+7)-(17-3a)=6a-10 (3) (x+3)-(y-2x)+(2y-1)=3x+y+2 (4)= --x-4 9．已知A=2b-3a, B=2a-3b+1，求： (1)A+B. (2)A-B. 题型6：一次式加减的实际应用 【例16】一个长方形的长是，宽是，则这个长方形的周长为______ ． 【答案】/ 【分析】直接利用长方形的性质表示出周长，进而得出答案． 【详解】解：∵一个长方形的长为，宽为， ∴这个长方形的周长为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键． 【例17】两车相距130km，同时出发，相向而行，甲车的速度是80km/h，乙车的速度是50km/h． （1）用一次式表示经过t（t＜1）h后两车的距离； （2）经过30min，两车的距离是多少？ 【答案】解： （1）根据题意，经过t/h(t<1)后两车的距离为 130- (80t+50t) =130-130t(km). 答：经过th(t<1),两车的距离为（130-130t)km （2）因为30min=h,时， 有130-130t=130-130×=65(km). 答：经过30 min,两车的距离是65 km 【跟踪训练】 1．长方形的长是，宽是，则长方形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示出长方形周长，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：长方形的周长为， 故选：A． 【点睛】此题考查了整式的加减，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，甲的速度为50米/分钟． （1） 如果乙的速度为70米/分钟，甲、乙两人t分钟后相遇，请用含t的代数式表示A、B两地的距离； （2） 如果甲先走4分钟后，乙再以40米/分钟的速度出发，乙出发n分钟后两人相遇． ①请用含n的代数式表示A、B两地的距离； ②相遇时，甲和乙谁走的路程多？多多少？ 【答案】（1）50t+70t; (2)乙，20t 3.将一根长为的铁丝围成一边长为的长方形，将它按如图所示的方式向外等距离扩，得到新的长方形，则这根铁丝需要增加（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意和长方形周长公式求出先长方形的周长，再用先长方形的周长减去原长方形的周长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，得到的新的长方形周长为， ∵， ∴这根铁丝需要增加， 故选C． 【点睛】本题主要考查了整式加减的应用，正确理解题意表示出新长方形的周长是解题的关键． 题型7：数与一次式相乘 【名师点拨】运算时要注意这个数与项的系数相乘的积的符号. 括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号,括号里的各项不变号. 括号前面是“-”号去掉“－”号和括号，括号里的各项都变号. 【例18】 计算： (1)6(m-3); (2)-7(n—3m); (3)-x+2(3x-2); (4)3(2x+1)-2(1-x). 解:(1)6(m-3) =6m+6×(-3) =6m—18. (2)—7(n—3m) =—7n+(-7)×（-3m) =—7n+21m (3)-x+2(3x-2) = -x+6x—4 =5x-4. (4)3(2x+1)-2(1-x) =6x+3-2+2x =8x+1 【例19】下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据去括号法则分别判断即可． 【详解】A．，故原选项错误； B．，故原选项错误； C． ，故原选项正确； D．，故原选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查了去括号，熟练掌握去括号法则是关键．当括号前是“+”号时，去掉括号和前面的“+”号，括号内各项的符号都不变号；当括号前是“－”号时，去掉括号和前面的“－”号，括号内各项的符号都要变号． 【例20】先化简，再求值：，其中x、y符合． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的加减-化简求值，绝对值的非负性，将原式去括号，合并同类项，再由绝对值的非负性求得x，y的值后代入化简结果中计算即可． 【详解】解：原式 =； ∵， ∴，， 解得：，， 原式． 【例21】已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】先根据数轴得到，，，再化简绝对值计算即可． 【详解】由数轴可得，，， ∴ 【点睛】本题考查了根据数轴化简绝对值计算，根据数轴得到，，是解题的关键． 【例22】有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示： 化简代数式：． 【答案】 【分析】先根据各点在数轴上的位置判断出其符号及绝对值的大小，再去括号，合并同类项即可． 【详解】由图可知，， ，，，， 【点睛】本题主要考查了数轴，绝对值的性质，整式的加减，根据数轴上各数的位置，去掉绝对值是解题的关键． 【跟踪训练】 1．去括号：_______． 【答案】/ 【分析】根据去括号法则如果括号前是“”，去括号后，括号里的各项都变号，即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，若括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 2．计算，结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接去括号即可作答． 【详解】， 故选：B． 【点睛】本题考查了整式去括号的知识，注意：如果括号前是“负号”，去括号后，括号内的各项均要变号． 3化简的结果为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去括号，合并同类项计算即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 【点睛】本题考查整式运算，涉及去括号、合并同类项等，熟记整式运算法则是解决问题的关键． 4．下列选项中，去括号运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去括号的法则计算即可． 【详解】A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了去括号的法则,熟练掌握法则是解题的关键． 5.下列去括号的变形中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用去括号以及添括号法则，分别判断得出答案． 【详解】解：A、，故此选项正确； B、，故此选项不正确； C. ，正确， D. ，正确； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了去括号，正确掌握相关运算法则是解题关键． 6.计算 （1）， (2）． 解：（1）-3（x-y）+（a-b）=-3x+3y+a-b； （2）， 【点睛】本题主要考查了去括号法则，正确理解去括号法则并注意符号的改变与否是解题的关键． 7.已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，且，b的倒数等于它本身． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1)3 (2)2 【分析】（1）根据数轴说明，互为相反数，，可得，，再整体代入求值即可； （2）先化简绝对值，再把，代入进行计算即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：，， ∴，互为相反数， ∴，， ∵b的倒数等于它本身． ∴， ∴． （2）由数轴可得：，， ∴，，， ∴ ， ∵，， ∴原式． 【点睛】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，相反数的含义，整式的加减运算，求解代数式的值，熟练是化简绝对值是解本题的关键． 题型8：综合提升 【例23】定义一种新运算：，化简代数式的结果为________． 【答案】/ 【分析】根据新定义转化为整式的加减运算求解即可． 【详解】∵， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义，整式的加减，熟练掌握整式的加减法法则是解答本题的关键． 【例24】一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数字是b，把个位和十位上的数对调得到一个新的两位数，则新的两位数与原来的两位数的差为______． 【答案】/ 【分析】十位数字为b，个位数字为a，调换后新的两位数个位b，十位为a，根据数位知识列出原来的和对调后的两位数，再根据题意列式计算． 【详解】解：个位上的数字是a，十位上的数字是b，则原来的数表示为：； 调换后新的两位数个位b，十位为a，则表示为：； 则新数与原数的差为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数位问题，用个位、十位数字表示两位数是解题的关键． 【例25】某客车上原有人，中途有一半人下车，又上来若干人，这时车上共有乘客人，则上车乘客是______人． 【答案】/ 【分析】直接根据整式的加减计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴上车乘客是人， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式加减计算的应用，正确理解题意列出算式是解题的关键． 【例26】如图，将4张形状、大小完全相同的小长方形纸片分别以图1、图2的方式放入长方形ABCD中，若图1中的阴影部分周长比图2的阴影部分周长少1，则图中BE的长为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】设小长方形的长为y，宽为x，用x、y及BE分别表示出图1和图2的周长，根据图1中的阴影部分周长比图2的阴影部分周长少1，即可求解． 【详解】解∶如下图， 设小长方形的长为y，宽为x，则， 图1中阴影部分的周长为：y+2x+y+2x+y+（y-2x）+2x=4y+4x， 图2中阴影部分的周长为：y+2x+（y+BE-2x）+y+2x+y+BE+2x=4y+4x+ 2BE， ∵图1中的阴影部分周长比图2的阴影部分周长少1， ∴4y+4x+ 2BE=4y+4x+1， ∴BE=， 故选：B． 【点睛】此题考查了整式的加减以及一元一次方程，正确地表示出两图中阴影部分的周长是解本题的关键． 【例27】一块地共有亩，其中有亩种粮食，种蔬菜的地的面积是种粮食的地的面积的，剩下的地种树苗，则种树苗的地有多少亩． 【答案】种树苗的地有亩 【分析】根据题意直接列式，再根据整式的加减混合运算法则计算即可． 【详解】根据题意有： ， 答：种树苗的地有亩． 【点睛】本题考查了列代数式以及整式的加减混合运算，明确题意列出代数式，是解答本题的关键． 【例28】如图，用含m，n的代数式表示阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用周长等于各边之和进行计算，即可得出结果． 【详解】解：阴影部分的周长为：； 故选C． 【点睛】本题考查列代数式，正确的识图，是解题的关键． 【例29】如图是某月的月历，任意用“”型框选中个数(如阴影部分所示)，则这个数的和不可能是(   ) 日 一 二 三 四 五 六 A．63 B．70 C．96 D．105 【答案】C 【分析】一设中间的数是x，其余六个数字分别为．则这七个数的和是，因而这七个数的和一定是的倍数． 【详解】解：设中间的数是x，其余六个数字分别为． 则这七个数的和是， 因而这七个数的和一定是的倍数． 则，这七个数的和不可能是． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，解决的关键是观察图形找出数之间的关系，从而找到三个数的和的特点． 【例30】某校决定为体育组添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，在查阅天猫网店后发现足球每个定价140元，跳绳每条定价30元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．A网店：买一个足球送一条跳绳；B网店：足球和跳绳都按定价的付款．已知要购买足球60个，跳绳x条（）． (1)若在A网店购买，需付款 元（用含x的代数式表示）；若在B网店购买，需付款 元（用含x的代数式表示）； (2)若x=100时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？ (3)当x=100时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 【答案】(1)， (2)A网店 (3)省钱的购买方案是：在A网店购买60个足球配送，60个跳绳，再在B网店购买40个跳绳，付款9480元 【分析】本题考查的是列代数式、代数式求值，解题的关键是∶ （1）由题意在A店购买可列式：元；在网店B购买可列式：元； （2）将分别代入A网店，B网店的代数式计算，再比较即可求解； （3）由于A店是买一个足球送跳绳，B店是足球和跳绳都按定价的付款，所以可以在A店买60个足球，剩下的40条跳绳在B店购买即可． 【详解】（1）解：A店购买可列式：元； 在网店B购买可列式：元； 故答案为：，． （2）解：当时， 在A网店购买需付款：（元）， 在B网店购买需付款：（元）， ∵， ∴当时，应选择在A网店购买合算． （3）解：由（2）可知，当时，在A网店付款9600元，在B网店付款10260元， 在A网店购买60个足球配送60个跳绳，再在B网店购买40个跳绳合计需付款： ， ∵， ∴省钱的购买方案是：在A网店购买60个足球配送，60个跳绳，再在B网店购买40个跳绳，付款9480元． 一、选择题 1.（2024-2025普陀区期末）下列各式是一次式的是（    ） A．2x+1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次式的定义：几个一次式的和叫做一次式，每个一次式叫做一次式的项，其中不含字母的项叫做常数项，一次式中次数最高的项的次数叫做一次式的次数，逐项验证即可解答． 【详解】解：A、2x+1是一次式，故此选项符合题意； B、是分式，不是一次式，故此选项不符合题意； C、是分式，不是一次式，故此选项不符合题意； D、是等式，不是一次式，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查一次式的定义，正确把握一次式的定义是解题的关键． 2. （2024-2025崇明区期末）下列说法中错误的是（ ） A. 常数项都是同类项 B. 是一次式 C. 是一次式 D. 的系数是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次式、一次式定义，系数及次数，同类项定义．熟练掌握定义是解题的关键； 本题可根据同类项、一次式与一次式的次数、一次式系数的相关概念，逐一分析选项即可解答． 【详解】解：A．所有常数项都是同类项，因为它们都可以看作是不含字母，次数为0的一次式，故该选项说法正确，不符合题意； B． 是一个常数项，可看作（x为任意字母），它的次数是0，是零次一次式，不是一次式，故该选项说法错误，符合题意； C．在一次式中，每一项a、、、、、6的次数最高为1，所以它是一次式，故该选项说法正确，不符合题意； D．在一次式中，数字因数是，所以它的系数是，故该选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 3.（2022秋·河南周口·七年级校考期中）下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据去括号法则：如果括号前面是正号的话，去括号的时候括号直接去掉，括号内各项不变号，如果括号前面是负号，去括号的时候，括号里面各项都要改变符号，根据去括号的法则逐一分析即可． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是去括号，掌握去括号的法则并准确的应用是解本题的关键． 4. （2024-2025宝山实验学校期末）于代数式，下列说法中正确的是（　　） A. 它的一次项系数是 B. 它的常数项是 C. 它是一个一次式 D. 它是一个一次项 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查了一次式的概念，熟练掌握一次式的项数和次数是关键．根据整式的相关概念逐项分析判断即可． 【解答】解：， A、一次式一次项系数是，不符合题意； B、一次式的常数项是，不符合题意； C、一次式是一次式，符合题意； D、它是一次二项式，不符合题意； 故选：C． 5．如图1，将一个边长为m的正方形纸片剪去两个小长方形，得到一个“S”图案，如图2所示，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图3所示，则新长方形的周长可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意找出新长方形的长与宽，进而表示出周长即可． 【详解】解：根据题意得：新长方形的长为，宽为， 则新长方形的周长为． 故选：A． 【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6. 规定一种运算：a※b＝(a＋b) －(a－b)，其中a、b为有理数．那么a※b－[(b－a)※b]＝（ ） （A）2b； （B）2a； （C）0； （D）－2a. 【答案】B 【详解】a※b－[(b－a)※b]＝（a+b)-(a-b)-[(b-a+b)-(b-a-b)] =(a+b)-(a-b)-[(2b-a)+a] =a+b-a+b-2b=2a 二、填空题 7. （2024-2025下松江区期末）一次式中，一次项的系数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次式的系数， 根据一次式的系数的定义解答即可，即一次式中的数字因数叫做一次式的系数． 【详解】解：一次式的系数是． 故答案为：． 8. （2024-2025杨浦区期末）一次式中的一次项的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次式的定义，几个一次式的和（或者差）叫做一次式，一次式中每个一次式叫做一次式的项，这些一次式中的最高项项次数，就是这个一次式的次数．一次项中的数字因数就是一次项的系数． 根据一次式的概念即可得到答案． 【详解】解：中的一次项是，系数是， 故答案为： ． 9. （2024-2025徐汇区期末）计算：______． 【答案】 10.（2024-2025松江区期末）去括号： －(x－2y) －(3m－4n)＝__________； 【答案】-x+2y-3m+4n 11. （2024-2025宝山区期末）化简： (－5y－2) －＝___________． 【答案】-y- 12. （2024-2025杨浦区期末）2x减去的差是________________． 【答案】x 13. （2024-2025青浦区期末）若x－2y＝3，则4y－2x－5的值是____________． 【答案】-11 14. （2024-2025浦东新区期末）已知x<1，化简：＝___________． 【答案】-1 15. （2024-2025普陀区期末）下列各组式子：①a－b与－a－b，②a＋b与－a－b，③a＋1与1－a，④－a＋b与a－b，其中互为相反数的有___________． 【答案】 16. （2024-2025杨浦区期末）如果一个一次式与的和是，那么这个一次式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 根据整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为： ． 17. （2025嘉定区六年级期末）已知，那么__． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握整式的加减法则．利用整体代入的思想求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：2024． 18. （2024-2025杨浦区期末）现有两个一次式，它们同时满足下述三个条件：①一次式中的字母均只含一个，为字母；②一次项的系数互为相反数；③这两个一次式的和为，这两个一次式可以是______．（写出满足条件的一组即可） 【答案】和（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次式的定义，相反数，一次式的加减运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一次式的定义，一次式的加减运算，即可得到答案． 【详解】解：设两个一次式分别是， ∴， ∴， ∴这两个一次式为和， 故答案为：和（答案不唯一） ． 3、 解答题 19. （2024-2025宝山实验学校期末）化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，即可得到结果； （2）先去括号，再合并同类项，即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. （2024-2025徐汇区期末）计算： 【24题答案】 【答案】 21. （2024-2025崇明区期末）已知：，求 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式加减，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．根据整式加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 22. （2024-2025崇明区期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．先根据整式加减运算法则进行化简，然后再把数据代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 23. （2024-2025下奉贤区期末）先化简，再求值.，其中，. 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先去括号再合并同类项，最后代数求值即可． 【详解】解：原式 ， 将，代入， 原式 ； 24．(2024大同中学期末）飞机的无风航速为，风速为．有一架飞机先顺风飞行4h后，又逆风飞行3h． (1)该飞机共飞行了多少千米？ (2)若，求飞机顺风飞行的航程比逆风飞行的航程多多少千米？ 【答案】(1) (2)km 【分析】（1）根据题意列出代数式，然后化简即可； （2）将代入，列式求解即可． 【详解】（1） 答：共飞行 （2） 答：顺风飞行的航程比逆风飞行的航程多km． 【点睛】本题主要考查代数式，整式的加减运算，根据题意列出相应的代数式是解题的关键． 25.（2024-2025正达外国语期末） 已知有理数在数轴上的对应点如图所示． （1）用“”号把连接起来； （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查数轴、绝对值、有理数的大小比较、有理数的加减、整式的加减，利用数形结合思想求解即可． （1）根据数轴上，右边的数大于左边的数求解即可； （2）根据数轴可得到，，，进而利用绝对值的意义化简绝对值，然后整式加减法运算即可求解． 【小问1详解】 解：由数轴，得； 【小问2详解】 解：由数轴，得， ∴，，， ∴ ． 26. （2024-2025下松江区期末）某通讯公司开设了两种通话套餐业务，分别是： ①套餐：用户先缴8元月租，然后每分钟本地通话费用0.2元； ②套餐：用户不用缴纳月租费，每分钟本地通话费用0.3元． （1）设一个月内本地通话时间为分钟，这两种套餐用户每月需缴费用是多少元？（用含的式子表示） （2）一个月内本地通话多少分钟，两种套餐费用相同？ （3）若张阿姨一个月本地通话约120分钟，请你给她提个建议，应选择哪种套餐更合算？请说明理由． 【答案】（1）套餐每月需缴的费用：（元）；套餐每月需缴的费用：（元） （2）80分钟 （3）选择哪种套餐更合算 【解析】 【分析】此题主要考查列代数式和求值，解一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出关系式． （1）根据两种通话套餐业务的计费方式表示即可； （2）根据题意列方程求解即可； （3）将分 别代入和求解后比较即可． 【小问1详解】 解：套餐每月需缴的费用：（元）， 套餐每月需缴的费用：（元）； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：， 答：一个月内本地通话80分钟，两种套餐费用相同； 【小问3详解】 解：当时，套餐每月需缴的费用为：（元）， 当时，B套餐每月需缴的费用为：（元）， ∵， ∴选择哪种套餐更合算． 27. （2024-2025杨浦区期末）数学活动课上，小海利用列表法研究一次式、的值随着的取值的变化情况． … 0 1 2 … … 0 … … 6 3 0 … 根据表格，完成下列问题： （1）表格中的______； （2）从表格中可以发现，当的取值增大时，一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”），一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”）； （3）小海在研究时，得到这样一个结论：“当的值每增加1时，一次式减去一次式的差就增加6”，你同意小海的结论吗？请利用所学知识说明理由． 【答案】（1） （2）增大；减小 （3）同意，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减、代数式求值； （1）将代入即可． （2）根据表格数据分析即可． （3）两个代数式求差，得到，然后判断下结论即可． 【小问1详解】 解：将代入得：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：从表格中可以发现，当x的取值增大时，一次式的值增大，一次式的值减小； 故答案为：增大；减小． 【小问3详解】 解：我同意小海的结论． 理由如下： ∵， 所以当x的值每增加1时，一次式减去一次式的差就增加6． 28.某学校为了全面提高学生的综合素养，开展了音乐、朗诵、舞蹈、美术共四个社团，学生积极参加每个学生限报一项，参加社团的学生共有220人，其中音乐社团有人参加，朗诵社团的人数比音乐社团人数的一半多人，舞蹈社团的人数比朗诵社团人数的2倍少40人． (1)参加朗诵社团有 人，参加舞蹈社团有 人．（用含，的式子表示） (2)求美术社团有多少人？（用含，的式子表示） (3)若，，求美术社团的人数． 【答案】(1)，； (2)； (3)35． 【分析】此题考查了整式的加减混合运算；用代数式表示实际问题中的数量关系；求代数式值的实际应用， （1）结合题意即可写出代数式； （2）根据题意运用社团总人数减去其他社团的人数即可求解； （3）根据题意代入数值即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，参加朗诵社团的人数为人，参加舞蹈社团的人数为人， 故答案为：，； （2）解：参加美术社团的人数为：人， 答：参加美术社团的人数为人； （3）解：当，时， ， 答：美术杜团的人数为人． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新六年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题11 一次式 知识点一、一次式的概念 1、项、一次项、一次项的系数与常数项： 代数式5x-3y+4是5.x、-3y和4的和，我们把5x、-3y、4称作代数式5-3y+4的项. 5. x、-3y只含有一个字母，且字母的指数是1,叫作一次项.不含字母的项叫作常数项，一次项中的数字因数叫作项的数字系数，简称系数. 【注意】x和-x的系数分别是1、一1,而系数 “1”遇常省略不写. 2、 一次式 由一次项与常数项组成，或仅含一次项的代数式叫作一次式. 例-2b、7-、6m+7m、 等都是一次式，但m²、 a-b²、6+3c-c2、-9等都不是一次式. 知识点二、一次式的同类项 1、同类项的概念：一次式5x+3x中的5.x、3x这两项所含字母相同，一次式16S-4S中的16S、-4S这两项所含字母也相同.在一次式中，字母相同的项叫作一次式的同类项，所有常数项都是同类项. 一次式中含字母的同类项可以合并，合并时只要把含字母的同类项的系数相加 2、合并同类项： 一般地，把同类项合并成一项，称为合并同类项. 3、合并同类项方法：合并一次式的同类项时，把含字母的同类项的系数相加所得的结果作为系数，字母不变；常数项直接相加. 知识点三、一次式的加减 数的运算中的去括号方法在一次式中同样适用，即括号前面是“+”号， 去掉括号后，括号内各项都不变；括号前面是“一”号，去掉括号后，括号内各项都变号. 【方法规律】几个一次式相加减，通常用括号把每个一次式括起来，再用加减号连接。 知识点四、数与一次式相乘 一般地，数与一次式相乘，就是用这个数去乘一次式的每一项，再把所得的积相加.在含有字母的项与数相乘时，把这个数与项的系数相乘的积作为字母的系数，字母不变.运算时要注意这个数与项的系数相乘的积的符号. 【方法规律】 式子2×(5a-2)中问的乘号可以省略不写、简记为2(5a-2). 题型1：一次式的概念 【名师点拨】1.不一定只含一个字母，项的次数是1次。2.常数不是一次式。 【例1】在下列代数式中，一次式的是（    ） A． B． C． D． 【例2】在下列整式，，，，，8中一次式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个，， 【例3】请写出一个系数是-2025，并且含字母x、y的一次式______． 【跟踪训练】 1.下列代数式：2、、、、、中，一次式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2.在下列四个代数式中，是一次式的为（  ） A． B． C． D． 3．下列说法中，正确的是（ ） （A）8是一次式； （B）不是一次式； （C）是一次式； （D）是一次式． 3.请你写出一个含有字母m，n的一次式，使它的系数为分别为﹣2、3．可列式为____ 题型2：一次项的系数与常数项 【名师点拨】只含有一个字母，且字母的指数是1,叫作一次项.不含字母的项叫作常数项，一次项中的数字因数叫作项的数字系数，简称系数.系数包括前面符号。 【例4】指出一次式5m--8中的一次项、常数项及一次项的系数 【例5】一次式的项数和常数项分别是________ 【跟踪训练】 1.一次式的项数和常数项分别是________ 2.下列说法错误的是 （    ） A． 的一次项是2x，-3y B．是一次式 C． 的系数是 D．不是一次式 3.下列说法正确的是（　　） A．的系数是 B． 不是一次式 C． 的常数项是 D．是一次式 4.一次式中的常数项是________． 题型3：同类项 【名师点拨】1.判断同类项要理解两个“相同”,两个“无关”. 两个“相同”是指:①所含字母相同;②相同字母的指数分别相同，这两个条件缺一不可.两个“无关”是指:①与系数无关;②与字母的排列顺序也无关. 2.单独的一项不能说是同类项，至少应对两项而言。 【例6】下列代数中，－x的同类项是（ ） （A）－2x； （B）－mx； （C）3x2； （D）. 【例7】判断下列各组一次式是不是同类项： (1)2和b； (2)－2和5； (3)与(4)2a和3b 【例7】若一次式与是同类项，则＝（ ） 【跟踪训练】 1．在一次式中，________________叫做一次式的同类项．_________都是同类项． 2．若一次式－am与2a|n|是同类项，则nm的值为_____________． 3.指出下列一次式中的同类项. （1）-5x＋8y-4x； （2）8b-5-6a＋； （3）7m＋4n-3-m-6n＋5. 题型4：合并同类项 【名师点拨】1.合并同类项的法则：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变 2.步骤：(1)找:准确找出同类项,这实际上是把给出的一次式进行分类通常在同类项的下面作上相同的标记 (2)移:运用加法交换律和结合律,交换各项的顺序,将同类项写在一起,交换时注意连同各项的符号一起交换 (3)合并:利用法则“字和字母的指数不变系数相加”合并同类项 【例8】判断下列代数式的化简是否正确，正确的在括号里打“√”，错误的在括号里打“×”，并说明错误可能产生的原因： （1） 8－6x＝2x； ( ) （2）－2y＋2y＝－4y ； ( ) （3）3m＋4n＝7mn； ( ) （4）4m＋4m＝16m. ( ) 【例9】化简下列一次式： （1）7m－2－7n＋3m； （2） 【例10】指出并合并一次式7m+4n-3-m-6n+5中的同类项. 【跟踪训练】 1.下列运算正确的是 （          ）． A． B． A． B． 2．下列各式中，合并同类项正确的是 （ ） （A）2a＋3a=6a； （B）5x－2x=3x； （C）2m＋2n=2mn； （D）y－(－y)=0. 3．计算：（1）．（2）（1）2m＋5m（2）－6b＋2b 4．化简下列一次式： （1）5x＋2－3x＋7y （2）4x－7y －6＋5y－2x－1 （3） （4） 题型5：一次式加减与求值 【名师点拨】去括号法则 括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号,括号里的各项不变号.例如a+(b+c-d)=a+b+c-d. 括号前面是“-”号去掉“－”号和括号，括号里的各项都变号.例如a-(b+c-d)=a-b-c+d. 【例11】下列变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例12】去括号：－（x－1），结果正确的是（ ） （1） x－1； （B）x＋1； （C）－x－1； （D）－x＋1. 【例13】计算（1.5x－1）＋（2x＋6）和（2x＋6）－（1.5x－1） 【例13】先去括号，再合并同类项： （1）a＋2－（9a－3）； （2）－（6m－8）－（－1＋2m）． 【例14】（1）求一次式2x、3－4x、x＋1的和； （2） 求3m－2n＋1减去m＋n－2的差． 【例15】当x＝时，求一次式3x－1＋（3x－6）－（－3x＋1）的值． 【跟踪训练】 1. 下列各式中，去括号正确的是（ ） （A） a－(b－c)＝a－b－c； （B）－(a－b＋c )＝ －a＋b－c； （C）7a＋(5b－1)＝7a＋5b＋1； （D）－(a－b)＋(c－1)＝ －a－b＋c－1. 2.下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 3.下列计算对不对？如果不对，应怎样改正？ （1）（m－n）－（2m－1）＝m－n－2m－1＝－m－n－1； （2）（5x－4y）－（－x＋y）＝5x－4y＋x－y＝6x－3y． 4.化简的结果为（   ） A． B． C． D． 5.化简： ． 6.先去括号，再合并同类项． （1）（2－6x）＋（3x＋3）；（2）－（5y－10）－（2－2y）． 7.（1）求4x－5与2－y＋6x的和； （2）求5m减去4n－3m＋1的差． 8．计算： (1) (2x-3y)-(5x-y). (2) (3a+7)-(17-3a) (3) (x+3)-(y-2x)+(2y-1). (4) 9．已知A=2b-3a, B=2a-3b+1，求： (1)A+B. (2)A-B. 题型6：一次式加减的实际应用 【例16】一个长方形的长是，宽是，则这个长方形的周长为______ ． 【例17】两车相距130km，同时出发，相向而行，甲车的速度是80km/h，乙车的速度是50km/h． （1）用一次式表示经过t（t＜1）h后两车的距离； （2）经过30min，两车的距离是多少？ 【跟踪训练】 1．长方形的长是，宽是，则长方形的周长是（    ） A． B． C． D． 2．甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，甲的速度为50米/分钟． （1） 如果乙的速度为70米/分钟，甲、乙两人t分钟后相遇，请用含t的代数式表示A、B两地的距离； （2） 如果甲先走4分钟后，乙再以40米/分钟的速度出发，乙出发n分钟后两人相遇． ①请用含n的代数式表示A、B两地的距离； ②相遇时，甲和乙谁走的路程多？多多少？ 3.将一根长为的铁丝围成一边长为的长方形，将它按如图所示的方式向外等距离扩，得到新的长方形，则这根铁丝需要增加（　　） A． B． C． D． 题型7：数与一次式相乘 【名师点拨】运算时要注意这个数与项的系数相乘的积的符号. 括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号,括号里的各项不变号. 括号前面是“-”号去掉“－”号和括号，括号里的各项都变号. 【例18】 计算： (1)6(m-3); (2)-7(n—3m); (3)-x+2(3x-2); (4)3(2x+1)-2(1-x). 【例19】下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【例20】先化简，再求值：，其中x、y符合． 【例21】已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：． 【例22】有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示： 化简代数式：． 【跟踪训练】 1．去括号：_______． 2．计算，结果是（    ） A． B． C． D． 3化简的结果为（        ） A． B． C． D． 4．下列选项中，去括号运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5.下列去括号的变形中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 6.计算 （1）， (2）． 7.已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，且，b的倒数等于它本身． (1)求的值． (2)求的值． 题型8：综合提升 【例23】定义一种新运算：，化简代数式的结果为________． 【例24】一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数字是b，把个位和十位上的数对调得到一个新的两位数，则新的两位数与原来的两位数的差为______． 【例25】某客车上原有人，中途有一半人下车，又上来若干人，这时车上共有乘客人，则上车乘客是______人． 【例26】如图，将4张形状、大小完全相同的小长方形纸片分别以图1、图2的方式放入长方形ABCD中，若图1中的阴影部分周长比图2的阴影部分周长少1，则图中BE的长为（    ） A． B． C．1 D．2 【例27】一块地共有亩，其中有亩种粮食，种蔬菜的地的面积是种粮食的地的面积的，剩下的地种树苗，则种树苗的地有多少亩 【例28】如图，用含m，n的代数式表示阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【例29】如图是某月的月历，任意用“”型框选中个数(如阴影部分所示)，则这个数的和不可能是(   ) 日 一 二 三 四 五 六 A．63 B．70 C．96 D．105 【例30】某校决定为体育组添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，在查阅天猫网店后发现足球每个定价140元，跳绳每条定价30元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．A网店：买一个足球送一条跳绳；B网店：足球和跳绳都按定价的付款．已知要购买足球60个，跳绳x条（）． (1)若在A网店购买，需付款 元（用含x的代数式表示）；若在B网店购买，需付款 元（用含x的代数式表示）； (2)若x=100时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？ (3)当x=100时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？（2） 一、选择题 1.（2024-2025普陀区期末）下列各式是一次式的是（    ） A．2x+1 B． C． D． 2. （2024-2025崇明区期末）下列说法中错误的是（ ） A. 常数项都是同类项 B. 是一次式 C. 是一次式 D. 的系数是 3.（2022秋·河南周口·七年级校考期中）下列去括号正确的是（    ） A． B． 4. （2024-2025宝山实验学校期末）于代数式，下列说法中正确的是（　　） A. 它的一次项系数是 B. 它的常数项是 C. 它是一个一次式 D. 它是一个 5．如图1，将一个边长为m的正方形纸片剪去两个小长方形，得到一个“S”图案，如图2所示，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图3所示，则新长方形的周长可表示为（　　） A． B． C． D． 6. 规定一种运算：a※b＝(a＋b) －(a－b)，其中a、b为有理数．那么a※b－[(b－a)※b]＝（ ） （A）2b； （B）2a； （C）0； （D）－2a. 二、填空题 7. （2024-2025下松江区期末）一次式中，一次项的系数为________． 8. （2024-2025杨浦区期末）一次式中的一次项的系数是______． 9. （2024-2025徐汇区期末）计算：______． 10.（2024-2025松江区期末）去括号： －(x－2y) －(3m－4n)＝__________； 11. （2024-2025宝山区期末）化简： (－5y－2) －＝___________． 12. （2024-2025杨浦区期末）2x减去的差是________________． 13. （2024-2025青浦区期末）若x－2y＝3，则4y－2x－5的值是____________． 14. （2024-2025浦东新区期末）已知x<1，化简：＝___________． 15. （2024-2025普陀区期末）下列各组式子：①a－b与－a－b，②a＋b与－a－b，③a＋1与1－a，④－a＋b与a－b，其中互为相反数的有___________． 16. （2024-2025杨浦区期末）如果一个一次式与的和是，那么这个一次式是______． 17. （2025嘉定区六年级期末）已知，那么__． 18. （2024-2025杨浦区期末）现有两个一次式，它们同时满足下述三个条件：①一次式中的字母均只含一个，为字母；②一次项的系数互为相反数；③这两个一次式的和为，这两个一次式可以是______．（写出满足条件的一组即可） 3、 解答题 19. （2024-2025宝山实验学校期末）化简： （1）；（2）． 20. （2024-2025徐汇区期末）计算： 21. （2024-2025崇明区期末）已知：，求 23. （2024-2025崇明区期末）先化简，再求值：，其中． 24. （2024-2025下奉贤区期末）先化简，再求值.，其中，. 25．(2024大同中学期末）飞机的无风航速为，风速为．有一架飞机先顺风飞行4h后，又逆风飞行3h． (1)该飞机共飞行了多少千米？ (2)若，求飞机顺风飞行的航程比逆风飞行的航程多多少千米 26.（2024-2025正达外国语期末） 已知有理数在数轴上的对应点如图所示． （1）用“”号把连接起来； （2）化简： 27. （2024-2025下松江区期末）某通讯公司开设了两种通话套餐业务，分别是： ①套餐：用户先缴8元月租，然后每分钟本地通话费用0.2元； ②套餐：用户不用缴纳月租费，每分钟本地通话费用0.3元． （1）设一个月内本地通话时间为分钟，这两种套餐用户每月需缴费用是多少元？（用含的式子表示） （2）一个月内本地通话多少分钟，两种套餐费用相同？ （3）若张阿姨一个月本地通话约120分钟，请你给她提个建议，应选择哪种套餐更合算？请说明理由． 28. （2024-2025杨浦区期末）数学活动课上，小海利用列表法研究一次式、的值随着的取值的变化情况． … 0 1 2 … … 0 … … 6 3 0 … 根据表格，完成下列问题： （1）表格中的______； （2）从表格中可以发现，当的取值增大时，一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”），一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”）； （3）小海在研究时，得到这样一个结论：“当的值每增加1时，一次式减去一次式的差就增加6”，你同意小海的结论吗？请利用所学知识说明理由． 29..某学校为了全面提高学生的综合素养，开展了音乐、朗诵、舞蹈、美术共四个社团，学生积极参加每个学生限报一项，参加社团的学生共有220人，其中音乐社团有人参加，朗诵社团的人数比音乐社团人数的一半多人，舞蹈社团的人数比朗诵社团人数的2倍少40人． (1)参加朗诵社团有 人，参加舞蹈社团有 人．（用含，的式子表示） (2)求美术社团有多少人？（用含，的式子表示） (3)若，，求美术社团的人数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$