专项巩固训练试卷（3）配方法的七种应用-2025-2026学年苏科版数学九年级上册（章节测试卷+专项训练卷+期中期末卷）

专项巩固训练试卷（3）配方法的七种应用 类型一 判断代数式的正负 1．（2024春•湘乡市期末）若x为任意有理数，则多项式4x﹣4﹣x2的值（　　） A．一定为正数 B．一定为负数 C．不可能为正数 D．可能为任意有理数 2．（2021秋•鄞州区校级月考）若M＝3x2﹣8xy+9y2﹣4x+6y+14（x，y是实数），则M的值一定是（　　） A．0 B．负数 C．正数 D．整数 类型二 比较大小 3．已知Pm﹣1，Q＝m2m（m为任意实数），试比较P、Q的大小关系． 4．已知M＝2x2﹣2x+3，N＝4x2﹣3x+4，请比较M和N的大小． 类型三 求代数式的值 5．已知a，b，c满足4a2﹣12a+b2+2b+c2﹣4c+14＝0，则a2+b2+c2等于（　　） A． B． C．14 D．2022 6．若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，求x2的值． 类型四 求代数式的最值 7．（2024秋•武清区期中）已知实数m，n满足m﹣n2＝1，则代数式2m2﹣2n2+4m﹣1的最小值等于　 　 ． 8．（2024•满洲里市模拟）已知a≥2，m2﹣2am+2＝0，n2﹣2an+2＝0（m≠n），则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（　　） A．6 B．3 C．﹣3 D．0 9．（2022秋•浉河区校级月考）当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（　　） A．或 B．或2 C．或或 D．或或或2 10．（2024秋•乐陵市期末）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式x2±2xy+y2＝（x±y）2及（x±y）2的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1． ∵（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0， ∴（x+2）2+1≥1∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）当x＝ 　 　 时，代数式x2﹣6x+10有最小值；最小值是 　 　 ； 又如探求多项式2x2+12x﹣4的最大（小）值时，我们可以这样处理： 解：原式＝2（x2+6x﹣2）＝2（x2+6x+9﹣9﹣2）＝2[（x+3）2﹣11]＝2（x+3）2﹣2，因为无论x取什么数，都有（x+3）2的值为非负数，所以（x+3）2的最小值为0，此时x＝﹣3，进而2（x+3）2﹣22的最小值是2×0﹣22＝﹣22，所以当x＝﹣3时，原多项式的最小值是﹣22． 解决问题：请根据上面的解题思路，探求： （2）多项式3x2﹣6x+18的最小值是多少，并写出对应的x的取值． （3）多项式﹣x2﹣2x+3的最大值是多少，并写出对应的x的取值． （4）求代数式a2﹣4a+b2﹣6b﹣15的最小值，并求出此时的a，b的值． 类型五 因式分解 11．（2024春•雁塔区校级月考）阅读下面的材料，然后解决问题： 苏菲•热门，19世纪法国数学家，他在数学研究上造诣颇深．下面是他写的数学著作中的一个问题：因式分解x4+4时，因为该式只有两项，而且属于平方和的形式，即（x2）2+22，所以要使用公式就必须添加一项4x2，同时减去4x2，即x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）．人们为了纪念苏菲•热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”．请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解： （1）x4+4y4； （2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab； （3）x3+2x2﹣5x﹣6． 类型六 双重根式的化简 12．化简：（1）2+2的结果是 　 ． 类型七 与判别式的综合运用 13．设关于x的一元二次方程x2+2（1+a）x+（3a2+4ab+4b2+2）＝0有实根，求a、b的值． 14．已知a，b，c为三角形的三边长，且关于x的方程bx2+（a+b）x+a＝0有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项巩固训练试卷（3）配方法的七种应用 类型一 判断代数式的正负 1．（2024春•湘乡市期末）若x为任意有理数，则多项式4x﹣4﹣x2的值（　　） A．一定为正数 B．一定为负数 C．不可能为正数 D．可能为任意有理数 【分析】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：4x﹣4﹣x2 ＝﹣x2+4x﹣4 ＝﹣（x2﹣4x+4） ＝﹣（x﹣2）2≤0 则多项式4x﹣4﹣x2的值不可能为正数， 故选：C． 【点睛】本题考查的是配方法的应用、偶次方的非负性，掌握配方法的一般步骤是解题的关键． 2．（2021秋•鄞州区校级月考）若M＝3x2﹣8xy+9y2﹣4x+6y+14（x，y是实数），则M的值一定是（　　） A．0 B．负数 C．正数 D．整数 【分析】本题可将M进行适当变形，将M的表达式转换为几个完全平方式的和，然后根据非负数的性质来得出M的取值范围． 【详解】解：M＝3x2﹣8xy+9y2﹣4x+6y+14 ＝（x2﹣4x+4）+（y2+6y+9）+2（x2﹣4xy+4y2）+1 ＝（x﹣2）2+（y+3）2+2（x﹣2y）2+1＞0． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，将M的表达式根据完全平方公式的特点进行变形是解答本题的关键． 类型二 比较大小 3．已知Pm﹣1，Q＝m2m（m为任意实数），试比较P、Q的大小关系． 【分析】分析题意，要判断P与Q的大小关系，可利用作差法进行比较；由题意可得Q﹣P＝m2﹣m+1，对所得代数式进行配方，接下来利用完全平方式的非负性，即可判断出P与Q的大小关系． 【详解】解：由Q﹣P，得： m2﹣m+1， 配方，得： （m）2， 由（m）2≥0，得： （m）20， 由此可得： Q﹣P＞0， 所以P＜Q． 【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 4．已知M＝2x2﹣2x+3，N＝4x2﹣3x+4，请比较M和N的大小． 【分析】把M与N代入M﹣N中，去括号合并后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质判断差的正负，即可确定出M与N的大小． 【详解】解：∵M＝2x2﹣2x+3，N＝4x2﹣3x+4， ∴M﹣N＝（2x2﹣2x+3）﹣（4x2﹣3x+4） ＝2x2﹣2x+3﹣4x2+3x﹣4 ＝﹣2x2+x﹣1 ＝﹣2（x）20， ∴M＜N． 【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 类型三 求代数式的值 5．已知a，b，c满足4a2﹣12a+b2+2b+c2﹣4c+14＝0，则a2+b2+c2等于（　　） A． B． C．14 D．2022 【分析】将4a2﹣12a+b2+2b+c2﹣4c+14＝0，整理，得（b+1）2+（2a﹣3）2+（c﹣2）2＝0，即可得到b＝﹣1，a，c＝2，再代入计算即可． 【详解】解：∵4a2﹣12a+b2+2b+c2﹣4c+14＝0，整理，得（b2+2b+1）+（4a2﹣12a+9）+（c2﹣4c+4）＝0， ∴（b+1）2+（2a﹣3）2+（c﹣2）2＝0， ∴b＝﹣1，a，c＝2， ∴a2+b2+c2＝（﹣1）2+（）2+22， 故选：B． 【点睛】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质，正确将多项式合理变形是解题的关键． 6．若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，求x2的值． 【分析】先将已知等式两边都除以x得出x﹣20，据此知x2，再两边平方可得x2﹣28，从而得出答案． 【详解】解：∵x2﹣2x﹣1＝0， ∴x﹣20， 则x2， ∴x2﹣28， 则x210． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的性质和完全平方公式． 类型四 求代数式的最值 7．（2024秋•武清区期中）已知实数m，n满足m﹣n2＝1，则代数式2m2﹣2n2+4m﹣1的最小值等于　5　 ． 【分析】把m﹣n2＝1变形为n2＝m﹣1，代入所求式子，根据配方法进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：∵m﹣n2＝1， ∴n2＝m﹣1， m≥1， ∴2m2﹣2n2+4m﹣1 ＝2m2﹣2m+2+4m﹣1 ＝2（m）2 ∵（m）2≥0， ∴当m＝1时，原式的最小值是5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是解题的关键，注意偶次方的非负性的应用． 8．（2024•满洲里市模拟）已知a≥2，m2﹣2am+2＝0，n2﹣2an+2＝0（m≠n），则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（　　） A．6 B．3 C．﹣3 D．0 【分析】根据题意和根与系数的关系，可以求得m+n和mn的值，从而可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵m2﹣2am+2＝0，n2﹣2an+2＝0（m≠n）， ∴m，n是方程x2﹣2ax+2＝0的两个根， ∴m+n＝2a，mn＝2， ∴（m﹣1）2+（n﹣1）2 ＝m2﹣2m+1+n2﹣2n+1 ＝（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2 ＝4a2﹣2×2﹣2×2a+2 ＝4a2﹣4a﹣2 ＝（2a﹣1）2﹣3， ∵a≥2， ∴（2a﹣1）2﹣3≥6， 即（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是6． 故选：A． 【点睛】本题考查根与系数的关系，解答本题的关键是明确两根之和和两根之积的公式，求出所求式子的值． 9．（2022秋•浉河区校级月考）当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（　　） A．或 B．或2 C．或或 D．或或或2 【分析】联系已知条件，根据对称轴的位置，需分情况讨论求解，可分m＜﹣2，﹣2≤m≤1和m＞1这三种情况，分别进行讨论，求出相应的m的值，问题就可得解． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线x＝m， ①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值， 此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4． 解得m，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在； ②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值， 此时，m2+1＝4． 解得m，m（舍去）； ③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值， 此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4． 解得m＝2． 综上所述，m的值为2或． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象是解题的关键． 10．（2024秋•乐陵市期末）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式x2±2xy+y2＝（x±y）2及（x±y）2的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1． ∵（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0， ∴（x+2）2+1≥1∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）当x＝ 　3　 时，代数式x2﹣6x+10有最小值；最小值是 　1　 ； 又如探求多项式2x2+12x﹣4的最大（小）值时，我们可以这样处理： 解：原式＝2（x2+6x﹣2）＝2（x2+6x+9﹣9﹣2）＝2[（x+3）2﹣11]＝2（x+3）2﹣2，因为无论x取什么数，都有（x+3）2的值为非负数，所以（x+3）2的最小值为0，此时x＝﹣3，进而2（x+3）2﹣22的最小值是2×0﹣22＝﹣22，所以当x＝﹣3时，原多项式的最小值是﹣22． 解决问题：请根据上面的解题思路，探求： （2）多项式3x2﹣6x+18的最小值是多少，并写出对应的x的取值． （3）多项式﹣x2﹣2x+3的最大值是多少，并写出对应的x的取值． （4）求代数式a2﹣4a+b2﹣6b﹣15的最小值，并求出此时的a，b的值． 【分析】（1）依据题意，用配方法把多项式变形成（x﹣3）2+1，然后利用（x﹣3）2是非负数，从而得出原多项式的最小值及对应的x取值． （2）依据题意，先把3x2﹣6x+18变形为3（x﹣1）2+15，然后利用（x﹣1）2是非负数，从而得出原多项式的最小值及对应的x取值． （3）依据题意，先把﹣x2﹣2x+3变形为﹣（x+1）2+4，然后利用（x+1）2是非负数，从而得出原多项式的最大值及对应的x取值． （4）依据题意，由a2﹣4a+b2﹣6b﹣15＝（a﹣2）2+（b﹣3）2﹣28，从而可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意得，x2﹣6x+10＝x2﹣6x+9+1＝（x﹣3）2+1， ∵（x﹣3）2≥0， ∴（x﹣3）2+1≥1， ∴当（x﹣3）2＝0时，（x﹣3）2+1的值最小，最小值是1， ∴x2﹣6x+10的最小值是1． 故答案为：3，1． （2）由题意得，3x2﹣6x+18＝3（x2﹣2x+6）＝3（x2﹣2x+1+5）＝3[（x﹣1）2+5]＝3（x﹣1）2+15， ∵无论x取什么数，都有（x﹣1）2≥0， ∴3（x﹣1）2+15≥15， ∴当x＝1时，3x2﹣6x+18的最小值是15． （3）由题意得，﹣x2﹣2x+3＝﹣（x2+2x﹣3）＝﹣（x2+2x+1﹣1﹣3）＝﹣[（x+1）2﹣4]＝﹣（x+1）2+4， ∵无论x取什么数，都有（x+1）2≥0， ∴﹣（x+1）2≤0， ∴﹣（x+1）2+4≤4， ∴当x＝﹣1时，﹣x2﹣2x+3的最大值是4． （4）由题意得，a2﹣4a+b2﹣6b﹣15＝a2﹣4a+4+b2﹣6b+9﹣28＝（a﹣2）2+（b﹣3）2﹣28． ∵对于任意实数a，b都有（a﹣2）2≥0，（b﹣3）2≥0， ∴a2﹣4a+b2﹣6b﹣15＝（a﹣2）2+（b﹣3）2﹣28≥﹣28． ∴当a＝2，b＝3时，代数式a2﹣4a+b2﹣6b﹣15取最小值，最小值为﹣28． 【点睛】本题主要考查了配方法、非负数的性质，能够类比题中的例子运用配方法将多项式变形，同时利用平方的非负性确定最大值或最小值是解题的关键． 类型五 因式分解 11．（2024春•雁塔区校级月考）阅读下面的材料，然后解决问题： 苏菲•热门，19世纪法国数学家，他在数学研究上造诣颇深．下面是他写的数学著作中的一个问题：因式分解x4+4时，因为该式只有两项，而且属于平方和的形式，即（x2）2+22，所以要使用公式就必须添加一项4x2，同时减去4x2，即x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）．人们为了纪念苏菲•热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”．请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解： （1）x4+4y4； （2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab； （3）x3+2x2﹣5x﹣6． 【分析】（1）原式变形为x4+4x2y2+4y4﹣4x2y2，再利用完全平方公式和平方差公式分解可得； （2）原式变形为x2﹣2ax+a2﹣a2﹣b2﹣2ab，再利用完全平方公式和平方差公式分解可得； （3）原式变形为x3+2x2+x﹣6x﹣6，再进行因式分解即可． 【详解】解：（1）x4+4y4＝x4+4x2y2+4y4﹣4x2y2 ＝（x2+2y2）2﹣（2xy）2 ＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）； （2）原式＝x2﹣2ax+a2﹣a2﹣b2﹣2ab ＝（x﹣a）2﹣（a+b）2 ＝（x﹣a+a+b）（x﹣a﹣a﹣b） ＝（x+b）（x﹣2a﹣b）； （3）原式＝x3+2x2+x﹣6x﹣6 ＝x（x2+2x+1）﹣6（x+1） ＝x（x+1）2﹣6（x+1） ＝（x+1）[x（x+1）﹣6] ＝（x+1）（x2+x﹣6） ＝（x+1）（x﹣2）（x+3）． 【点睛】本题主要考查因式分解，解题的关键是理解题意，灵活运用完全平方公式和平方差公式． 类型六 双重根式的化简 12．化简：（1）2+2的结果是　2　 ． 【分析】利用完全平方公式以及二次根式的性质化简求出即可． 【详解】解：（1）2+2 ＝5+1﹣22 ＝6﹣22（2） ＝6﹣224 ＝2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 类型七 与判别式的综合运用 13．设关于x的一元二次方程x2+2（1+a）x+（3a2+4ab+4b2+2）＝0有实根，求a、b的值． 【分析】利用判别式的意义得到Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，则（a+2b）2+（a﹣1）2≤0，根据非负数的性质得到a+2b＝0，a﹣1＝0，从而可求a、b的值． 【详解】解：根据题意得Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0， 2a2+4ab+4b2﹣2a+1≤0， （a+2b）2+（a﹣1）2≤0， a+2b＝0，a﹣1＝0， 所以a＝1，b． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 14．已知a，b，c为三角形的三边长，且关于x的方程bx2+（a+b）x+a＝0有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状． 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：Δ＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＝0 ∴a＝b ∴该三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$