专项巩固训练试卷（2）换元法把特殊方程化为一元二次方程求解的三种类型-2025-2026学年苏科版数学九年级上册（章节测试卷+专项训练卷+期中期末卷）

专项巩固训练试卷2 换元法把特殊方程化为一元二次方程求解的三种类型 类型一 一元高次方程 1．（2023秋•长治月考）阅读下面的材料： 解方程x4﹣7x2+12＝0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，则x4＝y2． ∴原方程可化为y2﹣7y+12＝0． 解得y1＝3，y2＝4． 当y＝3时，x2＝3，； 当y＝4时，x2＝4，x＝±2． ∴原方程有四个根是，，x3＝2，x4＝﹣2． 以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想． （1）解方程：x4﹣5x2+4＝0，得该方程的解为 　x1＝1，x2＝﹣1，x3＝﹣2，x4＝2　 ； （2）运用上述方法解方程：（x2+2x）2﹣（x2+2x）﹣6＝0． 【分析】（1）设设x2＝y，则x4＝y2，则y2﹣5y+4＝0，整理，得（y﹣1）（y﹣4）＝0，解关于y的一元二次方程，然后解关于x的一元二次方程即可求解； （2）设x2+2x＝y，则 （x2+2x）2＝y2，则y2﹣y﹣6＝0，整理，得（y+2）（y﹣3）＝0，解关于y的一元二次方程，然后解关于x的一元二次方程即可求解． 【详解】解：（1）设x2＝y，则x4＝y2． ∴原方程可化为y2﹣5y+4＝0． 解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2＝1，x＝±1， 当y＝4时，x2＝4，x＝±2． ∴原方程有四个根是x1＝1，x2＝﹣1，x3＝﹣2，x4＝2． 故答案为：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝﹣2，x4＝2； （2）设x2+2x＝y，则 （x2+2x）2＝y2． ∴原方程可化为y2﹣y﹣6＝0， 解得y1＝﹣2，y2＝3． 当y＝﹣2时，x2+2x＝﹣2，即x2+2x+2＝0， Δ＝22﹣4×1÷2＝4﹣8＝﹣4＜0，该方程无实数根． 当y＝3时，x2+2x＝3，x1＝1，x2＝﹣3． ∴原方程有两个根x1＝1，x2＝﹣3． 【点睛】本题考查了根的判别式，换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法以及解一元二次方程的方法是解题的关键． 2．（2024秋•双峰县月考）【阅读理解】为了解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0，我们可以将x2﹣1看作一个整体，设x2﹣1＝y那么原方程可化为y2﹣5y+6＝0①，解得y1＝2，y2＝3． 当y＝2时，x2﹣1＝2，∴x2＝3，∴， 当y＝3时，x2﹣1＝3，∴x2＝4，∴x＝±2， 综上，原方程的解为，，x3＝2，x4＝﹣2． 【方法分析】填空：上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用了换元法达到了 　降次　 的目的，体现数学的 　整体与划归　 思想； 【小试牛刀】请利用以上方法解方程：（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3＝0； 【拓展应用】请你借鉴上述方法利用方程解决问题：已知四个连续的偶数的积是5760，求这四个偶数中最小的偶数． 【分析】【方法分析】题目中的方法用的是换元法，体现了整体与划归的数学思想； 【小试牛刀】令x2+2x＝t，得t2﹣2t﹣3＝0，用因式分解法解方程求出t的值，再求出x的值； 【拓展应用】设最小的偶数为m，则其他四个偶数一次为（m+2），（m+4），（m+6），列方程求解即可． 【详解】解：【方法分析】将x2﹣1设为y，利用了换元法达到了降次的目的，体现了整体与划归的数学思想， 故答案是：降次，整体与划归； 【小试牛刀】令x2+2x＝t，则t2﹣2t﹣3＝0， 解得t1＝3，t2＝﹣1， 当t＝3时，x2+2x＝3， 解得x1＝1，x2＝﹣3， 当t＝﹣1时，x2+2x＝﹣1，x3＝x4＝﹣1， 综上：方程的解是x1＝1，x2＝﹣3，x3＝x4＝﹣1； 【拓展应用】设最小的偶数为m，则其他四个偶数一次为（m+2），（m+4），（m+6）， m（m+2）（m+4）（m+6）＝5760， （m2+6m+8）（m2+6m）﹣5760＝0 设m2+6m＝n，则（n+8）n﹣5760＝0， 解得n＝﹣80或n＝72， 当n＝﹣80时，m2+6m＝﹣80，即m2+6m+80＝0， ∵Δ＜0， ∴m2+6m+80＝0无实数根， 当n＝72时，m2+6m＝72，即m2+6m﹣72＝0， ∴m1＝﹣12，m2＝6， ∴最小的偶数为﹣12或6． 【点睛】本题考查用换元法和因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程的方法． 3．（2024秋•英山县月考）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）＝8． 【分析】先整理得（x2+5x+4）（x2+5x+6）＝8，设x2+5x＝y，原式变为：（y+4）（y+6）＝8，整理得，y2+10y+16＝0，解关于y的方程求得y的值，进而解关于x的方程即可求解． 【详解】解：（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）＝8． 整理得（x2+5x+4）（x2+5x+6）＝8， 设x2+5x＝y， ∴原式变为：（y+4）（y+6）＝8， 整理得，y2+10y+16＝0， （y+2）（y+8）＝0， ∴y1＝﹣2，y2＝﹣8， ∴x2+5x＝﹣2或x2+5x＝﹣8， 当x2+5x＝﹣2， 解得，x1，x2， x2+5x＝﹣8时， ∵△＝25﹣32＝﹣7＜0，所以无解， ∴原方程的解为x1，x2， 【点睛】本题考查了用换元法解方程，它能够把一些方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的方程的特点，寻找解题技巧． 类型二 分式方程 4．（2024•丹阳市一模）用换元法解方程时，设xy，则原方程可化为（　　） A．y2﹣2y﹣3＝0 B．y2﹣2y﹣1＝0 C．y2﹣y﹣1＝0 D．y2﹣2y+3＝0 【分析】本题考查用换元法整理分式方程的能力，关键是利用平方关系寻找与y的关系． 【详解】解：设xy，则有：，所以， 所以方程变形为y2﹣2y﹣3＝0， 故选：A． 【点睛】考查了换元法解分式方程，用换元法解分式方程时一种常用的方法，它能够使方程化繁为简，化难为易，因此对能用此方法解的分式方程的特点应该加以注意，并要能够熟练变形整理． 5．（2024秋•资中县月考）阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：x2﹣3|x|+2＝0． 解：设|x|＝y，则原方程可化为：y2﹣3y+2＝0． 解得：y1＝1，y2＝2． 当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1； 当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2． ∴原方程的解是：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： （1）解方程：x4﹣10x2+9＝0． （2）解方程：1． （3）若实数x满足x23x2，求x的值． 【分析】（1）设x2＝a，则原方程可化为a2﹣10a+9＝0，求得a的值之后，继而可得x2＝1或x2＝9，解之即可； （2）设m，则原方程可化为m1，即m2﹣m﹣2＝0，求得m的值后，即可得1、2，解之即可； （3）设xy，则原方程可化为：y2﹣2﹣3y＝2，即y2﹣3y﹣4＝0，解之求得y之后，即可得． 【详解】解：（1）设x2＝a，则原方程可化为a2﹣10a+9＝0， 即（a﹣1）（a﹣9）＝0， 解得：a＝1或a＝9， 当a＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当a＝9时，x2＝9，∴x＝±3； （2）设m，则原方程可化为m1，即m2﹣m﹣2＝0， ∴（m+1）（m﹣2）＝0， 解得：m＝﹣1或m＝2， 当m＝﹣1时，1，即x2+x+1＝0，由Δ＝1﹣4×1×1＝﹣3＜0知此时方程无解； 当m＝2时，2，即2x2﹣x﹣1＝0，解得：x＝1或x， 经检验x＝1和x都是原分式方程的解； （3）设xy，则原方程可化为：y2﹣2﹣3y＝2，即y2﹣3y﹣4＝0， ∴（y+1）（y﹣4）＝0， 解得：y＝﹣1或y＝4， 即x1（方程无解，舍去）或x4， 故x4． 【点睛】本题主要考查换元法解方程，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换是解题的关键． 6．已知实数x满足x23x8＝0，求x的值． 【分析】将x2变形为2，然后设xt，得到关于t的方程，最后解方程即可． 【详解】解：∵x22， ∴原方程可变形为． 设，则原方程可变形为t2﹣3t﹣10＝0， 解得：t1＝5，t2＝﹣2． ∴或． 【点睛】本题主要考查的是利用换元法解方程，将x2变形为2是解题的关键． 类型三 无理方程 7．（2023春•莱山区期末）阅读下列材料： 解方程：． 分析：我们可以用“换元法”解方程． 解：设 ，则x2+2x＝t2原方程可化为：t2+4t﹣5＝0请你将剩下的解题过程补充完整，并求出x的值． 【分析】设，则原方程化为x2+2x＝t2，求出t2+4t﹣5＝0，求出方程的解，再求出对应的x的值，最后进行检验即可． 【详解】解：， 设，则原方程化为：x2+2x＝t2， 即t2+4t﹣5＝0， 解得：t1＝﹣5，t2＝1， 当t＝﹣5时，5， ∵算术平方根不能为负， ∴此时方程无解； 当t＝1时，1， 方程两边平方得：x2+2x＝1， 即x2+2x﹣1＝0， x1， 经检验：x＝﹣1都是原方程的解， ∴x1＝﹣1，x2＝﹣1． 【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验． 8．阅读下列材料并解决问题． 【提出问题】解方程：x4+2x2﹣3＝0；提示：可以用“换元法”解方程． 解：设x2＝t（t≥0），则原方程可化为t2+2t﹣3＝0，解得t1＝1，t2＝﹣3（舍去），∴x2＝1，x1＝1，x2＝﹣1． 【解决问题】解方程：x2+2x+45＝0． 【分析】先换元，转化为一元二次方程求解． 【详解】解：x2+2x+45＝0， 设y（y≥0），则原方程为y2+4y﹣5＝0， 解得：y1＝1，y2＝﹣5（舍去）， 当y＝1时，1， x2+2x＝1， x2+2x﹣1＝0， b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0， 所以x， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1， 经检验：x1＝﹣1，x2＝﹣1是原方程的解． 【点睛】本题考查方程的解法，换元法和图象法是求解本题的关键． 9．（2023秋•东湖区期中）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值． 【问题】解方程：x2+2x+45＝0． 【提示】可以用“换元法”解方程． 解：设t（t≥0），则有x2+2x＝t2，原方程可化为：t2+4t﹣5＝0． （1）续解： （2）用上面的思想方法解方程：3． 【分析】（1）解一元二次方程后可得1，再求解方程即可； （2）设t，则原方程化为t2﹣3t+2＝0，解得t＝2或t＝1，当t＝1时，1，解得x＝2或x＝﹣1，当t＝2时，2，解得x＝1或x＝1，并对每个根进行检验即可求解． 【详解】解：（1）解：设t（t≥0），则有x2+2x＝t2， ∴原方程可化为：t2+4t﹣5＝0， 解得t＝﹣5（舍）或t＝1， ∴1， ∴x2+2x﹣1＝0， 解得x1或x1； （2）设t， ∴原方程化为t3， ∴t2﹣3t+2＝0， 解得t＝2或t＝1， 当t＝1时，1，解得x＝2或x＝﹣1， 经检验，x＝﹣1或x＝2是方程的解； 当t＝2时，2，解得x＝1或x＝1， 经检验，x＝1或x＝1是方程的解； 综上所述：方程的解为x＝2或x＝﹣1或x＝1或x＝1． 【点睛】本题考查无理方程的解法，熟练掌握换元法解无理方程的方法，注意对所求的根进行检验是解题的关键． 10．（2019秋•盐湖区期末）阅读材料：各类方程的解法 求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想“转化”，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如：解方程． 解：移项，得 两边平方，得 即 两边再平方，得x2﹣20x+100＝4（x+5） 即x2﹣24x+80＝0 解这个方程得：x1＝4，x2＝20． 检验：当x＝4时，原方程左边＝2﹣3＝﹣1，右边＝1， ∴x＝4不是原方程的根； 当x＝20时，原方程左边＝6﹣5＝1，右边＝1， ∴x＝20原方程的根∴原方程的根是x＝20． （1）请仿照上述解法，求出方程的解． （2）如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝16m，宽AB＝6m，小华把一根长为20m的绳子的一端固定在点B，从草坪边沿BA、AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD，DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．则AP＝　8　 m． 【分析】（1）仿照阅读材料，将无理方程化为整式方程即可求解； （2）设AP＝x，则PD＝16﹣x，根据勾股定理列方程，再转化为整式方程即可求解． 【详解】（1）解：移项，得， 方程两边平方，得x2+2x+1＝2x+5，即x2＝4， 解方程，得x＝2或x＝﹣2， 经检验：x＝2是原方程的解， ∴原方程的解是x＝2； （2）设AP＝x，则PD＝16﹣x， 根据题意得：20， ∴20， ∴x2+36＝400﹣40（16﹣x）2+36， ∴582﹣4x， ∴25（16﹣x）2+25×36＝（82﹣4x）2， 化简整理得x2﹣16x+64＝0， 解得x1＝x2＝8， 经检验：x＝8是原方程的解， 故答案为：8． 【点睛】本题考查可转化为一元二次方程的无理方程，解题的关键是读懂阅读材料，将无理方程化为整式方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项巩固训练试卷2 换元法把特殊方程化为一元二次方程求解的三种类型 类型一 一元高次方程 1．（2023秋•长治月考）阅读下面的材料： 解方程x4﹣7x2+12＝0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，则x4＝y2． ∴原方程可化为y2﹣7y+12＝0． 解得y1＝3，y2＝4． 当y＝3时，x2＝3，； 当y＝4时，x2＝4，x＝±2． ∴原方程有四个根是，，x3＝2，x4＝﹣2． 以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想． （1）解方程：x4﹣5x2+4＝0，得该方程的解为 　 　 ； （2）运用上述方法解方程：（x2+2x）2﹣（x2+2x）﹣6＝0． 2．（2024秋•双峰县月考）【阅读理解】为了解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0，我们可以将x2﹣1看作一个整体，设x2﹣1＝y那么原方程可化为y2﹣5y+6＝0①，解得y1＝2，y2＝3． 当y＝2时，x2﹣1＝2，∴x2＝3，∴， 当y＝3时，x2﹣1＝3，∴x2＝4，∴x＝±2， 综上，原方程的解为，，x3＝2，x4＝﹣2． 【方法分析】填空：上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用了换元法达到了 　 　 的目的，体现数学的 　 　 思想； 【小试牛刀】请利用以上方法解方程：（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3＝0； 【拓展应用】请你借鉴上述方法利用方程解决问题：已知四个连续的偶数的积是5760，求这四个偶数中最小的偶数． 3．（2024秋•英山县月考）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）＝8． 类型二 分式方程 4．（2024•丹阳市一模）用换元法解方程时，设xy，则原方程可化为（　　） A．y2﹣2y﹣3＝0 B．y2﹣2y﹣1＝0 C．y2﹣y﹣1＝0 D．y2﹣2y+3＝0 5．（2024秋•资中县月考）阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：x2﹣3|x|+2＝0． 解：设|x|＝y，则原方程可化为：y2﹣3y+2＝0． 解得：y1＝1，y2＝2． 当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1； 当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2． ∴原方程的解是：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： （1）解方程：x4﹣10x2+9＝0． （2）解方程：1． （3）若实数x满足x23x2，求x的值． 6．已知实数x满足x23x8＝0，求x的值． 类型三 无理方程 7．（2023春•莱山区期末）阅读下列材料： 解方程：． 分析：我们可以用“换元法”解方程． 解：设 ，则x2+2x＝t2原方程可化为：t2+4t﹣5＝0请你将剩下的解题过程补充完整，并求出x的值． 8．阅读下列材料并解决问题． 【提出问题】解方程：x4+2x2﹣3＝0；提示：可以用“换元法”解方程． 解：设x2＝t（t≥0），则原方程可化为t2+2t﹣3＝0，解得t1＝1，t2＝﹣3（舍去），∴x2＝1，x1＝1，x2＝﹣1． 【解决问题】解方程：x2+2x+45＝0． 9．（2023秋•东湖区期中）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值． 【问题】解方程：x2+2x+45＝0． 【提示】可以用“换元法”解方程． 解：设t（t≥0），则有x2+2x＝t2，原方程可化为：t2+4t﹣5＝0． （1）续解： （2）用上面的思想方法解方程：3． 10．（2019秋•盐湖区期末）阅读材料：各类方程的解法 求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想“转化”，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如：解方程． 解：移项，得 两边平方，得 即 两边再平方，得x2﹣20x+100＝4（x+5） 即x2﹣24x+80＝0 解这个方程得：x1＝4，x2＝20． 检验：当x＝4时，原方程左边＝2﹣3＝﹣1，右边＝1， ∴x＝4不是原方程的根； 当x＝20时，原方程左边＝6﹣5＝1，右边＝1， ∴x＝20原方程的根∴原方程的根是x＝20． （1）请仿照上述解法，求出方程的解． （2）如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝16m，宽AB＝6m，小华把一根长为20m的绳子的一端固定在点B，从草坪边沿BA、AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD，DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．则AP＝　 m． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$