第2章 对称图形——圆能力提升测试卷（B卷）-2025-2026学年苏科版数学九年级上册（章节测试卷+专项训练卷+期中期末卷）

第2章 对称图形——圆能力提升测试卷（B卷） （时间：90分钟 满分：120分） 一．选择题（共有8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（2024秋•仪征市期末）平面直角坐标系中，点O为原点，若⊙O的半径为5，则点A（3，4）与⊙O的位置关系是（　　） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 2．（2020•南沙区一模）如图，圆O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，∠OAC＝20°，则∠ABC的度数为（　　） A．140° B．110° C．70° D．40° 3．（2023•台湾）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得△ABC的外心为O，求BC的长度为何（　　） A．4 B．5 C． D． 4．（2024秋•睢宁县期中）点P为⊙O内一点，且OP＝3，若⊙O的半径为5，则过点P的弦长不可能为（　　） A．2 B．2 C．9 D．8.5 5．（2024秋•玄武区期末）如图，在⊙O中，AB是直径，直线l与⊙O相切于点C，BD⊥l，垂足为D．若AB＝15，BD＝12，则CD的长为（　　） A．4.8 B．5 C．5.4 D．6 6．（2024秋•徐水区期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，P为BC的中点，连接OA，OP，四边形AOPB的面积为S1，正六边形剩余部分的面积为S2，则（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 7．（2024秋•姜堰区期末）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，，AD，BC相交于点E，若，则，CE，DE围成的图形的阴影面积为（　　） A． B． C． D． 8．（2024秋•河北区期末）如图，点A的坐标是（﹣3，0），点C是以OA为直径的⊙B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P（x，y），则x+y的最大值为（　　） A．3 B． C．6 D． 二．填空题（共有8小题，每小题3分，共24分） 9．（2024秋•沭阳县校级月考）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是 　　 ． 10．（2024•斗门区校级模拟）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为 　　 ． 11．（2024秋•永康市期末）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，且，连接BC，以B为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，若AB＝2，则的长是 　 12．（2024•烟台）如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 　 ． 13．（2023秋•梁溪区校级期末）如图，在⊙O中，AD⊥BC，连接AB、CD，当AB＝2，CD＝6时，则⊙O半径长为 　 ． 14．（2023•襄阳）在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于　 　 °． 15．（2023秋•广元期末）如图，⊙O的半径是4，点A是圆周上一定点，点B在⊙O上运动，且∠ABM＝30°，AC⊥BM，垂足为点C，连接OC，则OC的最小值是 　 ． 16．（2023•南京）如图，⊙O与正六边形ABCDEF的边CD，EF分别相切于点C，F．若AB＝2，则⊙O的半径长为 　 ． 三．解答题（共72分） 17．（2024秋•玄武区期中）如图，AB，AC是⊙O的弦，AB＝AC，OD，OE是⊙O的半径，且AB∥OD，AC∥OE，求证：． 18．（2024秋•文昌期末）如图，AB是半圆O的直径，点D是弦AC延长线上一点，连接BD，BC，∠D＝∠ABC＝60°． （1）求证：BD是半圆O的切线； （2）当CD＝1时，求阴影部分的面积．（结果保留π） 19．（2025•盐山县校级模拟）苏州是一座拥有4000多年历史的文化名城，苏州古城座落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m． （1）求此圆弧形拱桥的半径； （2）若有一艘宽12m的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面3m，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 20．（2024•阳西县一模）综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，AB＝6cm，l＝6cm，C是PB的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 21．（2024秋•鼓楼区期末）（1）如图（1），在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，连接OD． 求证OD∥AC． （2）已知点P，⊙O的位置如图（2）所示． ①若过点P的直线l与⊙O有两个交点M，N，用两种不同的方法求作直线l，使得PM＝MN．（要求：i．用直尺和圆规作图；ii．保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） ②设⊙O的半径为r，改变点P的位置，①中求作的直线l可能不存在．请直接写出直线l存在时对应的OP的取值范围．（用含r的代数式表示） 22．（2024•绥化二模）如图，已知△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，DE与⊙O相切，交BC于点E，连接OE，，∠ACB＝30°． （1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由； （2）若以AB、OE的长为方程x2+bx+c＝0两个实数根，求b的值； （3）求图中以线段CD、BC和所围成图形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 对称图形——圆能力提升测试卷（B卷） （时间：90分钟 满分：120分） 一．选择题（共有8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（2024秋•仪征市期末）平面直角坐标系中，点O为原点，若⊙O的半径为5，则点A（3，4）与⊙O的位置关系是（　　） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 【分析】先计算出OA的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法求解． 【详解】解：∵点A的坐标是（3，4）， ∴OA5， 而⊙O的半径为5， ∴OA等于圆的半径， ∴点A在⊙O上． 故选：B． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了坐标与图形的性质． 2．（2020•南沙区一模）如图，圆O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，∠OAC＝20°，则∠ABC的度数为（　　） A．140° B．110° C．70° D．40° 【分析】在优弧AMC上任取一点P，连接AP，CP，易求∠AOC的度数，则∠P的度数可得，再根据圆的内接四边形定理即可求出∠ABC的度数． 【详解】解：在优弧AMC上任取一点P，连接AP，CP， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝20°， ∴∠AOC＝180°﹣2×20°＝140°， ∴∠P＝70°， ∵∠ABC+∠P＝180°， ∴∠ABC＝110°， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心的有关知识点，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键． 3．（2023•台湾）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得△ABC的外心为O，求BC的长度为何（　　） A．4 B．5 C． D． 【分析】三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到OB＝OC＝OA，从而确定B、C的位置． 【详解】解：∵△ABC的外心为O， ∴OB＝OC＝OA， ∵OA， ∴OB＝OC， ∵B、C是方格纸格线的交点， ∴B、C的位置如图所示， ∴BC． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质． 4．（2023秋•睢宁县期中）点P为⊙O内一点，且OP＝3，若⊙O的半径为5，则过点P的弦长不可能为（　　） A．2 B．2 C．9 D．8.5 【分析】过点P最长的弦是圆的半径，最短的弦是与OP垂直的弦，所以过点P的弦最长是10，最短是8． 【详解】解：连接OA，如图所示，OP⊥AB， 则AB是过点P最短的弦， ∴AP＝BP， OA＝5，OP＝3， 在Rt△AOP中，AP4， 所以AB＝8． 所以过点P的弦长不可能为2． 故选：A． 【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 5．（2024秋•玄武区期末）如图，在⊙O中，AB是直径，直线l与⊙O相切于点C，BD⊥l，垂足为D．若AB＝15，BD＝12，则CD的长为（　　） A．4.8 B．5 C．5.4 D．6 【分析】连接OC，作OF⊥BD于点F，由直线l与⊙O相切于点C，得l⊥OC，可证明四边形OCDF是矩形，则FD＝OC＝OBAB，所以BF＝BD﹣FD，求得CD＝OF6，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接OC，作OF⊥BD于点F，则∠OFD＝∠OFB＝90°， ∵直线l与⊙O相切于点C，BD⊥l于点D， ∴l⊥OC， ∴∠OFD＝∠OCD＝∠CDF＝90°， ∴四边形OCDF是矩形， ∵AB＝15，BD＝12， ∴FD＝OC＝OBAB15， ∴BF＝BD﹣FD＝12， ∴CD＝OF6， ∴CD的长为6， 故选：D． 【点睛】此题重点考查切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 6．（2024秋•徐水区期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，P为BC的中点，连接OA，OP，四边形AOPB的面积为S1，正六边形剩余部分的面积为S2，则（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【分析】根据题意得出∠AOP＝90°，即可求解． 【详解】解：连接OB，OC， 由题意可得：OP⊥BC，OA＝OB， ∴， ∴∠BAO＝60°， ∴∠BAO+∠ABC＝180°， ∴AO∥BC， ∴OP⊥AO， ∴∠AOP＝90°， 设正六边形的面积为S，则， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接正多边形，正确进行计算是解题关键． 7．（2024秋•姜堰区期末）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，，AD，BC相交于点E，若，则，CE，DE围成的图形的阴影面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OC交AD于F点，如图，先利用圆心角、弧、弦的关系，由得到∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，根据垂径定理得到OC⊥AD，AF＝DF，则根据圆周角定理得到∠A＝∠B＝30°，再在Rt△AOF中计算出OF，AF＝3，所以DF＝3，CF，接着在Rt△CEF中计算出EF＝1，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用，CE，DE围成的图形的阴影面积＝S扇形COD﹣S△ODF﹣S△CEF求解． 【详解】解：连接OC交AD于F点，如图， ∵， ∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，OC⊥A， ∴∠A＝∠B＝30°，AF＝DF， 在Rt△AOF中，∵∠A＝30°， ∴OFOA， ∴AFOF3， ∴DF＝3，CF＝OC﹣OF＝2， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠B＝30°， 在Rt△CEF中，∵∠FCE＝30°， ∴EFCF1， ∵S△ODF3，S△CEF1，S扇形COD2π， ∴，CE，DE围成的图形的阴影面积＝S扇形COD﹣S△ODF﹣S△CEF＝2π2π﹣2． 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形πR2；求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形． 8．（2024秋•河北区期末）如图，点A的坐标是（﹣3，0），点C是以OA为直径的⊙B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P（x，y），则x+y的最大值为（　　） A．3 B． C．6 D． 【分析】由题易知OP＝OA＝3，所以点P的运动轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，令x+y＝m，则y＝﹣x+m，要求m值最大，因为m越往上越大，所以当直线于⊙O相切时，m最大，进而求解即可． 【详解】解：连接OC，OP， ∵A（﹣3，0）， ∴OA＝3， ∵点A关于点C的对称点为点P（x，y）， ∴OP＝OA＝3， ∴点P在以O为圆心，3为半径的圆上运动， 令x+y＝m， 则y＝﹣x+m， ∵要求m值最大， ∴m越往上越大， ∴当直线于⊙O相切时，m最大， 设直线于y轴交于点Q，切点为P'，连接OP'，则OP'＝3， 由直线比例系数k＝1可知，直线与坐标轴所夹锐角为45°， ∴△OP'Q为等腰直角三角形， ∴OQOP'＝3， 即x+y＝m＝3， ∴x+y最大值为3， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了中心对称的性质、圆的定义、切线的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 二．填空题（共有8小题，每小题3分，共24分） 9．（2024秋•沭阳县校级月考）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是 　相离　 ． 【分析】解一元二次方程可得x1＝﹣1，x2＝3，由题意得⊙O的半径为r＝3，再根据d＞r，可得：直线l与⊙O的位置关系是相离． 【详解】解：∵x2﹣2x﹣3＝0， ∴（x+1）（x﹣3）＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝3， ∴⊙O的半径为r＝3， ∵圆心O到直线l的距离d＝4， ∴d＞r， ∴直线l与⊙O的位置关系是相离； 故答案为：相离． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系等，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 10．（2024•斗门区校级模拟）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为 　5　 ． 【分析】根据切线长定理得到AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，由△ABC的周长为14，可求BC的长． 【详解】解：∵⊙O与A B，BC，CA分别相切于点D，E，F ∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF， ∵△ABC的周长为14， ∴AD+AF+BE+BD+CE+CF＝14， ∴2（BE+CE）＝10， ∴BC＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 11．（2024秋•永康市期末）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，且，连接BC，以B为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，若AB＝2，则的长是 　　 ． 【分析】连接OC，根据弧、弦、圆心角的关系求出∠BOC，由等腰三角形的判定与性质求出∠OBC的度数，由勾股定理求出BC，从而根据弧长公式求出的长即可． 【详解】解：如图，连接OC． ∵， ∴∠BOC90°， ∵OB＝OCAB＝1， ∴∠OBC45°， ∵BC， ∴2π． 故答案为：． 【点睛】本题考查弧长的计算，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理，掌握弧长的计算公式，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 12．（2024•烟台）如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 　　 ． 【分析】根据正六边形的性质求出阴影部分扇形的圆心角度数，再根据直角三角形的边角关系求出半径，由弧长的计算方法进行计算即可． 【详解】解：如图，过点A作AM⊥BF，垂足为M，则BM＝FM， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BAF＝∠E120°，AB＝AF＝EF＝DE＝6， ∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFE30°， ∴∠BFD＝120°﹣30°﹣30°＝60°， 在Rt△ABM中，AB＝6，∠ABM＝30°， ∴BMAB＝3， ∴BF＝2BM＝6， 设这个圆锥的底面半径为r，由题意可得， 2πr， 解得r． 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，掌握正六边形的性质，等腰三角形的性质以及弧长的计算方法是正确解答的关键． 13．（2023秋•梁溪区校级期末）如图，在⊙O中，AD⊥BC，连接AB、CD，当AB＝2，CD＝6时，则⊙O半径长为 　　 ． 【分析】如图，连接CO，延长CO交⊙O于H，连接BH，DH，BD．首先证明DH＝BA＝2，利用勾股定理求出CH即可． 【详解】解：如图，连接CO，延长CO交⊙O于H，连接BH，DH，BD． ∵CH是直径， ∴∠CBH＝∠CDH＝90°， ∴CB⊥BH， ∵CB⊥AD， ∴AD∥BH， ∴∠ADB＝∠DBH， ∴， ∴DH＝BA＝2， 而CD＝6， 根据勾股定理CH2， ∴⊙O半径长为． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理及其推论，同时也利用了勾股定理，作出正确的辅助线是解题的关键． 14．（2023•襄阳）在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于　60或120　 °． 15．（2023秋•广元期末）如图，⊙O的半径是4，点A是圆周上一定点，点B在⊙O上运动，且∠ABM＝30°，AC⊥BM，垂足为点C，连接OC，则OC的最小值是 　　 ． 【分析】设BM交⊙O于T，连接OT、OA、AT，过O作OH⊥AT于H，连接CH，由题意易证明△OTA是等边三角形，即得出AT＝OT＝OA＝4，TH＝AH＝2，从而由勾股定理可求出．再根据直角三角形斜边中线的性质可知，最后利用三角形三边关系即可求解． 【详解】解：设BM交⊙O于T，连接OT、OA、AT，过O作OH⊥AT于H，连接CH， 由条件可知∠TOA＝60°， ∵OT＝OA， ∴△OTA是等边三角形， ∴AT＝OT＝OA＝4，TH＝AH＝2， ． ∴∠ACM＝90°． ∴CHAT＝2， 在△OCH中，OC≥OH﹣CH， ∴， ∴OC的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质和三角形三边关系的应用．圆的基本性质，正确的作出辅助线是解题关键． 16．（2023•南京）如图，⊙O与正六边形ABCDEF的边CD，EF分别相切于点C，F．若AB＝2，则⊙O的半径长为 　　 ． 【分析】连接CF，OC，OF，过D作DG⊥CF于G，过E作EH⊥CF于H，根据切线的性质得到∠OFE＝∠OCD＝90°，求得∠FED＝∠CDE＝120°，根据等边三角形的性质得到∠OCF＝∠OFC＝30°，求得∠EFH＝∠DCG＝90°，根据全等三角形的性质得到FH＝CG，EH＝DG，得到HG＝DE＝2，求得CF＝4，过O作OM⊥CF于M，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：连接CF，OC，OF，过D作DG⊥CF于G，过E作EH⊥CF于H， ∴EH∥DG， ∵EF，CD是⊙O的切线， ∴∠OFE＝∠OCD＝90°， ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠FED＝∠CDE＝120°， ∴∠COF＝120°， ∵OC＝OF， ∴∠OCF＝∠OFC＝30°， ∴∠EFH＝∠DCG＝60°， ∵∠EHF＝∠DGC＝90°，CD＝EF， ∴△CDG≌△FEH（AAS）， ∴FH＝CG，EH＝DG， ∴四边形EHGD是矩形， ∴HG＝DE＝2， ∵EF＝CD＝2，∠DCG＝∠EFH＝∠OFE﹣∠OFH＝60°， ∴FH＝CGEF＝1， ∴CF＝4， 过O作OM⊥CF于M， ∴CMCF＝2， ∴OC， ∴⊙O的半径长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，解直角三角形，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键． 三．解答题（共72分） 17．（2024秋•玄武区期中）如图，AB，AC是⊙O的弦，AB＝AC，OD，OE是⊙O的半径，且AB∥OD，AC∥OE，求证：． 【分析】连接OB，OC，OA，先根据全等三角形的判定定理得出△AOB≌△AOC，故可得出∠ABO＝∠ACO，再由平行线的性质可得出∠ABO＝∠BOD，∠ACO＝∠COE，故∠BOD＝∠COE，进而得出结论． 【详解】证明：连接OB，OC，OA， 在△AOB与△AOC中， ， ∴△AOB≌△AOC（SSS）， ∴∠ABO＝∠ACO， ∵AB∥OD，AC∥OE， ∴∠ABO＝∠BOD，∠ACO＝∠COE， ∴∠BOD＝∠COE， ∴． 【点睛】本题考查的是弧、圆心角、弦的关系，全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线．构造出全等三角形及圆心角是解题的关键． 18．（2024秋•文昌期末）如图，AB是半圆O的直径，点D是弦AC延长线上一点，连接BD，BC，∠D＝∠ABC＝60°． （1）求证：BD是半圆O的切线； （2）当CD＝1时，求阴影部分的面积．（结果保留π） 【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB＝90°，即∠A+∠ABC＝90°，再结合∠D＝∠ABC可得∠ABD＝90°，然后根据切线的定义即可证明结论； （2）如图，连接OC．根据同角的余角相等可得∠A＝∠CBD＝30°，再根据直角三角形的性质可得BD＝2CD＝2，再运用勾股定理可得，易得；然后分别求得、、，最后根据S阴影＝S△ABD﹣S△AOC﹣S扇形BOC即可解答． 【详解】（1）证明：∵AB是半圆⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°， ∵∠D＝∠ABC， ∴∠A+∠D＝90°， ∴∠ABD＝90°，即BD⊥AB， ∵AB是半圆O的直径， ∴BD是半圆O的切线． （2）解：如图，连接OC， ∵∠ACB＝90°＝∠BCD，∠ABC＝∠D＝60°， ∴∠A＝∠CBD＝30°， ∵∠CBD＝30°， ∴BD＝2CD＝2， ∴， ∵在Rt△ACB中，∠A＝30°， ∴， ∴AC3， ∵AB⊥BD， ∴， ∵OA＝OB， ∴， ∵∠BOC＝2∠A＝60°，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、直角三角形的性质、扇形的面积公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 19．（2025•盐山县校级模拟）苏州是一座拥有4000多年历史的文化名城，苏州古城座落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m． （1）求此圆弧形拱桥的半径； （2）若有一艘宽12m的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面3m，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 【分析】（1）连接OA，OC，则OC⊥AB，CD＝4m．设OA＝OC＝r m，根据垂径定理求出AD，在Rt△ADO中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可； （2）求出当船宽为12m时允许通过的最大高度并与3m比较大小即可得出结论． 【详解】解：连接OA，OC，则OC⊥AB，CD＝4m． 设OA＝OC＝r m． ∵OC⊥AB，AB＝16m， ∴ADAB＝8m， ∵CD＝4m， ∴OD＝OC﹣CD＝（r﹣4）m， 在Rt△ADO中利用勾股定理，得AD2+OD2＝OA2， ∴82+（r﹣4）2＝r2， ∴r＝10． 答：此圆弧形拱桥的半径是10m． （2）该船不能否安全穿过桥洞．理由如下： 如上图，矩形EFGH，GH与OC交于点M，EF＝12m，连接OH． ∵EF＝12m， ∴MH＝DEEF＝6m， 在Rt△HMO利用勾股定理，得OM8m， ∵OD＝OC﹣CD＝6m， ∴HE＝DM＝OM﹣OD＝2m， ∵3＞2， ∴该船不能否安全穿过桥洞． 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 20．（2024•阳西县一模）综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，AB＝6cm，l＝6cm，C是PB的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【分析】根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为180°，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵l＝6cm，AB＝6cm， ∴r＝3cm， ∵2πr×l， n， ∴． ∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为180°，如图所示． ∴． ∵PA′＝PB＝6cm， ∴． ∴在Rt△A′PC中，由勾股定理得． ∴彩带长度的最小值为． 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键． 21．（2024秋•鼓楼区期末）（1）如图（1），在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，连接OD． 求证OD∥AC． （2）已知点P，⊙O的位置如图（2）所示． ①若过点P的直线l与⊙O有两个交点M，N，用两种不同的方法求作直线l，使得PM＝MN．（要求：i．用直尺和圆规作图；ii．保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） ②设⊙O的半径为r，改变点P的位置，①中求作的直线l可能不存在．请直接写出直线l存在时对应的OP的取值范围．（用含r的代数式表示） 【分析】（1）利用等腰三角形的等角对等边即可得解； （2）①作法一：构造等腰三角形OPN，QP＝QN，利用三线合一即可得解；作法二：根据切割线定理可得PM•PN＝PC•PD，进而可得到PM2，利用射影定理构造出PM长即可得解； ②根据①作法一可知，以P为圆心，2r为半径的⊙P与⊙O有交点即可，进而得解． 【详解】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵OB＝OD， ∴∠B＝∠ODB， ∴∠C＝∠ODB， ∴OD∥AC； （2）解：①作法一：如图，直线l即为所求， 作法提示：①连接PO并延长交⊙O于点E、F； ②以P为圆心，EF长为半径画弧交⊙O的EF下方于点Q； ③连接QO并延长交⊙O于点N，过P、N作直线l交⊙O于点M，则直线l即为所求． 证明：连接QM， ∵QN是直径， ∴∠QMN＝90°，即QM⊥PN， ∵PQ＝EF＝QN， ∴PM＝MN． 作法二：连接PO并延长，交⊙O于C、D两点， 如图，设a＝PC，b，PM＝x， 由PM•PN＝PC•PD得， x•2x＝a•2b， ∴x2＝ab， ∴以点P为圆心，PM长（即x长）为半径画弧，交⊙O于点M，连接PM并延长交⊙O于点N，则PN即为所求； （3）根据①作法一可知，以P为圆心，2r为半径的⊙P与⊙O有交点即可， ∴r＜OP≤3r． 【点睛】本题主要考查了平行弦的判定、相似三角形的判定和性质、圆周角定理、尺规作图等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 22．（2024•绥化二模）如图，已知△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，DE与⊙O相切，交BC于点E，连接OE，，∠ACB＝30°． （1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由； （2）若以AB、OE的长为方程x2+bx+c＝0两个实数根，求b的值； （3）求图中以线段CD、BC和所围成图形的面积． 【分析】（1）连接OD，BD，可证得OD是△ACB的中位线，进一步得出结论； （2）在Rt△BCD 中求得BC，在 RtDOE中求得OE，根据根与系数的关系求得b的值； （3）连接OD，BD，作DF⊥OB，求得等边三角形BOD的面积，Rt△BCD的面积，扇形BDO的面积，进而求得结果． 【详解】解：（1）DE⊥BC，理由如下，如图，连接OD，BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴BD⊥AC， ∵AB＝BC， ∴AD＝CD， ∵OA＝OB， ∴OD∥BC， ∵DE是⊙O的切线， ∴OD⊥DE ∴DE⊥BC； （2）在Rt△BCD中，∠ACB＝30°， ∴BC＝2BD，BC2﹣BD2＝CD2， ∴， ∴BD＝2， ∴AB＝BC＝4， 在Rt△DCE中，∠ACB＝30°，， 在Rt△DOE中，， ∴， （3）连接OD，BD，作DF⊥OB于F， ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠ACB＝30°， ∴∠DOB＝2∠A＝60°， ∴， ∴， ∵，， ∴线段CD、BC和所围成图形的面积为：． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，圆周角定理，扇形面积公式，30°直角三角形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握切线的性质，添加辅助线构造直角三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$