第2章 对称图形——圆基础测试卷（A卷）-2025-2026学年苏科版数学九年级上册（章节测试卷+专项训练卷+期中期末卷）

第2章 对称图形——圆基础测试卷（A卷） （时间：90分钟 满分：120分） 一．选择题（共有8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（2025•三明模拟）三个半径均为6的圆与直线l的位置关系如图所示，若点P在其中的某个圆上，且点P到直线l的距离为8，则这个圆只能是（　　） A．⊙O2 B．⊙O3 C．⊙O2或⊙O3 D．⊙O1或⊙O2 【分析】根据图形，结合圆与直线的位置关系判断即可． 【详解】解：∵三个圆的半径均为6，点P到直线l的距离为8， 若点P在⊙O1上，则点P到直线l的距离≤6，故D不符合题意； 若点P在⊙O2或⊙O3上，则点P到直线l的距离可以为8，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，理解圆与直线的三种关系是解题关键． 2．（2024•新疆）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若CD＝8，OD＝5，则BE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先根据垂径定理得出DE的长，再利用勾股定理求出OE的长即可解决问题． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD， ∴DE． 在Rt△DOE中， OE， ∴BE＝5﹣3＝2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，熟知垂径定理及勾股定理是解题的关键． 3．（2023秋•江阴市期末）下列说法正确的是（　　） A．圆内接四边形的对角互补 B．相等的圆周角所对的弧相等 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【分析】由圆周角定理的推论可知，圆内接四边形的对角互补，可判断A正确；应用圆周角定理的条件是“在同圆或等圆中”，可判断B错误；由于同圆的任意两条直径都是互相平分的，所以只有当直径平分非直径的弦时，才能与这条弦垂直，可判断C错误；切线的判定定理是“经过半径的外端且与该半径垂直的直线是圆的切线”而不是垂直于半径的直线是圆的切线，可判断D错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：由圆周角定理的推论可知，圆内接四边形的对角互补， 故A正确； 由圆周角定理可知，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等， 故B错误； 由垂径定理可知，平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦， 故C错误； 由切线的判定定理可知，经过半径的外端且与该半径垂直的直线是圆的切线， 故D错误， 故选：A． 【点睛】此题重点考查圆周角定理及其推论、垂径定理、切线的判定定理等知识，正确理解应用这些定理的条件是解题的关键． 4．（2024秋•旌阳区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝110°，则∠DCE的度数是（　　） A．140° B．110° C．70° D．55° 【分析】根据题意得∠A+∠BCD＝180°，可得∠BCD＝110°，即可得答案． 【详解】解：∵∠BAD＝110°，四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BCD+∠BAD＝180°， ∠BCD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣110°＝70°， ∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝180°﹣70°＝110°， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆内接四边形的对角互补． 5．（2025•淄博一模）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连接CD，若∠OCD＝20°，则∠A的度数为（　　） A．25° B．35° C．40° D．50° 【分析】连接OB，证明∠ABO＝90°，∠CDB＝20°，可得∠BOC＝2∠BDC＝40°，从而可得∠A＝50°． 【详解】解：如图，连接OB， ∵AB切⊙O于点B， ∴AB⊥OB， ∴∠ABO＝90°， ∵BD∥OA，∠OCD＝20°， ∴∠CDB＝20°， ∴∠BOC＝2∠BDC＝40°， ∴∠A＝50°； 故选：D． 【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，解答本题的关键是由圆周角定理得到∠BOC＝2∠BDC． 6．（2024秋•宜兴市期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0，﹣2），B（2，0），C（2，2）．则△ABC的外心坐标为（　　） A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，1） D．（﹣2，1） 【分析】根据三角心的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，分别作BC、AB的垂直平分线交于点P，即可求解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，A（0，﹣2），B（2，0），C（2，2），如图，分别作BC、AB的垂直平分线交于点P，点P（﹣1，1）即为所求， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，解题的关键是掌握三角形的外心的定义． 7．（2024秋•兴县月考）物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，爱动脑筋的欣欣发现，重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为12cm，当滑轮上点A转过的度数为60°时，重物上升了（　　） A．2πcm B．4πcm C．16πcm D．24πcm 【分析】根据题意可得：点A转过60°，利用弧长公式进行计算即可解答． 【详解】解：l4π（cm）， 重物上升了4πcm， 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长的计算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 8．（2025•中原区校级三模）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，定点A、B、C为3个格点，以点C为圆心作圆，使点A落在⊙C内，过点A任意作弦DE，取DE的中点H，则BH的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接CH，CA，由垂径定理推出CH⊥DE，得到H在以AC为直径的⊙O上运动，连接OB交⊙O于K，当H和K重合时，BH最小，由勾股定理求出AC＝2，OB＝5，BK＝OB﹣OK＝5，即可得到BH的最小值． 【详解】解：连接CH，CA， ∵H是DE中点， ∴CH⊥DE， ∴∠AHC＝90°， ∴H在以AC为直径的⊙O上运动， 连接OB交⊙O于K， 当H和K重合时，BH最小， 由勾股定理得到：AC2，OB5， ∴OKAC， ∴BK＝OB﹣OK＝5， ∴BH的最小值是5． 故选：A． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，关键是明白H在以AC为直径的⊙O上运动． 二．填空题（共有8小题，每小题3分，共24分） 9．（2024秋•靖江市期末）已知⊙O的半径为2，点P到圆心O的距离为，那么点P与⊙O的位置关系是　点P在圆内　 ． 【分析】直接根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：∵2， ∴点P在圆内． 故答案为：点P在圆内． 【点睛】本题考查的是点圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r是解题的关键． 10．（2025•常州模拟）若在平面直角坐标系中的点A（1，1），B（﹣1，﹣1），C（m，3）不能确定一个圆，则m的值是　3　 ． 【分析】利用待定系数法求出直线AB的解析式，再根据不在同一直线上的三点确定一个圆解答即可． 【详解】解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b， 则， 解得：， ∴直线AB的解析式为y＝x， 当点C（m，3）在直线AB上时，m＝3， 则当m＝3时，点A，B，C不能确定一个圆， 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是确定圆的条件，熟记不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键． 11．（2024秋•海门区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，CA＝3，则△ABC的内切圆半径为 　1　 ． 【分析】首先求出AB的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示AF和BE，而它们的和等于AB，得到关于r的方程，即可求出． 【详解】解：如图，设△ABC的内切圆与各边相切于D，E，F，连接OD，OE，OF， 则OE⊥BC，OD⊥AB，OF⊥AC， 设半径为r，CF＝r， ∵∠C＝90°，BC＝4，AC＝3， ∴AB＝5， ∴AF＝AD＝3﹣r，BE＝BD＝4﹣r， ∴4﹣r+3﹣r＝5， ∴r＝1． ∴△ABC的内切圆的半径为 1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形内切圆半径求法等知识，熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键． 12．（2024•东莞市三模）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为 【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝40°，即可得到结论． 【详解】解：连接OA，OB， ∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心， ∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上， ∵∠ADB＝20°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝40°， ∴这个正多边形的边数9． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地理解题意是解题的关键． 13．（2024秋•扬州期末）如图，A、B、C为圆形纸片圆周上的点，AC为直径．将该纸片沿AB折叠，使与AC交于点D，若的度数为35°，则的度数为 　110°　 ． 【分析】根据已知易得：的度数＝145°，然后根据题意可得：，从而可得的度数为35°，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ∵的度数为35°，AC为直径， ∴的度数＝180°﹣35°＝145°， 由题意得：， ∴的度数为35°， ∴的度数的度数的度数＝145°﹣35°＝110°， 故答案为：110°． 【点睛】本题考查了圆周角定理，翻折变换（折叠问题），圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 14．（2025•黄岛区校级三模）如图，在扇形AOB中，OA＝2，∠AOB＝90°，点C在上且CD垂直平分线段OA，D为垂足，以O为圆心，OD为半径作弧交OB于点E，则阴影部分面积＝ 　π　 ． 【分析】根据中垂线的性质以及直角三角形的边角关系可得∠OCD＝30°，再根据扇形面积、三角形面积以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图，连接OC， ∵CD是OA的中垂线， ∴∠ODC＝90°，ODOAOC＝1， ∴∠OCD＝30°＝∠BOC，CD， ∴S阴影＝S扇形OBC+S△OCD﹣S扇形ODE 1 π， 故答案为：π． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，线段的中垂线，掌握扇形面积的计算方法以及线段中垂线的性质是正确解答的关键． 15．（2019•眉山）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4．⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为　2　 ． 【分析】首先连接OQ，根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案． 【详解】解：连接OQ． ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ； 根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2， ∵OQ为定值， ∴当OP的值最小时，PQ的值最小， ∴当PO⊥AB时，线段PQ最短， ∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝4， ∴ABOA＝8， ∴OP4， ∴PQ2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短是关键． 16．（2023秋•清江浦区期中）如图，在四边形ACBD中，AB＝BD＝BC，AD∥BC，若CD＝4，AC＝2，则AB的长为 　　 ． 【分析】以B为圆心，BC为半径作⊙B，延长BC交⊙B于点C′，连接DC′，根据AD∥BC得到AC＝DC′，在Rt△CDC′中，由勾股定理求出CC′的值，AB即可求解． 【详解】解：如图，以B为圆心，BC为半径作⊙B，延长BC交⊙B于点C′，连接DC′， 则∠CDC′＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠ADC＝∠DCC′， ∴AC＝DC′＝2， 在Rt△CDC′中， 有CC′2＝DC′2+CD2，CD＝4， ∴CC′， ∴AB＝BC， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角、圆心角以及平行线的性质，解题关键是熟练应用圆周角定理． 三．解答题（共72分） 17．（10分）如图，一个圆与正方形的四边都相切，切点分别为A、B、C、D．仅用无刻度的直尺分别在图①，图②中画出135°，22.5°的圆周角并标明角的度数． 【分析】利用正方形的性质和切线的性质得到AC和BD互相垂直平分，它们的交点为圆心O，在图①中∠ACD＝45°，利用圆内接四边形的性质得到∠AED＝135°，在图②中正方形的对角线交⊙O于E、F，则∠AOF＝45°，然后根据圆周角定理得到∠AEF＝22.5°． 【详解】解：如图①，∠AED＝135°； 如图②，∠AEF＝22.5°． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了正方形的性质和圆周角定理． 18．（10分）（2024秋•南京期末）如图，在⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，∠B＝45°．求证AB＝CD． 【分析】连接OA，OB，OC，OD，根据弦AB⊥CD，∠ABC＝45°，可得∠BCE＝∠ABC，根据圆周角定理得∠BOD＝∠AOC，根据圆心角、弧、弦的关系即可得出结论． 【详解】证明：如图，连接OA，OB，OC，OD， ∵弦AB⊥CD， ∴∠BEC＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠BCE＝∠ABC＝45°， ∴∠BOD＝∠AOC， ∴， ∴， ∴AB＝CD． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系是关键． 19．（12分）（2021秋•沂源县期末）如图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆心角是90°的最大扇形ABC， （1）求AB的长； （2）求图中阴影的面积； （3）若用该扇形铁皮围成一个圆锥，求所得圆锥的底面圆的半径． 【分析】（1）根据圆周角定理由∠BAC＝90°得BC为⊙O的直径，即BC，根据等腰直角三角形的性质得AB＝1； （2）用圆的面积减去扇形的面积即可求解； （3）由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则2πr，然后解方程即可． 【详解】解：（1）∵∠BAC＝90°， ∴BC为⊙O的直径，即BC， ∴ABBC＝1； （2）S阴影＝S圆﹣S扇形＝π（）2； （3）设所得圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意得2πr， 解得r． 【点睛】本题考查了扇形的面积计算以及圆锥的计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：． 20．（12分）（2024秋•丹阳市期末）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是AB的中点，弦CD交AB于E，过点D的直线交AB延长线于点F且FE＝FD． （1）求证：FD是⊙O的切线． （2）连接AC，若AC＝4°，求阴影部分的面积（结果保留π）． 【分析】（1）根据切线的判断方法，利用等腰三角形的性质，圆周角定理得出∠ODF＝90°即可； （2）根据扇形面积，三角形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）证明：连接OC、OD， ∵C是AB的中点， ∴， ∴∠C+∠CEO＝90°， ∵FE＝FD， ∴∠FDE＝∠FED， ∵∠FED＝∠CEO， ∴∠FDE＝∠CEO， ∵OC＝OD， ∴∠C＝∠ODC， ∴∠ODC+∠FDE＝∠C+∠CEO＝90°， ∴∠ODF＝90°， ∴FD是⊙O的切线； （2）解：Rt△AOC中，， ∴OA＝OC＝4， Rt△DOF中，∠ODF＝90°，∠F＝30°，OD＝4， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，切线的判定与性质，掌握切线的判定方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 21．（14分）（2024秋•甘州区期末）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以BC的中点O为圆心，BC的长为直径在BC上方作半圆O，动点M以每秒1个单位长度的速度从点B向点A运动，动点N以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣D﹣C向点C运动，两点同时出发，其中一点到达终点后，两点同时停止运动，运动时间为t秒． （1）当MN∥BC时，t＝　2　 ，此时MN所在的直线与⊙O的位置关系为 　相离　 （填“相交”“相切”或“相离”）． （2）如图2，当点N运动至点C处时，MN与半圆O交于点P，连接BP． ①求证：∠BMC＝∠PBC． ②求弦PC的长． （3）如图3，E为AB的中点，过点E作EF∥BC，当2＜t≤3时，MN与EF交于点Q．请判断点Q的位置是否发生变化，若变化，请说明理由；若不变，请直接写出EQ的长． 【分析】（1）根据题意列出方程即可求解； （2）①由∠BPC＝90°得到∠PBC+∠PCB＝90°，又由∠BMC+∠PCB＝90°，即可求证； ②设PC＝x，证明△MBC∽△BPC，得到，即可求解； （3）证明△MEQ∽△NFQ，得到，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，AM＝4﹣t，DN＝2t﹣2， 当MN∥BC时，AM＝DN， ∴4﹣t＝2t﹣2， 解得t＝2， ∴BM＝2×1＝2， ∵BM＞r， ∴MN所在的直线与⊙O的位置关系为相离， 故答案为：2，相离； （2）①证明：当点N运动至点C处时，用时为 秒， ∴BM＝3×1＝3， 在矩形ABCD中，∠MBC＝90°， ∴， ∵点P在圆O上， ∴∠BPC＝90°， ∴∠PBC+∠PCB＝90°， 又∵∠BMC+∠PCB＝90°， ∴∠BMC＝∠PBC； ②解：设PC＝x， ∵∠BMC＝∠PBC，∠BCM＝∠PCB， ∴△MBC∽△BPC， ∴， ∴， ∴； （3）解：在矩形ABCD中，∠EBC＝∠FCB＝90°，AB∥DC， ∵EF∥BC， ∴∠CBE＝90°， ∴四边形EBCF为矩形， ∴EF＝BC＝2， ∵E为AB的中点， ∴， ∴DF＝4﹣2＝2， ∴EM＝t﹣2，FN＝2t﹣2﹣2＝2t﹣4， ∵AB∥DC， ∴∠EMQ＝∠FNQ，∠MEQ＝∠NFQ， ∴△MEQ∽△NFQ， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的位置不会发生变化，EQ的长为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直线与圆的位置关系，余角性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 22．（14分）如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上（不与点A，B重合）的任一点，点C，D为⊙O上的两点，若∠APD＝∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”． （1）若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由； （2）若的长为π，求“回旋角”∠CPD的度数． 【分析】（1）要证∠CPD是直径AB的“回旋角”，即证∠APD＝∠BPC，据此解答； （2）如图，由的长是π，可得∠COD＝45°，判断出点D，P，E在同一条直线上，求出∠CED＝22.5°，从而即可求出“回旋角”∠CPD的度数． 【详解】解：（1）∠CPD是直径AB的“回旋角”． 理由： ∵∠APB＝180°，∠BPC＝∠DPC＝60°， ∴∠APD＝60°， ∴∠APD＝∠BPC， ∴∠CPD是直径AB的“回旋角”； （2）如图： ∵AB＝26， ∴OC＝OD＝OA＝13． 设∠COD＝n°， ∵的长是π， ∴π， ∴n＝45， 即：∠COD＝45°． 作CE⊥AB交⊙O于点E，连接PE， ∴∠BPC＝∠OPE． ∵∠CPD是直径AB的“回旋角”， ∴∠APD＝∠BPC， ∴∠OPE＝∠APD． ∵∠APD+∠CPD+∠BPC＝180°， ∴∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°， ∴D，P，E三点共线， ∴∠CED∠COD＝22.5°， ∴∠OPE＝90°﹣∠CED＝67.5°， ∴∠APD＝∠BPC＝67.5°， ∴“回旋角”∠CPD＝180°﹣∠APD﹣∠BPC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°． 【点睛】本题考查弧长的计算、圆周角定理应用的题目，关键是理解“回旋角”的定义． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 对称图形——圆基础测试卷（A卷） （时间：90分钟 满分：120分） 一．选择题（共有8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（2025•三明模拟）三个半径均为6的圆与直线l的位置关系如图所示，若点P在其中的某个圆上，且点P到直线l的距离为8，则这个圆只能是（　　） A．⊙O2 B．⊙O3 C．⊙O2或⊙O3 D．⊙O1或⊙O2 2．（2024•新疆）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若CD＝8，OD＝5，则BE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023秋•江阴市期末）下列说法正确的是（　　） A．圆内接四边形的对角互补 B．相等的圆周角所对的弧相等 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．垂直于半径的直线是圆的切线 4．（2024秋•旌阳区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝110°，则∠DCE的度数是（　　） A．140° B．110° C．70° D．55° 5．（2025•淄博一模）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连接CD，若∠OCD＝20°，则∠A的度数为（　　） A．25° B．35° C．40° D．50° 6．（2024秋•宜兴市期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0，﹣2），B（2，0），C（2，2）．则△ABC的外心坐标为（　　） A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，1） D．（﹣2，1） 7．（2024秋•兴县月考）物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，爱动脑筋的欣欣发现，重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为12cm，当滑轮上点A转过的度数为60°时，重物上升了（　　） A．2πcm B．4πcm C．16πcm D．24πcm 8．（2025•中原区校级三模）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，定点A、B、C为3个格点，以点C为圆心作圆，使点A落在⊙C内，过点A任意作弦DE，取DE的中点H，则BH的最小值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共有8小题，每小题3分，共24分） 9．（2024秋•靖江市期末）已知⊙O的半径为2，点P到圆心O的距离为，那么点P与⊙O的位置关系是　 　 ． 10．（2025•常州模拟）若在平面直角坐标系中的点A（1，1），B（﹣1，﹣1），C（m，3）不能确定一个圆，则m的值是　 　 ． 11．（2024秋•海门区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，CA＝3，则△ABC的内切圆半径为 　 ． 12．（2024•东莞市三模）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为 13．（2024秋•扬州期末）如图，A、B、C为圆形纸片圆周上的点，AC为直径．将该纸片沿AB折叠，使与AC交于点D，若的度数为35°，则的度数为 　 　 ． 14．（2025•黄岛区校级三模）如图，在扇形AOB中，OA＝2，∠AOB＝90°，点C在上且CD垂直平分线段OA，D为垂足，以O为圆心，OD为半径作弧交OB于点E，则阴影部分面积＝ 　 ． 15．（2019•眉山）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4．⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为　 ． 16．（2023秋•清江浦区期中）如图，在四边形ACBD中，AB＝BD＝BC，AD∥BC，若CD＝4，AC＝2，则AB的长为 　 ． 三．解答题（共72分） 17．（10分）如图，一个圆与正方形的四边都相切，切点分别为A、B、C、D．仅用无刻度的直尺分别在图①，图②中画出135°，22.5°的圆周角并标明角的度数． 18．（10分）（2024秋•南京期末）如图，在⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，∠B＝45°．求证AB＝CD． 19．（12分）（2021秋•沂源县期末）如图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆心角是90°的最大扇形ABC， （1）求AB的长； （2）求图中阴影的面积； （3）若用该扇形铁皮围成一个圆锥，求所得圆锥的底面圆的半径． 20．（12分）（2024秋•丹阳市期末）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是AB的中点，弦CD交AB于E，过点D的直线交AB延长线于点F且FE＝FD． （1）求证：FD是⊙O的切线． （2）连接AC，若AC＝4°，求阴影部分的面积（结果保留π）． 21．（14分）（2024秋•甘州区期末）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以BC的中点O为圆心，BC的长为直径在BC上方作半圆O，动点M以每秒1个单位长度的速度从点B向点A运动，动点N以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣D﹣C向点C运动，两点同时出发，其中一点到达终点后，两点同时停止运动，运动时间为t秒． （1）当MN∥BC时，t＝　 　 ，此时MN所在的直线与⊙O的位置关系为 　 　 （填“相交”“相切”或“相离”）． （2）如图2，当点N运动至点C处时，MN与半圆O交于点P，连接BP． ①求证：∠BMC＝∠PBC． ②求弦PC的长． （3）如图3，E为AB的中点，过点E作EF∥BC，当2＜t≤3时，MN与EF交于点Q．请判断点Q的位置是否发生变化，若变化，请说明理由；若不变，请直接写出EQ的长． 22．（14分）如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上（不与点A，B重合）的任一点，点C，D为⊙O上的两点，若∠APD＝∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”． （1）若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由； （2）若的长为π，求“回旋角”∠CPD的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$