第1章 一元二次方程能力测试卷（B卷）-2025-2026学年苏科版数学九年级上册（章节测试卷+专项训练卷+期中期末卷）

第1章 一元二次方程能力测试卷（B卷） （时间：90分钟 满分：120分） 一．选择题（共有8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（2021春•莱阳市期末）用配方法解方程2x2﹣3x+1＝0，可变形为（　　） A． B． C． D． 2．（2022秋•洛阳月考）关于x的一元二次方程x2﹣2x+（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m＞0且m≠1 B．m≥0且m≠1 C．m＞0 D．m＜2 3．（2024秋•潜江月考）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少步？若设甲、乙二人相遇的时间为x，根据题意，可列方程为（　　） A．（7x﹣10）2＝102+（3x）2 B．102＝（7x﹣10）2+（3x）2 C．（3x）2＝102+（7x﹣10）2 D．（7x+10）2＝102+（3x）2 4．（2023秋•南安市期末）若x＝2是关于x的一元二次方程x2ax﹣a2＝0（a＞0）的一个根，下面对a的值估计正确的是（　　） A．0＜a B．a＜1 C．1＜a D．a＜2 5．（2024秋•新吴区期末）一元二次方程a（x+h）2+k＝0的两根分别为﹣3，1，则方程a（2x+h﹣3）2+k＝0（a≠0）的两根分别为（　　） A．x1＝﹣6，x2＝﹣2 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝﹣9，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝2 6．（2024秋•福田区校级期中）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2﹣14x+m＝0的两个实数根，且其面积为21，则该菱形的边长为（　　） A． B． C． D． 7．（2023秋•玄武区期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a﹣b+c＝0，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（　　） A．a+c＝0 B．2a+b＝0 C．b﹣2c＝0 D．a+b+c＝0 8．（2024秋•海安市期末）若实数x，y，m满足x2﹣2xy﹣4y＝1+m，2y2+4xy+6＝1﹣m，则m的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 二．填空题（共有8小题，每小题3分，共24分） 9．已知关于x的方程（m﹣4）x|m|﹣2+8x+1＝0是一元二次方程，则m的值为 　 ． 10．（2024•南充）已知m是方程x2+4x﹣1＝0的一个根，则（m+5）（m﹣1）的值为 　 ． 11．（2020秋•婺城区校级期末）已知一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两根分别为m，n，则m﹣3mn+n＝　 　 ． 12．（2023秋•无锡期末）若方程x2﹣4096576＝0的两根为x1＝2024，x2＝﹣2024，则方程x2﹣2x﹣4096575＝0的两根为 　 　 ． 13．（2024秋•射阳县校级月考）已知关于x的一元二次方程m（x﹣h）2﹣k＝0（m，h，k均为常数，且m≠0）的解是x1＝2，x2＝5，则关于x的一元二次方程m（x﹣h+3）2＝k的解是 　 ． 14．（2024秋•沙坡头区期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最小值是 　 　 ． 15．（2024秋•阜阳月考）已知关于x的一元二次方程c（1﹣x2）﹣2bx＝a（1+x2），其中a、b、c分别为△ABC三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则△ABC的形状为　 　 ． 16．（2023•连云港）若W＝5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3（x、y为实数），则W的最小值为 　 　 ． 三．解答题（共72分） 17．（10分）（2024秋•建湖县月考）解下列方程： （1）； （2）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6． 18．（10分）（2023秋•淅川县期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+3m+6＝0的两根是一个矩形的两邻边的长． （1）求证：不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）当矩形的对角线长为5时，求m的值； （3）当m为何值时，矩形为正方形？ 19．（12分）（2024春•瑶海区期末）农历五月初五端午节是中华民族传统的节日，这一天人们通过龙舟竞渡、吃粽子、喝雄黄酒等风俗，来纪念爱国诗人屈原．城郊的盼盼食品加工厂计划在端午节前用21天的时间生产袋装粽子进行销售，已知每袋粽子需要0.3斤馅料和0.5斤糯米，而工厂设备每天能生产馅料450斤或者糯米300斤，但因人手有限，工厂每天只生产馅料或糯米这两种原料中的一种． （1）若这21天生产的馅料和糯米恰好配套，且全部及时加工成袋装粽子，则总共生产这种粽子多少袋？ （2）为保证粽子的最佳风味，工厂原计划把生产的粽子在10天内全部售完．据统计，每袋粽子的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．工厂按售价25元销售了2天，余下8天进行降价促销，第10天结束后仍有未售出的粽子若干，工厂以15元/袋的价格将余下粽子打包卖给了市区某大型超市，最终获利40500元，则工厂促销时每袋应降价多少元？ 20．（14分）（2023秋•怀化期末）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，因为﹣10＜﹣3＜0，，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断一元二次方程x2+9x+14＝0是否为“限根方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程2x2+（k+7）x+k2+3＝0是“限根方程”，且方程的两根x1、x2满足x1+x2+x1x2＝﹣1，求k的值． 21．（12分）（2024秋•常州期末）【阅读材料】 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了借助几何图形对一元二次方程进行求解的方法．以x2+3x﹣10＝0为例，大致方法如下： 第一步：将原方程变形为x2+3x＝10，即x（x+3）＝10； 第二步：如图1，构造一个长为x+3，宽为x的长方形，且面积为10； 第三步：如图2，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间空白部分恰好是一个小正方形．则大正方形的边长为2x+3，小正方形的边长为3； 第四步：观察图形可知：大正方形的面积等于四个长方形与一个小正方形的面积之和，得到（2x+3）2＝49．虽然在几何图形中x的值不能取负数，但事实上，通过构图完成了关键的配方步骤，只要开平方得2x+3＝±7，即可求得方程的两个根x1＝2，x2＝﹣5． 【方法理解】 在图3的三个构图中，能体现方程x2﹣x﹣6＝0的解法的是 　 　 （填序号），观察图形可知（2x﹣1）2＝ 　 　 ； 【灵活应用】 仿照上述方法，画出两种能够求出方程2x2+5x﹣3＝0的解的图示（标注必要数据）． 22．（14分）（2024秋•鲤城区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝15cm，AD＝5cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s），连接PQ，QB． （1）当t为何值时，P，Q两点间的距离为13cm？ （2）当t为何值时，BQ＝BP． （3）在运动过程中，是否存在一个时刻，使得∠PQB＝90°？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 一元二次方程能力测试卷（B卷） （时间：90分钟 满分：120分） 一．选择题（共有8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（2021春•莱阳市期末）用配方法解方程2x2﹣3x+1＝0，可变形为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用配方法解方程的步骤得到（x）2，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：2x2﹣3x+1＝0， 2x2﹣3x＝﹣1， x2x+（）2（）2， （x）2． 即2（x）2． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 2．（2022秋•洛阳月考）关于x的一元二次方程x2﹣2x+（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m＞0且m≠1 B．m≥0且m≠1 C．m＞0 D．m＜2 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣2x+（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＞0， 即4﹣4（m﹣1）＞0． 解得m＜2． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式，解决本题的关键是Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根． 3．（2024秋•潜江月考）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少步？若设甲、乙二人相遇的时间为x，根据题意，可列方程为（　　） A．（7x﹣10）2＝102+（3x）2 B．102＝（7x﹣10）2+（3x）2 C．（3x）2＝102+（7x﹣10）2 D．（7x+10）2＝102+（3x）2 【分析】利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：如图，经x秒二人在B处相遇，这时乙共行AB＝3x， 甲共行AC+BC＝7x， ∵AC＝10， ∴BC＝7x﹣10， 又∵∠A＝90°， ∴BC2＝AC2+AB2， ∴（7x﹣10）2＝102+（3x）2． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，尤其本题中的文言文更不容易理解． 4．（2023秋•南安市期末）若x＝2是关于x的一元二次方程x2ax﹣a2＝0（a＞0）的一个根，下面对a的值估计正确的是（　　） A．0＜a B．a＜1 C．1＜a D．a＜2 【分析】先把x＝2代入方程x2ax﹣a2＝0得4﹣5a﹣a2＝0，再利用公式法解方程得到a，然后利用无理数的估算得到a的范围即可． 【详解】解：把x＝2是关于x的一元二次方程x2ax﹣a2＝0得4﹣5a﹣a2＝0， 整理得a2+5a﹣4＝0， 解得a1，a2（舍去）， ∵67， ∴1＜﹣52， ∴1， 即a＜1． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了估算无理数的大小． 5．（2024秋•新吴区期末）一元二次方程a（x+h）2+k＝0的两根分别为﹣3，1，则方程a（2x+h﹣3）2+k＝0（a≠0）的两根分别为（　　） A．x1＝﹣6，x2＝﹣2 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝﹣9，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝2 【分析】根据题意可知，用2x﹣3替换了原方程中的x，结合换元思想即可解决问题． 【详解】解：由题知， 将一元二次方程a（x+h）2+k＝0中的“x”用“2x﹣3”替换， 可得方程a（2x+h﹣3）2+k＝0． 因为一元二次方程a（x+h）2+k＝0的两根分别为﹣3，1， 所以2x﹣3＝﹣3或1， 解得x＝0或2， 即方程a（2x+h﹣3）2+k＝0（a≠0）的两根分别为x1＝0，x2＝2． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟知换元思想是解题的关键． 6．（2024秋•福田区校级期中）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2﹣14x+m＝0的两个实数根，且其面积为21，则该菱形的边长为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根的和为14，根据菱形的面积得到两根乘积为42，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案． 【详解】解：设方程x2﹣14x+m＝0的两个实根分别为a，b， ∴a+b＝14， ∵a，b分别是一个菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为21， ∴ab＝21，即ab＝42， ∵菱形对角线垂直且互相平分， ∴该菱形的边长为：2． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得到两根和是解题的关键． 7．（2023秋•玄武区期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a﹣b+c＝0，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（　　） A．a+c＝0 B．2a+b＝0 C．b﹣2c＝0 D．a+b+c＝0 【分析】先根据根的判别式的意义得到＝b2﹣4ac＝0，再把b＝a+c代入得（a+c）2﹣4ac＝0，所以a＝c，则b＝2a或b＝2c，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝0， ∵a﹣b+c＝0， ∴b＝a+c， ∴（a+c）2﹣4ac＝0， ∴（a﹣c）2＝0， ∴a﹣c＝0，解a＝c， ∴b＝2a或b＝2c． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 8．（2024秋•海安市期末）若实数x，y，m满足x2﹣2xy﹣4y＝1+m，2y2+4xy+6＝1﹣m，则m的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】先把两个等式相加，再进行配方，根据非负数的性质求出x、y的值，再代入求解． 【详解】解：∵x2﹣2xy﹣4y＝1+m，2y2+4xy+6＝1﹣m， ∴x2+2xy﹣4y+2y2+6＝2， ∴（x+y）2+（y﹣2）2＝0， ∴x＝﹣y＝﹣2，y＝2， ∴1+m＝x2﹣2xy﹣4y＝4+8﹣8＝4， ∴m＝3， 故选：A． 【点睛】本题考查了配方法的应用，找完全平方公式和非负数的性质是解题的关键． 二．填空题（共有8小题，每小题3分，共24分） 9．已知关于x的方程（m﹣4）x|m|﹣2+8x+1＝0是一元二次方程，则m的值为 　﹣4　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义得到m﹣4≠0且|m|﹣2＝2，然后解方程和不等式即可得到满足条件的m的值． 【详解】解：根据题意得m﹣4≠0且|m|﹣2＝2， 解得m＝﹣4， 即m的值为﹣4． 故答案为：﹣4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 10．（2024•南充）已知m是方程x2+4x﹣1＝0的一个根，则（m+5）（m﹣1）的值为 　﹣4　 ． 【分析】把x＝m代入方程x2+4x﹣1＝0，求出m2+4m的值，然后利用多项式乘多项式法则计算（m+5）（m﹣1），最后把m2+4m的值代入进行计算即可． 【详解】解：把x＝m代入x2+4x﹣1＝0， m2+4m＝1， ∴（m+5）（m﹣1） ＝m2﹣m+5m﹣5 ＝m2+4m﹣5 ＝1﹣5 ＝﹣4， 故答案为：﹣4． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． 11．（2020秋•婺城区校级期末）已知一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两根分别为m，n，则m﹣3mn+n＝　7　 ． 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可求得m+n和mn的值，代入求值即可． 【详解】解：∵方程x2﹣4x﹣1＝0的两根分别为m、n， ∴m+n＝4，mn＝﹣1． ∴m﹣3mn+n＝4﹣3×（﹣1）＝7， 故答案为7． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之积等于、两根之积等于是解题的关键． 12．（2023秋•无锡期末）若方程x2﹣4096576＝0的两根为x1＝2024，x2＝﹣2024，则方程x2﹣2x﹣4096575＝0的两根为 　x1＝2025，x2＝﹣2023　 ． 【分析】利用配方法、结合题目给出的方程的两根解出方程． 【详解】解：x2﹣2x﹣4096575＝0， 则x2﹣2x＝4096575， ∴x2﹣2x+1＝4096575+1， ∴（x﹣1）2＝4096576， ∴x﹣1＝±2024， ∴x1＝2025，x2＝﹣2023， 故答案为：x1＝2025，x2＝﹣2023． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 13．（2024秋•射阳县校级月考）已知关于x的一元二次方程m（x﹣h）2﹣k＝0（m，h，k均为常数，且m≠0）的解是x1＝2，x2＝5，则关于x的一元二次方程m（x﹣h+3）2＝k的解是 　x3＝﹣1，x4＝2　 ． 【分析】令x+3＝y，由题意得到的解为y1＝2，y2＝5，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程m（x﹣h）2﹣k＝0（m，h，k均为常数，且m≠0）的解是x1＝2，x2＝5，即的解为x1＝2，x2＝5； 令x+3＝y， ∴关于x的一元二次方程m（x﹣h+3）2＝k化为m（y﹣h）2＝k， ∵的解为x1＝2，x2＝5， ∴的解为y1＝2，y2＝5，即x+3＝2或x+3＝5， ∴x3＝﹣1，x4＝2， ∴关于x的一元二次方程m（x﹣h+3）2＝k的解是x3＝﹣1，x4＝2， 故答案为：x3＝﹣1，x4＝2． 【点睛】本题考查同解方程，涉及换元法，读懂题意，由同解方程求解是解决问题的关键． 14．（2024秋•沙坡头区期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最小值是 　2021　 ． 【分析】利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解：∵2（x﹣1）2+1＝0 与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”， ∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1， ∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+a+3， ∴， ∴， ∴ax2+bx+2026 ＝5x2﹣10x+2026 ＝5（x﹣1）2+2021， ∵（x﹣1）2最小值为0， ∴5（x﹣1）2+2021的最小值为2021， 即ax2+bx+2026最小值为2021． 故答案为：2021． 【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，弄清题中的新定义是解本题的关键． 15．（2024秋•阜阳月考）已知关于x的一元二次方程c（1﹣x2）﹣2bx＝a（1+x2），其中a、b、c分别为△ABC三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则△ABC的形状为　直角三角形　 ． 【分析】由题意得出Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，推出a2＝b2+c2，即可得解． 【详解】解：原方程可以化为：（a+c）x2+2bx+a﹣c＝0， ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0， ∴a2＝b2+c2， ∴△ABC为直角三角形， 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解题的关键． 16．（2023•连云港）若W＝5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3（x、y为实数），则W的最小值为 　﹣2　 ． 【分析】将原式进行配方，然后根据偶次幂的非负性即可求得答案． 【详解】解：W＝5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3 ＝x2+4x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3 ＝4x2﹣4xy+y2﹣2y+x2+8x+3 ＝（4x2﹣4xy+y2）﹣2y+x2+8x+3 ＝（2x﹣y）2﹣2y+x2+4x+4x+3 ＝（2x﹣y）2+4x﹣2y+x2+4x+3 ＝（2x﹣y）2+2（2x﹣y）+1﹣1+x2+4x+4﹣4+3 ＝[（2x﹣y）2+2（2x﹣y）+1]+（x2+4x+4）﹣2 ＝（2x﹣y+1）2+（x+2）2﹣2， ∵x，y均为实数， ∴（2x﹣y+1）2≥0，（x+2）2≥0， ∴原式W≥﹣2， 即原式的W的最小值为：﹣2， 解法二：由题意5x2+（8﹣4y）x+（y2﹣2y+3﹣W）＝0， ∵x为实数， ∴（8﹣4y）2﹣20（y2﹣2y+3﹣W）≥0， 即5W≥（y+3）2﹣10≥﹣10， ∴W≥﹣2， ∴W的最小值为：﹣2， 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查配方法的应用及偶次幂的非负性，利用配方法把原式整理为“平方+常数”的形式是解题的关键． 三．解答题（共72分） 17．（10分）（2024秋•建湖县月考）解下列方程： （1）； （2）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6． 【分析】（1）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：（1）x2x+2＝0， （x）2＝0， 所以． （2）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6， 2x2﹣6x+x﹣3＝﹣6， 2x2﹣5x+3＝0， （x﹣1）（2x﹣3）＝0， 则x﹣1＝0或2x﹣3＝0， 所以． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法及解一元二次方程﹣因式分解法，熟知配方法及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 18．（10分）（2023秋•淅川县期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+3m+6＝0的两根是一个矩形的两邻边的长． （1）求证：不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）当矩形的对角线长为5时，求m的值； （3）当m为何值时，矩形为正方形？ 【分析】（1）先求出判别式Δ的值，再根据“Δ”的意义证明即可； （2）设矩形的两边长分别为a，b，根据根与系数的关系a+b＝m+5，ab＝3m+6，再根据勾股定理建立方程就可以求出结论； （3）当Δ＝0时，由根的判别式就可以求出结论． 【详解】（1）证明：Δ＝[﹣（m+5）]2﹣4×1×（3m+6）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2， 因为不论m为何值，（m﹣1）2≥0， 所以△≥0， 所以无论m取什么实数值，该方程总有实数根； （2）解：设矩形的两边长分别为a，b， ∴a、b是关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+3m+6＝0的两根， ∴a+b＝m+5，ab＝3m+6， ∴（a+b）2＝（m+5）2， ∴a2+b2+2ab＝m2+10m+25， ∴a2+b2＝m2+10m+25﹣2（3m+6）＝m2+4m+13． ∵a2+b2＝52， ∴m2+4m+13＝25， 解得：m1＝﹣6，m2＝2， ∵a+b＝m+5＞0， ∴m的值为2． （3）解：由题意，得 Δ＝[﹣（m+5）]2﹣4×1×（3m+6）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2＝0， 解得：m＝1． 【点睛】本题是一道一元二次方程的综合试题，考查了根的判别式的运用，根与系数的关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时灵活运用根的判别式是解答本题的关键． 19．（12分）（2024春•瑶海区期末）农历五月初五端午节是中华民族传统的节日，这一天人们通过龙舟竞渡、吃粽子、喝雄黄酒等风俗，来纪念爱国诗人屈原．城郊的盼盼食品加工厂计划在端午节前用21天的时间生产袋装粽子进行销售，已知每袋粽子需要0.3斤馅料和0.5斤糯米，而工厂设备每天能生产馅料450斤或者糯米300斤，但因人手有限，工厂每天只生产馅料或糯米这两种原料中的一种． （1）若这21天生产的馅料和糯米恰好配套，且全部及时加工成袋装粽子，则总共生产这种粽子多少袋？ （2）为保证粽子的最佳风味，工厂原计划把生产的粽子在10天内全部售完．据统计，每袋粽子的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．工厂按售价25元销售了2天，余下8天进行降价促销，第10天结束后仍有未售出的粽子若干，工厂以15元/袋的价格将余下粽子打包卖给了市区某大型超市，最终获利40500元，则工厂促销时每袋应降价多少元？ 【分析】（1）设总共生产这种粽子a袋，根据这21天生产的馅料和糯米恰好配套，且全部及时加工成袋装粽子，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设工厂促销时每袋应降价x元，根据最终获利40500元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：（1）设总共生产这种粽子a袋， 由题意得：21， 解得：a＝9000， 答：总共生产这种粽子9000袋； （2）设工厂促销时每袋应降价x元， 由题意可知，前10天的利润为：225×2×（25﹣13）+8（25﹣13﹣x）（225x）， 第10天结束后工厂以15元/袋的价格将余下粽子打包卖给了市区某大型超市的利润：（15﹣13）[9000﹣2×225﹣8（225x）]， 由题意得：225×2×（25﹣13）+8（25﹣13﹣x）（225x）+（15﹣13）[9000﹣2×225﹣8（225x）]＝40500， 解得：x1＝4，x2＝0（不符合题意，舍去）， 答：工厂促销时每袋应降价4元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 20．（14分）（2023秋•怀化期末）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，因为﹣10＜﹣3＜0，，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断一元二次方程x2+9x+14＝0是否为“限根方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程2x2+（k+7）x+k2+3＝0是“限根方程”，且方程的两根x1、x2满足x1+x2+x1x2＝﹣1，求k的值． 【分析】（1）解得方程后即可利用“限根方程”的定义进行判断； （2）由根与系数的关系，得x1+x2，x1x2，根据x1+x2+x1x2＝﹣1，可得k＝2或﹣1，再分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：（1）此方程为“限根方程”，理由如下： （x+2）（x+7）＝0， 解得x1＝﹣7，x2＝﹣2， ∵34， ∴方程为“限根方程”； （2）由根与系数的关系，得x1+x2，x1x2， ∵x1+x2+x1x2＝﹣1， ∴1， ∴k＝2或﹣1； ①当k＝2时，x1，x2＝﹣1， ∴34， ∴k＝2符合题意； ②当k＝﹣1时，x1＝﹣2，x2＝﹣1， ∴2， ∴k＝﹣1（不合题意，舍去）． ∴k的值为2． 【点睛】本题考查的是根与系数的关系，这种新定义类的题目，通常按照题设的顺序逐次求解． 21．（12分）（2024秋•常州期末）【阅读材料】 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了借助几何图形对一元二次方程进行求解的方法．以x2+3x﹣10＝0为例，大致方法如下： 第一步：将原方程变形为x2+3x＝10，即x（x+3）＝10； 第二步：如图1，构造一个长为x+3，宽为x的长方形，且面积为10； 第三步：如图2，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间空白部分恰好是一个小正方形．则大正方形的边长为2x+3，小正方形的边长为3； 第四步：观察图形可知：大正方形的面积等于四个长方形与一个小正方形的面积之和，得到（2x+3）2＝49．虽然在几何图形中x的值不能取负数，但事实上，通过构图完成了关键的配方步骤，只要开平方得2x+3＝±7，即可求得方程的两个根x1＝2，x2＝﹣5． 【方法理解】 在图3的三个构图中，能体现方程x2﹣x﹣6＝0的解法的是 　③　 （填序号），观察图形可知（2x﹣1）2＝ 　25　 ； 【灵活应用】 仿照上述方法，画出两种能够求出方程2x2+5x﹣3＝0的解的图示（标注必要数据）． 【分析】【方法理解】根据数形结合思想求解； 【灵活应用】先把方程按照题中的方法进行部分分解，再作图． 【详解】解：【方法理解】∵x2﹣x﹣6＝0， ∴x2﹣x＝x（x﹣1）＝6 ∴能体现方程x2﹣x﹣6＝0的解法的是 ③， ∴（2x﹣1）2＝6×4+1＝25， 故答案为：③，25； 【灵活应用】∵2x2+5x﹣3＝0， ∴x（2x+5）＝3， ∴2x（2x+5）＝6或x（x+2.5）＝1.5， ∴能够求出方程2x2+5x﹣3＝0的解的图示如下： ． 【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握数形结合思想是解题的关键． 22．（14分）（2024秋•鲤城区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝15cm，AD＝5cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s），连接PQ，QB． （1）当t为何值时，P，Q两点间的距离为13cm？ （2）当t为何值时，BQ＝BP． （3）在运动过程中，是否存在一个时刻，使得∠PQB＝90°？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）过Q作QM⊥AB于M，根据路程＝速度×时间，用t表示出PM的值，然后在直角三角形PMQ中，根据勾股定理求出t的值； （2）根据勾股定理得BQ2＝（2t）2+52，然后根据当BQ＝PB时，列出方程求出t的值即可； （3）当∠PQB＝90°时，有PQ2+BQ2＝PB2，列出方程，由Δ＜0，说明方程无实数解，进而可得不存在一个时刻，使得∠PQB＝90°． 【详解】解：（1）在矩形ABCD中，AB＝15cm，AD＝5cm，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s），如图1，过点Q作QM⊥AB于M， ∵点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点D移动，移动时间为t（s）， ∴AP＝3t（cm），CQ＝2t（cm）， ∵AB＝15cm，AD＝5cm， ∴PM＝|15﹣2t﹣3t|＝|15﹣5t|cm， （15﹣5t）2+52＝132， 解得：t＝0.6或t＝5.4， ∵AB＝15， ∴3t≤15， ∴t≤5， ∴t＝5.4不符合题意舍去， ∴t为0.6时，P，Q间的距离是13cm； （2）∵AP＝3t cm，CQ＝2t cm，PB＝（15﹣3t）cm， 在Rt△BCQ中，根据勾股定理得：BQ2＝（2t）2+52， 当BQ＝PB时，（2t）2+52＝（15﹣3t）2， 整理得，5t2﹣90t+200＝0， 解得或（舍去）； 故当t的值为时，BQ＝BP； （3）不存在一个时刻，使得∠PQB＝90°；理由如下： 如图2，过点Q作QG⊥AB于点G，得矩形BCQG，矩形AGQD， ∴BG＝CQ＝2t cm，QG＝BC＝5cm，PB＝15﹣3t（cm）， ∴PG＝AB﹣BG﹣AP＝|15﹣2t﹣3t|＝|15﹣5t|cm，BQ2＝（2t）2+52， 当∠PQB＝90°时，有PQ2+BQ2＝PB2， ∴（15﹣5t）2+52+（2t）2+52＝（15﹣3t）2， 化简得，2t2﹣6t+5＝0， ∵Δ＝62﹣4×2×5＝﹣4＜0， ∴此方程无实数解， 所以不存在一个时刻，使得∠PQB＝90°． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的定义，直角三角形，一元二次方程，解答本题的关键是数形结合思想解决问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$