第1章 一元二次方程 基础测试卷（A卷）-2025-2026学年苏科版数学九年级上册（章节测试卷+专项训练卷+期中期末卷）

第1章 一元二次方程基础测试卷（A卷） （时间：90分钟 满分：120分） 一．选择题（共有8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（2024秋•崇明区期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x2＝﹣1 B．ax2+bx+c＝0（其中a、b、c是常数） C． D．（x﹣3）（x﹣2）＝x2﹣1 2．（2024秋•高碑店市月考）将一元二次方程3x2﹣2＝4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　） A．3，﹣2 B．3，4 C．3，﹣4 D．3x2，﹣4x 3．（2025春•浙江期中）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+5＝0时，配方正确的是（　　） A．（x﹣4）2＝5 B．（x﹣4）2＝11 C．（x﹣8）2＝63 D．（x﹣8）2＝5 4．（2025春•桥西区期末）若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（　　） A．x2﹣2x﹣1＝0 B．x2+2x﹣1＝0 C．x2+2x+1＝0 D．x2﹣2x+1＝0 5．（2025•丰满区三模）下列方程中，有两个相等实数根的是（　　） A．（x﹣3）2＝﹣1 B．（x+3）2＝0 C．（x﹣2）2＝1 D．（x+2）2＝2 6．（2024秋•洛宁县月考）等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣11x+24＝0的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．19或14 B．14或16 C．19 D．14 7．（2025•中山区一模）某市2022年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2024年底森林覆盖率已达到75%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（　　） A．0.64（1+x）＝0.75 B．0.64（1+2x）＝0.75 C．0.64（1+x）2＝0.75 D．0.64（1+2x）2＝0.75 8．（2023•广州）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，则的化简结果是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣1﹣2k D．2k﹣3 二．填空题（共有8小题，每小题3分，共24分） 9．（2023秋•夏河县期中）关于x的方程（m﹣2）x|m|+3x﹣1＝0是一元二次方程，则m的值为　 　 ． 10．（2023春•桓台县期中）已知m是方程x2+2x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2+4m+2021的值为 　 　 ． 11．（2024•云南）若一元二次方程x2﹣2x+c＝0无实数根，则实数c的取值范围为 ． 12．（2025•松山区模拟）若m，n是一元二次方程x2﹣5x+4＝0的两个实数根，则m+（n﹣2）2的值为　 　 ． 13．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝36，则一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）+2＝0必有一根为 　 　 ． 14．（2023秋•常州期末）如图，在用配方法解一元二次方程x2+6x＝40时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是（x+6）、宽是x、面积是40的矩形割补成一个正方形，则m的值是 　 　 ． 15．（2025•滕州市模拟）定义新运算：，例如：﹣2⊗4＝（﹣2）2﹣4＝0，2⊗3＝﹣2+3＝1．若，则x的值为　 ． 16．（2024秋•庆云县期中）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD）两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米，饲养场达到的最大面积为　 　 平方米． 三．解答题（共72分） 17．（12分）（2023秋•泗阳县月考）解下列方程： （1）（x﹣1）2＝4； （2）x（x﹣4）+x﹣4＝0； （3）x2﹣2x﹣1＝0（用公式法解）（4）x2﹣4x﹣2＝0（用配方法解）； 18．（10分）（2024•内江）已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2． （1）填空：x1+x2＝ 　 ，x1x2＝ 　 　 ； （2）求，x1； （3）已知2p+1，求p的值． 19．（12分）（2022秋•溧阳市期中）某学校组织初三学生到该市某旅游景点举行秋游活动．下面是该校领队与旅行社导游就收费标准的一段对话． 领队：学校组团到该景点秋游每人收费是多少？ 导游：如果正常成年人的人均费用为300元，学生票打八折；而且人数超过100人，还有优惠． 领队：超过100人怎样优惠呢？ 导游：如果超过100人，每增加10人，人均秋游费用降低6元，但旅行社规定：人均秋游费用不得低于150元． 该学校按旅行社的收费标准组团去该景点秋游活动结束后，共支付给旅行社36000元（随队的领队、教师费用除外且人均秋游费用没有达最低费用）．请你根据上述信息，求学校这次到该景点参加秋游活动的学生有多少人？ 20．（12分）（2025•钦州二模）某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 21．（12分）（2022秋•未央区月考）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ＝x cm（x≠0），则AP＝2x cm，CM＝3x cm，DN＝x2cm． （1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形． （2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 22．（14分）（2023秋•兴隆县期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+2x+3的最小值． 解：x2+2x+3＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2； ∵无论x取何实数，都有（x+1）2≥0， ∴（x+1）2+2≥2，即x2+2x+3的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出2x2+4x+10的最小值 　8　 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD＝10，求四边形ABCD的面积最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 一元二次方程基础测试卷（A卷） （时间：90分钟 满分：120分） 一．选择题（共有8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（2024秋•崇明区期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x2＝﹣1 B．ax2+bx+c＝0（其中a、b、c是常数） C． D．（x﹣3）（x﹣2）＝x2﹣1 【分析】一元二次方程必须满足三个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；由此判断即可． 【详解】解：A．该方程符合一元二次方程定义，故此选项符合题意； B．当a＝0时，ax2+bx+c＝0，该方程不是关于x的一元二次方程，故此选项不符合题意； C．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D．由原方程得到7﹣5x＝0，该方程中含有一个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）． 2．（2024秋•高碑店市月考）将一元二次方程3x2﹣2＝4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　） A．3，﹣2 B．3，4 C．3，﹣4 D．3x2，﹣4x 【分析】通过移项，将原方程化成一元二次方程的一般形式后，依据定义解答即可． 【详解】解：∵3x2﹣2＝4x， ∴3x2﹣4x﹣2＝0， ∴二次项系数和一次项系数分别为3，﹣4． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式的定义是解题的关键． 3．（2025春•浙江期中）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+5＝0时，配方正确的是（　　） A．（x﹣4）2＝5 B．（x﹣4）2＝11 C．（x﹣8）2＝63 D．（x﹣8）2＝5 【分析】先把方程中的5移到方程右边，然后方程两边同时加16，把方程左边利用完全平方公式分解因式，从而解答即可． 【详解】解：用配方法解一元二次方程的步骤为： x2﹣8x+5＝0， x2﹣8x＝﹣5， x2﹣8x+16＝11， （x﹣4）2＝11， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握几种常见的解一元二次方程的方法． 4．（2025春•桥西区期末）若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（　　） A．x2﹣2x﹣1＝0 B．x2+2x﹣1＝0 C．x2+2x+1＝0 D．x2﹣2x+1＝0 【分析】根据解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答． 【详解】解：若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是x2﹣2x﹣1＝0， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，一元二次方程的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 5．（2025•丰满区校级三模）下列方程中，有两个相等实数根的是（　　） A．（x﹣3）2＝﹣1 B．（x+3）2＝0 C．（x﹣2）2＝1 D．（x+2）2＝2 【分析】求出方程的根一一判断即可． 【详解】解：A、（x﹣3）2＝﹣1，方程无解，本选项不符合题意； B、（x+3）2＝0，解得x1＝x2＝﹣3，本选项符合题意； C．（x﹣2）2＝1，x1＝3，x2＝1，本选项不符合题意； D、（x+2）2＝2，x1＝﹣2，x2＝﹣2，本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查解一元二次方程﹣直接开方法，解题的关键是在直接开方法解方程． 6．（2024秋•洛宁县月考）等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣11x+24＝0的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．19或14 B．14或16 C．19 D．14 【分析】先求出方程的解，再结合等腰三角形的性质及三角形三边的关系即可解决问题． 【详解】解：由题知， 解方程x2﹣11x+24＝0得， x1＝3，x2＝8． 因为等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣11x+24＝0的两个根， 当腰长为3时， 此时3+3＜8，故不符合题意； 当腰长为8时， 此时3+8＞8，符合题意， 则周长为：3+8+8＝19． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法、一元二次方程的解、三角形三边关系及等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的性质、三角形三边关系及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 7．（2025•中山区一模）某市2022年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2024年底森林覆盖率已达到75%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（　　） A．0.64（1+x）＝0.75 B．0.64（1+2x）＝0.75 C．0.64（1+x）2＝0.75 D．0.64（1+2x）2＝0.75 【分析】由2022年底森林覆盖率为64%，2024年底森林覆盖率已达到75%即可列出方程． 【详解】解：根据题意得：0.64（1+x）2＝0.75， 故选：C． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 8．（2023•广州）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，则的化简结果是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣1﹣2k D．2k﹣3 【分析】首先根据关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，得判别式Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4×1×（k2﹣1）≥0，由此可得k≤1，据此可对进行化简． 【详解】解：∵关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根， ∴判别式Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4×1×（k2﹣1）≥0， 整理得：﹣8k+8≥0， ∴k≤1， ∴k﹣1≤0，2﹣k＞0， ∴ ＝﹣（k﹣1）﹣（2﹣k） ＝﹣1． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键． 二．填空题（共有8小题，每小题3分，共24分） 9．（2023秋•夏河县校级期中）关于x的方程（m﹣2）x|m|+3x﹣1＝0是一元二次方程，则m的值为　﹣2　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义得到m﹣2≠0且|m|＝2，然后解方程和不等式即可得到满足条件的m的值． 【详解】解：∵关于x的方程（m﹣2）x|m|+3x﹣1＝0是一元二次方程， ∴m﹣2≠0且|m|＝2， ∴m＝﹣2． 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义：形如ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的方程叫一元二次方程． 10．（2023春•桓台县期中）已知m是方程x2+2x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2+4m+2021的值为 　2023　 ． 【分析】由方程根的定义得到m2+2m＝1，整体代入2m2+4m+2021即可得到答案． 【详解】解：∵m是方程x2+2x﹣1＝0的一个根， ∴m2+2m﹣1＝0， ∴m2+2m＝1， ∴2m2+4m+2021＝2（m2+2m）+2021＝2×1+2021＝2023． 故答案为：2023． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键． 11．（2024•云南）若一元二次方程x2﹣2x+c＝0无实数根，则实数c的取值范围为 　c＞1　 ． 【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4c＜0，然后解不等式，从而可确定c的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程x2﹣2x+c＝0无实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4c＜0， ∴c＞1， 故答案为：c＞1． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 12．（2025•松山区模拟）若m，n是一元二次方程x2﹣5x+4＝0的两个实数根，则m+（n﹣2）2的值为　5　 ． 【分析】先利用已知条件求出n2﹣5n+4＝0，，从而得到n2＝5n﹣4，再将原式利用完全平方公式展开，利用n2＝5n﹣4替换n2项，整理后得到m+n，即得． 【详解】解：由题意可得：n2﹣5n+4＝0，， 则n2＝5n﹣4， ∴m+（n﹣2）2 ＝m+n2﹣4n+4 ＝m+5n﹣4﹣4n+4 ＝m+n ＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值，正确进行计算是解题关键． 13．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝36，则一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）+2＝0必有一根为 　35　 ． 【分析】令x+1＝m，由关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝36知am2+bm+2＝0有一根为m＝36，即可得到答案． 【详解】解：在a（x+1）2+b（x+1）+2＝0中，令x+1＝m，则am2+bm+2＝0， 由关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝36知am2+bm+2＝0有一根为m＝36， ∴a（x+1）2+b（x+1）+2＝0有一根满足x+1＝36， ∴x＝35， 故答案为：35． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程． 14．（2023秋•常州期末）如图，在用配方法解一元二次方程x2+6x＝40时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是（x+6）、宽是x、面积是40的矩形割补成一个正方形，则m的值是 　3　 ． 【分析】用配方法求解即可． 【详解】解：x2+6x＝40， x2+6x+9＝40+9， （x+3）2＝49， ∴m＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键． 15．（2025•滕州市模拟）定义新运算：，例如：﹣2⊗4＝（﹣2）2﹣4＝0，2⊗3＝﹣2+3＝1．若，则x的值为　或　 ． 【分析】根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵， 而， ∴①当x≤0时，则有， 解得，； ②当x＞0时，， 解得，， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系式． 16．（2024秋•庆云县期中）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD）两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米，饲养场达到的最大面积为　192　 平方米． 【分析】设饲养场（矩形ABCD）的面积为y平方米，一边AB长为x米，则饲养场另一边BC＝（总长+3个1米的门的宽度）﹣3x＝（48﹣3x）米，根据矩形的面积公式得到y与x的函数关系式，再利用配方法和二次函数的性质解答即可． 【详解】解：设饲养场（矩形ABCD）的面积为y平方米，一边AB长为x米， 则饲养场另一边BC＝（总长+3个1米的门的宽度）﹣3x＝（48﹣3x）米， ∴y＝x（48﹣3x）＝﹣3x2+48x＝﹣3（x﹣8）2+192， ∵﹣3＜0， ∴当x＝8时，y的最大值为192平方米． ∵48﹣3x＝48﹣3×8＝24＜27， ∴x＝8符合题意． ∴饲养场达到的最大面积为192平方米． 故答案为：192． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，矩形的性质，配方法，二次函数的图象与性质，熟练掌握配方法和二次函数的性质是解题的关键． 三．解答题（共72分） 17．（12分）（2023秋•泗阳县月考）解下列方程： （1）（x﹣1）2＝4； （2）x（x﹣4）+x﹣4＝0； （3）x2﹣2x﹣1＝0（用公式法解） （4）x2﹣4x﹣2＝0（用配方法解）； 【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答； （3）利用解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答； （4）利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）（x﹣1）2＝4， 开方得x﹣1＝±2，即x＝±2+1， ∴x1＝3，x2＝﹣1； （2）x（x﹣4）+x﹣4＝0， 整理得（x﹣4）（x+1）＝0， 即x﹣4＝0，x+1＝0， ∴x1＝4，x2＝﹣1； （3）x2﹣2x﹣1＝0， ∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1， Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝4+4＝8＞0， ∴， ∴，； （4）x2﹣4x﹣2＝0， 移项得x2﹣4x＝2， 配方得x2﹣4x+4＝2+4，即（x﹣2）2＝6， 开方得，即， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，公式法，因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 18．（10分）（2024•内江）已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2． （1）填空：x1+x2＝ 　p　 ，x1x2＝ 　1　 ； （2）求，x1； （3）已知2p+1，求p的值． 【分析】（1）由根与系数的关系直接可得答案； （2）把所求式子变形后，结合（1）代入即可； （3）把已知变形后代入可得p的方程，解出p值后再检验即可． 【详解】解：（1）由根与系数的关系得：x1+x2＝p，x1x2＝1， 故答案为：p，1； （2）∵x1+x2＝p，x1x2＝1， ∴p； ∵关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2， ∴， ∴，即； （3）由根与系数的关系得：x1+x2＝p，x1x2＝1， ∵， ∴， ∴p2﹣2＝2p+1， 解得：p1＝3，p2＝﹣1， 当p＝3 时，Δ＝p2﹣4＝9﹣4＝5＞0； 当 p＝﹣1 时，Δ＝p2﹣4＝﹣3＜0； ∴p＝3． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根系关系，熟练地掌握根系公式是解决本题 的关键． 19．（12分）（2022秋•溧阳市期中）某学校组织初三学生到该市某旅游景点举行秋游活动．下面是该校领队与旅行社导游就收费标准的一段对话． 领队：学校组团到该景点秋游每人收费是多少？ 导游：如果正常成年人的人均费用为300元，学生票打八折；而且人数超过100人，还有优惠． 领队：超过100人怎样优惠呢？ 导游：如果超过100人，每增加10人，人均秋游费用降低6元，但旅行社规定：人均秋游费用不得低于150元． 该学校按旅行社的收费标准组团去该景点秋游活动结束后，共支付给旅行社36000元（随队的领队、教师费用除外且人均秋游费用没有达最低费用）．请你根据上述信息，求学校这次到该景点参加秋游活动的学生有多少人？ 【分析】设学校这次到该景点参加秋游活动的学生有x人，则人均秋游费用为（300﹣0.6x）元，根据该学校共支付给旅行社36000元（随队的领队、教师费用除外且人均秋游费用没有达最低费用），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设学校这次到该景点参加秋游活动的学生有x人，则人均秋游费用为300×0.8﹣6（300﹣0.6x）元， 依题意得：（300﹣0.6x）x＝36000， 整理得：x2﹣500x+60000＝0， 解得：x1＝200，x2＝300， 当x＝200时，300﹣0.6x＝300﹣0.6×200＝180＞150，符合题意； 当x＝300时，300﹣0.6x＝300﹣0.6×300＝120＜150，不符合题意，舍去． 答：学校这次到该景点参加秋游活动的学生有200人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20．（12分）（2025•钦州二模）某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【分析】（1）设通道的宽是x米，根据题意列出方程，解出x的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨y元，根据题意列出方程，解出y的值，结合优惠大众选择较小的y的值即可解答． 【详解】解：（1）设通道的宽是x米， 由题意得，（50﹣2x）（30﹣2x）＝1196， 整理得，4x2﹣160x+304＝0， 解得x1＝2，x2＝38（不符合题意，舍去）， 答：通道的宽是2米． （2）设每个车位的月租金上涨y元， 由题意得，， 解得y1＝40，y2＝400， 又∵能优惠大众， ∴y＝40， 答：当每个车位的月租金上涨40元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 21．（12分）（2022秋•未央区校级月考）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ＝x cm（x≠0），则AP＝2x cm，CM＝3x cm，DN＝x2cm． （1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形． （2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】（1）以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND＝AD即2x+x2＝20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC＝BC即x+3x＝20cm．根据这两种情况来求解x的值即可； （2）以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，由（1）知，点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP＝MC，BQ＝ND，可列出方程20﹣（x+3x）＝20﹣（2x+x2），求得方程的解即可；当点P在点N的右侧时，AN＝MC，BQ＝PD，可列出方程由20﹣（x+3x）＝（2x+x2）﹣20，由此解答即可． 【详解】解：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形． ①当点P与点N重合时，由x2+2x＝20，得x11，x21（舍去）． ∵BQ+CM＝x+3x＝4（1）＜20，此时点Q与点M不重合， ∴x1符合题意； ②当点Q与点M重合时，由x+3x＝20，得x＝5． 此时DN＝x2＝25＞20，不符合题意． ∴点Q与点M不能重合， ∴所求x的值为1； （2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧， ①当点P在点N的左侧时， 由20﹣（x+3x）＝20﹣（2x+x2）， 解得x1＝0（舍去），x2＝2． 当x＝2时四边形PQMN是平行四边形； ②当点P在点N的右侧时， 由20﹣（x+3x）＝（2x+x2）﹣20， 解得x1＝﹣10（舍去），x2＝4． 当x＝4时四边形NQMP是平行四边形． 所以当x＝2或x＝4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用、平行四边形的判定与性质，矩形的性质，正确借助图形的性质找出数量关系，联立方程是解决本题的关键． 22．（14分）（2023秋•兴隆县期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+2x+3的最小值． 解：x2+2x+3＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2； ∵无论x取何实数，都有（x+1）2≥0， ∴（x+1）2+2≥2，即x2+2x+3的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出2x2+4x+10的最小值 　8　 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD＝10，求四边形ABCD的面积最大值． 【分析】（1）利用配方法把2x2+4x+10变形为2（x+1）2+8，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值； （2）利用配方法得到x2+x+2＝（x）2，则可判断x2+x+2＞0，然后根据二次根式有意义的条件可判断无论x取何实数，二次根式都有意义； （3）利用三角形面积公式得到四边形ABCD的面积•AC•BD，由于BD＝10﹣AC，则四边形ABCD的面积•AC•（10﹣AC），利用配方法得到四边形ABCD的面积（AC﹣5）2，然后根据非负数的性质解决问题． 【详解】解：（1）2x2+4x+10＝2（x2+2x）+10 ＝2（x2+2x+1﹣1）+10 ＝2（x+1）2+8， ∵无论x取何实数，都有2（x+1）2≥0， ∴（x+1）2+8≥8，即x2+2x+3的最小值为8； 故答案为：8； （2）x2+x+2＝（x）2， ∵（x）2≥0， ∴x2+x+2＞0， ∴无论x取何实数，二次根式都有意义； （3）∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD的面积•AC•BD， ∵AC+BD＝10， ∴BD＝10﹣AC， ∴四边形ABCD的面积•AC•（10﹣AC） AC2+5AC （AC﹣5）2 ∵（AC﹣5）2≤0， ∴当AC＝5，四边形ABCD的面积最大，最大值为． 【点睛】本题考查了配方法的应用：利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和，然后利用非负数的性质确定代数式的最值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$