精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题（日新班）

丰城九中高一日新开学考试数学试题 2024.9.2 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2 若复数，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知中，角的对边分别是，若，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 已知函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的单调递增区间是，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则边上的高为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意的实数，在区间上的值域均为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数(a,,i为虚数单位),且,下列命题正确的是 A. z不可能为纯虚数 B. 若z的共轭复数为,且,则z是实数 C. 若,则z是实数 D. 可以等于 10. 下列命题中，正确的是（ ） A ； B. 在中，是的充要条件； C. 在中，若，则必是等腰直角三角形； D. 在锐角中，不等式恒成立. 11. 在中，角的对边分别为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则有两解 B. 若，则 C. 的周长有最大值6 D. 的面积有最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，则的取值范围是____________． 13. 若单位向量，满足，则 ______． 14. 如图，在中，为斜边的中点，点分别在边上（不包括端点），，若，则____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，且． （1）若，求的值； （2）求与夹角的余弦值． 16. 化简求值： （1）计算：； （2）； 17. 的内角的对边分别为，满足. （1）求； （2）角平分线与交于点，求的最小值. 18. 如图，某公园里的摩天轮的旋转半径为米，最高点距离地面米，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，此时摩天轮开始运行，运行一周的时间不低于分钟，在运行到分钟时，他距地面大约米． （1）摩天轮运行一周约需要多少分钟？ （2）该公园规定每次游玩摩天轮只能运行一周，则该游客距地面大约77.5米时，摩天轮运行的时间是多少分钟？ 19. 对于平面向量，记，若存在，使得，则称是“向量”． （1）设，若是的“向量”，求实数的取值范围； （2）若，则否存在“1向量”?若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由； （3）已知均为的“向量”，其中．设平面直角坐标系中的点列满足（与原点重合），且与关于点对称，与关于点对称．求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丰城九中高一日新开学考试数学试题 2024.9.2 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示可得答案. 【详解】若，则，解得. 故选：B. 2. 若复数，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用求出复数，再根据模长公式即可求解. 【详解】复数,所以. 故选：C 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式可得解. 【详解】由诱导公式可得， 又， 故选：A. 4. 已知中，角的对边分别是，若，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理，结合诱导公式及二倍角的余弦公式可得，可得，从而可得是等边三角形. 【详解】由， 结合正弦定理可得，所以， 又因为是的内角，故， 所以是等边三角形. 故选：B. 5. 已知函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，再根据奇函数可得与. 【详解】由， 又函数奇函数， 则，， 解得，， 所以， 故选：D. 6. 已知函数的单调递增区间是，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用整体法求解单调增区间，即可与题中单调区间比较求解. 【详解】令，解得， 故且，解得， 故选：C 7. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理可得，再根据三角形的面积列方程即可得解. 【详解】由余弦定理可知，即， 又，， 则， 所以的面积， 又面积，即， 解得， 故选：B. 8. 已知函数，若对任意的实数，在区间上的值域均为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，再根据余弦型函数的值域与周期性可得解. 【详解】由， 函数值域为， 又对任意的实数，在区间上的值域均为， 则， 解得， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数(a,,i为虚数单位),且,下列命题正确的是 A. z不可能为纯虚数 B. 若z的共轭复数为,且,则z是实数 C. 若,则z是实数 D. 可以等于 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项. 【详解】当时,,此时为纯虚数,A错误;若z的共轭复数为,且,则,因此,B正确;由是实数,且知,z是实数,C正确;由得,又,因此,,无解,即不可以等于,D错误. 故选：BC 【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题. 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. ； B. 在中，是的充要条件； C. 在中，若，则必是等腰直角三角形； D. 在锐角中，不等式恒成立. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由诱导公式和二倍角的正弦公式可得A正确；由正弦定理结合充要条件的定义可得B正确；由正弦定理和二倍角正弦公式可得C错误；由诱导公式及正弦函数单调性可得D正确. 【详解】A：，故A正确； B：在中，由正弦定理可得， 所以， 所以是的充要条件，故B正确； C：在中，若， 由正弦定理可得，所以， 所以或，即或， 所以是等腰或直角三角形，故C错误； D：在锐角中，，且，所以， 所以，故D正确； 故选：ABD. 11. 在中，角的对边分别为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则有两解 B. 若，则 C. 的周长有最大值6 D. 的面积有最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】综合运用正弦定理，面积公式及周长可得选项. 【详解】对于A，因为，，由正弦定理可得， 又，所以有两解，A正确； 对于B，由，可得，， 由正弦定理可得，B正确； 对于C，由余弦定理， ，当且仅当时，取到等号，解得，C不正确； 对于D，由余弦定理， 即，当且仅当时，取到等号， 所以的面积，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可得不等式，进而可得参数范围. 【详解】由复数在复平面内对应的点位于第二象限， 则，解得， 故答案为：. 13. 若单位向量，满足，则 ______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据平面向量的模长公式，根据数量积的运算律，可得答案. 【详解】因为、是单位向量，所以， 又因为，所以， 解得． 故答案为：． 14. 如图，在中，为斜边的中点，点分别在边上（不包括端点），，若，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据找到的关系，再找到角的关系，利用两个三角形的正弦定理即可求解. 【详解】因为，若，所以,所以，即， 又因为为斜边的中点，， 所以,, 所以 所以在中，,即, 整理得， 在中，,即, 整理得，， 联立得，， 即， 因， ， 所以，解得， 因，所以， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，且． （1）若，求的值； （2）求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直，列方程，解方程即可； （2）根据向量夹角公式直接计算即可. 【小问1详解】 由已知， 则，解得； 【小问2详解】 由已知， 且， 所以. 16. 化简求值： （1）计算：； （2）； 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据复数的概念、复数的乘法除法运算化简计算即可. （2）化切为弦，运用和差公式和诱导公式化简计算即可. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 . 17. 的内角的对边分别为，满足. （1）求； （2）的角平分线与交于点，求的最小值. 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式计算可得； （2）由等面积法得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 由得， 由正弦定理得，即， 由，所以，化简得， 所以，所以. 【小问2详解】 由， 得， 即，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 18. 如图，某公园里的摩天轮的旋转半径为米，最高点距离地面米，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，此时摩天轮开始运行，运行一周的时间不低于分钟，在运行到分钟时，他距地面大约米． （1）摩天轮运行一周约需要多少分钟？ （2）该公园规定每次游玩摩天轮只能运行一周，则该游客距地面大约77.5米时，摩天轮运行的时间是多少分钟？ 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题干可设游客距地面的高度与时间的解析式，再代入对应点解方程，进而可得摩天轮运行一周的时间； （2）由已知代入，解方程，解方程即可. 【小问1详解】 设游客坐上摩天轮的时间为，不妨设摩天轮逆时针旋转， 则游客距地面的高度， 又摩天轮的半径为，最高点距离底面高度为， 则，，则， 所以， 又当时，， 解得， 则， 又时，， 解得或，， 又运行一周的时间不低于分钟， 即，解得， 即， 所以运行一周所需时间分； 【小问2详解】 由（1）得， 由已知，令， 则或，， 又，则或. 19. 对于平面向量，记，若存在，使得，则称是的“向量”． （1）设，若是的“向量”，求实数的取值范围； （2）若，则是否存在“1向量”?若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由； （3）已知均为的“向量”，其中．设平面直角坐标系中的点列满足（与原点重合），且与关于点对称，与关于点对称．求的取值范围． 【答案】（1）或， （2）存在“1向量”， “1向量”为， （3） 【解析】 【分析】（1）根据“向量”的定义，即可由模长公式求解； （2）利用三角函数的周期性可得，即可由定义求解， （3）由定义，结合模长公式可得，设，由条件列式，变形为，结合三角函数的性子，转化为求的最小值． 【小问1详解】 由可得， 故，， 由于是的“向量”，所以即， 解得或， 【小问2详解】 由于均为周期函数，且周期为，而 故， 若存在“1向量”，则存在，使得 故， 即， 故，故, 解得，即或 故存在“1向量”?若存在，“1向量”为 故， 【小问3详解】 由于均为的“向量”，故， 即，， 即，同理，， 三式相加并化简，得：， 即，，所以， 设，由，得， 设,，则依题意得：， 得 故， 同理， 故， 所以， ， 故， 故， 【点睛】关键点点睛：（1）（2）问充分利用定义，结合向量坐标运算，模长公式，以及三角函数的周期性求解,（3）问，利用点关于点的对称，得到坐标间的关系，利用递推得是解题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$